Liczby zespolone. Zadanie 1. Oblicz: a) ( 3+i)( 1 3i) b) (3+i)2 (4i+1) i

Transkrypt

1 Zadanie. Oblicz: a) ( 3+i)( 3i) +i b) (3+i)2 (4i+) i (2+i) 3 Liczby zespolone Zadanie 2. Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór: a) {z : z > 3} b) {z : z i } c) {z : 4 z + + i < 9} Zadanie 3. Wykaż, że suma z z 2 + z z 2 jest liczbą rzeczywistą. Zadanie 4. Przedstaw liczby w postaci trygonometrycznej: a) 5 5 3, b) 5+i 2+3i, c) 3i, d) 5, e) 2, f) 3i Zadanie 5. Wyraź: a) cos 5φ, b) sin 5φ jako funkcję sin φ, cos φ Zadanie 6. Oblicz: a) ( + 3i) 5 ( i) 20, b) ( + i) 00 Zadanie 7. Oblicz: a) 4 2, b) 6, c) 4 + i 3 Zadanie 8. Rozwiąż równania: a) x 2 + x + = 0 b) z 2 + 2iz 5 = 0 c) z 4 + = 8 d) z 5 i = 0 e) z 3 + z = 0 f) z 2 (2 + i)z + ( + 7i) = 0 g) (2 + i)z 2 5iz + 2 i = 0 h) z 2 + (2 + i)z + 2i 4 = 0 i) z 3 + z 2 + z + = 0

2 Algebra Zadanie. Wyznacz wszystkie wartości parametru p R dla których prawdziwa równość ([ ] [ ]) 2 [ ] p + = Zadanie 2. Oblicz wyznacznik macierzy AB C, jeżeli A = 2, B = [ 3 2 ], C = 3 Zadanie 3. Wyrażenie v = v i i i i i Zadanie 4. Oblicz wyznaczniki a) b) c) zapisać w postaci algebraicznej, jeżeli Zadanie 5. Wyznacz rząd macierzy a)

3 b) Zadanie 6. Dla jakich wartości parametru α układ równań jest układem Cramera x + y + αz = x αy + z = x y + z = α Zadanie 7. Rozwiąż układy równań x + y + z + t = 5 a) x + 2y z + t = 2 3x + 3z + t = 8 b) c) x + 2y z t = 2x y + z 2t = 2 3x + y 3t = 3 5x + z 5t = 5 x + 2y + z = 3x + 7y + 6z = 3 x + 3y + 4z = 2x + 3y z = 2 x + 4y + 7z = Zadanie 8. Metodą Gaussa rozwiąż układy równań a) 3x 2y 5z + t = 3 2x 3y + z + 5t = 3 x + 2y 4t = 3 x y 4z + 9t = 22 b) x + y + z + 2t = 0 x + y z + 2t = x y + z 2t = 4 x + y z + 2t = 4 Zadanie 9. Znaleźć zbiór liczb zespolonych z dla których maierz 0 z A = 0 + z 0 z 0 jest nieosobliwa. Oblicz A dla z = i. 3

4 Zadanie 0. Rozwiąż równania macierzowe 2 3 a) Y b) c) Y [ 0 0 ] B = = [ = [ ] ] Zadanie. Znaleźć wartości własne oraz wektory własne macierzy a) A = 2 0 b) B = 0 2 c) C =

5 Geometria analityczna w R 3 Zadanie. Dane są wektory jednostkowe a i b. Oblicz: a)[(2 a + 3 b) ( b a)] 2 b) a ( b + 2 a) Zadanie 2. Sprawdź, czy wektory a, b i c są współpłaszczyznowe, jeśli p, q i r nie są współpłaszczyznowe, jeśli a = 3 p+2 q 2 r, b = p 4 q+ r i c = 4 p + 2 q 6 r Zadanie 3. Znaleźć kąt między przekątnymi równoległoboku zbudowanego na wektorach a = [6,, 3], b = [ 2, 2, 4] Zadanie 4. Znaleźć wektor prostopadły do wektorów a = [2, 3, ], b = [, 2, 3] i spełniający równanie x [2,, ] = 6 Zadanie 5. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach: A = (2,, 0),B = (3, 3, 5),C = (4, 0, 7) Zadanie 6. Sprawdź, czy punkty: A = (2,, 0), B = (3, 2, ), C = (0, 2, ), D = (,, 2) leżą w jednej płaszczyźnie. Zadanie 7. Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach: A = (3,, ), B = (, 4, ), C = (,, 7), D = (3, 4, 9). Zadanie 8. Wektor a tworzy z osiami OX i OZ kąty odpowiednio 60 o i 45 o. Znaleźć kąt między wektorem a a osią OY. 5

