Geodezja fizyczna Siła gawitacji. Potencjał gawitacyjny iemi. Modele geopotencjału. D inż. Liliana Bujkiewicz 23 paździenika 2018 D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 1 / 24
Liteatua 1 Geodezja współczesna - Kazimiez Czanecki, PWN 2014 2 Geodezja fizyczna - Adam Łyszkowicz, Wyd. Uniwesytetu Wamińsko-Mazuskiego w Olsztynie 2012 3 Geodezja fizyczna i gawimetia geodezyjna. Teoia i paktyka - Macin Balik, Andzej Pachuta, Oficyna Wydawnicza Politechniki Waszawskiej 2007 4 Physical Geodesy - Matin Vemee, https://uses.aalto.fi/ mvemee/mpk-en.pdf D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 2 / 24
Siła gawitacyjna - powtóka F = GMm 2, a = F m = GM 2, = x 2 + y 2 + z 2 G = 6, 67408(31) 10 11 m 3 kg s 2, 0, 01 m s 2 = 1Gal 1 10 5 m s 2 = 1mGal, Oznaczenia: a - pzyspieszenie gawitacyjne, g - pzyspieszenie siły ciężkości (siły gawitacji i siły odśodkowej) D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 3 / 24
Potencjał: V = GM Wekto pzyspieszenia jest gadientem potencjału pola gawitacyjnego: ( V a = V = x, V y, V ) z ( V x = GM x 1 x 2 + y 2 + z 2 ) = GM ( (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2) = MG( 1 x 2 )(x2 + y 2 + z 2 ) 3/2 2x = GM x 3 a = ( GM x 3, GM y 3, GM z ) 3 = GM 3 (x, y, z) a = a = GM 3 (x, y, z) = GM 2 Dla sfey kieunek pionu = kieunek gadientu = kieunek adialny: Analogicznie: ( ) dv 1 ( d = GM = GM 1) = GM 2 = GM 2 = V = a ( ) da 1 ( d = GM 2 = GM 2) = 2GM 3 = 2 GM 3 = 2 a - pzyspieszenie maleje waz ze wzostem D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 4 / 24
Potencjał V = GM jest funkcja hamoniczna - tzn. spełnia ównanie Laplace a: Spawdzenie: Analogicznie: W sumie : 2 V x 2 + 2 V y 2 2 V x 2 + 2 V z 2 = x V = 0 2 V x 2 + 2 V y 2 + 2 V z 2 = 0 ( GM x 3 ) = = GM 5 ( 2x 2 + y 2 + z 2) 2 V y 2 2 V z 2 = GM 5 ( x 2 2y 2 + z 2) = GM 5 ( x 2 + y 2 2z 2) = GM 5 ( 2x 2 + y 2 + z 2 + x 2 2y 2 + z 2 + x 2 + y 2 2z 2) = 0 D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 5 / 24
powiezchnie poziomowe - ekwipotencjalne Dla V = GM powiezchnie ekwipotencjalne: = const. D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 6 / 24
wyznaczanie wysokości D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 7 / 24
Potencjał gawitacyjny od niewielkiej masy m w odległosci l : V = Gm l V = i V i = i G m i l i V = G dm l m = σ(x, y, z) v = σ(x, y, z) x y z dm = σ(x, y, z)dxdydz Jeśli P(x P, y P, z P ), a element masy dm jest w punkcie (x, y, z), to l = (x x P ) 2 + (y y P ) 2 + (z z P ) 2 G V(x P, y P, z P ) = σ(x, y, z)dxdydz (x xp ) 2 + (y y P ) 2 + (z z P ) 2 D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 8 / 24
