28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

Transkrypt

1 Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP maja, 2012

2 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w R d, tzn. = d j 2 = div. i=1 Funkcję f klasy C (2) określoną na otwartym podzbiorze D R d nazywamy harmoniczną w D, gdy zachodzi f = 0 w D. Własność średniej dla funkcji harmonicznych Niech D - otwarty podzbiór R d i x D, B r (x) D. Połóżmy S r (x) = B r (x), σ r - miarę sferyczną na S r (x) i ω d = σ 1 (S 1 (0)) = 2π d 2 /Γ( d 2 ). Dla u harmonicznej na D zachodzi 1 u(x) = r d 1 u(y) dσ r (y) = 1 u(x + ry) dσ 1 (y). ω d ω d S r (x) S 1 (0)

3 Własności funkcji harmonicznych Mnożąc obydwie części powyższej równości przez ρ d 1 dρ i całkując od 0 do r otrzymujemy,że gdy u spełnia pow. własność, to u(x) = d r d u(y) dy = d u(x + ry) dy. ω d ω d B r (x) B 1 (0) Stąd otrzymujemy, że u musi być ciągła. Działając operatorem na u stwierdzamy, że taka funkcja musi byc harmoniczna. Pewne własności funkcji harmonicznych Zasada maximum. Niech D będzie spójny. Gdy u jest harmoniczna na D i sup D u(x) = A <, to albo u(x) < A dla wszystkich x D, albo u(x) = A dla wszystkich x D. Niech D - zwarty i spójny.gdy u harmoniczna na D i ciągła na D, maksimum u na D jest osiągane na D. GdyD zwarty i spójny oraz u 1 i u 2 harmoniczne na D, ciągłe na D oraz u 1 = u 2 na D, to u 1 = u 2 na D.

4 Problem Dirichleta Problem Dirichleta Niech D będzie otwartym i ograniczonym podzbiorem R d, f - funkcją określoną na D, ciągłą. Szukamy funkcji u harmonicznej na D, ciągłej na D i takiej, że u = f na D. Z twierdzenia o jednoznaczności wynika, że, o ile taka funkcja u istnieje, to jest jedyna. Naszym celem będzie udowodnienie istnienia rozwiązania za pomocą procesu Wienera. Postać radialnych funkcji harmonicznych na R d Niech f (x) := f ( x ) = f (r). Zachodzi f (r) = d 1 f (r) + f (r). r Rozwiązując równanie f (r) = 0 otrzymujemy f (r) = Cr, dla d = 1, f (r) = C ln r, dla d = 2, f (r) = C 1 r d 2, dla d 3.

5 Prawo 0 1 Blumenthala W = (W 1,..., W d ) oznaczać będzie proces Wienera o wartościach w R d. Przyjmujemy, że punkt startu procesu X, tzn. X (0) = x R d. Niech F s = σ{w (t); t s}. Definiujemy F t+ = u>t F u. Zachodzi Prawo 0 1 Blumenthala: σ-ciało F 0+ jest zdegenerowane tzn. jeśli A F 0+ to P(A) = 0 lub P(A) = 1. Dowód. Niech 0 < s 1 < < s k v < u t 1 < < t n. Zachodzi W s1, W s2 W s1,..., W sk W sk 1 oraz W t1 W u, W t2 W t1,..., W tn W tn 1 są niezależne. Zatem W s1, W s2,..., W sk oraz W t1 W u, W t2 W t1,..., W tn W tn 1 też są niezależne. Ponieważ F 0+ = w>0 F w = 0<w v F w więc F 0+ jest niezależne od W t1 W u, W t2 W t1,..., W tn W tn 1. Gdy u 0, otrzymujemy że F 0+ jest niezależne od W t1, W t2,..., W tn. Zatem F 0+ niezależne od F 0+, co kończy dowód.

