Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 05/6 Pochodne i całki funkcji jednej zmiennej Zadanie Oblicz pierwszą i drugą pochodną następujących funkcji. f(x) = sin(sin(sin(x))),. f(x) = ex, f(x) = e x. Zadanie Dla jakiego zestawu parametrów a, b, c funkcja kwadratowa f(x) = ax + bx + c jest wypukła. Kiedy jest ona wklęsła? Zadanie 3 Stosując test drugiej pochodnej wyznacz lokalne ekstrema następujących funkcji oraz wyznacz na jakich przedziałach są one wypukłe oraz wklęsłe:. f (x) = x + 4x +,. f (x) = xe x, f 3 (x) = sin(x), 4. f 4 (x) = x 3, 5. f 5 (x) = x 3 + x 50. Zadanie 4 Zastosuj regułę de Hospitala do wyznaczenia następujących granic:. lim x 0 sin(x) x,. lim x 0 x ln(x), lim n e x x 5, 4. lim x 0 x x, 5. lim x x x. Zadanie 5 (Róg Gabriela) Niech f(x) = x oraz G = {(x, y, z) R3 : x y + z f(x)}. Oblicz objętość i powierzchnię bryły G. Wskazówka: Niech G a = {(x, y, z) R 3 : x a y + z f(x)}. Oblicz objętość V a bryły G a i następnie oblicz granicę lim a V a. Następnie znajdź rozsądne oszacowanie dolne na powierzchnie boczną S a bryły G a : np. zauważ, że + x.. 4 Zadanie 6 Niech f(x) = x 3 + x + 3x +.. Zastosuj wzór Taylora do rozwinięcia funkcji f(x) w punkcie a = 0.. Zastosuj wzór Taylora do rozwinięcia funkcji f(x) w punkcie a =. Zadanie 7 Wyznacz pierwsze 0 wyrazów rozwinięcia funkcji f(x) = sin(x) w szereg Maclaurin a. Narysuj wykresy kilku kolejnych przybliżeń funkcji sin(x) dla x [0, π]. Zadanie 8 Zbadaj przebieg zmienności funkcji zadanej wzorem f(x) = (x ) 3 (x + ) z uwzględnieniem przedziałów wypukłości, wklęsłości i punktów przegięcia.

Zadanie 9 Pokaż, że jeśli funkcje f i g są wypukłe to również funkcja f + g jest wypukła. Zadanie 0 Zastosuj nierówność Jensena do pokazania, że jeśli α, β, γ są kątami wewnętrzymi pewnego trójkąta, to sin(α) + sin(β) + sin(γ) 3 3 Wskazówka: Skorzystaj z tego, że funkcja f(x) = sin(x) jest wklęsła na odcinku [0, π]. Szeregi Zadanie Pokaż, że szereg n= n n jest rozbieżny. Zadanie Pokaż, że jeśli szeregi n=0 a n i n=0 b n są zbieżne oraz a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, to szereg n=0 (a a n + b b n ) jest zbieżny oraz (a a n + b b n ) = a a n + b b n. n=0 n=0 n=0 Zadanie 3 Oblicz sumy:. n=0 qn, dla q <,. n= ( 3 + n 3 ), n ) n, 5 ( n= k= k Zadanie 4 Oblicz następujące sumy.. n n n(n+), n(n+3). Wskazówka: Znajdź liczby A i B takie, że n(n+) = A n + Zadanie 5 Zbadaj zbieżność następujących szeregów:. n n,. n n, 3 n n. B n+. Zadanie 6 Zastosuj kryterium zbieżności d Alamberta do zbadania zbieżności następujących szeregów:. n n + 3 n +, (n!). n n, n (n!) (n)!. Zadanie 7 Pokaż, że. sin(x) = x x3 3! + x5 5! +... = n=0 ( ) n (n+)! xn+,. cos(x) = x! + x4 4! +... = ( ) n n=0 (n)! xn, ln( + x) = x x + x3 3 +... = n= ( )n+ n xn dla x <. 4. ln x = x + x + x3 3 +... = n= n xn dla x <. Zadanie 8 Zbadaj zbieżność następujących szeregów: k. +. k k (k+) k k + 3 k +k k ( )k k k+