Potencjał gawitacyjny V = G m l V = Σ i G m i l i V = G dm l l = ϱ l 2 = ϱ 2 = ( ϱ) ( ϱ) = 2 + ϱ 2 2 ϱ = 2 + ϱ 2 2ϱ cos ψ l = 2 + ϱ 2 2ϱ cos ψ = 1 + ( ) ϱ 2 2 Punkt P - ustalony - stałe ; elementy masy zmieniaja się - zmienne ϱ i ψ V = G dm 1 + ( ϱ ) 2 ( 2 ϱ ) cos ψ ( ) ϱ cos ψ D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 9 / 24
1 Rozwinięcie funkcji w szeeg (wzó) MacLauina: f (x) = n=0 f (n) (0) xn n! f (0) + f (0)x + f (0) x2 2! + f (3) (0) x3 3! + f (4) (0) x4 4! +... f (N) (0) xn N! 2 Funkcja podcałkowa: 1 1 + ( ϱ ) 2 ( 2 ϱ ) x = cos ψ 3 Rozwinięcie w szeeg: ( ) ϱ 2 2 ( ) ϱ cos ψ 1 1 + x 4 Wstawiajac za x... 1 1 + ( ϱ ) 2 ( 2 ϱ ) = 1 1 cos ψ 2 1 1 + x = 1 1 2 x + 3 8 x2 5 16 x3 + 35 128 x4 63 256 x5 +... [ ( ) ϱ 2 2 ( ) ] ϱ cos ψ + 3 8 [ ( ) ϱ 2 2 ( ) 2 ϱ cos ψ] +... D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 10 / 24
1 Pozadkuj ac względem potęg wyażenia ϱ : 1 + ( ) ϱ cos ψ + ( ϱ 1 1 + ( ϱ ) 2 ( 2 ϱ ) = cos ψ ) 2 ( ) 1 ( 3 cos 2 ψ 1) + 2 ( ϱ 2 auważamy, że pojawiaja się wielomiany Legende a ( funkcje kuliste ): ) 3 ( ) 1 ( 5 cos 3 ψ 3 cos ψ) +... 2 P 0 (cos ψ) = 1, P 1 (cos ψ) = cos ψ, P 2 (cos ψ) = 3 2 cos2 ψ 1 2, P 3(cos ψ) = 5 2 cos3 ψ 3 2 cos ψ 3 Ostatecznie ozwinięcie jest postaci: 1 = 1 l 1 1 + ( ϱ ) 2 ( 2 ϱ ) = 1 cos ψ n=0 ( ) ϱ n P n (cos ψ) V = G dm l = G n=0 ( ) ϱ n P n (cos ψ) dm D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 11 / 24
Jeśli jest jednoodna kula (σ, M, R), to potencjał wyliczamy od azu bez ozwijania w szeeg, całkujac po całej kuli we współzędnych sfeycznych i dla > R otzymujemy V=GM/. Jeśli dla tej samej kuli będziemy całkować szeeg wyaz po wyazie, to okaże się, że pewne całki maja swoje intepetacje fizyczne. V = n=0 G ( ) ϱ n P n (cos ψ) dm = P 0 (cos ψ) = 1, P 1 (cos ψ) = cos ψ, P 2 (cos ψ) = 3 2 cos2 ψ 1 2, V n = V 0 + V 1 + V 2 + V 3 +... n=0 V 0 = G 1 dm V 1 = G 2 ϱ cos ψ dm V 2 = G 2 3 Wzó ekuencyjny dla wielomianów Legende a dla n > 1 : P n(t) = 2n 1 t P n 1 (t) n 1 P n 2 (t). n n ( ) ϱ 2 3 cos 2 ψ 1 dm D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 12 / 24
V 0 = GM - potencjał dla kuli o masie M - gdyby iemia była jednoodna kula, to kolejne V n musiałyby się zeować. Powacamy teaz do układu współzędnych XY i można pzyjać, że poczatek tego układu pokywa się ze śodkiem ciężkości iemi, a osie - z osiami głównymi bezwładności. W układzie tym : ϱ = ϱ = x 2 + y 2 + z 2, atem: cos ψ = ϱ ϱ V 1 = V 1 = G 2 = xx P + yy P + zz P ϱ ϱ cos ψ dm = G 3 (xx P + yy P + zz P ) dm = G x 3 P x dm + y P y dm + z P z dm Tzy całki to tzw. momenty statyczne, więc jeśli współzędne śodka masy sa ówne (0,0,0), to te całki też się zeuja, więc V 1 = 0. D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 13 / 24
