Wielomiany Legendre a

Transkrypt

1 grudzień 2013

2 grudzień 2013

3 Funkcja tworząca 1 (4.1) g(x, t) = = P n (x)t n, 1 2xt + t 2 albo pamiętając, że x = cos θ 1 (4.2) g(cos θ, t) = = P n (cos θ)t n. 1 2 cos θ t + t 2 jeżeli rozpatrzyć pole wytwarzane przez punktowy ładunek q umieszczony na osi 0z w punkcie a (a 0) por. rysunek 1(a) to potencjał pola w punkcie P jest równy (4.3) φ P = 1 q, 4πɛ 0 r P

4 potencjał dipola z P z P z P r P r P r P r r r +q +a +q +a +q +a θ θ θ 0 0 2q 0 q a +q a (a) (b) (c) Rysunek: Proste konfiguracje ładunków, których potencjały wyrażają się przez wielomiany Legendre a

5 ładunek poza początkiem układu z r P P z r P P z r P P r r r +q +a +q +a +q+a θ θ θ 0 0 2q0 q a +q a (a) (b) (c) ( (4.4) rp 2 = r 2 + a 2 2ar cos θ = r a ) a2 cos θ + r r 2. Oznaczając a/r przez t możemy przekształcić wzór (4.3) w (4.5) φ P = 1 q 1 4πɛ 0 r, 1 2 cos θ t + t 2 a/r = t

6 pod warunkiem że t < 1, a więc r > a, (4.6) φ P = 1 q 1 4πɛ 0 r. 1 2 cos θ t + t 2 dla r < a. Zmienna t w tym przypadku będzie równa: t = r/a, a wzór (4.4) to ( rp 2 = r 2 + a 2 2ar cos θ = a r ) r2 cos θ + a a 2. Zapis, uwzględniający oba przypadki, uzyskamy wprowadzając oznaczenia: (4.7) r > = max( r, a ) r < = min( r, a ) (4.8) φ P = 1 4πɛ 0 q r > P n (cos θ) ( r< r > ) n.

7 Dipol Jeżeli na osi 0z w punkcie o współrzędnej z = a umieścić dodatkowy ładunek elektryczny q (4.9) φ P = 1 q 4πɛ 0 r P n (cos θ) t n = 1 q 4πɛ 0 r ( ) n a P n (cos θ), r

8 całkowity potencjał dipola φ = φ dipol = lim a 0;q a q=constans = lim a 0;q a q=constans 1 q 4πɛ 0 r 2 1 q 4πɛ 0 r [ a r P 1(cos θ) + ( a r = 2aq P 1 (cos θ) 4πɛ 0 r 2 = M d cos θ 4πɛ 0 r 2. (4.10) [ ( a ) ( n a P n (cos θ) Pn (cos θ) r r ) 3 P3 (cos θ) +...] ) n ]

9 Kwadrupol φ kwadrupol = (4.11) lim a 0;q a 2 q=constans 1 q 4πɛ 0 r [ ( a ) ( ) n n a P n (cos θ) + Pn (cos θ) 2] r r 1 q = lim a 0;q 4πɛ 0 r 2 a 2 q=constans [ (a = 2a2 q P 2 (cos θ) 4πɛ 0 r 3 = M kw 3 cos 2 θ 1 4πɛ 0 4r 3. r ) 2P2 ( a ) 4P4 (cos θ) + (cos θ) +...] r gdzie przez M kw oznaczyliśmy iloczyn 4qa 2 moment kwadrupolowy.

10 Funkcja tworząca i relacje rekurencyjne (4.12) (1 2xt + t 2 ) g + (t x)g = 0. t g(x, t) = P n(x)t n (ze względu na jednostajną zbieżność można różniczkować wyraz po wyrazie) (4.13) (1 2tx + t 2 ) np n (x)t n 1 + (t x) P n (x)t n = 0. Przyrównanie do zera współczynnika przy t n prowadzi do (4.14) (n+1)p n+1 (x) (2n+1)xP n (x)+np n 1 (x) = 0; n = 1, 2... różniczkowanie funkcji tworzącej względem jej drugiej zmiennej (4.15) (1 2xt + t 2 ) g x t g = 0. a podstawienie za g(x, t) szeregu (4.1) i przyrównanie do zera współczynnika przy t n+1 daje związek rekurencyjny (4.16) P n+1(x) 2xP n(x) + P n 1(x) P n (x) = 0; n = 1, 2,...