4. 5. k k! k k k ( k k+ )k Zadanie 9 Podaj możliwie prosty dowód wzoru + q + q +... + q n qn+ q, prawdziwego dla wszystkich q. * Zadanie 0 Załóżmy, że a 0 a a a 3... 0 oraz lim n a n = 0. Niech s n = n k=0 ( )k a k.. Pokaż, że s 0 s s 4... s n..... Pokaż, że s s 3 s 5... s n+.... Zauważ, że s + s n. 4. Pokaż, że dla dowolnych n i m mamy s n+ s m. 5. Pokaż, że lim n s n+ = lim n s n 6. Wywnioskuj z tego, że szereg n ( )n a n jest zbieżny. 3 Przestrzeń euklidesowa Niech d(x, y) oznacza odległość euklidesową w przestrzeni R n. Udowodnij Zadanie Narysuj następujące podzbiory płaszczyzny:. A = {P R : d(p, (, )) < }. A = {P R : < d(p, (, )) < } A = {P R : d(p, (, ) = d(p, (, 0)} Zadanie Niech A = {(x, y) R : x + y < }. Narysuj zbiór A oraz wyznacz liczbę sup{d(p, Q) : P, Q A}). Zadanie 3 Niech x, y = n k= x ky k oznacza iloczyn skalarny w przestrzeni R n. Niech x = x, x. Pokaż, że d(x, y) = x y. * Zadanie 4 Pokaż następujące właściwości odległość euklidesowej:. (d(x, y) = 0) (x = y). d(x, y) = d(y, x) d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Zadanie 5 Wpisz w pasku wyszukiwarki Google wzory. x +y,. x -y, x*y, 4. sin(x+y), 5. sin(x-y ), 6. /(x +y ) 7. /(x -y ) 8. 5 + (-sqrt(-x -(y-abs(x)) ))*cos(30*((-x -(y-abs(x)) ))), x is from - to, y is from - to.5, z is from to 6 Postaraj się zrozumieć te wykresy (poza ostatnim). Uwaga: Musisz mieć stosunkowo nową kartę graficzną aby móc wygenerować te wykresy. Zadanie 6 Wyznacz wnętrza, domknięcia, wnętrza domknięć i domknięcia wnętrz następujących podzbiorów prostej rzeczywistej:. A = [0, ] \ Q. 3

. B = N C = { n+ : n N} 4. D = [0, ] (, 3) ([4, 5] Q) 5. E =, F = R. Zadanie 7 Kulą otwartą o środku w punkcie x R n i promieniu r > 0 nazywam zbiór K(x, r) = {y R n : d(x, y) < r}.. Pokaż, że K(x, r) jest zbiorem otwartym.. Wyznacz cl(k(x, r)). Niech a R n. Rozważamy zbiór K(x, r) + a = {y + a : y R n }. Pokaż, że K(x, r) + a = K(x + a, r). Zadanie 8 Pokaż, że suma i przekrój dwóch podzbiorów otwartych przestrzeni R n jest zbiorem otwartym. Pokaż, że suma i przekrój dwóch podzbiorów domkniętych przestrzeni R n jest zbiorem domkniętym. Zadanie 9 Załóżmy, że A, B R są zbiorami otwartymi. Pokaż, że A B jest podzbiorem otwartym przestrzeni R. Pokaż, że jeśli A, B R są zbiorami domkniętymi, to A B jest podzbiorem domkniętym przestrzeni R. Samodzielnie uogólnij to zadanie na podzbiory przestrzeni R n i R m. Zadanie 30 Niech