Johann Wolfgang Goethe Def.
|
|
|
- Maria Wróbel
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 "Maemac ą ja Facuz: coolwe m ę powe od azu pzeładają o a wój wła jęz wówcza aje ę o czmś zupełe m." Joha Wola Goehe Weźm : m m Jeżel zdeujem ucje pomoccze j : j dla j = m o = m dze = Czl wacz pzeaalzowad ucję : De. Nech cą =. Mówm że cą ma acę = oz. lm = ε > : < ε Np. Waż że Tw. WKW zbeżośc cąu lm 4 4 : 4 4 lm : lm
2 Dowód: boę dowole > dla dla = ma *.. + Np. Oblcz Odp.: Zadae: Zbadaj zbeżośd cąów: a = b = = j j j :... 4 lm 4 lm e e
3 De. Nech Ooczeem puu o pomeu > azwam K = * : < + Sąedzwem puu o pomeu > azwam S = K \{ + De. Mówm że ucja : ma w puce acę oz. lm = de. Cauche o ε > δ > K δ : < ε de. Heeo > S : lm = lm = zauważm że dla jeżel pzjmem wpółzęde beuowe = coα = α o = + = lm = lm + coα + α jeżel lm + coα + α e zależ od wbou α π Np. Oblcz. lm lm co lm co lm lm Odp.: ucja e ma ac w puce lm co lm co lm lm lm
4 .. Zadae: Zbadaj ee ac ucj: a lm + b lm + c lm + + co lm lm co lm lm lm lm lm co lm lm
5 De. Nech : Gacam eowam ucj w puce azwam ażdą z ac lm lm - oaz lm lm -. Tw. o acach eowach Jeżel eje lm = oaz > + : lm = φ [ lub > + : lm = φ ] o eje aca eowaa lm lm - = [ lub lm lm - = ] Dowód: weźm dowol cą lm lmlm aalocze w dum pzpadu. lm lm lm lm Np. Oblcz ace eowae dla w. lm lm lm lm lm lm.
6 Zadae: Oblcz ace eowae: a = w + = b = co + w + = c = e + + w = Woe: Jeżel ace eowae ucj w puce e ą ówe o ucja e ma ac w m puce. De. Mówm że ucja : je cąła w puce D lm = Mówm że ucja : je cąła w zboze X D je cąła w ażdm puce zbou X Woe: Suma locz loaz złożee ucja odwoa o le eje z ucj cąłch ą cąłe w zboach w óch ą oeśloe. Np. Zbadaj cąłośd. je cąła w \{}. je cąła w \{: = =-}
7 Zadae: Zbadaj cąłośd ucj: a = + + = b = l + = c = = De. Nech :. - ą pochodą cząową pochodą cząową wzlędem zmeej ucj w puce azwam lczbę oz. Woe: Wze właośc pochodej ucj jedej zmeej ouje ę do pochodch cząowch ucj welu zmech. Np. Oblcz pochode cząowe lm l ac
