1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
|
|
- Filip Zych
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych przestrzeni, gdzie t należy do pewnego zbioru indeksów T. Niech ponadto A t, B t X t dla każdego t T. Pokazać, że (a) jeśli A t B t, to A t (b) (c) ( ) ( A t B t ) B t = ( ) At B t ( ( ) A t ) B t ( ) At B t. Pokazać ponadto, że zawierania nie można zastąpić równością. 1.5 Dany jest ciąg {A n } podzbiorów przestrzeni X. Granicę górną A i granicę dolną A tego ciągu można zdefiniować np. korzystając z funkcji charakterystycznej zbioru 1l (tzn. 1l B (x) = 1 x B): 1l A (x) = lim sup 1l An (x) oraz 1l A (x) = lim inf 1l A n (x) Korzystając z powyższej definicji wyprowadź bezpośredni wzór na granicę górną A = lim sup n A n i granicę dolną A = lim inf n A n (tzn. nie korzystający z funkcji charakterystycznej). 1.6 Niech {A n } będzie ciągiem podzbiorów pewnej przestrzeni X. Pokazać, że lim sup A n A n. n N Podać przykłady takich ciągów {A n }, że (a) A n lim inf A n; n N (b) lim inf A n lim sup A n ; (c) lim sup A n A n. n N 1.7 Pokazać: (a) lim inf A n lim inf B n = lim inf (A n B n ) (b) lim inf A n lim inf B n lim inf (A n B n ) (c) lim sup (d) lim sup A n lim sup A n lim sup B n lim sup(a n B n ) B n = lim sup(a n B n ) A n n N lim inf A n 1
2 2 Odwzorowania i relacje 2.1 Niech f : X Y oraz A X. Pokazać, że (a) f A = f i, gdzie i : A X, a i(a) = a; (b) jeśli g = f A, to g 1 (B) = A f 1 (B). 2.2 Udowodnić, że A,B X f(a B) = f(a) f(b) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest injekcją. 2.3 Niech f : X Y. Pokazać: (a) A B f(a) f(b); (b) f 1 (Y \ C) = X \ f 1 (C); (c) f jest injekcją y Y #f 1 (y) 1 A X f(x \ A) Y \ f(a); (d) f jest surjekcją y Y #f 1 (y) 1 A X f(x \ A) Y \ f(a). 2.4 Niech będą dane dwa odwzorowania f : X Y oraz g : Y X. Pokazać, że zbiory X i Y można rozbić na sumę rozłącznych podzbiorów X = X 1 X 2 oraz Y = Y 1 Y 2 tak, że f(x 1 ) = Y 1 i g(y 2 ) = X 2. Relacją R określoną na zbiorze X nazywamy dowolny podzbiór R X X i piszemy arb (a, b) R. 2.5 Pokazać, ze dla dowolnej relacji R, która jest zwrotna i przechodnia, relacja R R 1 jest relacją równoważności. 2.6 Dla danych relacji R, S na zbiorze X definiujemy ich złożenie a(r S)b c X arc csb. Czy R S jest relacją równoważności, jeśli R i S są relacjami równoważności? 2.7 Pokazać, że zwrotna relacja R jest relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy R R = R i R 1 = R. 2.8 Niech f będzie odwzorowaniem na zbiorze X (w dowolny zbiór Y ). Pokazać, że relacja a b f(a) = f(b) jest relacją równoważności na zbiorze X. 2.9 Niech R, S będą relacjami równoważności na zbiorze X takimi, że R S. Na zbiorze warstw X/R definiujemy relację R(a) ( S/R ) R(b) asb. Pokazać, że S/R jest relacją równoważności i istnieje bijekcja między (X/R)/(S/R) a X/S Pokazać, że każde odwzorowanie można przedstawić jako złożenie surjekcji i injekcji. Oznaczenia: f 1 przeciwobraz, tj. f 1 (B) = { x f(x) B } ; #A liczba elementów zbioru A; R 1 relacja przeciwna, tj. ar 1 b bra; R(a) warstwa elementu a, tj. R(a) = { b arb } ; X/R przestrzeń warstw relacji równoważności R, tj. X/R = { R(a) a X } ; 2