F : R n R będzie funkcją ciągłą. Pokaż, że zbiór {x R n : F (x) = 0} jest zbiorem domkniętym. Zadanie 3 Pokaż, że zbiór {(x, x ) : x R \ {0}} jest zbiorem domkniętym przestrzeni R. Wskazówka: Skorzystaj z poprzedniego zadania. Zadanie 3 Niech F : R n R m będzie funkcją ciągłą. Pokaż, że {(x, F (x)) : x R n } jest domkniętym podzbiorem przestrzeni R n R m. Zadanie 33 Niech f(t) = (v x t + x, g t + v y t + y) dla pewnych stałych x, y, v x, v y, g. Oblicz f (t) oraz f (t). Podaj interpretacją fizyczną tego zadania. Zadanie 34 Załóżmy, że f : R R n jest funkcją różniczkowalną, taką, że ( t)( f(t) = ) (uwaga: tu był błąd!!!). Pokaż, że ( t R)(f (t) f(t)). Podaj interpretację fizyczną tego faktu. Wskazówka: Zapisz funkcję f w postaci f(t) = (f (t),..., f n (t)) i następnie zauważ, że (f (t)) +... + (f n (t)) = dla każdego t. 4 Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych Zadanie 35 Załóżmy, f : R n R m jest ciągła w punkcie a R n oraz, że funkcja g : R m R k jest ciągła w punkcie f(a). Pokaż, że funkcja g f : R m R k jest ciągła w punkcie a. Zadanie 36 Niech f(x, y) = { xy x +y : x + y > 0 0 : (x, y) = (0, 0) Pokaż, że dla każdego a [, ] (UWAGA: tu był błąd; było a [, ]) istnieje taki ciąg punktów P n = (x n, y n ) zbieżny do punktu (0, 0) taki, że lim n f(x n, y n ) = a. Zadanie 37 Niech f(x, y) = { x y x 4 +y : x + y > 0 0 : (x, y) = (0, 0). Pokaż, że dla dowolnego wektora (a, b) (0, 0) mamy lim t 0 f(ta, tb) = 0. Znajdź taki ciąg punktów P n = (x n, y n ) zbieżny do punktu (0, 0), że lim n f(x n, y n ) =. 4

Zadanie 38 Niech f(x, y) = { sin(xy) x : x 0 0 : x. Pokaż, że f jest ciągła w punkcie (0, 0). Pokaż, że f jest ciągła w każdym punkcie płaszczyzny Zadanie 39 Wyznacz pochodne cząstkowe następujących funkcji. f(x, y) = x (x + y) 3. f(x, y) = sin(x + y ) f(x, y) = xy cos(x y) 4. f(x, y, z) = xy z 3 + xe y+z 5. f(x, y, z) = x +y +z 6. f(x, y, z) = xy + yz + zx 7. f(x, y, z) = y(y z) x określonej na zbiorze otwartym U = {(x, y, z) : y z > 0} 8. f(x, y, z) = ln(x + x + y + z ) Zadanie 40 Wyznacz gradienty f następujących funkcji. f(x, x,..., x n ) = n k= a kx k. f(x, x,..., x n ) = n k= a k(x k ) f(x, y) = x y 4. f(x, y, z) = xy z 3 5. f(x, y, z) = xyz 6. f(x, y, z) = + x + 3xy + x z 7. f(x, y, z) = (xy) z Zadanie 4 Wyznacz pochodne kierunkowe następujących funkcji w zadanych punktach P i kierunkach a:. f(x, y, z) = x + y + z 3, P = (,, ); a = [,, ]. f(x, y, z) = xyz, P = (,, ), a = [,, ] f(x, y, z) = x cos(yz), P = (0, 0, 0), a = [,, ] Zadanie 4 Wyznacz macierze Jacobiego następujących funkcji: [ ] x + y. f(x, y) = x + y xy. f(x, y) = sin(x + y) e x y [ ] xyz f(x, y, z) = sin(x + yz) Zadanie 