Geodezja fizyczna i geodynamika

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Geodezja fizyczna i geodynamika"

Transkrypt

1 Geodezja fizyczna i geodynamika Potencjał normalny. Potencjał zakłócajacy. Podstawowe równanie geodezji fizycznej. Dr inż. Liliana Bujkiewicz 4 czerwca 2017 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

2 Literatura 1 Geodezja współczesna - Kazimierz Czarnecki, PWN Geodezja fizyczna - Adam Łyszkowicz, Wyd. Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie Geodezja fizyczna i grawimetria geodezyjna. Teoria i praktyka - Marcin Barlik, Andrzej Pachuta, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej Physical Geodesy - Martin Vermeer, mvermeer/mpk-en.pdf Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

3 POTENCJAŁ NORMALNY GRS80 - Geodetic Reference System jedna z ostatnich konstrukcji elipsoid używanych przez GPS (WGS84 - niewielkie modyfikacje). Konstrukcja elipsoidy ekwipotencjalnej Pole geopotencjału U będace suma potencjału grawitacyjnego i potencjału odśrodkowego (elipsoida wiruje z prędkościa wirowania Ziemi), konstruowane jest tak, że elipsoida GRS80 jest jego jedna z powierzchni ekwipotencjalnych. Przy założeniu, że zawarta w tej elipsoidzie masa równa jest masie Ziemi (z atmosfera), to U 0 = , 850 m2 s 2 Potencjał U 0 z założenia równy jest potencjałowi siły ciężkości geoidy W 0. Ponadto kształt elipsoidy (wielka półoś, spłaszczenie) jest tak dobrany, aby powierzchnia elipsoidy była jak najlepszym przybliżeniem geoidy. Model pola siły ciężkości spełniajacy powyższe warunki to pole normalne siły ciężkości Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

4 Stałe definiujace system GRS 80 duża półoś elipsoidy ziemskiej a = m geocentryczna stała grawitacyjna GM = m 3 s 2 dynamiczny współczynnik kształtu (spłaszczenia) J 2 = prędkość katowa Ziemi doba gwiazdowa T = 2π ω = 23 h 56 4, 091 U 0 = , 850 m2 s 2 ω = rad s 1 jest wielkościa pochodna powyższych Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

5 Zagadnienia brzegowe Potencjał pola grawitacyjnego U na zewnatrz mas spełnia równanie Laplace a: U = 0: 2 u x u y u z 2 = 0 W celu wyznaczenia rozwiazania r.l. definiuje się warunki brzegowe: Zagadnienie Dirichleta: zadane sa wartości funckji U na brzegu obszaru Zagadnienie Nuemanna: zadane sa wartości pochodnej normalnej du funkcji U na brzegu d n obszaru (czyli wartości przyspieszenia) Zaganienie mieszane: na brzegu obszaru zadana jest kombinacja powyższych Przykład: Kula o promieniu R i masie M. Niech potencjał na całej powierzchni ma mieć wartości U 0. Rozwiazanie: U(r) = a 1 r + b U(r) = U 0 R 1 r, r > R Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

6 harmoniczność u = 1/r W układzie kartezjańskim (poczatek w środku kuli) Dla r > R: 2 u x 2 = 2 x 2 1 r = 2 x 2 1 x 2 + y 2 + z 2 = = 1 r 5 ( y 2 + z 2 2x 2) 2 u x u y u z 2 = 1 [( r 5 y 2 + z 2 2x 2) ( + x 2 + z 2 2y 2) ( + x 2 + y 2 2x 2)] = 0 Laplasjan we współrzędnych sferycznych (matematyczne: θ = π/2 φ, ϕ = λ): u = 1/r = r 1 nie zależy od katów, więc : u = 2 u r u r r u r 2 θ 2 + ctgθ u r 2 θ u r 2 sin 2 θ ϕ 2 u = (r 1) = 2 r 1 r r 1 ( = 2 r r 3) = 0 r r Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

7 harmoniczność funkcji kulistych Dla rzeczywistego pola grawitacyjnego Ziemi mieliśmy rozwinięcie: [ V(r, θ, λ) = GM n ( ) a n 1 + (C nm cos(mλ) + S nm sin(mλ)) P nm(cos θ)] r r n=2 m=0 W powyższej sumie występuja funkcje zależne od zmiennych sferycznych postaci: 1 r n+1 Pnm(cos θ) cos(mλ), 1 Pnm(cos θ) sin(mλ). rn+1 Funkcje te - tzw. funkcje kuliste - spełniaja równanie Laplace a. Dlatego sa tutaj używane. Uwaga: potencjał siły odśrodkowej nie spełnia równania Laplace a, ale wygodnie jest go wyrazić za pomoca funkcji Legendre a: ω 2 r 2 sin 2 θ = ω2 r 2 cos 2 φ = ω2 r ( 2 3 P 2(cos φ) + 1 ) 3 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