3 3 Przestrzenie metryczne 3.1 Niech X będzie dowolnym zbiorem i niech C(X ) = {f : X R : f jest ograniczona}. Pokaż, że funkcja d(f, g) = sup f(x) g(x) jest metryką na C(X ). x X Jak wyglądają kule w tej przestrzeni (opisz je np. w przypadku, gdy X = (0, 1)). 3.2 Na przedziale (0, 1) określmy funkcję d(x, y) = x 1 y 1 dla x y oraz d(x, x) = 0. (a) (b) Pokaż, że d jest metryką równoważną metryce euklidesowej; Udowodnij, że nie istnieje na R żadna metryka równoważna euklidesowej, która obcięta do przedziału (0, 1) byłaby równa d. 3.3 (a) Czy domknięcie kuli jest kulą domkniętą, a dokładniej czy B(x, r) = { y : d(x, y) r }? (b) Czy (B(x, r)) = { y : d(x, y) = r }? 3.4 Czy topologia dopełnień skończonych (par. zad.4.2) jest metryzowalna? 3.5 Udowodnij, że metryki równoważne w sensie Lipschitza, są równoważne. Czy zachodzi implikacja w przeciwną stronę? 3.6 Niech d będzie metryką na X. Pokaż, że d (x, y) = d. d(x, y) 1 + d(x, y) jest metryką na X równoważną metryce 3.7 Niech d będzie metryką na X, a M > 0 pewną stałą. Pokaż, że d M (x, y) = min ( M, d(x, y) ) jest metryką na X równoważną metryce d. 3.8 Niech δ(a) oznacza średnicę zbioru A, tj. δ(a) = sup{d(x, y) : x, y A}. Udowodnij, że (a) δ(a) = 0 #A 1; (b) δ(a) = δa; (c) A B δ(a) δ(b); (d) jeśli A B, to δ(a B) δ(a) + δ(b). 3.9 Niech S będzie rodziną wszystkich niepustych, domkniętych podzbiorów przestrzeni metrycznej X i niech x 0 X będzie ustalonym punktem. Na zbiorze S określmy funkcję: d x0 (A, B) = sup{ d(x, A) d(x, B) e d(x,x0) : x X } Pokaż, że d x0 równoważne. jest metryką na S oraz, że metryki generowane przez dwa różne punkty x 1, x 2 X są 3.10 Oznaczmy przez F(X ) rodzinę wszystkich niepustych, domkniętych i ograniczonych podzbiorów przestrzeni metrycznej (X, d). Dla A, B F(X ) określmy funkcję h(a, B) = sup{d(x, B) : x A}. Niech ϱ(a, B) = max ( h(a, B), h(b, A) ). Udowodnij, że: (a) ϱ jest metryką (nazywaną metryką Hausdorffa); (b) ϱ ( {x}, {y} ) = d(x, y); (c) ϱ(a, B) ε wtedy i tylo wtedy, gdy x A B(x, ε) B x B B(x, ε) A =. Równoważność metryk: (a) metryki d 1 i d 2 są równoważne, jeśli x X ε>0 δ1,δ 2>0 B d1 (x, δ 1 ) B d2 (x, ε) B d2 (x, δ 2 ) B d1 (x, ε) (b) metryki d 1 i d 2 są równoważne w sesie Lipschitza, jeśli istnieją takie stałe m, M > 0, że x,y X m d 1 (x, y) d 2 (x, y) M d 1 (x, y) 3
4 4 Przestrzenie topologiczne 4.1 Ile różnych topologii może posiadać zbiór trzyelementowy? Które z nich są nierozróżnialne (tj. przez zamianę elementów)? Sporządź rysunek zaznaczając ich częściowe uporządkowie ze względu na relację zawierania. 4.2 Niech X będzie zbiorem nieskończonym. Pokaż, że (a) T 0 = { } {A : #(X \ A) < }, tj. tzw. topologia dopełnień skończonych, oraz (b) T 1 = { } {A : #(X \ A) < #X }, są topologiami. 4.3 Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Dla x X zdefiniujmy U L (x) = {y X : y x} oraz U R (x) = {y X : x y}. Pokaż, że dla = L, R: (a) rodzina {U (x)} jest bazą topologii (tj. T = {G = U (x) : A X } { } jest topologią) przestrzeni X ; (b) G T wtedy i tylko wtedy, gdy x G U (x) G; x A (c) w T przekrój dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest otwarty; (d) opisz {x}, {x}, ({x}); (e) jedyną topologią, która jest równocześnie większa (w sensie zawierania) od T L i T R jest topologia dyskretna. Topologie T L, T R nazywane są często topologiami odpowiednio lewej i prawej strzałki. 4.4 Niech T X, T Y będą topologiami odpowiednio przestrzeni X i Y i niech T = {A B : A T X, B T Y }. Czy rodzina T jest topologią na X Y? 4.5 Na zbiorze liczb naturalnych N określamy rodzinę podzbiorów U U, tak że spełniona jest zależność: n U d n d U. Pokazać, że U jest topologią na N różną od topologii dyskretnej. 4.6 Udowodnij, że topologia jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt jest zbiorem otwartym. 