Geodezja fizyczna i geodynamika

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Geodezja fizyczna i geodynamika"

Łukasz Bednarczyk
5 lat temu
Przeglądów:

1 Geodezja fizyczna i geodynamika Podstawowe równanie geodezji fizycznej, całka Stokesa, kogeoida Dr inż. Liliana Bujkiewicz 21 listopada 2018 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

2 Literatura 1 Geodezja współczesna - Kazimierz Czarnecki, PWN Geodezja fizyczna - Adam Łyszkowicz, Wyd. Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie Geodezja fizyczna i grawimetria geodezyjna. Teoria i praktyka - Marcin Barlik, Andrzej Pachuta, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej Physical Geodesy - Martin Vermeer, mvermeer/mpk-en.pdf Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

3 Wzór Brunsa Wysokość geoidy - wzór Brunsa N = T P γ Q N wysokość geoidy T P potencjał zakłócajacy w punkcie P na geoidzie γ Q przyspieszenie normalne na elisoidzie Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

4 Anomalia grawimetryczna Anomalia grawimetryczna (skalar!): g = g P γ Q Inne oznaczenie anomalii: Ag Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

5 Podstawowe równanie geodezji fizycznej g = T n + 1 γ γ n T W klasycznym podejściu: T, g potencjał zakłócajacy i anomalia grawimetryczna w punkcie na geoidzie. γ przyspieszenie normalne w odpowiednim punkcie na elipsoidzie W przybliżeniu sferycznym: g = T r 2 r T Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

6 φ = π 2 θ, W = GM r Potencjał zakłócajacy z modelu geopotencjału cos θ = sin φ [ n ( a ) n 1 + ( Cnm cos(mλ) + r S nm sin(mλ) ) ] Pnm(sin φ) ω2 r 2 cos 2 φ n=2 m=0 [ ] U = GM ( a ) 2n 1 J2n P 2n (sin φ) + 1 r r 2 ω2 r 2 cos 2 φ n=1 Potencjał zakłócajacy: T(r, φ, λ) = W U = GM r n ( a ) n ( C nm cos(mλ) + r S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ) n=2 m=0 gdzie np. C k,0 = C k,0 (EGM 96) ( C k,0 (GRS 80)) dla k = 2, 4, 6, 8. J k C k,0 (GRS 80) = 2k + 1 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

7 Zagadnienie Stokesa Różnica W U eliminuje potencjał siły odśrodkowej, więc to, co pozostaje jest funkcja harmoniczna na zewnatrz mas. T = 0 2 T x T y T z 2 = 0 Zagadnienie brzegowe dla T jest zagadnieniem mieszanym (Stokesa) - na brzegu obszaru dana jest wartość kombinacji liniowej samego potencjału T i jego pochodnej kierunkowej : αt + T n = dane W przybliżeniu : T r 2 T = g (anomalia grawimetryczna) r Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

8 Uwaga! Zagadnienie Stokesa dla potencjału zakłócajacego jest otwartym zagadnieniem brzegowym: powierzchnia, na której zadany jest warunek brzegowy: jest szukana geoida T r 2 T = g (anomalia grawimetryczna) r na zewnatrz tej powierzchni nie ma już mas (efekt redukcji) i tam potencjał zakłócajacy spełnia równanie Laplace a Rozwiazanie tego zagadnienia jest inna droga do budowania modelu geopotencjału. W = T + U Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

9 Przypomnienie: anomalia grawimetryczna jako zmienna losowa średnia wartość anomalii (po całej sferze - punkt sfery odpowiada punktowi na Ziemi, tutaj na geodzie) M { g} = 1 g(λ, φ)dσ 1 4π S 4π Założenie: M { g} = 0 g i σ i i Anomalie grawimetryczne g i jako realizacja procesu stochastycznego X i, dla którego E (X i ) = 0. Wartość oczekiwana w punkcie = średnia z wartości we wszystkich punktach Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

10 Odległość katowa punktów na sferze cos ψ = cos θ cos θ + sin θ sin θ cos(λ λ) = sin(φ) sin(φ ) + cos(φ) cos(φ ) cos(λ λ) Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

11 Całka Stokesa Rozwiazaniem zagadnienia Stokesa dla potencjału zakłócajacego jest całka Stokesa, która w przybliżeniu sferycznym (R średni promień Ziemi) przyjmuje postać: T(φ, λ) = R S(ψ) g(φ, λ )dσ, 4π gdzie S(ψ) = σ n=2 2n + 1 Pn(cos ψ) n 1 ψ - odlegość katowa między punktami (φ, λ) i (φ, λ ), g(φ, λ ) - wartość anomalii grawimetrycznej w punkcie (φ, λ ), całkowanie wykonywane jest po sferze (jednostkowej). Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

12 Funkcja Stokesa S(ψ) = 1 sin ψ 2 6 sin ψ ( cos ψ 3 cos ψ ln sin ψ ) 2 + ψ sin2 2 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