6 Punkty regularne procesu Niech {X t } t 0 będzie procesem w R d oraz D R d - podzbiorem borelowskim. Definiujemy czas pierwszego wyjścia z D: τ D = inf{t > 0; X t / D}. Definicja. Punkt x R d nazywamy regularnym dla zbioru D gdy P x (τ D = 0) = 1. W dalszym ciągu X = W będzie procesem Wienera w R d oraz F t = σ{w s ; s t}. Zauważmy, że {τ D = 0} F 0+ więc na mocy prawa 0 1 Blumenthala zachodzi P x (τ D = 0) = 0 lub 1. Zbiór punktów regularnych zbioru D oznaczamy D r. Gdy x Int(D c ) to x D r. Gdy x Int(D) to proces Wienera przez pewien czas pozostaje w Int(D) więc Int(D) (D r ) c. Problemem pozostaje jedynie zachowanie procesu dla x D. Lemat 1. Gdy f L (R d ) lub f L 1 (R d ) to T t f ( ) C(R d ) dla każdego t > 0.

7 Lematy pomocnicze Dowód. Dla f L (R d ) i x n x mamy T t f (x n ) T t f (x) f R p d t (x n, y) p t (x, y) dy oraz całka po prawej zbieżna, bo B(0,r)... < ε, dla dużych r, także c B(0,r)... 0, z tw. o zbieżności ograniczonej. Dla f L 1 (R d ) stosujemy argument o 1 zbieżności ograniczonej. Tutaj p t (x, y) = e x y 2 /2t - (2πt) d/2 gęstość prawd. przejścia procesu Wienera w R d. Lemat 2. Funkcja x E x [κ θ t ] jest ciągła na R d dla t > 0 oraz κ ograniczonej i F -mierzalnej. Dowód. Niech f (x) = E x [κ]. Zachodzi f L (R d ). Stosujemy własność Markowa: E x [κ θ t ] = E x [E x [κ θ t F t ]] = E x [E Wt [κ]] = E x [f (W t )] = T t f (x) C(R d ). Uwaga. Funkcję φ : R d R nazywamy górnie półciągłą, gdy jest malejącą granicą funkcji ciągłych. Mamy lim sup x x0 φ(x) φ(x 0 ).

8 Lematy pomocnicze c.d. Lemat 3. Funkcja φ : x P x (τ D > t) jest górnie półciągła na R d dla t > 0 oraz dowolnego D otwartego w R d. Dowód. Pokażemy, że P x (τ D > t) = lim s 0 P x (τ D θ s > t s) = lim s 0 E x [1 (t s, ) (τ D ) θ s ]. Zauważmy, że inf{t > s; W t / D} = s + τ D θ s. Niech x D r, tzn. P(τ D = 0) = 1. Istnieje ciąg s n 0 taki, że W sn D c więc dla s < s n zachodzi s + τ D θ s < s n. Rodzina {s + τ D θ s > t} 0<s<t jest rosnąca względem s, więc lim s 0 P x (τ D θ s > t s) = P x (0 > t) = 0 = P x (τ D > t). Niech teraz x / D r, tzn. τ D > 0 P x p.w. Dla s < t zachodzi {τ D > s} {τ D > t}. Gdy τ D > s to τ D = s + τ D θ s czyli τ D θ s > t s. Jednocześnie τ D θ s > t s, dla s < t, w połączeniu z τ D > s 0, dla pewnego s 0 < t (bo τ D > 0) pociąga za sobą τ D > t. To już dowodzi naszego wzoru, więc φ jest malejącą granicą funkcji ciągłych (Lemat 2) - czyli jest górnie półciągła.

9 Warunek stożka Definicja. Niech V a = {(x 1,..., x d ); x 1 > 0; (x 2,..., x d ) < ax 1 }. Stożkiem V w R d nazywamy obraz V a przez obrót i przesunięcie. Lemat 4. Niech z D. Jeśli istnieje stożek V o wierzchołku z taki, że V B(z, r) D c dla pewnego r > 0, to z jest regularny. Dowód. Połóżmy C = oraz B n = B(z, r/n), V n = V S r/n (z). Zauważmy, że ze względu na niezmienniczość rozkładu procesu Wienera na rotacje wokół punktu startu, W τb(x,r) ma też rozkład niezmienniczy na takie same rotacje (wzgl. P x ) więc jest on unormowaną miarą sferyczna na S r (x). Stąd też otrzymujemy P x (W τb(x,r) V ) = C. Jednocześnie σr (V Sr (z)) σ r (S r (z)) P z (τ D = 0) P z (lim sup{w τbn V n }) lim sup P z ({W τbn V n }) więc P z (τ D = 0) C > 0 i na mocy prawa 0 1 Blumenthala zachodzi P z (τ D = 0) = 1.