8 +. = + = dla = dla = = lm = lm = lm = = lm = + = e eje Zadae:. Wlcz pochode cząowe: a = l b z = z + + z c z = ac z. Zbadaj ee pochodch cząowch w podach puach: a = + = = b = = + = 4 c z = +z + z z = + z =
9 De. Nech : ma wze pochode cząowe w Różczą ucj w puce azwam odwzoowae czl d = = d : Woe: d : je omą lową = Np. Napz óżczę w puce - ucj = l+ d - = = + = + = 5 = 4 5 Zadae: Wlcz óżcz w podach puach ucj: a = w = π b z = l + z w z = 4 c = ac + w = De. Mówm że : je óżczowala w eje d oaz lm d = dze = je pzoem zupełm ucj dla pzou
10 Tw. Jeżel : ma wze pochode cząowe cąłe w o je óżczowala w Dowód: Nech = d = + = = = z w. Laae a eją ξ θ ae że = + ξ + + = + θ = + ξ θ d lm = Np. Zbadaj óżczowalośd w puce ucj
11 = = lm = lm = 4 co 4 α + co α α coα α = lm lm 4 = lm 4 = 4 czl e je cąła aalocze dla zbadajm cz mmo o ucja je óżczowala d lm + = lm + + lm ucja e je óżczowala = = lm dla + + = + lm = = coα = α
12 Zadae: Zbadaj óżczowalośd: a = l + w = b = c = + = w = z + + z z z = w z = Iepeacja eomecza óżcz Fucja : je óżczowala w eje powezcha cza do weu = w puce Tw. Jeżel : je óżczowala w o powezcha cza do weu = w puce ma ówae - = d dze Δ= Dowód: = płazczza cza do ucj : w puce je wzaczoa pzez dwe poe: czą do pzeoju weu z= płazczzą ówolełą do Oz pzechodzącą pzez czą do pzeoju weu z= płazczzą ówolełą do Oz pzechodzącą pzez weo euowe ch poch o: czl weo omal do płazczz czej α = α: + z = α: z = + α: z = d
13 Np. Napz ówae płazczz czej do = l w puce = = = = : z = : z = Zadae: Napz ówaa płazczz czej do weu ucj w podam puce: a = + w = b = w = c = ac + w = Tw. Jeżel : m dla = mają wze pochode cząowe w puce =... om oaz : ma wze pochode cząowe w puce =... o: Dowód: = = lm = lm... j j j m = + m m = + m + m m m =
14 ech = m = m = + m m = + m m z cąłośc ucj mam = lm + + = lm = = = lm lm lm + m m + + lm lm + lm + m m = lm + + lm = = + = = +
15 Np. Oblcz pochode cząowe ucj złożoej dla = l = = Zadae: Oblcz pochode cząowe ucj złożoej: a dla = + l = e + ac = ac b dla z = + z = coco = co = c dla z = z = = = + l 6 l 6
n n Weźmy f: 3 (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) 3 Jeżeli zdefiniujemy funkcje pomocnicze f j : 3 (x 1, x 2, x 3 ) y j, dla j = 1,2,3, to
