Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 14 dr Adam Ćmiel

Podobne dokumenty
Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

IV. RÓWNANIA RÓŻNICOWE

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Rozkład normalny (Gaussa)

Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r

Rozkład normalny (Gaussa)

(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.

AM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Operatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)

Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Fourier.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC. zawierają fazy i amplitudy.

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

Wykład 11. a, b G a b = b a,

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

1. Miara i całka Lebesgue a na R d

Ekonomia matematyczna - 2.1

III. LICZBY ZESPOLONE

8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2

MACIERZE STOCHASTYCZNE

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera

GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa

Podróże po Imperium Liczb

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zadanie 3. ( ) Udowodnij, że jeśli (X n, F n ) jest martyngałem, to. X i > t) E X n. . t. P(sup

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

Prawdopodobieństwo i statystyka

Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:

gi i szeregi funkcyjne

Szkic notatek do wykładu Analiza Funkcjonalna MAP9907

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Johann Wolfgang Goethe Def.

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE

Fraktale - ciąg g dalszy

Analiza Funkcjonalna WPPT IIIr. semestr letni 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

Analiza I.1, zima globalna lista zadań

Rozkład normalny (Gaussa)

Matematyka dyskretna Kombinatoryka

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

3. Funkcje elementarne

Mec Me han a ik i a a o gólna Wyp W a yp dko dk w o a w do d w o o w l o ne n g e o g o ukł uk a ł du du sił.

Analiza matematyczna i algebra liniowa

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Ekonomia matematyczna - 1.1

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Ekonomia matematyczna 2-2

Ciągłość funkcji f : R R

Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia. i ich zastosowań w przemyśle" POKL /10

1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.

Równania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach

Wstęp do Sztucznej Inteligencji: Laboratorium Sterownik rozmyty

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Wartości i wektory własne

28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Krótkie i dość swobodne wprowadzenie do liczb Stirlinga. Jakub Kamiński

Ciągi liczbowe wykład 3

Materiały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.

0, co implikuje tezę. W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna ( f (c)

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =

Transkrypt:

Własośi zbiorów otwarth i domięth Tw. a) Suma dowolej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. b) Iloz sońzoej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. Dow. a) Mam rodzię zbiorów otwarth: U A s { A } : A -otwart. Należ poazać, że: s jest rówież zbiorem otwartm. Nieh będzie dowolm putem ależąm do U As s S : As K r, r) As zbiorem otwartm. s : r : K, r) UA s suma jest Dow. b): I Ai i,..., } Ai i,..., } r : K, ri) A i i i= : I r = mi{ r,..., r} ) i= : K, r A o ozaza, że I i i= A i jest zbiorem otwartm. Z praw De Morgaa wia, że: iloz dowolej ilośi zbiorów domięth jest zbiorem domiętm suma sońzoej ilośi zbiorów domięth jest zbiorem domiętm. GRANICA FUNKCJI Graia uji w puie supieia X, )- przestrzeń metrza, D X, - put supieia zbioru D. Y, )- przestrzeń metrza : X D Metra iduowaa w podzbiorze D przestrzei metrzej X Nieh X,) będzie przestrzeią metrzą a D X iepustm podzbiorem przestrzei X. Obiają dziedzię metri z X X do D D otrzmam ową przestrzeń metrzą D, D ) - przestrzeń metrza, gdzie = - metra iduowaa obięta) D D D Uwaga. Zbior otwarte w D są przeięiami zbioru D ze zbiorami otwartmi w X W szzególośi S, δ ) = { : <, < } δ Nieh : X D, - put supieia zbioru D. De. Heie) Put g Y jest graią uji w puie, o zapisujem lim = g, jeżeli S = ) ) lim lim = g, δ )

Powższa deiija jest rówoważa astępująej De. Cauh lim = g > > < δ, g) ε δ Kometarz: Pu supieia ie musi ależeć do D, zli uja ie musi bć oreśloa w. Nawet jeśli uja jest oreśloa w, to wartość uji w tm puie ie wpłwa a graie uji. Ciągłość uji w puie X,, Y, - przestrzeie metrze, D X,!) De. Fuję : X D azwam iągłą w puie jeżeli Heie ) D lim = lim = Cauh ε δ > δ, > )) Uwaga: Put ale ie musi bć o putem supieia zbioru D. Jeżeli jest putem izolowam zbioru D to z deiiji uja jest iągła w puie izolowam. Jeżeli atomiast jest putem supieia zbioru D to z deiiji uja jest iągła w puie supieia lim =. Ciągłość putowa X, ), Y, ) - przestrzeie metrze, : X D De. Fuja jest putowo iągła w D jeżeli jest iągła w ażdm puie zbioru D, zli C) jest putowo iągła w D H) Ciągłość jedostaja ε > δ > lim D X, ), Y, ) - przestrzeie metrze, : X D De. Fuja jest jedostajie iągła w D gd, = lim, ) ε > δ > ) δ ) ) δ ) = ), )) Bezpośredio z deiiji otrzmujem orzstają z tautologii { : ϕ} { : ϕ} Tw. Jeżeli jest jedostajie iągła a D, to jest putowo iągła a D. Problem. Ja pratzie badać jedostają iągłość uji? Użtezm pojęiem jest tzw. moduł iągłośi uji. De. Modułem iągłośi uji : X D azwam uję