8 współrzędne elipsoidalne (u, ϑ, λ) Mimośród liniowy E: E 2 = a 2 b 2 ( ) 2 E 2 = u 2 + E 2 u 2 Po prawej: elipsa przechodzaca przez punkt P o półosiach u 2 + E 2 i u oraz okrag o promieniu u 2 + E 2 W tych współrzędnych można zapisać [skomplikowane] równanie Laplace a, które spełniaja harmoniki elipsoidalne pojawiajace się w rozwinięciu potencjału grawitacyjnego (tu nie ma siły odśrodkowej): ( ) U graw = q n (u, E, b) A np n(sin β), q n (u, E, b) = Qnm i u E ), n=0 Q nm (i b E Na powierzchni elipsoidy odniesienia (u = b) mamy warunek: U graw(u = b) + potencjał siły odśrodkowej = U 0 który prowadzi do wniosku, że tylko zerowy i drugi składnik sumy sa różne od zera. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

9 Rozwiazanie zagadnienia Dirichleta we współrzędnych elipsoidalnych Potencjał z uwzględnieniem efektu siły odśrodkowej ostatecznie ma postać: U = U(u, β) = GM E arctg E u + ω2 q ( 2 a2 sin 2 β 1 ) + ω2 ( u 2 + E 2) cos 2 β q (brak zalezności od λ - elipsoida obrotowa) U 0 = U(u = b) = GM E arctg ε b + ω2 2 a2 sin 2 β 1 ω a2 + ω2 ( a 2) cos 2 β 2 = GM E arctg E b + ω2 3 a2 q = q(u, E) = 1 2 [(1 + 3 u2 E 2 ) arctg E u 3 u ], q 0 = q(u = b) E Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

10 Rozwiazanie zagadnienia Dirichleta we współrzędnych sferycznych Spośród funkcji kulistych: wybieramy: 1 r n+1 Pnm(cos θ) cos(mλ), 1 Pnm(cos θ) sin(mλ). rn+1 m = 0 ze względu na symetrię obrotowa względem osi Z (osi obrotu Ziemi) n 2n - tylko funkcje Legendre a o parzystym indeksie maja symetrię równikowa (f (θ) = f (π θ), inaczej f (φ) = f ( φ)). P n(cos(π θ)) = P n( cos(θ)) P 1 (cos θ) = cos θ, P 2 (cos θ) = 3 2 cos2 θ 1 2 W ten sposób otrzymujemy wzór, dla którego powierzchnia ekwipotencjalna o potencjale U 0 = W 0 to SFEROIDA NORMALNA: [ U = GM ( ) a 2n 1 + C 2nP 2n(cos θ)] + 1 r r 2 ω2 r 2 sin 2 θ n=1 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

11 Wartości współczynników Współczynniki rozkładu mas: U = GM r C 2n J 2n [ ( ) a 2n 1 J 2nP 2n(cos θ)] + 1 r 2 ω2 r 2 sin 2 θ n=1 J 2 = 1082, J 4 = 2, J 6 = 0, J 8 = 0, Dla porównania: dla pola rzeczywistego Ziemi, na podstawie pomiarów satelitarnych otrzymano: J 3 = 2, , J 4 = 1, , J 5 = 0, , J 6 = 0, C n = J n 2n + 1 EGM96 EGM96: brak symetrii względem równika (geoida na biegunie południowym - zapadnięta, a na północnym wypiętrzona); powolna zbieżność szeregu. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

12 Wzór na przyspieszenie normalne na powierzchni elipsoidy Na podstawie wzoru we współrzędnych eliptycznych: γ = U h γ = aγ b sin 2 β + bγ a cos 2 β a 2 sin 2 β + b 2 cos 2 β tan β = b a tan ϕ = a b tan φ φ - szerokość geocentryczna; ϕ - szerokość geodezyjna γ = aγa cos2 ϕ + bγ b sin 2 ϕ a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ wzór Somigliana We współrzędnych geograficznych dla modelu GRS80 wzór dajacy dokładność 1µms 2 = 0, 1mGal: GRS80 ( ) γ = 9, , sin 2 ϕ 0, sin 2 2ϕ ms 2 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

13 CTP - Conventional Terrestrial Pole (Umowny biegun ziemski) BIH - Bureau International de l Heure (Międzynarodowe Biuro Czasu ), Paryż Autor: Defense Mapping Agency Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