"Maemac ą jak Facuzi: cokolwiek im ię powie od azu pzekładają o a wój wła jęzk i wówcza aje ię o czmś zupełie im." Joha Wola Goehe Weźm : Jeżeli zdeiiujem ukcje pomocicze j : j dla j = o = dzie = Czli
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
EAIB-Iormaa-Wład 9- dr Adam Ćmel cmel@.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec zosawam
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Iormaa - Wład 9 - dr Bogda Ćmel cmelbog@ma.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec
Ś ń Ż Ą Ó Ó Ż Ó ń Ó ń Ą ń Ż Ż Ź Ź Ł Ą Ą Ó Ó ń ń Ź ń Ź Ź ń ź Ó Ę Ó Ś ń ń Ż ń Ż ń ĘĘ Ą ń Ę Ą Ę Ż Ś Ó ń ź Ę Ł Ę Ż ń Ż Ż Ż Ć Ó Ś ń ń Ę Ż Ż Ź Ż ń ń ń ń Ł Ó Ą Ż Ź ń ń ń ń ń ź ń ń ń ń ń Ę Ą Ę Ó Ś ÓŻ Ą Ż Ś Ó
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
ć Ę ó ż ć
Ą Ł ż ż Ę ó ó ó ć ó ć ó ż ó ó ż ó ć Ę ó ż ć ó ź ó ó ó ć ó ć ó ć ó ó ó ó ó Ę ó ó ó ż ó Ę ó ó ż ó óż ó ó ć ć ż ó Ą ó ó ć ó ó ó ó ó ż ó ó ó ó Ą ó ó ć ó ó ź ć ó ó ó ó ć ó Ę ó ż ż ó ó ż ż ó ó ó ć ó ć ó ć ó
ź -- ć ł ź ł -ł ł --
------ --------- --ł ----ć -------- --------------- ---ę- --- ----------- ------- ------ó- ------------ ----- --- -- ----- - ------------ --ó- --ś -- -- ------- --------- ------ ---- --------- -------ą
ń Ę ń Ś Ą Ń ż Ą ż ż ż ż ż ć ć ż ż ż ż ż ń ź ż ż ż ć ż ć ż ż ż ż ż ń Ą ż ń ń ż ń Ń Ę ż ź ń ż ć ć ń ż ż ż ń ż ż ż ć ć ń Ń ń ż ż Ń ć Ę ń ć ć ż ż ż ż ń Ę ń ż Ź Ś ż ć ć ż Ś ż ż ć ń ń ż ć ć ż Óż ń ń ż ż ć ć
ć ć ż ć ź ż ż ź ź ŚĆ Ź ź ć Ź ź ź ź ź Ś Ą Ć Ć ć Ź ź
Ł Ł ć ć Ś Ź Ć Ś ć ć ż ć ź ż ż ź ź ŚĆ Ź ź ć Ź ź ź ź ź Ś Ą Ć Ć ć Ź ź Ś Ć Ć Ś ź Ć ż ż ź ż Ć ć ż Ć Ć ż ż ź Ć Ś Ś ż ż ć ż ż Ć ż Ć Ś Ś Ź Ć Ę ż Ś Ć ć ć ź ź Ś Ć Ś Ć Ł Ś Ź Ś ć ż Ś Ć ć Ś ż ÓŹ Ś Ś Ź Ś Ś Ć ż ż Ś ż
Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Ć Ź ć Ę ć Ę Ć Ź Ź Ć
Ź Ć Ć Ź ć Ę ć Ę Ć Ź Ź Ć Ł Ą Ę Ć ć ćź ć Ź Ź Ź Ź Ą Ć ć Ł Ł Ł Ę ć ć Ź Ą ć Ę ć Ź Ź Ź Ź ć Ź Ź ć Ź ć Ł ć Ą Ć Ć Ć ć Ź Ą Ź ć Ź Ł Ł Ć Ź Ą ć Ć ć ć ć ć Ć Ć ć Ć ć ć Ł Ę Ź ć Ć ć Ź Ź Ć Ź Ź ć ć Ź ć Ź Ź Ź Ą Ę Ń Ź Ć Ą
Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""
Memy fow 09..000 r. 6. *!" ( orz ( 4 % rezerwy memycze $ :;!" "+!"!4 orz "" % & "!4! " $!"!4!4 $$$ " ' "" V w dowole chwl d e wzorem V 0 0. &! "! "" 4 < ; ;!" 4 $%: ; $% ; = > %4( $;% 7 4'8 A..85 B..90
ć ć Ń Ę
ż ź ć ć Ń Ę ć Ś Ę Ś ć ć ż ć ż ż ż ć ć ć ż ź ć ż ż ż ż ć ż ż Ś ź ż ć Ą ż ż ż ż ż ż ź ć ż ć ż Ś ż ć ż ż Ą ż ż Ę ć Ż ż ć Ż ż ż ż ż ć ż ż ż ż ż ź ć ż ż ć ż ź Ś ż ż ć ż ż ż ż ć ćż ż ć ż ż ż ź ż ć ż ż ż Ś
Ę ę ę Łó-ź ----
-Ę- - - - - - -ę- ę- - Łó-ź -ś - - ó -ą-ę- - -ł - -ą-ę - Ń - - -Ł - - - - - -óż - - - - - - - - - - -ż - - - - - -ś - - - - ł - - - -ą-ę- - - - - - - - - - -ę - - - - - - - - - - - - - ł - - Ł -ń ł - -
ń Ó ź Ę Ę ń ń ĘĘ ĘĘ Ą ĄĘ Ę Ę ć Ą Ę Ę Ę Ń ń Ń ń ń Ż Ś ń ń ć Ż Ó ń Ś ń ń Ś Ś Ą Ż ć ń ń ń Ą Ó Ę ń Ó Ź ń Ó Ś Ó Ś ĘĘ ń Ż Ó Ó Ó ń Ż Ś ź Ś Ę Ę Ś Ę Ę Ę Ę ń Ę Ę Ę Ń ń ń ć ź Ę Ń ń Ń Ż ć ć ń ń Ę Ę ń Ż ń Ę Ę ć Ę ń
ź Ą Ę ź Ć
Ę Ą Ą ź ó ź Ą Ę ź Ć ź ź ĄĘ ź ź Ą ó Ę Ą ź ź ź Ą ź Ę ó Ł Ś ó ó Ą ź ź ź Ą ź Ę ź ź Ą ź ź ź Ą Ł ź Ę Ę Ę ź Ą Ę ź Ą Ę Ą Ę Ę Ą ź ź Ą ó ź ó ź ź ź ź ź ź Ś ź ź Ą ź ź ź Ą ź ź ź Ź ź ó ź Ę ź Ą ó ź Ą Ż ź ź Ę ź Ź ź ź
Spójne przestrzenie metryczne
lz Włd 5 d d Ćel cel@gedpl Spóe pzeszee ecze De Pzeszeń eczą ρ zw spóą eżel e d sę e pzedswć w psc s dwóc zów epsc wc złączc ρ - pzeszeń spó ~ we Icze es ze spó eżel dl dwlc pów czl see cągł c γ : : γ
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Ł Ż Ó Ó Ż Ó Ę Ó Ó Ó Ó Ó Ę Ą Ż Ż Ż Ż Ż Ź Ó Ż Ó Ż Ż Ż Ą Ą Ż Ą ć Ż Ż Ó Ą Ó Ż Ó Ó Ą Ó Ż Ą Ż Ó Ó Ó Ę Ó Ż Ż Ż Ż Ż Ó Ą Ó Ą Ż Ź Ó Ż Ó Ó ÓŹ Ż Ć Ó Ó Ż Ź Ż Ó Ó Ą Ó Ź Ż Ż ź ź Ż ć ć Ó Ż Ó Ó Ż ź ć ź Ź ź Ż ź ć ć Ó ź
ż Ś ń ń ć Ś ć ó ó ń ń ń ó Ś ń ó ń Ś ź ó ź ń Ś ń ń ó ó ń ó ó ó ż ó Ź ó ó ó ó ó ó ó ż ń ó ż ó ć ó ć ó ń ń ó ć ó ź ć Ó ć ć ż ó ó ź ó Ś ć Ó ó ń ć ż ć ó ó ć ń ć ó ó ć ż Ó ó ń ć ń ń ż ó Ś ć ó ó ż ń ó ż ń ż ó
Ó Ó Ó Ś Ó Ą Ż ć Ą Ś Ś Ś Ł ć Ż Ż Ó ć Ę Ś Ó Ł Ę Ę Ż Ś Ł Ś Ó Ó Ó ź Ż Ó Ą Ę Ź ź Ą Ę Ó Ę Ż Ż ź Ó Ść Ż Ś Ś Ź Ż Ó Ś ŚĆ ć Ó Ż Ć Ó Ś Ż Ó Ę ć Ę ć Ó ć Ą Ó Ś Ł Ś ć Ż ź Ż Ó Ó Ż Ś Ó ć ć Ń Ę Ść Ó Ó Ó ÓŹ ź Ś Ś Ś ć Ś Ś