W całce dla V 2 mamy: ( ) ϱ 2 3 cos 2 ψ 1 = 1 (3(xx 2 P + yy P + zz P ) 2 2 ϱ 2) = 1 ) (3(xx 2 P + yy P + zz P ) 2 (x 2 P + y2 P + z2 P )(x2 + y 2 + z 2 ) =... = 1 2 [x 2 P Pzykładowo piewszy składnik: ( 2x 2 y 2 z 2) ( + y 2 P 2y 2 x 2 z 2) ( + z 2 P 2z 2 x 2 y 2) + +6x P y P (xy) + 6x P z P (xz) + 6y P z P (yz)] 2x 2 y 2 z 2 = (x 2 + z 2 ) + (x 2 + y 2 ) 2(y 2 + z 2 ) wstawiony do całki geneuje główne momenty bezwładności: V 2.1 = G ( ) 2 5 x2 P (x 2 + z 2 ) + (x 2 + y 2 ) 2(y 2 + z 2 ) dm = G ( ) 2 5 x2 P Iyy + I zz 2I xx podobnie dwa kolejne, a ostatnie tzy daja momenty dewiacyjne i pzykładowo: V 2.6 = G 2 5 6y Pz P (yz) dm = G 5 3y Pz P ( I ) yz Jeśli osie xyz pokywaja się z głównymi osiami bezwładności iemi, to momenty dewiacyjne sa ówne zeo. D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 14 / 24
V 2 = V 2.1 + V 2.2 + V 2.3 = G [ 2 5 x 2 ( ) ( ) ( ) ] P Iyy + I zz 2I xx + y 2 P Ixx + I zz 2I yy + z 2 P Ixx + I yy 2I zz Momenty bezwładności sa wyznaczane metodami astonomicznymi - sa to wielkości zędu 8 10 37 kg m 2. W innych oznaczeniach: I xx, I yy, I zz A,B,C: V 2 = G 2 5 [ x 2 P (B + C 2A) + y2 P (A + C 2B) + z2 P (A + B 2C) ] D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 15 / 24
Dalsze ozwijanie potecjału w hamoniki sfeyczne Współzędne sfeyczne z = cos θ x = sin θ cos λ y = sin θ sin λ θ = π 2 φ cos θ = sin φ φ - szeokość geocentyczna, λ - długość geogaficzna D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 16 / 24
Niech punkt obsewacji P (o współzędnych katezjańskich (x P, y P, z P ) ma współzędne sfeyczne (, θ, λ) z P = cos θ, y P = sin θ sin λ, x P = sin θ cos λ i podobnie punkty obszau całkowania - (, θ, λ ) ( zamiast ϱ dla ujednolicenia notacji): z = cos θ, y = sin θ sin λ, x = sin θ cos λ własności iloczynu skalanego otzymujemy zwiazek między katami ψ, θ, θ, λ, λ : cos ψ = (x P, y P, z P ) (x, y, z) (x P, y P, z P ) (x, y, z = = cos θ cos θ + sin θ sin θ cos(λ λ). D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 17 / 24
Wtedy P n(cos ψ) = P n(cos θ cos θ + sin θ sin θ cos(λ λ)) pzyjmuje postać: P n(cos ψ) = P n(cos θ)p n(cos θ ) + 2 P n(cos ψ) = n m=1 (n m)! [ Pnm(cos θ) cos(mλ)p nm(cos θ ) cos(mλ ) (n + m)! +P nm(cos θ) sin(mλ)p nm(cos θ ) sin(mλ ) ] n m=0 (n m)! [ κ Pnm(cos θ) cos(mλ)p nm(cos θ ) cos(mλ ) (n + m)! +P nm(cos θ) sin(mλ)p nm(cos θ ) sin(mλ ) ], gdzie κ = 1 dla m = 0 i κ = 2 dla m > 0, a P nm to stowazyszone funkcje Legende a. Wzó na stowazyszone funkcje Legende a: Np. P nm(t) = (1 t 2) m 2 d m dt m Pn(t) P 2 (cos ψ) = 3 2 cos2 ψ 1 2 P 2 (t) = 3 2 t2 1 2 ( P 21 (t) = 1 t 2) 12 3t P 21 (cosψ) = 3 sin ψ cos ψ D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 18 / 24