14 Potencjał zakłócajacy W - potencjał rzeczywistej siły ciężkości Ziemi (siły grawitacji i siły odśrodkowej) W 0 - wartość potencjału na geoidzie U - potencjał normalny (elipsoidy) U 0 - wartość potencjału normalnego na elipsoidzie odniesienia U 0 = W 0 Potencjał zakłócajacy (w danym punkcie) T = W U W szczególności w dowolnym punkcie P na geoidzie: T P = W 0 U P Różnica ta eliminuje potencjał siły odśrodkowej, więc to, co pozostaje jest funkcja harmoniczna na zewnatrz mas. T = 0 2 T x T y T z 2 = 0 Zagadnienie brzegowe dla T będzie zagadnieniem mieszanym (Stokesa) - dana będzie wartość na brzegu obszaru kombinacji liniowej samego potencjału T i jego pochodnej kierunkowej : αt + T n = dane Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

15 co mamy z modelu geopotencjału φ = π 2 θ, W = GM r cos θ = sin φ [ n 1 + n=2 m=0 U = GM r ( ) a n ( Cnm cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ)] + 1 r 2 ω2 r 2 cos 2 φ [ ( ) a 2n 1 J 2nP 2n(sin φ)] + 1 r 2 ω2 r 2 cos 2 φ n=1 Potencjał zakłócajacy: T(r, φ, λ) = W U = GM r n ( ) a n ( C nm r cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ) n=2 m=0 gdzie np. C k,0 = C k,0 (EGM 96) ( C k,0 (GRS 80)) dla k = 2, 4, 6, 8. C k,0 (GRS 80) = J k 2k + 1 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

16 Wysokość geoidy f (x P ) f (x Q ) + f (x Q ) ( x P x Q ), pochodna normalna potencjału = minus przyspieszenie U P U Q + U n N Q U Q = U 0 = W 0, U n = γ Q U P W 0 = γ Q N T P = γ Q N Wysokość geoidy - wzór Brunsa N = T P γ Q Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

17 Wysokość geoidy z modelu geopotencjału źródło: zadanie: wyszukanie punktów w przestrzeni, dla których potencjał W równy jest U 0 metoda iteracyjna W(N) = W 0 = U 0 W(N) W(N i ) + W h (N N i ), h=ni W h = g(ni ) γ(0) h=ni N N i + U 0 W(N i ) γ(0) Gdy N 0 = 0 N i+1 (λ, ϕ) = N i (λ, ϕ) + N 1 (λ, ϕ) = 1 γ(0, ϕ) [W(0, λ, ϕ) U 0] 1 γ(0, ϕ) [W(N i, λ, ϕ) U 0 ] (W 0 - wartość geopotencjału na poziomie elipsoidy - to może być obszar masy) Z definicji potencjału zakłócajacego mamy: wzór Brunsa: N 1 (λ, ϕ) = T(0, λ, ϕ) γ(0, ϕ) dalej: N 2 (λ, ϕ) T(N 1, λ, ϕ) γ(0, ϕ) Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

18 w poniższym wzorze r takie, aby punkt (r, ϕ, λ) był na elipsoidzie zerowej N 1 (λ, ϕ) = T(0, λ, ϕ) γ(0, ϕ) = GM rγ(0, ϕ) n n=2 m=0 ( ) a n ( C nm cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ) r *** Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

19 Anomalia grawimetryczna g - wektor rzeczywistego przyspieszenia siły ciężkości, określony na podstawie: pomiarów modelu geopotencjału g = W γ - wektor przyspieszenia normalnego γ = U U 0 = W 0 - różne powierzchnie, różne gradienty Anomalia grawimetryczna (skalar!): g = g P γ Q Inne oznaczenie anomalii: Ag Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

20 Podstawowe równanie geodezji fizycznej γ P γ Q + γ n N Q Dla anomalii grawimetrycznej: ( g = g P γ Q g P γ P γ ) n N = (g P γ P ) + γ Q n N Q = ( W n U ) P n + γ P n N = T Q n + γ P n TP Q γ Q różnica pochodnych kierunkowych w punktach P i Q jest zaniedbywalna - można pominać indeks (lub zastępuje się znakiem pochodnej względem wysokości - np.: U H ) wiadomo, że wartość T dotyczy punktu na geoidzie, a wartość γ - dla odpowiedniego punktu na elipsoidzie odniesienia, więc znowu pomijamy indeksy warunek graniczny dla potencjału zakłócajacego - podstawowe równanie grawimetrii g = T n + 1 γ γ n T Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