11 Kolejne związki rekurencyjne różniczkując (4.14) względem x i eliminując z tak uzyskanej tożsamości oraz z równania (4.16) raz P n 1(x) a raz P n+1(x): (4.17) (4.18) P n+1(x) xp n(x) = (n + 1)P n (x), n = 0, 1,... xp n(x) P n 1(x) = np n (x). n = 1, 2,... Dodając stronami (4.17) i (4.18) otrzymujemy związek (4.19) P n+1(x) P n 1(x) = (2n + 1)P n (x), zmieniając w (4.17) wskaźnik z n na n 1 i eliminując z tak uzyskanego związku i związku (4.18) P n 1(x) otrzymamy (4.20) (1 x 2 )P n(x) = np n 1 (x) nxp n (x). n = 1, 2... Różniczkując raz jeszcze wzór (4.20) i podstawiając za P n 1(x) z relacji (4.18) dostajemy równanie Legendre a: (4.21) [(1 x 2 )P n(x)] + n(n + 1)P n (x) = 0. n = 0, 1,...

12 Inne pożytki z funkcji tworzącej: (4.22) (4.23) (4.24) (4.25) P n (1) = 1, P n ( 1) = ( 1) n, P 2n+1 (0) = 0, ( 1) n P 2n (0) = (2n 1) = (2n) n = 0, 1, 2,.... (2n 1)!! 2 n, n! nie zapominajmy... (4.26) P n ( x) = ( 1) n P n (x). Można też użyć funkcji tworzącej do wyliczenia normy wielomianów Legendre a, tzn. do wyliczenia całki +1 1 P m (x)p n (x)dx = 0 dla n m

13 (4.27) 1 1 2xt + t 2 = P n (x)t n m=0 P m (x)t m. Całkując obie strony względem x w granicach od 1 do (4.28) I def dx = 1 1 2xt + t 2 = [ 1 ] Pn(x)dx 2 t 2n dx. 1 Aby policzyć całkę po lewej stronie podstawiamy: u = 1 2xt + t 2. I = 1 2t (1+t) 2 (1 t) 2 =... t < 1... = 1 t = 1 t du u == 1 [ln(1 + t) ln(1 t)] t [(t t22 + t33...) ( t t22 t33 ]...) 2t 2n+1 2n + 1 = 2 2n + 1 t2n. Pozostaje już tylko porównanie współczynników potęg t 2n, (4.29) 1 1 P 2 n(x)dx = 2 2n + 1.

14 Rozwijanie funkcji w szereg wielomianów Legendre a Potencjał elektrostatyczny układu dwu półkul. (4.41) V = V (r, θ) = α l r l P l (cos θ), Wprowadźmy zamiast nich współczynniki a l def = α l R l /V 0. Wówczas nasz potencjał (4.41) przybierze postać l=0 ( r ) l (4.42) V (r, θ) = V 0 a l Pl (cos θ), R która dla r = R redukuje się do l=0 (4.43) V (R, θ) = V 0 a l P l (cos θ) = l=0 { V0 0 θ < π/2 V 0 π/2 < θ π,

15 (z dokładnością do stałego czynnika) reprezentuje nic innego jak rozwinięcie funkcji f(x) (przy x = cos θ): { 1 0 < x 1 (4.44) f(x) = 1 1 x < 0 w szereg wielomianów Legendre a. współczynniki a l 1 1 (4.45) a l = f(x)p l(x)dx 1 1 P l 2(x)dx = 2l W naszym przypadku a l = 2l + 1 [ 0 2 (4.46) = (2l + 1) ( 1)P l (x)dx l = 2k 1 0 P l (x)dx l = 2k + 1. f(x)p l (x)dx. ] (+1)P l (x)dx