ć Ó Ó Ń ź Ą Ą Ć Ż Ń Ą Ó Ó Ó Ą Ż Ć Ż ć ć Ż Ó Ó Ć ć Ą Ą Ó Ą Ó Ź ć Ó Ó Ó Ż ć ń ń ń ć Ż Ź ć ń ó ó Ź Ó Ó Ó Ż Ó Ó ć Ó Ó Ż Ż Ż Ó Ż Ó Ą Ó Ó Ź Ż Ó Ą Ź ć Ą Ż Ż Ó Ń Ż Ó Ó Ź Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ż Ó Ż Ż Ą
Ś Ł Ś Ł Ś Ś Ę Ą Ó Ś Ó Ś Ę Ł Ś Ł Ś Ż ć ć Ż Ć Ó Ó ż Ó Ż Ó Ó ć Ś Ź Ó Ó ć Ó Ą Ó Ó Ó Ą Ó Ś Ę Ż ż Ń Ń ż ć Ę Ć Ń Ś Ź ż ż Ó ż Ó Ó Ó Ś Ż Ó Ś Ń Ś Ź Ą Ę Ł Ż Ż Ó Ż Ż Ó Ż Ó Ś Ę Ó Ą Ż ÓŻ Ó Ż Ś Ó Ó ż Ą ż Ś Ć Ł Ś Ó Ą
Ę ć Ć Ś Ó Ó Ś Ł Ą Ą Ż ż Ł Ł Ż Ż ż Óż Ż ż ż Ę ż Ó ż Ę ć ż Ę Ź ż Ż ż ż ż ń ń ć ć ż ż Ż Ż Ś ż ż ń ż ń ż ż ń ż Ą ż ż Ę ć ć ć ż ń Ż Ż Ż ż Ę Ż ć ń Ż Ż ć Ę Ą Ą ć ć Ł Ą Ę Ą ć ż ć ż ć ć ż ć ć ż Ż ć Ą ż ć Ą Ą Ż
Ś Ó Ą Ą Ą Ą Ż Ć Ł Ś ć ż Ł ż Ł ź Ś Ą Ł Ś Ż ź Ó Ś Ą Ó Ś ź Ł Ł ź Ł ź ć Ć Ą Ą Ą Ą ć ź Ą Ą Ż ż ć ć Ć Ą Ą Ą Ł Ó Ż Ó Ź Ń ź Ń ź Ą Ś Ż Ą Ł ż Ś Ś Ó ź ź Ń Ł ź Ż ź ź Ą ż ż Ą Ś Ą Ą Ą Ą Ą ź Ą Ą Ó ź Ś Ł Ł Ł ź
Ń ź Ś Ó Ó ć Ś Ś ć ć Ę ć ć ć ć ć ć Ś ć ć Ś ć Ó ć ć Ść Ść Ś Ś ć Ć ć ć Ó Ą ć Ć ć Ź ć Ź ć Ź Ł Ł ć Ó Ó ć Ó Ó ć ć ć ć ć ć ć ć Ź Ś ć Ę ć ć ć ć Ł Ł ć Ź Ą Ę Ł Ó Ś Ą Ł Ł Ó Ć Ś Ś Ą Ź ć Ź Ś Ś Ś ć Ś Ś ć ć ć ć ć ć ź
Ą Ą Ś Ą Ł ż ż Ł Ł Ł Ł Ą ć ź Ą ż ż ć ć Ą ć ć Ł ź ż ż Ł Ł ź ź ż ż ć ć ż ż ż ż ć ż ż ż ż ć ż ż ż Ą ż ż ż ż ż ć ż ć ć Ł ż ż ż ż ż Ą ż ż ć ż ć ć ć Ó Ł ć ż Ł Ś Ś Ą Ł ź ć Ł ć Ś ź ż ć ź ź ź ż ż ź ż ż ć ż ć ż ć
Ó ż ż ż ż ż ż ż ż ć Ń Ą ż ż Ó Ź Ó Ą Ń ć ż ż ż ć ż ć ż ż ż ż ć ć ż ż ć Ą ż ż ć ć ż Ż Ą ż ć ź ć ć Ą ć ć ć Ą ć Ą ż Ł ż Ó ć ć Ź ż ć ż ź ż ż Ż ć Ó Ź Ó Ą ż Ó Ą ć Ą ż ć Ą Ó ż Ś Ś Ż Ś Ł Ń Ś ź Ó ć ż Ś ż ć ź Ś Ś
ż Ó ż ć ż Ź Ż ć Ż Ż Ż ż Ó ć Ż ć ż ż ć ż Ó ż ć ż ż ć Ż Ż Ą ć ć ć Ż ć Ż Ż ć ć ż Ż ć ć ć Ż Ż ć Ł ć Ą ć ć ć ć ć ć ć ż ż ć ć ć ÓŻ ć ć Ż ć Ó ć ć ć ć ć ć ć Ł ć ć Ż Ż ż Ą ć ć ć Ż ć Ż Ą ć Ż ć Ż Ż ć Ż Ż ż Ż ż ć
Ą Ń Ż ź Ń Ą Ń Ą Ą ź ź Ó Ż ź ź Ó Ó Ć Ó Ó Ó Ć Ć ź ź Ż ź Ą Ź ź Ć Ć Ć Ó Ó Ó Ó Ó Ó ź Ó Ę Ó Ó Ę Ó Óź ź ź Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ń Ź Ę ź ź Ó ź Ń Ę Ę Ę Ń ź Ę Ź Ó Ó Ó ź Ó Ę Ą Ó ź ź Ó Ó Ó Ó Ó ź Ó Ń Ó Ę ź Ż Ó Ó Ó Ę Ę Ó Ę Ć
Ś ÓŹ ż Ś ń Ś Ś Óż Ż Ś Ś Ś Ś Ś Ś ń Ó Ó Ż ż Ż ń Ż Ś Ó ń Ś Ą Ą Ą Ś Ś Ź ń Ż ż Ż Ż Ę ż Ś Ś ż ń ń ń ż Ó Ż Ż ż ń ż ż Ż ż Ó ż ń ż ń ń Ż Ż Ś ń ń ż ż ń ń Ź Ż ń ż Ż Ę ń Ż ż Ź Ź ń ż Ź ż Ź ż ż Ż Ż Ó Ż Ż Ź ż Ż Ż Ż Ę