21 Anomalia grawimetryczna: g = T n + 1 γ γ n T = T r + 1 2γ T = T γ r r 2 r T W przybliżeniu sferycznym pochodna w kierunku normalnym, to pochodna po r, ponadto γ r 2, (r 2 ) = 2r 3, zatem γ r = 2 γ r. T(r, φ, λ) = GM r n ( ) a n ( C nm cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ) r n=2 m=0 ( ) 1 ( r n+1 = r (n+1)) = (n + 1)r (n+2) 1 = (n + 1) r n+2 2 r 1 1 = 2 rn+1 r n+2 g = GM r 2 n=2 m=0 n (n 1) ( ) a n ( C nm r cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ) Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

22 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca / 22

Geodezja fizyczna. Potencjał normalny. Potencjał zakłócajacy. Dr inż. Liliana Bujkiewicz. 8 listopada 2018

Geodezja fizyczna. Potencjał normalny. Potencjał zakłócajacy. Dr inż. Liliana Bujkiewicz. 8 listopada 2018 Geodezja fizyczna Potencjał normalny. Potencjał zakłócajacy. Dr inż. Liliana Bujkiewicz 8 listopada 2018 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada 2018 1 / 24 Literatura 1 Geodezja współczesna

Bardziej szczegółowo

Geodezja fizyczna i geodynamika

Geodezja fizyczna i geodynamika Geodezja fizyczna i geodynamika Podstawowe równanie geodezji fizycznej, całka Stokesa, kogeoida Dr inż. Liliana Bujkiewicz 4 maja 2017 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja

Bardziej szczegółowo

Geodezja fizyczna i geodynamika

Geodezja fizyczna i geodynamika Geodezja fizyczna i geodynamika Podstawowe równanie geodezji fizycznej, całka Stokesa, kogeoida Dr inż. Liliana Bujkiewicz 21 listopada 2018 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 21

Bardziej szczegółowo

Geodezja fizyczna i geodynamika

Geodezja fizyczna i geodynamika Geodezja fizyczna i geodynamika Powtórka Dr inż. Liliana Bujkiewicz 17 czerwca 2017 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 1 / 26 Literatura 1 Geodezja współczesna -

Bardziej szczegółowo

Geodezja fizyczna i geodynamika

Geodezja fizyczna i geodynamika Geodezja fizyczna i geodynamika Anomalie grawimetryczne Redukcje i poprawki Liliana Bujkiewicz WPPT PWr Liliana Bujkiewicz (WPPT PWr) Geodezja fizyczna i geodynamika 1 / 10 Literatura 1 Geodezja współczesna

Bardziej szczegółowo

Geodezja fizyczna i geodynamika

Geodezja fizyczna i geodynamika Geodezja fizyczna i geodynamika Odchylenie pionu Dr inż. Liliana Bujkiewicz 17 czerwca 2017 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 1 / 24 Literatura 1 Geodezja współczesna

Bardziej szczegółowo

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO...

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO... Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO....................... XI 1. WPROWADZENIE DO GEODEZJI WYŻSZEJ..................... 1 Z historii geodezji........................................ 1 1.1. Kształt

Bardziej szczegółowo

Geodezja fizyczna i grawimetria geodezyjna. Teoria i praktyka

Geodezja fizyczna i grawimetria geodezyjna. Teoria i praktyka Zapraszamy do sklepu www.sklep.geoezja.pl I-NET.PL Sp.J. o. GeoSklep Olsztyn, ul. Cementowa 3/301 tel. +48 609 571 271, 89 670 11 00, 58 7 421 571 faks 89 670 11 11, 58 7421 871 e-mail sklep@geodezja.pl

Bardziej szczegółowo

Geodezja fizyczna. Siła grawitacji. Potencjał grawitacyjny Ziemi. Modele geopotencjału. Dr inż. Liliana Bujkiewicz. 23 października 2018

Geodezja fizyczna. Siła grawitacji. Potencjał grawitacyjny Ziemi. Modele geopotencjału. Dr inż. Liliana Bujkiewicz. 23 października 2018 Geodezja fizyczna Siła gawitacji. Potencjał gawitacyjny iemi. Modele geopotencjału. D inż. Liliana Bujkiewicz 23 paździenika 2018 D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 23 paździenika 2018 1 / 24

Bardziej szczegółowo

Geodezja fizyczna i geodynamika

Geodezja fizyczna i geodynamika Geodezja fizyczna i geodynamika Wstęp. Potencjał gawitacyjny iemi. Modele geopotencjału. D inż. Liliana Bujkiewicz 27 maca 2017 D inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 27 maca 2017 1

Bardziej szczegółowo

1.1. Kształt Ziemi. Powierzchnie odniesienia. Naukowe i praktyczne zadania geodezji. Podział geodezji wyższej... 18

1.1. Kształt Ziemi. Powierzchnie odniesienia. Naukowe i praktyczne zadania geodezji. Podział geodezji wyższej... 18 : Przedmowa...... 11 1. WPROWADZENIE DO GEODEZJI WYŻSZEJ Z historii geodezji... 13 1.1. Kształt Ziemi. Powierzchnie odniesienia. Naukowe i praktyczne zadania geodezji. Podział geodezji wyższej... 18 1.2.

