Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Podobne dokumenty
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

oznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne

Zmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,

Twierdzenia graniczne:

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4

Lista 6. Estymacja punktowa

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych

Statystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Część I. Matematyka finansowa

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o

16 Przedziały ufności

Hipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona

Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania

Modele probabilistyczne zjawisk losowych

. Wtedy E V U jest równa

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

1 Układy równań liniowych

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

Wyższe momenty zmiennej losowej

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Estymacja współczynnika dopasowania w klasycznym modelu ryzyka

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Liczebnośd (w tys.) n

Estymacja przedziałowa

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

Prawdopodobieństwo i statystyka

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

ZSTA LMO Zadania na ćwiczenia

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

Statystyka Inżynierska

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem

Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)

Funkcja generująca rozkład (p-two)

ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH

Metoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014

Porównanie dwu populacji

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

Estymacja przedziałowa:

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Transkrypt:

Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy jedykę. Oblicz E ( Y = ). (A) (C) 6 8 (E) 0

Zadaie. Niech będą iezależymi zmieymi losowymi przy czym ma rozkład Pareto() a ( mi( ) max( mają jedakowy rozkład Pareto (). Oblicz P < < )). Rozkład Pareto ( λ θ ) jest rozkładem o gęstości f θ λ θ ( λ + x) 0 ( x) = θ + x > 0 x 0. (A) (C) (E) 5 5

Zadaie. Niech ( Y ) będzie dwuwymiarową zmieą losową o fukcji gęstości Niech f ( x y) = π 0 x > 0 i y > 0 i x + y w przeciwym przypadku. < Y Z = i V = + Y. Wtedy łączy rozkład zmieych Z V jest taki że (A) EZ = fukcja gęstości rozkładu brzegowego zmieej Z wyraża się wzorem g( z) = π ( + z ) dla z ( 0 + ) (C) mediaa rozkładu brzegowego zmieej Z jest rówa (E) zmiee Z i V są zależe fukcja gęstości rozkładu brzegowego zmieej V wyraża się wzorem g V ( v) = v dla v (0)

Zadaie. Niech m będą zmieymi losowymi o rozkładzie ormalym N( µ σ ) każda i Y Y Y zmieymi losowymi o rozkładzie ormalym N( µ σ ) każda. Wszystkie zmiee są iezależe. Hipotezę H : µ = µ przy alteratywie H : µ > µ weryfikujemy w astępujący sposób. Zliczamy liczbę S elemetów w próbce większych od wszystkich elemetów próbki Y Y Y. H 0 m Hipotezę odrzucamy S s gdzie s jest wartością krytyczą. Przypuśćmy że m=7 i =8. Podaj rozmiar testu s=. (A) 05 00 (C) 00 005 (E) 05 0

Zadaie 5. Niech Niech T =. i i= będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o gęstości f θ x ( x) = 0 tóre z poiższych stwierdzeń jest prawdziwe? 05 05 (A) lim P{( T e ) > e } = 0 0 05 05 lim P{ T e > e } = 0 0 05 (C) lim P{ T < e } = 05 05 lim P{ T e > e } = 0 06 05 (E) lim P{ T > e } = x (0;) x (0;). 5

Zadaie 6. Ustawiamy w ciąg 6 elemetów typu a i 9 elemetów typu b. Wszystkie ciągi są jedakowo prawdopodobe. Serią azywamy ciąg elemetów jedego typu przed i za którym występuje elemet drugiego typu a przykład w ciągu : aaabbbbaabbbbba jest 5 serii ( serie elemetów typu a i serie elemetów typu b). Oblicz prawdopodobieństwo że w ciągu będzie 6 serii. (A) (C) (E) 8 96 6 8 6

Zadaie 7. Niech m + będą iezależymi zmieymi losowymi przy czym zmiee losowe i = m mają rozkład Weibulla o gęstości i θ θ x e x > 0 fθ ( x) = x 0 x 0 a i i = m + m + m + są zmieymi losowymi o rozkładzie Weibulla o gęstości θ θ x e x > 0 gθ ( x) = x 0 x 0 gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem. Jeśli m = = 5 to błąd średiokwadratowy estymatora ajwiększej wiarogodości wyzaczoego a podstawie próby jest rówy m+ (A) θ (C) θ θ θ 9 (E) θ 6 7

Zadaie 8. Niech będą zmieymi losowymi o rozkładzie Pareto a ) a ( Y Y Y będą zmieymi losowymi o rozkładzie Pareto ( gdzie a a > 0 m a ) są iezaymi parametrami. Wszystkie zmiee są iezależe. Na poziomie ufości a α budujemy przedział ufości [ dt ct] dla ilorazu parametrów a podstawie a estymatora ajwiększej wiarogodości T tego ilorazu w te sposób że a a α Pa ( ) ( ) a ct < = P dt > = a a. a a Jeśli α = 0 i m= i =5 to przedział ufości ma długość (A) 0T 77T (C) 606T 50T (E) T Uwaga: Rozkład Pareto ( λ θ ) jest rozkładem o gęstości f θ λ θ ( λ + x) 0 ( x) = θ + x > 0 x 0 8

Zadaie 9. Zmiee losowe wariację Z Z σ Z mają jedakową wartość oczekiwaą µ jedakową i współczyik korelacji Corr i ) = ρ dla i j. Zmiee losowe ( j są awzajem iezależe oraz iezależe od zmieych losowych i mają rozkłady postaci zmieej losowej Z i i. i= σ ( ) (A) + ( ρσ µ ) P ( Z i = 0) = P( Z i = ) =. Oblicz wariację µ σ + + ρ (C) µ + σ µ σ + + ρ σ ( ) (E) + ( ρσ + µ ) 9

Zadaie 0. Niech N Y Y będą iezależymi zmieymi losowymi. Zmiee i i = mają rozkłady wykładicze o wartości oczekiwaej zmiee losowe Y i i = mają rozkłady wykładicze o wartości oczekiwaej. Warukowy rozkład zmieej losowej N przy daym Λ = λ jest rozkładem Poissoa o wartości oczekiwaej λ. Rozkład brzegowy zmieej Λ jest rozkładem gamma o gęstości λ 6λe λ > 0 f ( λ) =. 0 λ 0 Niech S N N > = i N 0 = Yi i T i= i= 0 N = 0 0 N N > 0 = 0 Oblicz współczyik korelacji Corr( S T ). (A) 0 (C) (E) 5 9 5 9 0

Egzami dla Aktuariuszy z 7 styczia 005 r. Prawdopodobieństwo i statystyka Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko :... L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadaie r Odpowiedź Puktacja A A B C 5 D 6 C 7 E 8 A 9 D 0 E * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia omisja Egzamiacyja.