P n(cos ψ) = n m=0 (n m)! [ κ Pnm(cos θ) cos(mλ)p nm(cos θ ) cos(mλ ) (n + m)! +P nm(cos θ) sin(mλ)p nm(cos θ ) sin(mλ ) ], Całkowanie jest po zmiennych pimowanych (potencjał wyznaczany jest w punkcie (, θ, λ)) V = G ( ) n P n (cos ψ) dm = GM ( 1 ) n 1 + P n (cos ψ) dm M n=0 n=2 = GM ( ) a n ( 1 ) n 1 + P n (cos ψ) dm M a n=2 a - długość ównikowej półosi elipsy; dla n = 0: dm = M = GM [ n 1 + n=2 m=0 ( ) a n (C nm cos(mλ) + S nm sin(mλ)) P nm(cos θ)] D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 19 / 24
C nm = Współczynniki ozkładu mas = 1 (n m)! κ M (n + m)! 1 M ( a ) n (n m)! κ (n + m)! Pnm(cos θ ) cos(mλ )dm ( ) n P nm(cos θ ) cos(mλ )σ(, φ, λ )dv a dv jest elementem objętości, σ(, φ, λ ) jest gęstościa. Analogicznie S nm =... sin(mλ )... Widać, że S n0 = 0 dla wszystkich n Współczynniki te wyznaczane sa na podstawie pomiaów satelitanych (np. z analizy obit satelitów), jak ównież na podstawie danych gawimetycznych zebanych na powiezchni iemi. Bak n = 1 w sumie: poczatek układu odniesienia pokywa się ze śodkiem masy iemi i stad C 10, C 11, S 10, S 11 0 D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 20 / 24
Momenty bezwładności i momenty dewiacyjne: A = I xx B = I yy C = I zz D = I yz E = I xz F = I xy Np. A = I xx = 1 M ( y 2 + z 2) dm F = I xy = 1 (xy)dm M Oś z pokywa się z osia maksymalnego głównego momentu bezwładności (C): Spłaszczenie iemi : C 20 = C A+B 2 Ma 2 = 5 C 20 = 1, 08263 10 3 C 21 E 0 S 21 D 0 C 22 = B A 4Ma 2 S 22 = 10 6 F = 10 6 2Ma2 ( 10 9) J 2 = C 2 = C 20 f = 3 2 J 2 + 1 a 2 ω 3 2 GM Stad J 2 nazywany jest spłaszczenem dynamicznym iemi (jest paametem dla GRS 80) D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 21 / 24
Model EGM96 W paktyce używa się unomowanych funkcji Legende a i wtedy odpowiednio oznaczane sa współczynniki ozkładu mas jako C nm oaz S nm [ V = GM 360 n ( ) a n 1 + ( Cnm cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(cos θ)] n=2 m=0 Źódło: Matin Vemee Physical Geodesy D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 22 / 24
Potencjał siły odśodkowej: dodanie potencjału siły odśodkowej V = 1 2 ω2 2 xy = 1 2 ω2 (x 2 + y 2 ) = 1 2 ω2 2 cos 2 φ a od = V = (ω 2 x, ω 2 y) = ω 2 xy Całkowity potencjał siły ciażenia: [ W = V + V = GM n ( ) a n 1 + ( Cnm cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(cos θ)] + ω2 2 cos 2 φ 2 n=2 m=0 D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 23 / 24
Geoida w modelu EGM96 źódło: NASA Goddad Space Flight Cente https://en.wikipedia.og/wiki/egm96 D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 24 / 24
osie główne momentu bezwładności iemi S 22 = F 2Ma 2 = 10 6, F = I xy Ustalone osie x i y nie pokywaja się z osiami głównymi a i b momentu bezwładności. Kieunek osi a : 14.93 W Kieunek osi b : 75.07 E Źódło: H.S. Liu, B.F. Chao - Geophys. J, Int. (1991) 106, 699-702 http://www.eath.sinica.edu.tw/ bfchao/publication/eng/ D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 25 / 24