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW B. OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA PRZEDMIOTU

KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW B. OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012 r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Geodezja globalna i podstawy astronomii Nazwa modułu w języku angielskim

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Układy współrzędnych

Układy współrzędnych Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Kod modułu Geodezja wyższa i astronomia geodezyjna. kierunkowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES) obowiązkowy (obowiązkowy / nieobowiązkowy)

Kod modułu Geodezja wyższa i astronomia geodezyjna. kierunkowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES) obowiązkowy (obowiązkowy / nieobowiązkowy) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012 r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Geodezja wyższa i astronomia geodezyjna Nazwa modułu w języku angielskim

Bardziej szczegółowo

Fizyka i Chemia Ziemi

Fizyka i Chemia Ziemi Fizyka i Chemia Ziemi Układ Ziemia - Księżyc T.J. Jopek jopek@amu.edu.pl IOA UAM 2013-01-24 T.J.Jopek, Fizyka i chemia Ziemi 1 Ruch orbitalny Księżyca Obserwowane tarcze Księżyca 2013-01-24 T.J.Jopek,

Bardziej szczegółowo

Elektrostatyka, cz. 1

Elektrostatyka, cz. 1 Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 3 Elektrostatyka, cz. 1 Prawo Coulomba F=k q 1 q 2 r 2 1 q1 q 2 Notka historyczna: 1767: John Priestley - sugestia 1771: Henry Cavendish - eksperyment 1785: Charles Augustin

Bardziej szczegółowo

Systemy odniesienia pozycji w odbiornikach nawigacyjnych. dr inż. Paweł Zalewski

Systemy odniesienia pozycji w odbiornikach nawigacyjnych. dr inż. Paweł Zalewski Systemy odniesienia pozycji w odbiornikach nawigacyjnych dr inż. Paweł Zalewski Wprowadzenie Terestryczne systemy odniesienia (terrestrial reference systems) lub systemy współrzędnych (coordinate systems)

Bardziej szczegółowo

Układ współrzędnych dwu trój Wykład 2 "Układ współrzędnych, system i układ odniesienia"

Układ współrzędnych dwu trój Wykład 2 Układ współrzędnych, system i układ odniesienia Układ współrzędnych Układ współrzędnych ustanawia uporządkowaną zależność (relację) między fizycznymi punktami w przestrzeni a liczbami rzeczywistymi, czyli współrzędnymi, Układy współrzędnych stosowane

Bardziej szczegółowo

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza

Bardziej szczegółowo

Drgania i fale II rok Fizyk BC

Drgania i fale II rok Fizyk BC 00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/

Bardziej szczegółowo

Równania dla potencjałów zależnych od czasu

Równania dla potencjałów zależnych od czasu Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Powierzchnia odniesienia w pomiarach inżynierskich.

Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Powierzchnia odniesienia w pomiarach inżynierskich. Wykład 1 Wprowadzenie do przedmiotu. Powierzchnia odniesienia w pomiarach inżynierskich. Dr inż. Sabina Łyszkowicz Wita Studentów I Roku Inżynierii Środowiska na Pierwszym Wykładzie z Geodezji wykład 1

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 3 Specjalne metody elektrostatyki 3 3.1 Równanie Laplace

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)

Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)

Bardziej szczegółowo

14 POLE GRAWITACYJNE. Włodzimierz Wolczyński. Wzór Newtona. G- stała grawitacji 6, Natężenie pola grawitacyjnego.

14 POLE GRAWITACYJNE. Włodzimierz Wolczyński. Wzór Newtona. G- stała grawitacji 6, Natężenie pola grawitacyjnego. Włodzimierz Wolczyński 14 POLE GRAWITACYJNE Wzór Newtona M r m G- stała grawitacji Natężenie pola grawitacyjnego 6,67 10 jednostka [ N/kg] Przyspieszenie grawitacyjne jednostka [m/s 2 ] Praca w polu grawitacyjnym

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Układ współrzędnych, system i układ odniesienia

Wykład 2 Układ współrzędnych, system i układ odniesienia Wykład 2 Układ współrzędnych, system i układ odniesienia Prof. dr hab. Adam Łyszkowicz Katedra Geodezji Szczegółowej UWM w Olsztynie adaml@uwm.edu.pl Heweliusza 12, pokój 04 Spis treści Układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2030/2031 Kod: DGK n Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -

Rok akademicki: 2030/2031 Kod: DGK n Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: - Nazwa modułu: Geodezja wyższa Rok akademicki: 2030/2031 Kod: DGK-1-405-n Punkty ECTS: 6 Wydział: Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska Kierunek: Geodezja i Kartografia Specjalność: - Poziom studiów:

Bardziej szczegółowo

GEOMATYKA program podstawowy. dr inż. Paweł Strzeliński Katedra Urządzania Lasu Wydział Leśny UP w Poznaniu

GEOMATYKA program podstawowy. dr inż. Paweł Strzeliński Katedra Urządzania Lasu Wydział Leśny UP w Poznaniu GEOMATYKA program podstawowy 2017 dr inż. Paweł Strzeliński Katedra Urządzania Lasu Wydział Leśny UP w Poznaniu W celu ujednolicenia wyników pomiarów geodezyjnych, a co za tym idzie umożliwienia tworzenia

Bardziej szczegółowo

Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

LOKALNY UKŁ AD ORIENTACJI Ż YROSKOPU LASEROWEGO I JEGO DOKŁ ADNOŚĆ

LOKALNY UKŁ AD ORIENTACJI Ż YROSKOPU LASEROWEGO I JEGO DOKŁ ADNOŚĆ ZESZYTY NAUOWE AADEMII MARYNARI WOJENNEJ RO XLVII NR 1 (164) 2006 Tadeusz Dą browski LOALNY UŁ AD ORIENTACJI Ż YROSOPU LASEROWEGO I JEGO DOŁ ADNOŚĆ STRESZCZENIE W artykule przedstawiono koncepcję kinematycznego

Bardziej szczegółowo

Podstawy geodezji. dr inż. Stefan Jankowski

Podstawy geodezji. dr inż. Stefan Jankowski Podstawy geodezji dr inż. Stefan Jankowski s.jankowski@am.szczecin.pl Systemy i układy odniesienia System odniesienia (reference system) to zbiór zaleceń, ustaleń, stałych i modeli niezbędnych do określenia

Bardziej szczegółowo

Parametry techniczne geodezyjnych układów odniesienia, układów wysokościowych i układów współrzędnych

Parametry techniczne geodezyjnych układów odniesienia, układów wysokościowych i układów współrzędnych Załącznik nr 1 Parametry techniczne geodezyjnych układów odniesienia, układów wysokościowych i układów Tabela 1. Parametry techniczne geodezyjnego układu odniesienia PL-ETRF2000 Parametry techniczne geodezyjnego

Bardziej szczegółowo

Zadanie na egzamin 2011

Zadanie na egzamin 2011 Zadanie na egzamin 0 Zaproponował: Jacek Ciborowski. Wersja A dla medyków Na stacji kolejowej znajduje się peron, z którym wiążemy układ odniesienia U. Po szynach, z prędkością V = c/ względem peronu,

Bardziej szczegółowo

Ruch pod wpływem sił zachowawczych

Ruch pod wpływem sił zachowawczych Ruch pod wpływem sił zachowawczych Fizyka I (B+C) Wykład XV: Energia potencjalna Siły centralne Ruch w polu grawitacyjnym Pole odpychajace Energia potencjalna Równania ruchu Znajomość energii potencjalnej

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Układy odniesienia i systemy współrzędnych stosowane w serwisach ASG-EUPOS

Układy odniesienia i systemy współrzędnych stosowane w serwisach ASG-EUPOS GŁÓWNY URZĄD GEODEZJI I KARTOGRAFII Departament Geodezji, Kartografii i Systemów Informacji Geograficznej Układy odniesienia i systemy współrzędnych stosowane w serwisach ASG-EUPOS Wiesław Graszka naczelnik

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI:

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI: Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI: Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Ogólne wyrażenie na moment pędu Tensor momentu bezwładności Osie główne Równania Eulera Bak swobodny Porównanie

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y) Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. 1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................