4.7 Pokaż, że G A = G A dla każdego zbioru A X wtedy i tylko wtedy, gdy G jest zbiorem otwartym w X. 4.8 Udowodnij: (a) ( ( (A))) = ( (A)) (b) (A ) (A) (c) (A \ B) A \ B (d) A d = A = A 4.9 Niech A i B będą zbiorami otwartymi w X. Czy jeśli A i B są gęste w X, również gęsty jest ich przekrój A B? 4.10 Niech D będzie gęsty w X. Pokaż, że dla każdego zbioru otwartego G X zachodzi D G = G Punkt a A nazywamy izolowanym, gdy a A\A d. Zbiór A nazywamy doskonałym, gdy jest domknięty i nie zawiera punktów izolowanych. Pokaż, że jeśli A nie zawiera punktów izolowanych, to A jest doskonały. Oznaczenia: A d zbiór punktów skupienia zbioru A; A wnętrze zbioru A; A domknięcie zbioru A; (A) brzeg zbioru A; 4
5 5 Spójność. Przekształcenia ciągłe 5.1 Zbiór S = {0, 1} z topologią {, {0}, S } nazywamy przestrzenią Sierpińskiego. Czy S jest spójna? 5.2 Czy zbiór liczb wymiernych Q z naturalną topologią (pochodzącą od metryki euklidesowej) jest spójny? 5.3 Dla liczb a, b N określmy zbiór U a,b = {an + b n Z} N. Pokaż, że: (a) rodzina U a,b dla względnie pierwszych a, b jest bazą pewnej topologii na N; (b) dla każdej liczby pierwszej p zbiór pn = {np n N} jest domknięty w tej topologii; (c) zbiór wszystkich liczb pierwszych ma puste wnętrze; (d) przestrzeń N jest spójna. Wskazówka: Pokazać, że jeśli dla otwartego zbioru U zachodzi U U a,b =, to U an =. 5.4 Niech X będzie zbiorem nieskończonym z topologią T 0 (cf. zad.4.2.(a)). (a) Pokaż, że X jest przestrzenią spójną. Czy każdy podzbiór właściwy X jest spójny? (b) Jakie warunki musi spełniać podzbiór przestrzeni X, aby był spójny? 5.5 W przestrzeni X wprowadźmy relację x y, gdy istnieje zbiór spójny zawierający x i y. Pokaż, że jest relacją równoważności. Jak wyglądają klasy abstrakcji tej relacji? 5.6 Niech A X oraz A i X będą spójne. Niech ponadto B X \A będzie równocześnie otwarty i domknięty w X \ A. Pokazać, że A B jest spójny. 5.7 Niech {A n } będzie ciągiem spójnych podzbiorów przestrzeni X spełniającym A n A n+1, dla n = 1, 2,... Udowodnij, że zbiór A n jest spójny. n N 5.8 Niech A X będzie dowolny, a C X będzie zbiorem spójnym i takim, że A C (X \ A) C. Pokaż, że wówczas (A) C. 5.9 Jakie warunki musi spełniać odwzorowanie f : X X, aby było ciągłe, jeśli X jest przestrzenią z topologią T 0 z zad Niech X będzie przestrzenią z zad.4.3. Pokaż, że wówczas odwzorowanie φ : X X jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje porządek Pokaż, że odwzorowanie φ : N N, gdzie N jest przestrzenią z topologią z zad.4.5, jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje podzielność, tj. ( m n ) ( φ(m) φ(n) ) Udowodnij, że poniższe warunki są równoważne: (a) odwzorowanie φ : X Y jest ciągłe; (b) φ(a d ) φ(a) dla każdego A X ; (c) (φ 1 (B)) φ ( (B) ) dla każdego B Y Niech φ n : X R będzie ciągiem funkcji ciągłych. Pokaż, że zbiór punktów zbieżności tego ciągu, tzn. {x X : lim φ n(x) istnieje } jest F σδ, tj. przeliczalnym przekrojem przeliczalnych sum zbiorów domkniętych. I jeszcze coś o aksjomatach oddzielania: 5.a Pokaż, że przestrzeń z topologią T 0 z zad.4.2 jest przestrzenią T 1, ale nie jest przestrzenią Hausdorffa. 5.b Pokaż, że przestrzeń z topologią T L z zad.4.3 jest przestrzenią T 0, ale nie jest T 1. 5