16 skorzystajmy z związku (4.19), który prowadzi do (4.47) (2l + 1) 1 0 P l (x)dx = P l+1 (x) Wzory (4.22) i (4.25) prowadzą do x=1 x=0 P l 1 (x) (4.48) a l=2k+1 = P 2k (0) P 2k+2 (0) = 4k + 3 2k + 2 P 2k(0) i nasz potencjał (4.42), w obszarze pozostającym wewnątrz półkul to V (r, θ) = V 0 (4.49) k=0 4k + 3 ( r ) 2k+1 2k + 2 P 2k(0) P2k+1 (cos θ) R x=1 x=0 k (4k + 3)(2k 1)!! ( r ) 2k+1 = V 0 ( 1) P2k+1 2 k+1 (cos θ) (k + 1)! R k=0 r R, 0 θ π. Gdyby interesowała nas sytuacja na zewnątrz półkul?.

17 Drugie rozwiązanie równania Legendre a (4.62) [ d (1 x 2 ) dy(x) ] + l(l + 1)y(x) = 0 dx dx dla pierwszej, równej zeru, wartości własnej. Kładąc l = 0 [ d (4.63) (1 x 2 ) dy(x) ] = 0. dx dx Rozwiązaniem jest oczywiście y 1 (x) = P 0 (x) = 1 ale także y 2 (x), spełniające: (1 x 2 )y 2(x) = C 1 (4.64) y 2 (x) = x Wykonując całkowanie otrzymujemy s 2 ds. (4.65) y 2 (x; l = 0) = 1 2 ln 1 + x def = Q 0 (x), 1 x funkcję, dla której punkty x = ±1 stanowią punkty osobliwe, a która stanowi funkcję Legendre a drugiego rodzaju odpowiadającą wartości własnej l = 0.

18 (4.66) x Q 1 (x) = y 2 (x; l = 1) = P 1 (x) x = x ds s 2 (1 s 2 ) = x ds (1 s 2 )P1 2 ( (s) 1 2 ln 1 + x 1 x 1 x Kolejne Q n (x), dla n = 2, 3,... możemy wyliczyć z relacji rekurencyjnej (4.14) Q 2 (x) = 1 2 [3xQ 1(x) Q 0 (x)] = 1 [ (3x2 1) ln 1 + x ] 1 x 3x (4.67) = 1 2 P 2(x) ln 1 + x 1 x 3 2 P 1(x). Kolejne iteracje prowadzą do ogólnego wyrażenia ( x < 1) (4.68) Q n (x) = 1 2 P n(x) ln 1 + x 1 x 2n 1 1 n P n 1(x) ). 2n 5 3(n 1) P n 3(x) 2n 9 5(n 2) P n 5(x)..., gdzie suma kończy się na wyrazie zp 0 (x) (dla n nieparzystych) lub P 1 (x) (dla n parzystych). funkcje Q n (x) mają określoną parzystość: Q n ( x) = ( 1) n+1 Q n (x).

19 Wrońskian równania Legendre a jest równy 1/(1 x 2 ). A zatem (4.69) W [P n (x), Q n (x)] = P n (x)q n(x) P n(x)q n (x) = 1 1 x 2. Używając relacji (4.20) do wyeliminowania pochodnych P n(x) i Q n(x) otrzymujemy prosty związek (4.70) P n (x)q n 1 (x) Q n (x)p n 1 (x) = 1 n wiążący ze sobą dwie sąsiednie pary rozwiązań równania Legendre a stowarzyszone funkcje Legendre a drugiego rodzaju, to (4.71) Q m n (x) = (1 x 2 m/2 dm ) dx m Q n(x). Stowarzyszone funkcje Legendre a, zarówno P m n jak i Q m n mogą wystąpić we wspomnianych wyżej problemach pola elektrostatycznego w układzie współrzędnych elipsoidalnych, a wielomiany stowarzyszone mogą być pomocne w konstrukcji potencjałów multipoli magnetycznych.