Ę ó ó ó Ó ź óź óź ó ć ó ó ó ó ń ó ń ć ó ć ń ó ć ó ć ó Ł ó ó ó Ą Ę ó ó ó ń ó ó ó ŚĆ ó ó ó ó ć ó ó ó ć ń ó ó ć ć ó ó ó ź ó ń ó ó ó ó ć ó ó ń ć ó ó ó ń ć ó ó ć ó ó ć ń ć ó ó ć ó ó ó ó ć ó ó ó ó ó ć ó ó ć
EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Ą Ł Ą Ę Ą Ę Ą Ą Ń Ń Ą Ł Ł ŁĄ Ą
Ą Ą Ł Ł Ń Ą Ą Ł Ą Ę Ą Ę Ą Ą Ń Ń Ą Ł Ł ŁĄ Ą Ó Ą Ą Ą Ą Ę Ł Ą Ą Ę Ę Ą Ł Ą Ą Ę Ą Ę Ę Ę Ł Ę Ę Ą Ą Ł Ą Ą Ą Ę ĄĘ Ł Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ę Ł Ą Ę Ó Ł Ą Ę Ą Ł Ę Ę Ą Ą Ź Ł Ń Ń Ą Ó Ż Ą ĄĘ Ę Ą Ą Ą Ę Ą Ł Ą Ą Ę Ł Ę Ó Ł Ł Ł Ę
ż ć Ę ż ż ż Ń Ł ż ż ż ż ż ż ż ż
ż ć Ę ż ż ż Ń Ł ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż Ń ż ż Ń Ń Ń ż ć ż ż ć ż ż ż ć Ą Ń ż ć ć ż ż ż ż ć ćż ż Ń Ń Ł ż Ń Ń Ń ć Ń ć ć Ń ż Ń Ń ż ż ż ć Ń ć ż ć ć ć ć Ń ż Ń Ń ć Ń Ę ż Ń ż ż ż Ł ż ć ż ć ż ż ż ż ć ć ż ż ć ź ż ż
Ę Ź ś ś ść ś ść ś ś ś ś Ż ż Ś ś Ę Ś ś śś Ł
ś Ą ś Ż Ż Ł ź Ś Ż ż Ż ż ż Ó Ż Ę ś Ę Ę Ę ś ś Ł Ą Ę Ź ś ś ść ś ść ś ś ś ś Ż ż Ś ś Ę Ś ś śś Ł ż Ą ś ś ś ś ś ś ć ść Ę ś ś Ą Ę Ą ż Ę ś śś Ę ś ś ś ś ż Ę ć ś ć ż ć Óź Ę Ę Ę Ą ś ś ś Ś ś Ż Ż Ż żć ś ś ź Ę Ę ś ś
ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji
Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz
Ł Ł ń ń Ą ń ń Ś ń Ź ń ń ń Ż ń Ł ń Ś ń ń ń Ą Ą Ł Ż ń ń Ś ń Ź ń ń ć Ź ń ć Ś ć ć ń Ź ń Ą Ł Ł Ę ĘĘ Ż Ź ć Ł ń Ś Ą Ł Ł Ł Ą Ę Ę ń Ń ń Ź ń ć Ż ń Ż Ś ń Ń ń Ń Ź Ą ć Ł ń ć ć Ź Ą Ą Ą Ź Ą Ł Ą Ś ń ń Ś Ś Ą Ć ŚĆ Ł ć Ż
Ą Ń Ś Ę ź Ś Ś ź ź Ś Ś ź Ł Ś Ś Ś Ł ĘĘ Ś Ś Ś ć Ś Ś Ś Ś Ł Ó Ś Ł ć Ś Ść Ś Ś Ś Ń ć Ś Ł Ś Ź Ą ć ć Ł ź Ś Ą Ś Ł Ą Ś Ś Ą Ś Ś ź Ś ć Ł ć ć Ł Ł ć Ź ć ć Ś ć ź Ź ć Ś ć ć ć Ś Ą Ś Ś Ś ć Ś Ść Ś ć Ł ć Ś ć Ś Ś Ń ć ć Ł Ś
Ł Ł Ś Ś ź Ć ź ź ź Ń Ł Ż Ś ź Ę Ż Ń Ę ź ź ź Ę ź Ł Ę ź Ę Ę Ę ź ź Ś ź ź Ł Ł Ź Ę Ł Ś ź Ę Ę Ę ń ź Ą ó Ę ĘĘ ź Ę ź Ą Ł Ę Ł Ą ź Ę ó Ź Ś ź Ń Ę Ę ĘĘ Ą Ś Ę Ł Ę Ć Ź ź Ź Ę Ę Ź ź Ź Ź Ź Ł Ż Ł Ę ź Ż Ź ź Ź Ź Ź Ź Ą Ż ŚĆ
Ź Ę Ę Ś Ś Ś ć Ę ć Ś ć Ź Ż Ś ć Ż Ź Ż Ą Ż Ę Ś Ź Ę Ź Ż Ó Ś ć ć Ś Ż Ć ź Ś Ń Ź ć Ó ź Ś Ń ź Ń Ź Ź ź Ż Ź Ź Ź Ź Ż Ź ć Ż Ę ź Ę ź ć Ń ć ć ć ć Ź Ę Ą ć Ę ć Ń ć ć Ź Ż ć Ó Ó Ó Ż ć Ó Ż Ę Ą Ź Ó Ń Ł ź ź Ń ć ć Ż ć Ś Ą
Ń Ą Ń Ń Ń