6 6 Zadania z wykładu 6.1 (20.II ) Domknięciem zbioru A X nazywamy zbiór A = { F X : F jest domknięty i A F } (w przestrzeni metrycznej X definicja przyjmuje postać A = { x X : {xn} A lim x n = x } ). Udowodnić następujące własności: (1d) =, (2d) A X A A, (3d) A,B X A B = A B, (4d) A X A = A. 6.2 (27.II ) Sformułować i udowodnić warunki dualne do warunków z zad.6.1 dotyczące operacji brania wnętrza zbioru. 6.3 (27.II ) Niech (X, ϱ) będzie przestrzenią metryczną. Pokazać, że wówczas U X jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy x U ε>0 K(x, ε) U. Następnie (a) pokazać, że rodzina zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej spełnia aksjomaty topologii; (b) sprawdzić, że kula otwarta (odpowiednio domknięta) jest zbiorem otwartym (odp. domkniętym); (c) sprawdzić, czy (K(a, δ)) = (Kd(a, δ)) = S(a, δ). 6.4 (27.II ) Pokazać, że w dowolnej przestrzeni topologicznej zachodzą wzory: (a) A = A\ (A), (b) (A B) (A) (B), (c) (A B) (A) (B), (d) A = A A d, (e) A B A d B d, (f) (A B) d = A d B d. 6.5 (06.III ) Wykazać poniższe własności odwzorowania f : X Y: (a) Dla każdych A, B Y: (a.i) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), (a.ii) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), (a.iii) f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B) ; (b) dla każdych A, B X : (b.i) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B). (b.ii) f(a B) f(a) (B) (równość zachodzi, gdy f jest injekcją), 6.6 (13.III ) Pokazać, że rodzina B = { K(x, 1 m ) : x Qn, m N } jest bazą topologii przestrzeni R n z metryką euklidesową. 6.7 (13.III ) Niech A = {x i } i=n X będzie podzbiorem gęstym przestrzeni metrycznej X (tj. A = X ). Udowodnić, że rodzina B = { K(x i, 1 n ) : i, n N} jest bazą przeliczalną. 6.8 (20.III ) Mówimy, że punkt x jest granicą ciągu uogólnionego x t (gdzie t T jest elementem zbioru skierowanego), jeśli U B(x) to T t to x t U. Pokazać, że definicja granicy nie zależy od wyboru bazy w punkcie x. 6.9 (20.III ) Niech (T, T ), (S, S ) będą zbiorami skierowanymi. Pokazać, że (T S, T S ) też jest zbiorem skierowanym (20.III ) Pokazać, że dowolne pokrycie jednoznacznie definiuje topologię, w której to pokrycie jest podbazą (27.III ) Na R zadajemy topologię bazą otoczeń B = B(x), gdzie B(x) = { (x 1 n, x + 1 n ) : n N} gdy x 0 oraz B(0) = { ( 1 n, 1 n ) \ Z : n N} gdzie Z = { 1 n : n N}. Pokazać, że R z tak zadaną topologią jest T 2, ale nie jest T (27.III ) Udowodnić, że w przestrzeni metrycznej (X, d) dla każdego zbioru A zachodzi x t x = d(x t, A) d(x, A) (03.IV ) Niech f α : X α X dla α A i T = { U X : α A f 1 (U) otwarty w X α }. Udowodnić, że T jest topologią na X (i jest najsilniejszą topologią, dla której wszystkie f α są ciągłe) (17.IV ) Udowodnij: (a) A B = A B, (b) (A B) = (A) B A (B). x R 6
1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoTopologia I Wykład 4.
Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych
Bardziej szczegółowoTopologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).
Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))
Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,
Bardziej szczegółowoWstęp do topologii Ćwiczenia
Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoFunkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoWstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoZad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Bardziej szczegółowoStanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania
Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale MIM Uniwersytetu