43 Wyznacz pochodne wszystkie cząstkowe drugiego stopnia wszystkich funkcji z Zadania 39 oraz wyznacz ich Hesjany. Zadanie 44 Jak wygląda Jakobian funkcji f : R R w punkcie x? Jak się mnoży macierze o wymiarach? Porównaj wzór (g f) (x) = g (f(x)) f (x) dla funkcji rzeczywistych jednej zmiennej ze wzorem J g f ( x) = J g (f( x)) J f (x). Zadanie 45 Wyznacz macierz Jacobiego funkcji f(r, t) = (r cos(t), r sin(t)) oraz f(r, t, h) = (r cos(t), r sin(t), h). Zadanie 46 Zbadaj ekstrema podanych funkcji:. f(x, y) = x 4 x + 4xy + y 4 y 5

. f(x, y) = xy + x + y f(x, y) = x y ( x y + 5) 4. f(x, y) = xy ( x y + 4) 5. f(x, y) = cos(x y) + sin(x) + cos(y) 6. f(x, y) = (x ) y Zadanie 47 Niech f(x, y) = (x y, x + y) oraz g(x, y) = (e x, x y). Wyznacz złożenie g f. Oblicz macierze Jacobiego J f, J g oraz J g f Wyznacz J g (f(x, y)) 4. Oblicz J g (f(x, y)) J f (x, y). Zadanie 48 Znajdź wymiary otwartego zbiornika prostopadłościennego o objętości 4 m 3 o najmniejsze powierzchni bocznej. Zadanie 49 Niech g(x, y, z) = x y +z, x(t) = sin(t), y(t) = cos(t) i z(t) = t. Oblicz d dtf(x(t), y(t), z(t)). Zadanie 50 Niech g(x, y, z, u) = e x y z, x(t) = t, y(t) = + t, z(t) = t, u(t) = ln(t). Oblicz f(x(t), y(t), z(t), y(t)). d dt Zadanie 5 Wyznacz równanie stycznej do hiperboli zadanej równaniem x a (leżącym na tej hiperboli). y b = w punkcie (x 0, y 0 ) Zadanie 5 Wyznacz ekstrema warunkowe funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0 dla następujących funkcji. f(x, y) = x + y, g(x, y) = xy. f(x, y) = x 3 + y 3, g(x, y) = x + y f(x, y) = x + y, g(x, y) = e x+y xy 4. f(x, y) = x a y b, g(x, y) = x + y (a, b są ustalonymi liczbami dodatnimi). 5 Całki wielokrotne Zadanie 53 Oblicz następujące całki podwójne: 4. dx 4 xydy a. 0 dx b xy(x y)dy 0 x= y=3 (x + xy)dxdy x= y= 4. P (x y + xy 3 )dxdy, gdzie P = [, ] [, 4] 5. x sin(xy)dxdy. gdzie P = [0, ] [π, π] 6. 7. P 0 0 x y dxdy A e x y dxdy, gdzie A = {(x, y) : 0 x x y } Zadanie 54 Oblicz całkę sin(x) cos(y)dxdy, gdzie obszarem całkowania jest trójkąt o wierzchołkach P = P (0, 0), Q = (0, π/) i R = (π/, 0). Zadanie 55 Oblicz następujące całki po obszarach ograniczonych wskazanymi krzywymi:. D xy dxdy, D: y = x, y = x. A e x y dxdy, D: x = 0, y = x, y = B ex dxdy, D: x = 0, x = ln( ), y = 0 y = x Zadanie 56 Niech A = {(x, y) R : 0 x sin(y) 0 y π}. 6