ω d = ω, = sup{ Y, )): X ) δ} Tw. Fuja Dowód. : X D jest jedostajie iągła a D limω, ) = : X D jest jedostajie iągła a D δ, ) ε > δ > A A ε > δ > δ ω, ) limω, ) = Ia deiija iągłośi uji w przestrzei metrzej: De. Fuja jest putowo) iągła a X, ) ε > X δ > X < δ < ε Motwuje to astępująą deiiję: K K K, [ K, ] [ K, ] De. Fuja jest iągła a X A-otwart w Y [ A] -otwart w X. A Y Uwaga. W deiiji tej ie wstępuje jawie pojęie metri, tlo zbioru pojęie otwartego. Dążą do uogólieia pojęia uji iągłej moża zdeiiować ajpierw zbior otwarte, a późiej w powższ sposób zdeiiować iągłość uji. W zbiorze X rozważam rodzię I podzbiorów zbioru X, zli I X, gdzie X ozaza rodzię wszstih możliwh podzbiorów zbior X De: Rodzię I X spełiająą warui º I, X I º A s I U 3º A,,A I I A s A = I I azwam topologią w X a jej elemet zli zbior zbiorami otwartmi. 3

X, I ), Y, I ) - przestrzeie topologize De. Fuja : X jest iągła a X A Y A I - [A] I Wprowadzaie pewh pojęć, za pomoą tórh moża zdeiiować iągłość uji, azwam zadawaiem topologii. Uwagi. Słowo topologia wstępuje przajmiej w dwóh zazeiah. Zespół pojęć za pomoą tórh deiiujem iągłość Rodzia zbiorów otwarth Topologię moża zadać poprzez metrę poprzez zdeiiowaie rodzi zbiorów otwarth zli topologii) poprzez asjomatze zdeiiowaie iągów zbieżh i deiiję iągłośi tpu Heiego topologia iągowa L - Freheta ) Zbior zwarte i ih własośi X, ) - przestrzeń metrza De. A X azwam zbiorem zwartm jeżeli z ażdego iągu ) A moża wbrać podiąg zbież ) do elemetu zbioru A, zli ) ) ): A) A Np.: Przedział [ a, b] jest zbiorem zwartm w R, ). Przedział [ a, b] jest ograizo TwB W. z ażdego iągu elemetów przedziału [ a, b] moża wbrać podiąg zbież. Graią tego podiągu zbieżego jest put supieia przedziału. Przedział domięt z deiiji zawiera wszstie swoje put supieia, zli rówież te, do tórego zbież jest wbra podiąg. Tw. W przestrzei metrzej zbiór zwart jest domięt i ograizo. Dowód. domiętość). Mam poazać, że A=A. Przpuśćm dla dowodu ie wprost, że istieje a A i a A. Put a musi bć wię putem supieia put izolowa zbioru ależ do zbioru). Istieje wię iąg ) A tai, że a. Ze zwartośi A z iągu moża wbrać podiąg zbież do elemetu zbioru A. Poieważ ażd podiąg iągu zbieżego do a jest zbież do a wiosujem, że a A.sprzezość). 4

Ograizoość. Przpuśćm dla dowodu ie wprost, ze A jest zbiorem zwartm i ieograizom. Z ieograizoośi A wia, że istieje iąg ) A, tai, że,a). Ale ze zwartośi A wia, że z iągu ) moża wbrać podiąg zbież do A. Z iągłośi metri, a ), a ), o przez waruowi, a) sprzezość). Uwaga. W drugą stroę twierdzeie to ie jest prawdziwe. Ale w R, )[metra eulidesowa] zbiór zwart domięt i ograizo. E Tw. Domięt podzbiór B zbioru zwartego A jest zbiorem zwartm Dow. Weźm dowol iąg ) B A. Ze zwartośi A wia, ze moża wbrać podiąg ) A. Stąd jest putem supieia zbioru B, a z domiętośi B wia, że B, o dowodzi zwartośi B. De. X, ) - przestrzeń metrza, X zbiór zwart X, ) - przestrzeń zwarta. Przład [a,b], ) przestrzeń metrza zwarta A R, A domięt A, E) przestrzeń metrza zwarta Tw. Ciągł obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartm. tz, : X iągła X, Y prz. metr. X- zwarta Y- zwarta Dow. Weźm dowol iąg wartośi ) [ X], zli : = ). X to przestrzeń zwarta, wobe tego z iągu ) moża wbrać podiąg zbież X ) : X. Z deiiji iągłośi Heie go wia, że ) ). Z dowolego iągu ) wbraliśm wię podiąg zbież [X] 5