10 Rozwiązanie problemu Dirichleta Tw. 2. Niech D będzie ograniczonym obszarem w R d oraz f L ( D). Funkcja H D f (x) zdefiniowana wzorem H D f (x) = E x [τ D < ; f (W τd )] jest harmoniczna w D. Jeśli z jest regularny i f - ciągła w punkcie z D to lim D x z H D f (x) = f (x) Dowód. Niech x D, B B(x, r). Ponieważ τ B < τ D - P x p.w. więc τ D = τ B + τ D θ τb. Ponadto W τd θ τb = W τb +τ D θ τb = W τd. Niech Ψ = 1 {τd < }f (W τd ). Zachodzi Ψ θ τb = Ψ więc E x [Ψ] = E x [E x [Ψ θ τb F τb ]] = E x [E Wτ B [Ψ]] = E x [H D f (W τb )]. Ponieważ rozkład W τb jest jednostajną miarą sferyczną więc otrzymujemy H D f (x) = 1 r d 1 ω d S r (x) H Df (y)σ r (dy), zatem H D f ma własność średniej na D, jest więc harmoniczna na D.

11 Zbieżność w punktach regularnych Niech z będzie punktem regularnym należącym do D i niech f będzie ciągła w punkcie z. Dla ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla w D B(z, δ) mamy f (w) f (z) < ε/2. Niech M = f. Jednak P x (τ B(x,δ/2) > 0) = P 0 (τ B(0,δ/2) > 0) = 1 więc istn. s > 0 takie, że dla każdego x zachodzi P x (τ B(x,δ/2) s) < ε/8m. Z Lematu 3 lim sup x z P x (τ D > s) P z (τ D > s) = 0. Istnieje więc δ > 0 takie, że gdy x z < δ to P x (τ D > s) < ε/8m. Ponadto P x (τ B(x,δ/2) τ D ) P x (τ B(x,δ/2) s) + P x (τ D > s). Gdy więc x z < δ/2 to τ B(x,δ/2) τ B(x,δ) czyli P x (τ B(z,δ) τ D ) P x (τ B(x,δ/2) τ D ) ε/8m + ε/8m = ε/4m. Jeśli x D oraz x z < δ (δ/2) to mamy E x [τ D < ; f (X τd ) f (z) ] P x (τ D < τ B(z,δ) )ε/2 + P x (τ B(z,δ) τ D )2M ε/2 + (ε/4m)2m.

12 Zastosowania Niech D := Dδ R = {y Rd ; δ < y < R} oraz niech f będzie ciągła na D = S δ (0) S R (0). Wtedy u(x) = E x f (X τd ) jest harmoniczna na D, o wartościach brzegowych równych f. Niech teraz f 1 na S δ (0) oraz f 0 na S R (0). Niech u 1,0 będzie rozwiązaniem problemu Dirichleta na D o powyższych wartościach brzegowych. Zachodzi ln R ln x (i) u 1,0 (x) = ln R ln δ, x D, dla d = 2, (ii) u 1,0 (x) = x 2 d R 2 d, x D, dla d 3. δ 2 d R 2 d Z jednoznaczności rozwiązania problemu Dirichleta otrzymujemy u 1,0 (x) = P x ( W τd = δ) = P x (W t trafi w S δ zanim trafi w S R ).

13 Rekurencyjność i tranzytywność procesu Wienera Ustalmy δ > 0 i zmierzajmy z R. Dla R 2 (przypadek (i)): lim R u 1,0 (x) = 1. Gdy d = 2 (przypadek (ii)): lim R u 1,0 (x) = (δ/ x ) d 2. Stąd d = 2: P x (W t trafia w S δ, dla pewn. t > 0) = 1. d 3: P x (W t trafia w S δ, dla pewn. t > 0) = (δ/ x ) d 2. Niech teraz d = 2, R > 0 i niech δ 0. Otrzymujemy lim δ 0 u 1,0 (x) = 0. więc P x (W t trafia w 0) = 0. Te same rozważania powtarzamy dla dowolnego przesunięcia zbioru D i otrzymujemy Dwuwymiarowy proces Wienera, startujący z punktu x, z prawd. 1 nie trafia w ustalony punkt y x.