ŁĄ Ń Ł ć ć ć Ę Ę Ą Ą Ę Ń Ą Ń Ń Ń Ń ć Ą Ź ć Ź ć Ź ć ź ź Ł Ą Ę ć ć Ę Ć Ć Ą ć Ć Ć Ł Ć Ź Ć Ą Ą Ą Ą ĄĄ Ć Ą Ą Ą ć Ć Ł Ć Ę Ć Ć Ę Ę Ć Ć Ę Ą Ć Ć Ń Ń Ć Ę Ć Ł Ć Ł Ą Ę Ź Ć Ł Ę Ł Ł Ł Ę Ę Ł Ę Ł Ć Ć Ą Ę Ł Ą Ć Ą Ź Ą Ę
ó ó ć Ż Ł Ą Ż ó ż ć Ż ó Ą ó ó Ą ć ó ó Ł Ł ó ć ó ż ć ż Śó ó ó ó ć ó ż ć Ą ż ĘĄ ó Ś Ż óź Ż ć ó Ż Ż Ż ć ń Ą ó Ą ż ó Ż ó Ł ó ó Ż ó ó ó ź Ś ó Ą ć Ś ó ó ż ó ż Ł ńę ó ń ó ń ż ć ó Ż Ż ż ć Ż ć ć ć ż ó ń óź ó ć
Ń Ż Ó Ó Ó Ż Ę Ó Ś Ó Ę Ś Ś Ó ż Ó Ó Ż Ś Ś Ó Ó Ś Ś Ś Ó Ść Ó ż Ść Ę Ó Ń Ś Ó Ś Ó Ż Ż Ż ć Ż Ó Ó Ż Ś Ó Ś ć Ń ć Ó Ó Ś ż Ś Ż Ż Ść Ó Ś ż ćż ć Ó Ż Ś Ć Ó Ż Ó Ó Ż Ś Ó Ó Ś Ó ż Ó Ż Ź Ś ż Ń Ó Ó Ś ż Ś Ó Ó Ś ż Ś Ś Ś Ć Ż
ĄĄ
Ń Ę Ą Ą ĄĄ Ś ĘĘ Ę Ę Ę Ś Ń Ń Ę Ę Ę Ń Ę Ą ź Ę Ś Ą ź ź Ę Ę Ń Ę Ę ź ź ź Ę Ń Ę Ą Ę ź ź Ń Ó Ó Ś Ę Ń Ń ź Ę Ą Ł ź Ą ź Ą Ę ź Ń Ą ź ź ź Ń ź ź ź ź Ą ź Ą Ę Ą ź Ą Ą Ś ź Ą Ę Ę Ę Ę Ę Ę ź Ń Ń ź Ę ź Ę Ń Ł Ł Ń Ś ź Ń Ń Ę
ć ć ć ć ć ź Ź ć ć Ń Ę ź ź Ą ć ć
Ł Ł ź Ą Ź ć Ź ć Ę ć ź Ż ć ć Ń Ę Ę Ś ć ć ć ć Ć ć ć ć ć ć ź Ź ć ć Ń Ę ź ź Ą ć ć ć Ź Ż ć Ą ć Ł Ó Ł Ę Ę ĘŚĆ Ę ĘŚ ź Ę Ą Ą Ą ĘŚ Ź Ź Ź Ź Ż Ź ć ć Ź ć Ź Ł Ź Ź Ź ć ć Ą ć ć ć ć ć ć ć Ź Ź ź ć ć ć ć ć ć ć Ź ć Ą Ę Ą
ć Ó Ó Ż
Ą Ą Ł Ą Ą ć Ó Ó Ż ć ć Ó ć Ó Ó Ó Ó Ó Ż Ą Ó Ż Ż Ż Ó Ó Ó Ó Ź Ó Ż Ó Ż Ą Ó Ó Ż ż Ż Ż Ż Ó Ó Ó Ó ÓĘ Ó Ż ż Ć Ż Ż Ż Ż Ł Ż Ó Ó Ó Ż Ó Ó Ó Ó Ć Ó Ó Ż ć Ó Ó Ż ŻĄ Ż Ó Ó Ż Ż Ż ć Ą ż ż Ź Ż Ź Ź Ż Ż Ó Ź Ó Ą Ó Ó Ó Ż Ó Ż Ó
Ę ź ó ż ż ó ó ć Ę ż ć ż ó ó ó Ą ż ó ó ó ó ó ó ó ó ó
Ł ÓŁ Ł Ż Ę Ł Ł Ł Ł ó ż ó ó ó ó ó Ń ó ó ó ó ó ó Ł Ę Ł ó ó Ł ó Ę Ł Ż Ę ź ó ż ż ó ó ć Ę ż ć ż ó ó ó Ą ż ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó Ń Ć Ż ó Ż Ę Ś ó ó Ą Ę ż ż ż Ń Ń ż ć Ść ó ŚĆ ó Ę ć ż Ź ŚĆ ź Ę Ś ć ó ó Ś ż ź Ó
ę ó ó Ź Ż ę Ż ę ż ó ę Ź ó ż ć ż ę ó ó Ż ć ę ę ę Ż Ż ó ć ę Ą ż ę ó ę ę ć ć ż ó Ż Ź Ż ó Ż Ż ć ż ę ó Ż ż óż ęż ć ó ż Ż ę ę ę ż
Ś ó ż ż ó ó Ż ó ó ż ę Ż ż ę ó ę Ż Ż ć ó ó ę ó Ż ę Ź ó Ż ę ę ę ó ó ż ę ż ó ęż ę ó ó Ź Ż ę Ż ę ż ó ę Ź ó ż ć ż ę ó ó Ż ć ę ę ę Ż Ż ó ć ę Ą ż ę ó ę ę ć ć ż ó Ż Ź Ż ó Ż Ż ć ż ę ó Ż ż óż ęż ć ó ż Ż ę ę ę ż
δ δ δ 1 ε δ δ δ 1 ε ε δ δ δ ε ε = T T a b c 1 = T = T = T
M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 8 9 6-7 7 X M O D E L O W A N I E P A S Z C Z Y Z N B A Z O W Y C H K O R P U S W N A P O D S T A W I E P O M W S P R Z D N O C I O W Y C H