6 Krzywe stożkowe Zadanie. Dana jest elipsa o równaniu 2x 2 + 6x 2 = 92. Znaleźć jej mimośród i równania kierownic. Zadanie 2. Na elipsie znaleźć punkty, których odległość od prawego ogniska jest cztery razy większa od odległości od lewego ogniska. Równanie elipsy 36x y 2 = Zadanie 3. W elipsę wpisano sześciokąt o równych bokach, którego dwa wierzchołki leżą w końcach osi małej. Znaleźć współrzędne pozostałych wierzchołków sześciokąta, wiedząc, że elipsa ma równanie 36x 2 + 4y 2 = 44. Zadanie 4. Napisz równania stycznych do elipsy 9x 2 + 6y 2 = 44 równoległych do prostej x + y = 0. Zadanie 5. Dane są dwa punkty A(6, ) i B( 8, 2 2) leżące ma hiperboli o ogniskach położonych na osi odciętych symetrycznie względem początku układu. Wyznacz jej równanie. Zadanie 6. Napisz równanie hiperboli o ogniskach leżących w wierzchołkach osi wielkiej elipsy 6x x 2 = 400 i kierownicach przechodzących przez ogniska danej elipsy. Zadanie 7. Napisz równania stycznych do hiperboli poprowadzonych z punktu A(, 4). Równanie hiperboli 4x 2 y 2 = 4. Zadanie 8. Napisz równanie hiperboli mając dane jej asymptoty y = ± x i równanie jednej ze stycznych 5x 6y 8 = 0. 2 Zadanie 9. Znaleźć ognisko F i równanie kierownicy paraboli y 2 = 2x. Zadanie 0. Napisz równanie paraboli mając dane jej ognisko F (2, ) i równanie kierownicy x y = 0. Zadanie. Dane jest równanie paraboli x = 4 y2 + y. Wyznaczyć jej wierzchołek A, ognisko F i równanie kierownicy. Zadanie 2. Napisz równania wspólnych stycznych do elipsy 4x 2 + 9y 2 = 80 i paraboli y 2 = 20 3 x. 6

7 Prosta i płaszczyzna w R 3 Zadanie. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (2,, 3) i prostą L : x = y = z Zadanie 2. Znaleźć odległość punktu P (, 2, 3) od prostej x = 2 3x L : y = + t z = 2t oraz od płaszczyzny π : 3x 2y + 5z = 0 Zadanie 3. Znaleźć odległość między prostymi L : x 2 = y = z+2 3 L 2 : x = y = z Zadanie 4. Znaleźć rzut prostokątny prostej { 2x y + 3z + = 0 L : x + y + z + 2 = 0 na płaszczyznę π : 2x + 3y + 4z + 5 = 0. Zadanie 5. Przez punkt P (2,, 3) przeprowadzono płaszczyzny, z których jedna zawiera oś Ox, a druga oś Oy. Znaleźć kąt pomiędzy tymi płaszczyznami. Zadanie 6. Dane są: punkt A(3,, 2), prosta L : x = z 5 oraz płaszczyzna π : 4x + 7y z + 2 = 0. Znaleźć punkty B, C, D symetryczne do A względem odpowiednio: punktu P (,, 3), prostej L i płaszczyzny π. 3 = y+2 Zadanie 7. Dany jest trójkąt ABC, gdzie A(2,, 3), B(, 5, 4), C( 3,, 7). Znaleźć równania prostych leżących w płaszczyźnie tego trójkąta i będących: a) środkową boku AB b) symetralną boku c) wysokością poprowadzoną z boku C d) dwusieczną kąta przy boku A Obliczyć pole i znaleźć środek ciężkości tego trójkąta. 7

8 Powierzchnie stopnia drugiego Zadanie. Naszkicuj powierzchnię: a)z = 4 x 2 y 2 b)x 2 + y 2 + z 2 x + y 3z = 2 c)z = 5 x 2 y 2 d)z 2 = x 2 + y 2 e)z = 2 x 2 + y 2 f)z 2 = 2x 2 + 3y 2 g)z = x2 + y2 5 3 h)z = 5 2x 2 2y 2 i) x2 + y2 + z2 = j)9x 2 + 4y 2 + 9z 2 8x + 6y + 8z 2 = 0 k) x2 + y2 z2 = l) x2 + y2 z2 = m)x 2 + y 2 = R 2, z R n) x2 4 y2 =, z R o)2z = x 2 y 2 p)y 2 = 4x Zadanie 2. Jakie powierzchnie określają równania: a)2x 2 + 4y 2 + 9z 2 4x + 6y + 8z 9 = 0 b)x 2 + 9y 2 2z 2 + 2x 8y 2z 26 = 0 c)9x 2 + y x 4y 8z + 2 = 0 Zadanie 3. Wyznacz przekroje hiperboloidy jednopowłokowej 4x y 2 9z 2 36 = 0 płaszczyznami x = 2, y = 4, z = 3. Zadanie 4. Wyznacz przekroje hiperboloidy dwupowłokowej x 2 + y 2 z 2 = płaszczyznami z = 3, x =, y = 2. Zadanie 5. Wyznacz przekroje paraboloidy hiperbolicznej x 2 3y 2 2z = 0 płaszczyznami z = 0, x =, y =. Zadanie 6. Wyznacz przekroje stożka z 2 = 2x 2 + 2y 2 płaszczyznami y = x, z = 2, z = x + 2, x =. 8