. Oblicz powierzchnię zbioru A. Oblicz A xdxdy Oblicz A ydxdy 4. Oblicz A xydxdy Zadanie 57 Prostopadłościan o podstawie P = [0, a] [0, b] położonej w płaszczyźnie 0XY został ścięty od góry powierzchnią z = x + y. Oblicz objętość tak powstałej bryły. Zadanie 58 Pokaż, że x=b ( y=d ) ( x=a y=c f(x)g(y)dxdy = b a f(x)dx d ). c g(y)dy Zadanie 59 Oblicz π π 0 0 sin(x) sin(y)dxdy. Zadanie 60 Oblicz objętość przekroju dwóch walców V = {(x, y, z) : x + z r } oraz V = {(x, y, z) : y + z r }. Zadanie 6 Znajdź objętość bryły ograniczonej powierzchniami:. y = x, z = x + y, y =, z = 0. z = xy, x + y =, x + y = 4 z = x + y, xy =, xy =, y = x, y = x Zadanie 6 Oblicz następujące całki potrójne:. ( + x + xy)dxdydz x=0 y= z=. (xyz)dxdydz, gdzie P = [0, a] [0, b] [0, c] P (x + y + z)dxdydz, gdzie P = [0, a] [0, b] [0, c] P Zadanie 63 Wyznacz masę prostopadłościanu P = [0, a] [0, b] [0, c] wiedząc, że gęstość masy w punkcie (x, y, z) wyraża się wzorem ρ(x, y, z) = + x + y + z. Zadanie 64 Niech Σ n = {(x,..., x n ) R n : 0 x,... x n x +... + x n }. Wyznacz Σ n x x... x n dx dx... dx n. Wskazówka: Rozwiąż to zadanie dla n=, n= i n=3 i spróbuj na postawie tych wyników postawić ogólna hipotezę. Zadanie 65 Oblicz wartość średnią funkcji f(x, y) = sin(x) cos(y) na obszarze [0, π] [0, π ]. 5. Zamiana zmiennych Zadanie 66 Niech Φ b (x, y) = (x + by, y).. Niech a, h > 0 oraz T = {(x, y) : 0 x a 0 y h h a x}. Naszkicuj obszar T. Jaka jest jego powierzchnia?. Wyznacz Jakobian funkcji Φ b. Pokaż, że dla dowolnej figury A R mamy pow(a) = pow(φ b [A]). 4. Wyznacz obraz Φ b [T ]. 5. Jakie jest pole figury Φ b [T ]? Zadanie 67 Niech [ ] [ cos(φ) sin(φ) x O φ (x, y) = sin(φ) cos(φ) y] (to jest obrót płaszczyzny względem środka układu współrzędnych o kąt φ. Pokaż, że dla dowolnej figury A mamy pow(a) = pow(o φ (A)). Zadanie 68 Pokaż, że jeśli T v jest przesunięciem przestrzeni R n o wektor v, to dla dowolnej n-wymiarowej bryły A mamy λ n (A) = λ n (T v (A)). 7

Zadanie 69 Pokaż, że objętość elipsoidy zadanej równaniem x a + y b + x c wyraża się wzorem 4 3 πabc. Wskazówka: Rozważ odwzorowanie liniowe R 3 w R 3 zadane wzorem Ψ(x, y, z) = (ax, by, cz). Zadanie 70 Niech T będzie niezdegenerowanym trójkątem na płaszczyźnie o wierzchołkach A = (a, a ), B = (b, b ) i C = (c, c ). Załóżmy, że wszystkie współrzędne a, a, b, b, c, c są liczbami całkowitymi. Pokaż, że pow(t ). Wskazówka: Zapisz powierzchnię trójkąta T za pomocą pewnego wyznacznika. Zadanie 7 Oblicz następujące całki po wskazanych obszarach:. K sin(x + y )dxdy, K = {(x, y) R : π x + y π},. D ( x y)dxdy, D = {(x, y) : 0 x 0 y x + y 5 }, +y ) K e (x dxdy, K = {(x, y) R : x + y }, 4. R x dxdy, R = {(x, y) R : 0 x, y 4 x + y 9}. Zadanie 7 Znajdź powierzchnię obszaru R ograniczonego przez krzywe r = +sin(3θ) and r = 4 cos(3θ). Zadanie 73 Oblicz następujące całki po wskazanych bryłach:. K (0 x y z )dzdydz, K = {(x, y, z) R 3 : x + y + z }. V dxdydz, V = {(x, y, z) R 3 : z x + y x + y + z } Zadanie 74 Niech