Bardziej szczegółowo

Dwa podstawowe układy współrzędnych: prostokątny i sferyczny

Dwa podstawowe układy współrzędnych: prostokątny i sferyczny Lokalizacja ++ Dwa podstawowe układy współrzędnych: prostokątny i sferyczny r promień wodzący geocentrycznych współrzędnych prostokątnych //pl.wikipedia.org/ system geograficzny i matematyczny (w geograficznym

Bardziej szczegółowo

Prawa ruchu: dynamika

Prawa ruchu: dynamika Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Dynamika ruchu po okręgu siła dośrodkowa Prawa ruchu w układzie nieinercjalnym siły bezwładności Prawa ruchu w układzie obracajacym się siła odśrodkowa siła

Bardziej szczegółowo

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)

Bardziej szczegółowo

Konrad Słodowicz sk30792 AR22 Zadanie domowe satelita

Konrad Słodowicz sk30792 AR22 Zadanie domowe satelita Konrad Słodowicz sk3079 AR Zadanie domowe satelita Współrzędne kartezjańskie Do opisu ruchu satelity potrzebujemy 4 zmiennych stanu współrzędnych położenia i prędkości x =r x =r x 3 = r 3, x 4 = r 4 gdzie

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA OGÓLNA (II)

MECHANIKA OGÓLNA (II) MECHNIK GÓLN (II) Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Liczba godzin: sem. II *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz., ale

Bardziej szczegółowo

Ruch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe

Ruch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe Ruch obrotowy bryły sztywnej Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe Ruch obrotowy ruch po okręgu P, t 1 P 1, t 1 θ 1 θ Ruch obrotowy ruch po okręgu P,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów brzegowych

Metoda elementów brzegowych Metoda elementów brzegowych Tomasz Chwiej, Alina Mreńca-Kolasińska 9 listopada 8 Wstęp Rysunek : a) Geometria układu z zaznaczonymi: elementami brzegu (czerwony), węzłami (niebieski). b) Numeracja: elementów

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18) ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między

Bardziej szczegółowo

15 Potencjały sferycznie symetryczne

15 Potencjały sferycznie symetryczne z ϕ θ r y x Rysunek : Definicje zmiennych we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ) 5 Potencjały sferycznie symetryczne 5. Separacja zmiennych Do tej pory omawialiśmy problemy jednowymiarowe, które służyły

Bardziej szczegółowo

z pokryciem (O i ) i I rozkładu jedności (α i ) i I. Zauważmy najpierw, że ( i I α i )ω dω = d(1 ω) = d d(α i ω). Z drugiej jednak strony

z pokryciem (O i ) i I rozkładu jedności (α i ) i I. Zauważmy najpierw, że ( i I α i )ω dω = d(1 ω) = d d(α i ω). Z drugiej jednak strony Dowód: Niech M będzie jak w założeniach twierdzenia. Weźmy skończony atlas O i, ϕ i ) na M zgodny z orientacją. Zbiór indeksów I może być skończony, gdyż rozmaitość M jest zwarta. Õi, ϕ i ) oznaczać będzie

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

Part I. Położenie obserwatora na powierzchni Ziemi. Astronomia sferyczna Wykład 5: WSPÓŁRZEDNE GEOCENTRYCZNE Przejście topo- geocentrum i odwrotnie

Part I. Położenie obserwatora na powierzchni Ziemi. Astronomia sferyczna Wykład 5: WSPÓŁRZEDNE GEOCENTRYCZNE Przejście topo- geocentrum i odwrotnie Astronomia sferyczna Wykład 5: WPÓŁRZEDNE GEOENTRYZNE Przejście topo- geocentrum i odwrotnie Tadeusz Jan Jopek Part I Instytut Obserwatorium Astronomiczne, UAM emestr II (Uaktualniono 5.04.03) Przybliżenia

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

Quasi-geoida idealnie dopasowana czy idealnie grawimetryczna

Quasi-geoida idealnie dopasowana czy idealnie grawimetryczna Katedra Geodezji i Astronomii Geodezyjnej Wydział Geodezji i Kartografii Politechnika Warszawska Quasi-geoida idealnie dopasowana czy idealnie grawimetryczna Tomasz Olszak, Dominik Piętka, Ewa Andrasik

Bardziej szczegółowo

Elektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa

Elektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa Elektrostatyka Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa 1 Potencjał pola elektrycznego Energia potencjalna zależy od (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez

Bardziej szczegółowo

Geodezja, Teoria i Praktyka, Tom 1, Edward Osada kod produktu: 3700 kategoria: Kategorie > WYDAWNICTWA > KSIĄŻKI > GEODEZJA

Geodezja, Teoria i Praktyka, Tom 1, Edward Osada kod produktu: 3700 kategoria: Kategorie > WYDAWNICTWA > KSIĄŻKI > GEODEZJA Zapraszamy do sklepu www.sklep.geoezja.pl I-NET.PL Sp.J. o. GeoSklep Olsztyn, ul. Cementowa 3/301 tel. +48 609 571 271, 89 670 11 00, 58 7 421 571 faks 89 670 11 11, 58 7421 871 e-mail sklep@geodezja.pl

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

Geometria Analityczna w Przestrzeni

Geometria Analityczna w Przestrzeni Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1(mechanika) AF14. Wykład 5