Bardziej szczegółowoZadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach.
Topologia I*, jesień 2013 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach. Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoStanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania. luty 2013
Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania luty 2013 WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Topologia Topology Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Semestr: IV Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Liczba godzin/tydzień:
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowosa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowo1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Bardziej szczegółowoEliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013
Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoFiltry i nety w przestrzeniach topologicznych
Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Magdalena Ziębowicz Streszczenie W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/10 funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f X Y taka, że x X!y Y: (x,y) f. Dziedzinę i przeciwdziedzinę
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoZbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/14 Funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f X Y taka, że x X!y Y: (x,y) f. Dziedzinę i przeciwdziedzinę
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoMetryzowalne przestrzenie topologiczne.
I-1 H. Toruńczyk, Wykład z Topologii I, jesień 2013. Notatki te są uzupełnieniem wykładu. Układ materiału i jego ujęcie są bliskie skryptowi [BCPP], osiągalnemu pod http://duch.mimuw.edu.pl/~betley/wyklad1/,
Bardziej szczegółowo3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.
3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA.
ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. PIOTR ZAKRZEWSKI 1. Wykłady 1/2 Definicja 1.1. Przestrzeń polska to przestrzeń topologiczna ośrodkowa, metryzowalna w sposób zupełny. Przykład 1.2.
Bardziej szczegółowoElementy Teorii Miary i Całki
Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/
Bardziej szczegółowoTOPOLOGIA I* Pomocnik studenta Notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2016/17.
TOPOLOGIA I* Pomocnik studenta Notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2016/17 Stefan.Jackowski@mimuw.edu.pl 23 kwietnia 2018 2 Spis treści Wstęp i 1 Ciągłość i topologia 1 1.1 Ciągłość
Bardziej szczegółowogranicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N
14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech
Bardziej szczegółowoTeoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji
Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoRELACJE I ODWZOROWANIA
RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Analiza 4
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego Grzegorz Plebanek Notatki do wykładu Analiza 4 Rozdział I: Funkcje na przestrzeniach metrycznych Wrocław 2004 O skrypcie Skrypt ten, traktowany łącznie
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (3)
Wstęp do Matematyki (3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Ważne typy relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (3) Ważne typy relacji 1 / 54 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne
1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1.1 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra
Bardziej szczegółowo