V będzie bryłą która powstała z usunięcia z połowy kuli K = {(x, r, z) : x + y + z 4 z 0} kuli A = {(x, y, z) R 3 : x + y + (z ) } (czyli V = K \ A). Oblicz objętość V. Wskazówka: Pokaż najpierw, że równanie r = cos(θ) (we współrzędnych sferycznych) wyznacza brzeg kuli A: ze wzoru r = cos(θ) wywnioskuj, że r = z, czyli, że x + y + z = z. Zadanie 75 Niech L będzie stożkiem lodów ograniczonym z dołu przez powierzchnię z = (x + y ) oraz z góry przez powierzchnię x + y + z = 4. Wyznacz objętość bryły L. Zadanie 76 Zastosuj współrzędne cylindryczne do wyprowadzenia wzoru na objętość walca o promieniu podstawy r i wysokości h. Zadanie 77 Zastosuj współrzędne cylindryczne do wyprowadzenia wzoru na objętość stożka o promieniu podstawy r i wysokości h. Zadanie 78 Załóżmy, że σ > 0. Oblicz następujące całki:. e x σ dx σ π. σ π σ π xe x σ dx x e x σ dx Zadanie 79 Na wykładzie pokazaliśmy, że n-wymiarowa objętość n-wymiarowej kuli o promieniu R wyraża się wzorem a n R n, gdzie liczby a n spełniają następującą rekurencyjną zależność a n+ = π n+ a n. Stosując ten wzór wyznacz objętości n-wymiarowych kul o promieniu R dla wszystkich n {,,..., 0}. Zadanie 80 Niech F, G : R R n. Niech oznacza iloczyn skalarny. Pokaż, że d dt (F (t) G(t)) = ( d dt F (t)) G(t)) + F (t) ( d dt G(t)) Zadanie 8 Niech F, G : R R 3. Niech oznacza iloczyn wektorowy. Pokaż, że d dt (F (t) G(t)) = ( d dt F (t)) G(t)) + F (t) ( d dt G(t)) 8

6 Elementy Analizy Wektorowej Zadanie 8 Niech F (x, y) = (x + y, xy), φ(t) = (t, t) oraz η(t) = (t, t ) dla t [0, ].. Oblicz φ F dl.. Oblicz η F dl. Niech γ(t) = ( t, t) dla t [0, ]. Oblicz γ F dl. 4. Wyjaśnij otrzymane wyniki. Zadanie 83. Niech α : [a, b] [c, d], α(a) = c, α(b) = d. Niech β : [c, d] R n oraz niech F : R n R n będzie polem wektorowym. Niech γ = β α. Pokaż, że F dl = F dl. ( x y Zadanie 84 Niech F (x, y) =,. (x +y +). Pokaż, że F jest polem potencjalnym. Niech γ(t) = e t (cos(t), sin(t)) dla t [0, π]. Oblicz F dl. γ γ β (x +y +) ) Zadanie 85 Pokaż, że suma dwóch pól potencjalnych jest polem potencjalnym. Zadanie 86 Niech U(x, y) = arctan( y x ).. Wyznacz F = U.. Naszkicuj pole wektorowe F Oblicz F i wyjaśnij otrzymany wynik. Zadanie 87 Niech F : R 3 R 3 będzie polem potencjalnym. Pokaż, że F = 0. Zadanie 88 Pokaż, że następujące dwa warunki są równoważne:. Całka γ F dl nie zależy od drogi łączącej punkty γ(0) i γ() (zakładamy, że γ : [0, ] R n ). Dla dowolnej drogi zamkniętej (czyli takiej, że jej koniec pokrywa się z początkiem) mamy γ F dl = 0. Zadanie 89 Niech F (x, y, z) = (xy + z 3, x, 3xz ).. Pokaż, że F jest polem potencjalnym. Znajdź jego potencjał. c.d.n. Powodzenia, Jacek Cichoń 9