9 Ciągi Zadanie. Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym a n = 2n 3n+ Zadanie 2. Dane są ciągi o wyrazach ogólnych: a)a n = 5n2 n 2 +3 b)b n = ( ) n 2n sin n n+ c)c n = n cos πn Które z tych ciągów sa ograniczone, a które nieograniczone? Zadanie 3. Wykaż, posługując się definicją granicy ciągu, że: 2n lim x 2n + = Zadanie 4. Oblicz granice ciągów: a)a n = 3n2 + n 2n 2 b)a n = n 2n c)a n = n3 n d)a n = n 2 + n 2 + n + 2 e)a n = n 4n f)a n = n n 2 + n g)a n = 3 n 3 + 5n n h)a n = 2 6n n+3 i)a n = n 4 n + 8 n + 9 n k)a n = n 0 00 n l)a n = n + n m)a n = ( + n ) n n jest rosnący. n)a n = ( n2 + 4 n 2 ) n2 +2 o)a n = ln ( + 3 n ) n 9

10 p)a n = n n+ r)a n = n2 + + n n2 + n s)a n = sin n n t)a n = ( n2 + 2n )n2 0

11 Szeregi liczbowe Zadanie. Zbadać zbieżność szeregu: ) (n 2 sin 2 n tg 5 n ) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) 2) 3) 4) 5) 6) n=2 ln( + n ) sin n!π 6 2n + 2 n + 2 n + 3 n 6 n 2 n n! n n n ( n n ) 3 n n! n n 2 + ( ) n 2 n n! + 2 n n 3 n n ln n n 4 n (2 + ( )n ) 3 5n + 2 (n + ) n n n+ 4 5n ( ) n n n +

12 7) 8) 9) 20) 2) 22) 23) 24) 25) 26) n=2 n=2 n + n 2 n ( ) n n + n n sin n n+ 0n ( ) n! n cos n sin n n n n ln n2 + n 2 ( ) n ln n n ln n sin nα (ln 0) n 2

13 Funkcje jednej zmiennej - pojęcia wstępne Zadanie.. Znaleźć dziedzinę funkcji: a)y = x +x b)y = 9 x 2 + log x+ x 2 c)y = cos x d)y = log (3 sin 2 x 4) e)y = arc cos 2x x 2 +3 f)y = arc sin ( x) + ln (ln x) Zadanie 2. Znaleźć funkcję odwrotną do danej. Wykonać wykresy. Podać dziedzinę i przeciwdziedzinę obu funkcji. a)y = log 3 x b)y = 2x x 2, dla x a)y = x+ x Zadanie 3. Dla danych funkcji f, g utworzyć funkcje złożone f(g) oraz g(f), gdzie: a)f(x) = x, g(x) = ln x b)f(x) = x, g(x) = ln ( x) Zadanie 4. Rozwiąż nierówność: arc sin 2 x 3 π2 π arc sin x + < Zadanie 5. Sprawdź równości: a) arc sin x + arc cos x = π, dla x <, > 2 b) arc tg x + arc ctg x = π, dla x R 2 3

14 Granice i ciągłość funkcji Zadanie. Posługując się definicją granicy funkcji wykazać, że: 3x + lim x 2 5x + 4 = 2 Zadanie 2. Wykaż, że nie istnieje granica: lim sin x x Zadanie 3. Obliczyć granice funkcji 3 x a) lim x 5 x b) lim (x + x 2 3x + 2) x arc cos x c) lim x x 2 d) lim( + kx) x k R x 0 e) lim x ( + k x )x k R f) lim(x 4) x 5 x 2 6x+5 g) lim arc tg x 0 x h) lim ln sin arc tg x x + i) lim 2 (x 2) 2 x 2 cos x j) lim x 0 + cos x Zadanie 4. Zbadać ciągłość funkcji: f(x) = Wykonać wykres tej funkcji. dla x (, ) x 2 arc cos x dla x <, > x 2 dla x (, + ) Zadanie 5. Znaleźć takie C, by funkcja: { tg 3x dla x 0 f(x) = sin 2x C dla x = 0 była ciągła w przedziale ( π 6, π 6 ). 4

15 Pochodna funkcji Zadanie. Posługując się definicją pochodnej znaleźć pochodne funkcji: a)y = cos 2x, w dowolnym punkcie x R b)y = 5x 2 2x, w punkcie x 0 = Zadanie 2. Zbadać różniczkowalność funkcji: a)f(x) = ln x, w punkcie x = b)f(x) = cos x, w punktach x = π 2 + nπ, n C Zadanie 3. Oblicz pochodne funkcji: a)f(x) = arc sin 2x + x 2 b)f(x) = arc cos x c)f(x) = 3 2e x + 2 x + + ln 5 x d)f(x) = ln (x + x 2 + ) e)f(x) = x x f)f(x) = x ln x f(x) = x xx Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do linii f(x) = x 8 x+ tworzy z osią OX kąt π 4. Zadanie 5. Znaleźć kąt pod jakim przecinają się krzywe: a)y = x 2, y = x b)y = cos x, y = sin x 5

16 Zadanie. Oblicz granice: ) lim ln x arc tg x x 0 + sin x 2) lim x + arc ctg x e x 3) lim 2 x 0 ctg x x 4) lim x)sin x 0 +(ctg x 5) lim x 0 +(arc tg x)sin 6) lim( 2 x 0 π arc cos x) x 7) lim (ln x)e x x + 8) lim x + [(x + )e x x] 9) lim x 0 ( tg x) ctg x 0) lim x 0 +( ln x) arc tg x ) lim(cos 2x) x 2 x 0 2) lim x 0 3) lim x π + 2 +(cos x)ctg x e tg x cos 2 x 4) lim( tg x x 0 x ) x 5) lim [x x 2 ln( + x x )] x cos x 6) lim x + x + sin x e x 7) lim x sin(x ) 8) lim( x 0 x 2 sin 2 x ) 9) lim x 0 +(cos x x ex sin x ) Reguła de L Hospitala 20) lim x + (x3 e x 2 x x2 x 3 ) 6

17 Monotoniczność, wypukłość, ekstrema, punkty przegięcia, asymptoty Zadanie. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji: a) y = x2 2x b) y = x ln 2 x c) y = xe x 2 d) y = x 2 x 2 Zadanie 2. Znaleźć przedziały wypukłości ku dołowi i ku górze funkcji a) y = x3 x 2 b) y = ln x x c) y = x 4 e x d) y = x 3 x Zadanie 3. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji a) y = x2 2x + x 2 4 b) y = x ln x c) y = x 2 e x d) y = x ( x 2 ) 3 Zadanie 4. Znaleźć punkty przegięcia funkcji a) y = x2 5x + 6 x 2 + b) y = x ln x c) y = (x 2 3)e x 2 x d) y = x 2 + x 7

18 Zadanie 5. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale domkniętym a) y = 2x < 2, 2 > x 2 + b) y = cos x + cos 2x < 0, 2π > 2 c) y = 5 4x <, > d) y = x 2 ln x < e, e > Zadanie 6. Znaleźć równania asymptot wykresów funkcji a) y = x arc tg x b) y = ln( + x) x c) y = xe x d) y = x x 2 8

19 Przebieg zmienności funkcji Zadanie. Zbadać przebieg zmienności funkcji: ) y = x ln x 2) y = ln x 3) y = e x x 4) y = xe x 5) y = x2 5x + 4 x 5 x 3 6) y = (x ) 2 7) y = x x + 4 x 8) y = x + 9) y = arc tg(ln x) 0) y = ( x 2 ) 3 9

20 Zadanie. Oblicz: ) 2) 3) 4) 5) 6) x(x 2 + 3) 0 dx x cos 7xdx xe 5x dx ln 4 x x dx sin xdx x 3 3 x2 + dx x 2 7) + x dx 6 8) (3x + 2) dx 5 2x 5 9) x 2 + x + 4 dx x 2 3x 0) x 2 + 6x + 5 dx ) 2) 3) 4) 5) x 6 x 2 + dx (x 2 + 6x + 9) 2 dx x + x2 + 4x 5 dx 2x + x x 2 dx x x2 + 4x + 7 dx Całka nieoznaczona x + 2 6) x dx 7) x2 4dx 8) sin 5 x cos 2 xdx 20

21 9) 20) 2) sin 3 x cos 6 x dx sin 4 x dx + cos x dx 22) ex dx 23) 24) x arc tg x ( + x 2 ) 2 dx ln(x + x 2 + )dx 2

22 Całka oznaczona i zastosowania geometryczne Zadanie. Obliczyć całki: e ln x a) x dx π 4 b) cos 2 x sin xdx 0 2 3x 7 c) 2 x 3 + x 2 + 4x + 4 dx 0 d) ln( x)dx 2 e) (e 5 x + 2 5x )dx 4 dx f) 0 4 x 8 x g) dx 0 8x x 2 ln x h) 0 x dx 3 xdx i) 2 x2 6x 8 π 2 j) ctg xdx 0 k) xe 3x dx 0 dx l) x 4 + x 2 0 m) e 3x dx 22

23 n) x x 2 dx arc tg x o) 0 ( + x 2 ) dx 3 p) 2 x 2 + x 2 dx e x r) 0 x dx 3 dx s) 5x 2 4x + 2 dx t) x2 + 3x 2 x 2 dx u) x Zadanie 2. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: a)y = x 2 4x + 3, y = 0 b)y = e 2x, y = e, x = 0 c)y = x 3, y = 4x 2 3x d)y = ln x, y = { x = t sin t e) y = cos t, y = 0 { x = cos f) 3 t y = sin 3, 0 t π t { x = 3t +t g) 3, 0 t < y = 3t2 +t 3 0 t 2π Zadanie 3. Obliczyć długość łuku krzywej o równaniu: a)y = x 2, 0 x b)y = (x 3) x, 0 x 3 2+ x c)y = 4 ln 2 x 4 2x, 0 x { x = 2 cos t d), 0 t 2π y = 2 sin t { x = t sin t e) y = cost, 0 t π 2 23

24 Zadanie 4. Obliczyć pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej o równaniu: a)y = x + 2, x 2 b)y = sin x, 0 x π 2 c)y 2 = 2x, 0 x Zadanie 5. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej o równaniu: a)y = x + 2, x 2 b)y = sin x, 0 x π 2 c)y = ln x, x e d)y = x 9 x, y = 0 24

25 Szeregi funkcyjne Zadanie. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu: ) ( + n )n2 x n 2) 3) 4) 5) 6) n=0 n=0 n!x n x n n! n (x 5)n ( ) n3 n 4 n n + 3 x2n+ n(3n + 2) 3 n x 2n Zadanie 2. Wyznaczyć promień zbieżności i zbadać zbieżność tego szeregu na krańcach przedziału zbieżności x n ) n 2) 3) 2 n x n n 2 n4 n x n 5 n 4) x n tg n 3 n+ 5) n4 n x2n 6) 7) 8) n=0 x 2n (n + )(n + 2)3 n (2x + ) n 3n 2 n 5 (n + )! (x + 5)2n+ 25

26 Zadanie 3. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje: a)f(x) = xe x b)f(x) = cos 2 x c)f(x) = ln(x + + x 2 ) d)f(x) = 3x 2+x e)f(x) = x 4x 2 f)f(x) = x arc sinx Zadanie 4. Rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu punktu x 0 funkcje: a)f(x) =, x x 0 = b)f(x) =, x x 2 +4x+7 0 = 2 c)f(x) = e x, x 0 = 3 d)f(x) = cos x, x 0 = π 2 Zadanie 5. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcje: a)f(x) = x, x < π, π > b)f(x) = x, x ( π, π) c)f(x) = x 2, x ( π, π) d)f(x) = { cos x, x ( π, π) 3, dla x ( π, 0 > e)f(x) = x, dla x (0, π) f)f(x) = x, x (0, 2π) Zadanie 6. Rozwinąć funkcję f w szereg Fouriera wg sinusów: a)f(x) = x, x < 0, π) b)f(x) = x, x < 0, π > c)f(x) =, x (0, π) d)f(x) = x, x ( π, 0) Zadanie 7. Funkcje z zadania 6. rozwinąć w szereg Fouriera wg cosinusów. 26

27 Funkcje wielu zmiennych Zadanie. Znaleźć dziedzinę funkcji: a)z = arc cos x y b)z = arc sin(2x 3) + 9 x 2 y 2 c)z = ln(3+y) 2x y x 2 d)z = e)z = 3x 2 f)u = y x 2 +y 2 +2y 4 y log(x 2 + y 2 + z 2 ) Zadanie 2. Znaleźć pochodne cząstkowe I-go rzędu funkcji: a)z(x, y) = log(y + ln x) b)f(x, y) = arc ctg x y c)f(x, y) = (sin x) ln y d)f(x, y, z) = x yz e)f(x, y, z) = sin x 2 tg y e sin z cos 2 y f)u = log(x 2 + y 2 + z 2 ) Zadanie 3. Znaleźć pochodne cząstkowe II-go rzędu funkcji: a)f(x, y) = arc tg x+y xy b)f(x, y) = y ln x Zadanie 4. Wykazać, że funkcja u = x y y x spełnia równanie x u + y u = (x + y + ln u)u x y Zadanie 5. Wykazać, że funkcja u(x, t) = A sin(aλt+φ) sin λx spełnia tzw. równanie struny drgającej 2 u = 2 t a2 2 u x 2 Zadanie 6. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: a)f(x, y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y 2 b)f(x, y) = x 2 + y 2 c)f(x, y) = x y + x + y d)f(x, y) = e x y (x y) 2 Zadanie 7. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w obszarze domkniętym D: a)f(x, y) = ( y)(x+y+2), D = {(x, y) : 0 x 0 y x} b)f(x, y) = 2x 2 2y 2, D = {(x, y) : x 2 + y 2 4} c)f(x, y) = 2 4 x2 9 y2, D = {(x, y) : 4 x2 + 9 y2 } Zadanie 8. Obliczyć y i y dla funkcji y = f(x) określonej równaniem: 27

28 a)f (x, y) ye x x + = 0 b)f (x, y) ln x 2 + y 2 arc tg y x = 0 c)f (x, y) xy + cos x sin y = 0 Obliczyć wartość pierwszej i drugiej pochodnej funkcji uwikłanej w punkcie P 0 = (0, 0) Zadanie 9. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej y = f(x) określonej równaniem F (x, y) = 0 a)f (x, y) x 2 2xy 3y 2 2x 6y + = 0 b)f (x, y) x 3 + y 3 + 3xy = 0 c)f (x, y) e xy xy + 2y 3 = 0 28

29 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego Zadanie. Rozwiąż równania a) yy + 4x = 0 b) t(y 2 )dt + y(t 2 )dy = 0 c) y = y2 + y() = t 2 + d) y sin t = y ln y y( π 2 ) = e Zadanie 2. Rozwiąż równania a) y = y x + tg y x b) y = 2y2 xy x 2 xy + y 2 c) (x + y)y y = 0 Zadanie 3. Rozwiąż równania a) y + y tg x = sin 2x b) y 2y x + = (x + )3, y() = 4 c) ( x 2 )y + x(y a) = 0 Zadanie 4. Rozwiąż równania a) dy + 2y = 2e6x dx b) y + y = 2x 2 2x + c) dy = y + 2x sin x dx y(0) = 0 d) dy dx + y = (2x2 + 6x + 6)e x + 4e 3x Zadanie 5. Rozwiąż równania a) y + y + y 2 sin x = 0 b) y y + 4 yx = 2xe x2 c) ( x2 y y3 ) dy dx d) dy dx = x, y() = xy 2(x 2 ) = x 2y 29

30 Zadanie 6. Rozwiąż równania x y a) x 2 + y dx + x + y 2 x 2 + y dy = 0 2 b) (x 2 + y)dx xdy = 0 c) (sin x + e y )dx + cos xdy = 0 30

31 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Zadanie. Rozwiąż równania a) y = y tg x + sin 2x b) y + 2xy = 0, y(0) = 0, y (0) = c) y 3 y + y 4 = 0 d) y = y 3 ln y Zadanie 2. Rozwiąż równania a) y 3y + 2y = xe 3x b) y y = ex e x e x + e x c) y + 4y = cos 2x d) y a 2 y = e bx, a 0, b 0 e) y + 4y = sin x, y(0) =, y (0) = f) 2y 5y 7y = e 2x + sin x 3

32 Zadanie. a) D b) c) d) D D D e) f) g) D D D Całka podwójna e x dxdy; D : x = 0, y = 2, y = e x x x 2 + y dxdy; D : y = 2 x2, y = x x 2 (y x) dxdy; D : x = y 2, y = x 2 (2x+3y +) dxdy; D-trójkąt A(, 3), B(, ), C(2, 4) x2 a y2 x2 dxdy; D-część elipsy + y2, dla x 0, y 0(a > 0, b > 0) 2 b2 a 2 b 2 R 2 (x 2 + y 2 ) dxdy; D- część koła x 2 +y 2 Rx, dla y 0 (x 2 +y 2 ) dxdy; D obszar w I ćwiartce układu współrzędnych między okręgami x 2 + y 2 = R, 2 x 2 + y 2 = R2(0 2 < R < R 2 ) h) arc tg y x dxdy; D- część koła x2 +y 2 R 2 w I ćwiartce układu współrzędnych i) j) D D D x2 y 2 dxdy; D : x2 + y 2 x R 2 (x 2 + y 2 ) dxdy; D- obszar między okręgami x 2 + y 2 = R 2 a 2, x 2 + y 2 = R 2 b 2 (0 < a < b) Zadanie 2. Znaleźć pole obszaru płaskiego ograniczonego liniami: a)y = 0; y = x; x 2 + y 2 2x = 0 b)xy = ; xy = 4; y 2 = x; y 2 = 2x c)y 2 = 2x; y 2 = x; x 2 = 2y; x 2 = y 32

33 Zastosowania całki podwójnej Zadanie. Znaleźć obrazy obszarów płaskich w przekształceniu biegunowym i naszkicować je: a)d : x 2 + y 2 4 b)d : x 2 + y 2 2x c)d : x 2 + y 2 2y d)d : x 2 + y 2 + 9y 0 e)d : x 2 + y 2 2x + 4y f)d : x 2 + y 2 4 g)d : x 2 + y 2 4 y 0 h)d : x 2 + y 2 4 x y x x > 0 i)d : x2 a 2 + y2 b 2 Zadanie 2. Obliczyć objętośc bryły V ograniczonej powierzchniami: a)z = x 2 + y 2 +, x = ±, y = ±, z = 0 b)x = y 2 + z 2, y = 2, y = z, y = 2z, x = 0 c)z = x + 2y +, y 2 = x + 4, x = 5, z = 0 d)y = x 2 + z 2, y = 4 e)x 2 + y 2 = R 2, x 2 + y 2 z 2 = 0, z = 0, z > 0 f)z = x 2 + y 2 +, z = 9 (x 2 + y 2 ) a)x = y 2 + z 2, y 2 + z 2 = 9y, x = 0 Zadanie 3. Obliczyć pole powierzchni S: a)s : x 2 + y 2 + z 2 = 9 b)s : z = 2 x, D = S xy ograniczony jest liniami y 2 = 4x, x =, x = 2 c)s : x = y 2 + z 2, dla 0 x d)s : y = 2 (x2 + y 2 ) wyciętej przez powierzchnię x 2 + z 2 = e)s : z = x2 y2, gdy D = S 2 2 xy : x 2 + y 2 3 f)s : z = x 2 + y 2 wyciętej przez powierzchnię (x 3) 2 +(y 4) 2 = g)s : z = 9 x 2 y 2 wyciętej przez powierzchnię x 2 + y 2 9y = 0 33

34 Zadanie. Oblicz całki: a) z dxdydz, V Całka potrójna gdzie V jest postaci: V = {(x, y, z) : 0 x 2, x y 2x, 0 z x 2 y 2 } b) V (2x + 3y z) dxdydz, gdzie V ograniczony powierzchniami: x = 0, y = 0, z = 0, z = 3, x + y = 2 c) V xy z dxdydz, gdzie V ograniczony powierzchniami: 4z 2 = x 2 + y 2, x = 0, y = 0, z = (x 0, y 0, z 0) d) V z x 2 + y 2 dxdydz, x 2 + y 2 = 2x, y = 0, z = 0, z = a e) V x dxdydz, V = {(x, y, z) : x2 9 + y2 4 + z2 6 f) V y dxdydz, x 2 + y 2 + z 2 = 2z, x 2 + y 2 = z 2. gdzie V ograniczony powierzchniami: gdzie V jest postaci: 4} gdzie V ograniczony powierzchniami: Zadanie 2. Oblicz masę sześcianu 0 x, 0 y, 0 z o zmiennej gęstości ρ(x, y, z) = x + y + z. Zadanie 3. Oblicz objętość bryły jaką z kuli o promieniu a wycina stożek kołowy o wierzchołku w środku kuli i kącie rozwarcia 2α, α (0, π 2 ). 34

35 Całka krzywoliniowa niezorientowana Zadanie. Oblicz całki: ) xydl K - brzeg kwadratu x + y = K dl 2) K x2 + y K - odcinek prostej o początku A( 2, 3) i końcu B(3, 4) 3) K x 2 + y 2 dl { x = a(cos t + t sin t) K : y = a(sin t t cos t) 4) xydl K : 5) K x 2 a + y2 =, x 0, y 0 2 b2 (x 2 + y 2 )dl K K : x 2 + y 2 = 4x dl 6) K x 2 + y 2 + z 2 x = a cos t K : y = a sin t t < 0, π 2 > z = bt dl 7) K x 2 + y 2 + z 2 K - odcinek AB, A(5, 0, ) B(2, 3, 4) 8) 2y 2 + z 2 dl K { y K okrąg : 2 + x 2 + z 2 = 4 y = x 9) (2x y + 3z)dl { K y K : 2 + x 2 + z 2 = 4 z = t < 0, 2π > 35

36 Zadanie. Oblicz xydx + (y x)dy, K Całka krzywoliniowa zorientowana gdzie K jest krzywą o równaniu: a) y = x b) y = x 2 c) y 2 = x d) y = x 3 od punktu A(0, 0) do punktu B(, ) Zadanie 2. Oblicz (y x)dx + xdy, K gdzie K : x 2 + y 2 = 2 od punktu A(0, 2) do punktu B(0, 2) Zadanie 3. Oblicz xydx x 2 dy, K gdzie K-łamana o wierzchołkach: A(, 0), B(4, 0), C(4, 3), D(, 3), E(, 2) skierowna od punktu A do punktu E Zadanie 4. Oblicz xydx x 2 dy, K gdzie K - łamana zamknięta ABCDEA skierowana dodatnio stosując twierdzenie Greena. Zadanie 5. Oblicz ydx xdy, K x 2 + y 2 gdzie K : x 2 + y 2 = r 2 skierowana dodatnio (Czy można stosować tw. Greena?) Zadanie 6. Oblicz x = a cos t (y z)dx+(z x)dy+(x y)dz, K : y = a sin t K z = bt Zadanie 7. Oblicz (x y)dx + (z + x)dy + xdz, K od t = 0 do t = 2π gdzie K-odcinek prostej od punktu A(2, 3, ) do punktu B(, 2, 3) 36

37 Zadanie 8. Oblicz xydx + yzdy + zxdz, K gdzie K-łuk okręgu OA położony po tej stronie płaszczyzny XOZ, gdzie y > 0 { x 2 + y 2 + z 2 = 2Rx z = x Zadanie 9. Stosując twierdzenie Greena oblicz a) e x ( cos y)dx ( sin y)dy, K gdzie K - dodatnio zorientowany brzeg obszaru D = {(x, y) : 0 x π, 0 y sin x} b) (xy + x + y)dx + (xy + x y)dy, K gdzie K zorientowany dodatnio: a) x2 + y2 =, b)x 2 + y 2 = ax, c)x 2 + y 2 = x + y, a 2 b 2 Zadanie 0. Znaleźć funkcję F (x, y) dla której wyrażenie P (x, y)dx + Q(x, y)dy jest różniczką zupełną (po sprawdzeniu, że wyrażenie to jest różniczką zupełną). a) 2x( e y ) ey dx + ( + x 2 ) 2 + x dy 2 b) dx x + y + dy x + y c) (2x + 3y)dx + (3x 4y)dy d) xdx + ydy + zdz x2 + y 2 + z 2 Zadanie. Oblicz całki a) b) c) d) e) (6,4,8) (,0, 3) (2,3,5) (,,) (2,3, 6 ) (,,) (2,) (,2) (3,0) ( 2, ) xdx + ydy zdz yzdx + zxdy + xydz yzdx + xzdy + xydz xyz ydx xdy y 2 (x 4 + 4xy 3 )dx + (6x 2 y 2 5y 4 )dy 37

38 f) (,) (0,0) (x + y)(dx + dy) 38

39 Całka powierzchniowa niezorientowana Zadanie. Oblicz całki: a) ( 5 x + 3y + z) ds, S 2 gdzie S część płaszczyzny 2x+y+z 4 = 0 leżąca w I-ej ósemce układu współrzędnych (x 0, y 0, z 0) b) x ds, S : z = x 2 y 2 S ds c) ( S x 2 + y 2 + z ), 2 gdzie S powierzchnia walca x 2 + y 2 = R 2 wycięta płaszczyznami z = 0, z = H(H > 0) d) (x 2 + y 2 + z 2 ) ds, S : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 S Zadanie 2. Oblicz masę powierzchni S, której gęstość określa funkcja: a)ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z, S : z = x 2 + y 2, z < 0, 9 > b)ρ(x, y, z) = xz+ + 4y, S : y = x 2 wycięta powierzchniami z = 0, z = 2, y = 39

40 Zadanie. Oblicz całki: Całka powierzchniowa zorientowana a) yzdydz + xzdzdx + xydxdy S S - zewnętrzna strona ostrosłupa ograniczonego płaszczyznami x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0 b) (y 2 + z 2 )dydz S S - zewnętrzna strona części paraboloidy x = a 2 y 2 z 2 odcięta płaszczyzną Y OZ c) z 2 dxdy S S : x 2 + y 2 + 2z 2 = 2 4 d) x 2 + y 2 dxdy S S - dolna strona koła x 2 + y 2 a 2 leżącego w płaszczyznie Z = 0 e) x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy S S - zewnętrzna strona powierzchni z = a 2 x 2 y 2 f) (x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ) ds S x 2 S - zewnętrzna strona powierzchni z = b + y2, 0 z b a 2 a 2 g) (x 3 cos α + y 3 cos β + z 3 cos γ) ds S S - zewnętrzna strona powierzchni x 2 + y 2 + z 2 = 3 h) x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy S S - zewnętrzna strona powierzchni sześcianu 0 x 2, 0 y 2, 0 z 2, 40

41 Pole wektorowe Zadanie. Wyznacz gradient funkcji skalarnej z F (x, y, z) = arc tg x + y + ln (x + y) 2 + z 2 Zadanie 2. Wyznacz długość i cosinusy kierunkowe gradientu funkcji skalarnej F (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + 2xy 4x + 2y 4z w punkcie M(0, 0, 0) Zadanie 3. Wyznacz dywergencję i rotację pola wektorowego w = (y 2 + z 2 ) i + (z 2 + x 2 ) j + (x 2 + y 2 ) k Zadanie 4. Wyznacz strumień wektora pola w = x i + y j + z k przez powierzchnię S : x2 + y2 + z2 = Zadanie 5. Oblicz cyrkulację wektora pola w = y i + z j + x k wzdłuż krzywej K danej równaniem x = R cos t K : y = R sin t t < 0, 2π > z = 0 Zadanie 6. Oblicz strumień wektora pola w = x i + y j + z k przez górną stronę koła wyciętego stożkiem z = x 2 + y 2 z płaszczyzny z = h (h > 0). Zadanie 7. Oblicz cyrkulację wektora pola w = y i x j + z k wzdłuż krzywej K danej równaniem { x K : 2 + y 2 + z 2 = 4 x 2 + y 2 = z 2 z 0 4