Ł ó ó Ż ż ó Ń Ń Ł ó ż Ę ż
Ł Ł Ń Ń Ł ó ó Ż ż ó Ń Ń Ł ó ż Ę ż Ł Ś Ł Ś Ś ó ż ć ó ó óż ó ć ó ć ż ć ż Ć ż ż ć ó ó ó ó Ś ó ż ż ŚĆ ż ż ż Ś ż ó ó ó ó Ą Ć ż ó ó ż ó Ę ż ó ó ó Ś ć ż ż ć ó Ę ć Ś ó ż ć ż ć ż ć ż Ę ó ż ż ź ó Ę Ę ó ó ż ó ó ć
dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
ŁĄ
Ś ĄŻ ŁĄ Ź Ą ÓŹ Ś Ś Ą Ą Ś Ó ŚÓ Ó Ą Ó Ż Ź Ś Ż Ó Ó Ó Ż Ó Ą Ż Ó Ż Ż Ż Ż Ś Ą Ż Ć Ą Ć Ą Ż Ł Ś Ś Ź Ó Ś Ó Ó Ó Ś Ż Ź Ż Ż Ę Ą Ó Ś ź Ó Ę Ą Ź Ą Ż Ó Ś Ć Ę Ś Ą Ś Ś Ś Ą Ó Ę Ó Ę Ą Ż Ż Ó Ż ź Ą Ó Ś Ź Ż Ó Ż Ż Ź Ó Ó Ś Ś Ó
Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 14 dr Adam Ćmiel
Własośi zbiorów otwarth i domięth Tw. a) Suma dowolej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. b) Iloz sońzoej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. Dow. a) Mam rodzię zbiorów otwarth: U A s {
Spójne przestrzenie metryczne
Spóe pzeszee ecze De. Pzeszeń eczą zw spóą eżel e d sę e pzedswć w posc s dwóc zoów epsc owc ozłączc. - pzeszeń spó ~ owe Icze es zoe spó eżel dl dowolc pów czl see cągł c : : = = see dog łącząc Tw. ągł
Ż Ł Ę Ę Ś Ł
Ż Ł Ę Ę Ś Ł Ż ć Ż Ż Ż Ź Ż ź ć Ż ć ć Ź Ź ć Ż Ż ć Ż Ż Ę Ś Ź Ż Ź ź ź Ż Ś Ś ć Ż Ś Ż ź ć ć Ś Ś Ż Ż Ź Ż Ś ź Ś ć Ż ć ź Ź ć ć ć Ż ć ć Ż ź ź ź Ż ć ź Ź ć ć ć Ż ć ć Ż ź ź ź Ś Ś Ż Ł Ż Ż Ż Ż Ż ź Ż Ż ć Ż ć Ż Ż Ż Ź ć
Ł Ę ó Ę Ł Ó Ś Ź Ł ó ó Ń Ł Ę Ł
Ł Ł Ń Ń Ł Ę ó Ę Ł Ó Ś Ź Ł ó ó Ń Ł Ę Ł Ł Ó Ń Ł ó ó ó ó ó ó ć ć ć ć ó Ż ó ó Ą óź ó ó ó Ł ć ó ó ó ó ó ć ó Ó ó ó Ś ó ó ó Ś Ś ó ó ć Ż ź ó ó ó ó Ę Ą Ą ó ó ó ó ó ó ć ó ó ć ó ó ć ć ó ó ó Ą Ł Ń Ż Ą Ż Ą ó ź ó ó
ć ć ć Ś ć Ż
Ę ć ć ć Ś ć Ż Ę Ś ŚĆ Ś ć ć ć Ś ć ć ć ć ć ć Ś Ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ś ć Ś Ż Ś Ę ć ć Ż ŚĆ ć ć ć ć ć Ż ć ć ć ć ć ć ć ź ć Ż ć ć ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć Ć ć ć Ę ć ź ć ć ć ć ć ć ć Ę ź Ę ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć
ć Ż ż ć ż ć Ż ć ć ć ć Ż źń ż ć ć Ż ż Ż Ę ć ź Ż
Ż Ż ć ż ć ż Ż ć ż ć Ż ż ć ż ć Ż ć ć ć ć Ż źń ż ć ć Ż ż Ż Ę ć ź Ż Ż ż ń Ź ÓŻ ń ż ź Ą ń ż ć Ź ć ż ż ż ż ń ż ż ż ż ż Ż ż ń Ó ż ń ć ć ż Ć Ż ć ź Ż Ż ć Ż ż Ż Ę ż Ó Ć ć Ł Ę Ą Ł ĘŚ ż Ż Ż ć ć ć Ć Ą Ć ć ć ć ć ż