Geodezja fizyczna. Potencjał normalny. Potencjał zakłócajacy. Dr inż. Liliana Bujkiewicz. 8 listopada 2018

Transkrypt

1 Geodezja fizyczna Potencjał normalny. Potencjał zakłócajacy. Dr inż. Liliana Bujkiewicz 8 listopada 2018 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

2 Literatura 1 Geodezja współczesna - Kazimierz Czarnecki, PWN Geodezja fizyczna - Adam Łyszkowicz, Wyd. Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie Geodezja fizyczna i grawimetria geodezyjna. Teoria i praktyka - Marcin Barlik, Andrzej Pachuta, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej Physical Geodesy - Martin Vermeer, mvermeer/mpk-en.pdf Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

3 Model geopotencjału V = GM r [ 360 n ( a ) n 1 + ( Cnm cos(mλ) + r S nm sin(mλ) ) ] Pnm(cos θ) n=2 m=0 Zbiór współczynników C nm i S nm od n = 2 do n = n MAX Wartość geocentrycznej stałej grawitacyjnej GM Czynnik skalujacy a (długość półosi równikowej) Model pływów stałych (majacych wpływ na współczynnik C 20 ) Przy wyliczaniu współczynników modelu wykorzystuje się między innymi: dane grawimetryczne (naziemne i satelitarne) parametry orbit sztucznych satelitów i Księżyca Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

4 Potencjał siły odśrodkowej: V = 1 2 ω2 r 2 xy = 1 2 ω2 (x 2 + y 2 ) = 1 2 ω2 r 2 cos 2 φ a od = V = (ω 2 x, ω 2 y) = ω 2 r xy Całkowity potencjał siły ciażenia: [ W = GM n ( a ) n 1 + ( Cnm cos(mλ) + r r S nm sin(mλ) ) ] Pnm(cos θ) n=2 m=0 + ω2 r 2 2 cos2 φ Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

5 Potencjał siły odśrodkowej nie jest funkcja harmoniczna: Zatem laplasjan: [ 2 1 x 2 2 y 2 ] 2 ω2 (x 2 + y 2 ) = ω 2 [ ] 1 2 ω2 (x 2 + y 2 ) = ω 2 [ ] 1 2 ω2 (x 2 + y 2 ) = 2ω 2 0 Funkcjami harmonicznymi sa funkcje kuliste występujace w geopotencjale: 1 r Pnm(cos θ) cos(mλ), 1 Pnm(cos θ) sin(mλ). n+1 rn+1 Laplasjan we współrzędnych sferycznych (matematyczne: θ = π/2 φ): u = 2 u r + 2 u 2 r r u r 2 θ + ctgθ u 2 r 2 θ u r 2 sin 2 θ λ 2 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

6 Potencjał grawitacyjny Ziemi V jako suma funkcji kulistych jest w całości funkcja harmoniczna. Zatem opisuje pole grawitacyjne Ziemi na zewnatrz mas. Dla puktów wewnatrz mas (pod powierzchnia Ziemi w głab do poziomu morza) funkcja może być niepoprawna. Wykonuje się matematyczne jej przedłużenie z obszaru powyżej mas do obszaru wewnatrz. Jeśli operacja przedłużania funkcji jest poprawnie wykonana, to możliwe jest wyznaczenie geoidy - powierzchni, dla której W = const = W 0 W modelu EGM96 wysokość geoidy wyznacza się poprzez wyznaczenie anomalii wysokości oraz anomalii Bouguera: N(φ, λ) = N 0 + ζ(φ, λ, r) + g BA(φ, λ) H(φ, λ) γ Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

7 W miejscach, gdzie nie wykonano naziemnych pomiarów wysokości, modele geoidy wraz z pomiarami GPS pozwalaja na wyznaczenie wysokości (ortometrycznych). Dane z GPS oraz pomiarów naziemnych pozwalaja na weryfikację poprawności i dokładności modelu geopotencjału. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

8 Geoida. Źródło: NASA / University of Texas Center for Space Research Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

9 Zagadnienie Dirichleta dla potencjału normalnego: Potencjał normalny Geoida - powierzchnia poziomowa, ekwipotencjalna (która jest najbliższa średniemu poziomowi mórz). Kierunek linii pionu jest kierunkiem siły ciężkości. Jest on prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej (na poziomie morza - do geoidy) Teoretycznym odpowiednikiem geoidy jest powierzchnia elipsoidy obrotowej (elipsoida odniesienia jest elipsoida najbliższa geoidzie) Czy istnieje taka funkcja, która spełniałaby równanie Laplace a na zewnatrz elipsoidy obrotowej, a na jej powierzchni byłaby stała? Elipsoida teoretycznie zawierałaby cała masę Ziemie, a wartość szukanego potencjału na jej powierzchni U 0 równa by była wartości potencjału geoidy W 0. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

10 Współrzędne geocentryczne, geodezyjne i elipsoidalne Szerokości: φ geocentryczna ϕ geodezyjna Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

11 współrzędne elipsoidalne (u, ϑ, λ) lub (u, β, λ) Mimośród liniowy E: E 2 = a 2 b 2 ( ) 2 E 2 = u2 + E 2 u 2 E jest parametrem układu współrzędnych Jeśli mała półoś u ( = b, to duża u2 ) automatycznie = + E 2 = ( b2 ) + a 2 b 2 = a Punkt P należy do elipsy o półosiach u 2 + E 2 oraz u. Odpowiedni punkt P należy do okragu o promieniu u 2 + E 2. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

12 Zwiazki między współrzędnymi λ - wspólna wielkość (długość geograficzna) β - szerokość zredukowana; φ - szerokość geocentryczna; ϕ - szerokość geodezyjna tan β = b a tan ϕ = a b tan φ P : (u, β, λ) (x, y, z) x = u 2 + E 2 cos β cos λ y = u 2 + E 2 cos β sin λ z = u sin β Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

13 Zagadnienie Dirichleta dla potencjału normalnego we współrzędnych elipsoidalnych Szukana jest funkcja U(u, β, λ) taka, że U U = U ω2 r 2 2 cos2 φ spełnia równanie Laplace a (we współrzędnych elipsoidalnych) U(u, β, λ) = const na powierzchni elipsoidy obrotowej parametry elipsoidy w systemie GRS 80: a = m GM = J 2 = m 3 s 2 ω = rad s 1 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

14 Rozwiazanie zagadnienia Dirichleta we współrzędnych elipsoidalnych Potencjał (z uwzględnieniem efektu siły odśrodkowej) ma postać: U = U(u, β) = GM E arctg E ( u + ω2 q 2 a2 sin 2 β 1 ) ( + ω2 u 2 + E 2) cos 2 β q (brak zależności od λ - elipsoida obrotowa) U 0 = U(u = b) = = GM E arctg E b + ω2 3 a2 = , 85 m 2 /s 2 q = q(u, E) = 1 2 [(1 + 3 u2 E 2 ) arctg E u 3 u ], q 0 = q(u = b) E Zatem istnieje potencjał, którego jedna z powierzchni ekwipotencjalnych (poziomowych) jest elipsoida odniesienia. Jest to tzw. potencjał normalny. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

15 Przyspieszenie normalne na powierzchni elipsoidy Na podstawie wzoru we współrzędnych eliptycznych: γ = U h γ = aγ b sin 2 β + bγ a cos 2 β a2 sin 2 β + b 2 cos 2 β wzór Somigliana γ = aγa cos2 ϕ + bγ b sin 2 ϕ a2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ γ a, γ b - wartości przyspieszeń odpowiednio na równiku i biegunach. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

16 We współrzędnych geograficznych dla modelu GRS80 wzór dajacy dokładność 1µms 2 = 0, 1mGal: GRS80 ( ) γ = 9, , sin 2 ϕ 0, sin 2 2ϕ ms 2 W systemie WGS 1984: WGS 84 γ = 9, , sin2 ϕ sin 2 ϕ ms 2 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

17 Rozwiazanie zagadnienia Dirichleta we współrzędnych sferycznych Spośród funkcji kulistych: wybieramy: 1 r Pnm(cos θ) cos(mλ), 1 Pnm(cos θ) sin(mλ). n+1 rn+1 m = 0 ze względu na symetrię obrotowa względem osi Z (osi obrotu Ziemi) n 2n - tylko funkcje Legendre a o parzystym indeksie maja symetrię równikowa (tzn. potencjał jest taki sam dla szerokości północnych i południowych) W ten sposób otrzymujemy łatwiejszy w użyciu wzór, gdzie sumowanie w praktyce wykonuje się tylko do n = 4 [ ] U = GM ( a ) 2n 1 + C2n P 2n (cos θ) + 1 r r 2 ω2 r 2 sin 2 θ n=1 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

18 Współczynniki rozkładu mas: U = GM r [ 1 Wartości współczynników C 2n J 2n ] ( a ) 2n J2n P 2n (cos θ) + 1 r 2 ω2 r 2 sin 2 θ n=1 J 2 = 1082, J 4 = 2, J 6 = 0, J 8 = 0, Dla porównania: dla pola rzeczywistego Ziemi, na podstawie pomiarów satelitarnych otrzymano: J 3 = 2, , J 4 = 1, , J 5 = 0, , J 6 = 0, C n = Jn 2n + 1 EGM96 EGM96: brak symetrii względem równika; powolna zbieżność szeregu. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

19 Potencjał zakłócajacy W - potencjał rzeczywistej siły ciężkości Ziemi (siły grawitacji i siły odśrodkowej) W 0 - wartość potencjału na geoidzie U - potencjał normalny (elipsoidy) U 0 - wartość potencjału normalnego na elipsoidzie odniesienia U 0 = W 0 Potencjał zakłócajacy (w danym punkcie) T = W U W szczególności w dowolnym punkcie P na geoidzie: T P = W 0 U P Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

20 φ = π 2 θ, W = GM r Potencjał zakłócajacy z modelu geopotencjału cos θ = sin φ [ n ( a ) n 1 + ( Cnm cos(mλ) + r S nm sin(mλ) ) ] Pnm(sin φ) ω2 r 2 cos 2 φ n=2 m=0 [ ] U = GM ( a ) 2n 1 J2n P 2n (sin φ) + 1 r r 2 ω2 r 2 cos 2 φ n=1 Potencjał zakłócajacy: T(r, φ, λ) = W U = GM r n ( a ) n ( C nm cos(mλ) + r S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ) n=2 m=0 gdzie np. C k,0 = C k,0 (EGM 96) ( C k,0 (GRS 80)) dla k = 2, 4, 6, 8. J k C k,0 (GRS 80) = 2k + 1 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

21 Wysokość geoidy f (x P ) f (x Q ) + f (x Q ) (x P x Q ), pochodna normalna potencjału = minus wartość przyspieszenia U P U Q + U n N Q U Q = U 0 = W 0, U n = γ Q U P W 0 = γ Q N T P = γ Q N Wysokość geoidy - wzór Brunsa N = T P γ Q Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

22 Anomalia grawimetryczna g - wektor rzeczywistego przyspieszenia siły ciężkości, określony na podstawie: pomiarów modelu geopotencjału g = W γ - wektor przyspieszenia normalnego γ = U U 0 = W 0 - różne powierzchnie, różne gradienty Anomalia grawimetryczna (skalar!): g = g P γ Q Inne oznaczenie anomalii: Ag Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

23 Podstawowe równanie geodezji fizycznej γ P γ Q + γ n N Q Dla anomalii grawimetrycznej: ( g = g P γ Q g P γ P γ ) n N = (g P γ P ) + γ Q n N Q ( W = n U ) P n + γ P n N = T Q n + γ P n TP Q różnica pochodnych kierunkowych w punktach P i Q jest zaniedbywalna - można pominać indeks (lub zastępuje się znakiem pochodnej względem wysokości - np.: U ) H wiadomo, że wartość T dotyczy punktu na geoidzie, a wartość γ - dla odpowiedniego punktu na elipsoidzie odniesienia, więc znowu pomijamy indeksy γ Q g = T n + 1 γ γ n T Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24

24 W przybliżeniu sferycznym pochodna w kierunku normalnym, to pochodna po r, U = GM r γ = U r = GM r 2 γ r = 2 GM r 3 = 2 r γ podstawowe równanie geodezji fizycznej (inaczej podstawowe równanie różniczkowe grawimetrii): W przybliżeniu sferycznym: g = T n + 1 γ γ n T g = T r 2 r T Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada / 24