Fizyka 1(mechanika) AF14. Wykład 5 Fizyka 1(mechanika) 1100-1AF14 Wykład 5 Jerzy Łusakowski 30.10.2017 Plan wykładu Ziemia jako układ nieinercjalny Fizyka 1(mechanika) 1100-1AF14 Wykład 5 Dwaj obserwatorzy- związek między mierzonymi współrzędnymi

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych

MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Fizyka Pogody i Klimatu, zima 2017 Dynamika: wykład 1

Fizyka Pogody i Klimatu, zima 2017 Dynamika: wykład 1 Fizyka Pogody i Klimatu, zima 2017 Dynamika: wykład 1 Szymon Malinowski Metody opisu ruchu płynu, skale ruchu. Siły działające na cząstkę (elementarną objętość) powietrza. Równanie ruchu, analiza skali,

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ

Bardziej szczegółowo

III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty.

III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty. III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty. Newtonowskie absolutna przestrzeń i absolutny czas. Układy inercjalne Obroty Układów Współrzędnych Opis ruchu w UO obracających się względem

Bardziej szczegółowo

UKŁADY GEODEZYJNE I KARTOGRAFICZNE

UKŁADY GEODEZYJNE I KARTOGRAFICZNE UKŁADY GEODEZYJNE I KARTOGRAFICZNE Jarosław Bosy Instytut Geodezji i Geoinformatyki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Model ZIEMI UKŁAD GEODEZYJNY I KARTOGRAFICZNY x y (f o,l o ) (x o,y o ) ZIEMIA

Bardziej szczegółowo

Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba

Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA

RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( Równowaga Statyka Bryły sztywnej umieszczonej

Bardziej szczegółowo

Wielomiany Legendre a

Wielomiany Legendre a grudzień 2013 grudzień 2013 Funkcja tworząca 1 (4.1) g(x, t) = = P n (x)t n, 1 2xt + t 2 albo pamiętając, że x = cos θ 1 (4.2) g(cos θ, t) = = P n (cos θ)t n. 1 2 cos θ t + t 2 jeżeli rozpatrzyć pole wytwarzane

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Obrót wokół ustalonej osi Prawa ruchu Dla bryły sztywnej obracajacej się wokół ostalonej osi mement

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

Geometria Struny Kosmicznej

Geometria Struny Kosmicznej Spis treści 1 Wstęp 2 Struny kosmiczne geneza 3 Czasoprzestrzeń struny kosmicznej 4 Metryka czasoprzestrzeni struny kosmicznej 5 Wyznaczanie geodezyjnych 6 Wykresy geodezyjnych 7 Wnioski 8 Pytania Wstęp

Bardziej szczegółowo

Obliczanie pozycji obiektu na podstawie znanych elementów orbity. Rysunek: Elementy orbity: rozmiar wielkiej półosi, mimośród, nachylenie

Obliczanie pozycji obiektu na podstawie znanych elementów orbity. Rysunek: Elementy orbity: rozmiar wielkiej półosi, mimośród, nachylenie Obliczanie pozycji obiektu na podstawie znanych elementów orbity Rysunek: Elementy orbity: rozmiar wielkiej półosi, mimośród, nachylenie a - wielka półoś orbity e - mimośród orbity i - nachylenie orbity

Bardziej szczegółowo

Projekt nowelizacji RRM w sprawie systemu odniesień przestrzennych z dnia r.

Projekt nowelizacji RRM w sprawie systemu odniesień przestrzennych z dnia r. Projekt nowelizacji RRM w sprawie systemu odniesień przestrzennych z dnia 10.01.2008r. ROZPORZĄDZENIE RADY MINISTRÓW z dnia 2008 r. w sprawie państwowego systemu odniesień przestrzennych Na podstawie art.

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

ostatnia aktualizacja 4 maja 2015

ostatnia aktualizacja 4 maja 2015 ostatnia aktualizacja 4 maja 2015 strona 1 Ziemia nie jest sztywna! Jest elastyczna, lepka, sprężysta... strona 2 punktu Początkowy potencjał w punkcie A W A strona 3 punktu Początkowy potencjał w punkcie

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Astronomiczna 2016/2017 Zadania z zawodów III stopnia. S= L 4π r L

LX Olimpiada Astronomiczna 2016/2017 Zadania z zawodów III stopnia. S= L 4π r L LX Olimpiada Astronomiczna 2016/2017 Zadania z zawodów III stopnia 1. Przyjmij, że prędkość rotacji różnicowej Słońca, wyrażoną w stopniach na dobę, można opisać wzorem: gdzie φ jest szerokością heliograficzną.

Bardziej szczegółowo