13 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

14 Wysokość geoidy z danych grawimetrycznych T(φ, λ) = R 4π σ S(ψ) g(φ, λ )dσ, Ze wzoru Brunsa N = T γ N(φ, λ) = R 4πγ σ S(ψ) g(φ, λ )dσ Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

15 Aby wyznaczyć wysokość geoidy w danym punkcie P Ziemi, należy wysumować (wycałkować) anomalie grawimetryczne z całej powierzchni Ziemi N(φ P, λ P ) = R 4πγ σ S(ψ) g(φ, λ )dσ N(φ P, λ P ) R 4πγ S(ψ i ) g(φ i, λ i ) σ i gdzie γ jest średnim dla Ziemi przyspieszeniem normalnym, a funkcja Stokesa S(ψ) pełni tu rolę funkcji wagowej dla anomalii grawitacyjnych. i Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

16 metoda kombinowana Do wyznaczania dokładnej geoidy przy użyciu całki Stokesa wykorzystuje się dane różnego typu - np.: mapy średnich anomalii grawimetrycznych zazwyczaj siatki 5 5 model geopotencjału cyfrowy model terenu (DTM) Takie rozwiazania kombinowane właczaj a technikę remove-restore ( usuń-przywróć"): anomalia grawimetryczna g zredukowana zostaje o anomalię wyliczona z modelu geopotencjału g GM dokonane sa wygładzenia poprzez różnego typu poprawki terenowe g T całkę Stokesa stosuje się do anomalii rezydualnych: g res = g g GM g T, które sa niewielkie i wygładzone, a wynikiem jest rezydualna wysokość geoidy N res. na koniec przywracane sa wkłady do wysokości geoidy pochodzace od modelu globalnego i od uformowania terenu: N = N res + N GM + N T Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

17 przybliżenie całki Stokesa Dla rezydualnych anomalii grawimetrycznych obszar całkowania można ograniczyć do promienia kilku stopni (odległość katowa), wtedy: S(ψ) 1 sin(ψ/2) 2 ψ sin x x (x 0) Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

18 N odstęp geoidy od elipsoidy odniesienia gdy N znane na całej powierzchni Ziemi, znana jest też powierzchnia ekwipotencjalna (geoida) wiadomo, jak wyglada powierzchnia, na której W 0 = U 0 dalsze procedury np. wyznaczanie potencjału W dla r > R Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

19 Rozwiazanie Stokesa słuszne jest dla modelu matematycznego, gdzie: powyżej geoidy nie ma żadnych mas przyspieszenie grawitacyjne zostało odpowiednio zredukowane do geoidy cała masa Ziemi zawarta jest pod geoida Przemieszczenia mas topograficznych zmieniaja potencjał Ziemi otrzymana powierzchnia to kogeoida (cogeoida) powierzchnia poziomowa o potencjale geoidy problem minimalizowania efektu pośredniego redukcji grawimetrycznych Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

Redukcje anomalia Bouguer a (z poprawka terenowa) g B = g + δg T + δg B + δg F γ 0 = g + δg T + (0, 3086 0, 0419σ)H γ 0 anomalia

20 Redukcje anomalia Bouguer a (z poprawka terenowa) g B = g + δg T + δg B + δg F γ 0 = g + δg T + (0, , 0419σ)H γ 0 anomalia wolnopowietrzna (Faye a) g F = g + δg F γ 0 = g + 0, 3086H γ 0 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

21 Efekt pośredni dla redukcji Faye a na wartość pomierzonego przyspieszenia maja wpływ w szczególności wysokość stanowiska i masy zawarte między stanowiskiem pomiarowym, a poziomem morza redukcja Faye a (wolnopowietrzna) usuwa wpływ wysokości w rezultacie przyspieszenie zredukowane odpowiada sytuacji, gdy sa dodatkowe masy - teraz pod geoida (ich wpływ na wartość siły ciężkości wciaż pozostaje!) Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

22 Interpretacja geometryczna: ( V = 2πGσaH 1 H ), V 1 = 2πGσ 1 a = 2πG(σH)a 2a N = T γ (Barlik, s. 113) Dla σ = 2670 kg/m 3 : δn F = δv γ = V 1 V γ πgσh2 γ H = 1km δn F 6cm, H = 4km δn F 90cm Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

23 Efekt pośredni dla redukcji Bouguera dokonujac redukcji Bouguera usuwamy masy topograficzne pod stanowiskiem pomiarowym, a zatem w ogóle pozbywamy się części masy Ziemi ( V = 2πGσaH 1 H ) 2πGσaH 2a δn B = δv γ = 0 V γ (Barlik, s.114) a promień płyty, H wysokość dla a = 100km: 2πGσaH γ H = 1km δn B 11m, H = 4km δn B 45m Wniosek: redukcje Bouguera sa tu nieprzydatne! Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21 listopada / 23

Podobne dokumenty

Geodezja fizyczna i geodynamika

Geodezja fizyczna i geodynamika Podstawowe równanie geodezji fizycznej, całka Stokesa, kogeoida Dr inż. Liliana Bujkiewicz 4 maja 2017 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja