WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzeie,, S P przestrzeń probabilistycza (matematyczy model zjawiska losowego), zbiór wszystkich zdarzeń elemetarych, S zbiór zdarzeń, (podzbiory zbioru, (dokładie σ ciało podzbiorów)), P prawdopodobieństwo (fukcja przyporządkowująca zdarzeiom szasę ich zajścia). P : S R
Zmieą losową X azywamy fukcję (borelowską czyli praktyczie każdą) przyporządkowującą zdarzeiom elemetarym liczby rzeczywiste. X : Ω R
Dystrybuatą zmieej losowej X azywamy fukcję F : R R określoą wzorem: F( x) P( X x) P ((, x)) X 3
Własości dystrybuaty: a) F jest fukcją iemalejącą, b) F jest fukcją lewostroie ciągłą, c) F( ) 0; F( ), d) dystrybuata zmieej losowej wyzacza jedozaczie jej rozkład, e) P( a X b) F( b) F( a); a b ozacza graicę prawostroą, (jeśli a jest puktem ciągłości dystrybuaty to P(X = a ) = 0). f) P( X a) F( a ) F( a); gdzie F( a ) 4
Zmiea losowa jest skokowa (dyskreta) jeśli zbiór wszystkich jej wartości jest skończoy lub przeliczaly. Rozkład zmieej losowej skokowej często określamy za pomocą fukcji prawdopodobieństwa: P( X x ) p (własość: ; k pk 0 k k k p ) Liczby p k azywamy skokami, a wartości x k puktami skokowymi. 5
Zmiea losowa X o dystrybuacie F jest ciągła jeśli jej dystrybuata da się przedstawić w postaci x F( x) f ( t) dt x R gdzie f jest fukcją spełiającą waruki: f ( x) 0; x R; f ( t) dt i azywamy ją gęstością prawdopodobieństwa zmieej losowej X. 6
Własości zmieej losowej ciągłej: a) b) a P( X a) f ( x) dx F( a), P( a X P( a b) X P( a b) b a X b) f ( x) dx P( a X F( b) F( a) c) P( X a) 0, dla dowolego a R ; (brak puktów skokowych), d) F jest fukcją ciągłą i prawie wszędzie różiczkowalą F ( x) f ( x) (rówość zachodzi dla puktów ciągłości gęstości). Wyzaczając gęstość przez różiczkowaie dystrybuaty, w puktach w których F ie jest różiczkowala moża przyjąć, że gęstość jest rówa zero. 7
Własości rozkładu zmieej losowej często charakteryzujemy jej parametrami. 8
Jedym z podstawowych parametrów jest wartość oczekiwaa. Wartość oczekiwaa. Ozaczeie EX lub m. Dla zmieej losowej skokowej EX i x i p i (jeśli ewetualy szereg jest zbieży bezwzględie, takie szeregi są "odpore" p. a zmiaę kolejości wyrazów). Dla zmieej losowej ciągłej EX xf ( x) dx (jeśli ewetuala całka iewłaściwa jest zbieża bezwzględie). 9
Przykład Dla zmieej losowej o fukcji prawdopodobieństwa x k - 3 p k 0, 0,6 0, EX 0, 0,6 3 0,,6. 0
Przykład Dla zmieej losowej o gęstości f ( x) x x 0, 0 x 0, 3 x EX x xdx x dx 3 0 0 0 3
Własości wartości oczekiwaej a) Ec = c; c stała, b) E(aX) = ae(x), c) E(X + Y) = EX + EY, d) Jeśli a X b, to a EX b jeśli X Y, to EX EY, e) EX E X, EX E X f) X, Y iezależe, to E(XY) = EXEY.,
Miarą rozrzutu wartości zmieej losowej jest wariacja. Wariacja. Ozaczeie D X lub. D X = E(X EX) Dla zmieej losowej skokowej D X ( xi EX ) pi Dla zmieej losowej ciągłej D X ( x EX ) f ( x ) dx 3
Własości wariacji a) D c = 0; c stała, b) D (ax) = a D (X), c) D (X + b) = D X, b stała, d) X, Y iezależe, to D (X Y) = D X + D Y e) D X = E(X ) (EX). 4
Uzasadieie e) D X = E(X EX) = E(X XEX + (EX) ) = EX EXEX + (EX) = = E(X ) (EX). 5
Jeśli rozrzut wartości zmieej losowej chcemy (p. z powodu iterpretacji w zastosowaiach) mierzyć w tych samych jedostkach co X to stosujemy odchyleie stadardowe. 6
Odchyleie stadardowe. Ozaczeie DX lub. DX D X 7
Rozkłady skokowe Rozkład jedopuktowy Określamy: P(X = c) = gdzie c ustaloa liczba. 8
EX = c, D X = 0 (tylko te rozkład ma zerową wariację!!!) 9
Rozkład dwupuktowy (zerojedykowy) Niech p ( 0, ) będzie ustaloą liczbą. Określamy: P(X = 0) = q, P(X = ) = p ; gdzie q = p. Umowa: 0 - porażka - sukces 0
EX = p, D X = pq
Rozkład dwumiaowy Dla daych p ( 0, ), N określamy fukcję prawdopodobieństwa P( X k) k p k q k gdzie q = p k = 0,,,...,. (wzór Beroulliego)
Jakub Beroulli (654-705) - szwajcarski matematyk i fizyk. 3
Jeśli przyjmiemy, że ozacza liczbę iezależych doświadczeń z których każde kończy się jedym z dwóch wyików: sukcesem" (z prawdopodobieństwem p w każdym doświadczeiu) lub porażką i zmiea losowa X ozacza liczbę sukcesów to powyższy wzór wyzacza prawdopodobieństwo uzyskaia dokładie k sukcesów w doświadczeiach (próbach). 4
Sprawdzeie k0 P( X k) k0 p k k q k p q 5
EX = p, D X = pq 6
Rozkład geometryczy X - liczba prób Beroulliego poprzedzających pierwszy sukces q = - p k = 0,,,... P( X k) k pq 7
Sprawdzeie k 0 P( X k) k 0 pq k p q 8
EX = q/p; D X = q/p 9
Rozkład Poissoa Dla > 0 określamy fukcję prawdopodobieństwa k P( X k ) k! e k = 0,,,... 30
Siméo Deis Poisso (78 840), fracuski mechaik teoretyk, fizyk i matematyk. W matematyce zajmował się całkami ozaczoymi, rówaiami różicowymi i różiczkowymi oraz teorią prawdopodobieństwa. 3
Sprawdzeie k0 e P( X k) k0 k k! e k0 e k e k! 3
EX = D X = 33
Rozkład Poissoa (możliwość odczytu w tablicy) może dla dużych (praktyczie 30) i małych p (praktyczie p 0,) przybliżać rozkład dwumiaowy (przybliżeie Poissoa) k p k q k k e k! gdzie p 34
Rozkłady ciągłe Rozkład jedostajy Rozkład którego gęstość jest stała w pewym przedziale azywamy jedostajym. Gęstość rozkładu jedostajego w (a, b) f x b a x ( ( ) a ; b ) 0 x ( a; b) 35
Poieważ gęstość ta ma oś symetrii w pukcie x = (a + b)/ to EX = (a+b)/ 36
Pokażemy, że DX = (b a)/ 37
38 Przykład Najpierw obliczymy EX 3 3 3 3 3 3 3 b ab a a b a b x a b dx a b x EX b a b a Zatem 3 ) ( a b b a b ab a EX EX X D
Rozkład wykładiczy Rozkład te występuje często w zagadieiach rozkładu czasu między zgłoszeiami (awariami) lub czasu oczekiwaia a obsługę w systemach kolejkowych. Gęstość rozkładu wykładiczego o parametrze a > 0 ma postać ae f ( x) 0 ax x 0 x 0 39
dystrybuatą tego rozkładu jest fukcja ax e x 0 F( x) 0 x 0 (uzasadieie: F'(x) = f(x)) 40
Przykład Obliczymy EX EX 0 Uwaga. xae ax ax ax dx xe e a Podobie moża udowodić, że 0 a D X a 4
Rozkład ormaly (Gaussa) Dla m R, ( 0, ) Określamy gęstość rozkładu N ( m, ) f ( x) e ( xm) x R 4
Carl Friedrich Gauss (777-855) iemiecki matematyk i fizyk. Jego badaia związae z teorią błędów doprowadziły do odkrycia rozkładu ormalego zmieej losowej (azyway także rozkładem Gaussa), który jest ajważiejszym rozkładem w teorii prawdopodobieństwa. 43
44
Uwaga Jeśli X ma rozkład N(m, ) to zmiea losowa Y = (X m)/ ma rozkład N(0, ) (takie przekształceie azywamy stadaryzacją). 45
Wartości dystrybuaty dla argumetów ujemych wyzaczamy a podstawie zależości ( x) = (x) 46
Przykład Dochód miesięczy (zł) w pewej populacji osób ma rozkład ormaly N(600; 300). Jaki procet osób w tej populacji ma dochód miesięczy poiżej 000 zł? X wysokość miesięczego dochodu P( X 000) P X 600 300 000 600 300 P Y ( ) () 0,977 0,08,8% 47
Przykład Czas wykoaia pewego detalu (mi.) jest zmieą losową o rozkładzie ormalym N(m; ). Wiadomo, że 80% robotików wykouje te detal dłużej iż 0 miut a 60% robotików dłużej iż miut. a) wyzacz parametry rozkładu czasu wykoaia detalu m i, b) jaki odsetek robotików wykouje te detal w czasie krótszym iż 6 miut? X czas wykoaia detalu. 48
P ( X 0) 0,8 stąd m 0 0,84 m 0, P ( X ) 0,6 stąd 5 Rozwiązując powyższy układ rówań otrzymamy m =,85; = 3,39. P( X 6) P X,85 6,85 3,39 3,39 (,0) (,0) 0,07, 7% PY,0 49
Prawo trzech sigm Jeśli X ma rozkład N(m, ) to P( m X m ) P( m X m ) P ( m3 X m3 ) 0,683 0,955, 0,997 Ostatia rówość świadczy o tym, że chociaż rozkład ormaly ma gęstość różą od zera a całej prostej to praktyczie iemal wszystkie realizacje skupiają się w przedziale ( m 3, m 3 ) własość tą azywamy prawem trzech sigm., m 38 m + 38 m 50
Iterpretacja graficza parametrów rozkładu N(m, ) m m 5
Trzy rozkłady ciągłe, które mają duże zaczeie w statystyce matematyczej: Rozkład chi kwadrat, Rozkład Studeta, Rozkład F Sedecora Rozkłady te są stablicowae. 5
Rozkład chi kwadrat (χ ) Y liczba stopi swobody Y X... X X,..., X - iezależe, o rozkładzie N(0, ) EX = ; DX = 53
Karl Pearso (857 936) agielski matematyk, prekursor statystyki matematyczej 54
55 Gęstość rozkładu Y 0 0 0 ) ( y y e y y f y Uwaga. - fukcja Eulera, 0 ) ( dx e x x p. () = ( - )!; ) / ( ; )!! ( ) (
mediaa domiata m e = x 0,5-0,67 d = -, > 56
Odczyt z tablicy dla rozkładu chi kwadrat. (podobie iterpretujemy graficzie odczyt z tablicy F Sedecora.) P( Y k) Uwaga. ) Dla =, wykres gęstości rozkładu chi kwadrat jest iy (tylko część malejąca wykresu) ) dla > 30 stosujemy przybliżeie rozkładem ormalym. ~ N( ;) Y 57
Rozkład Studeta T liczba stopi swobody X, Y - iezależe X o rozkładzie N(0, ); Y o rozkładzie chi kwadrat z stopiami swobody X Y EX = 0 ; dla > DX = /(-) dla > 58
59 Gęstość rozkładu T R t t t f ` ) ( Uwaga. - fukcja Eulera, 0 ) ( dx e x x p. () = ( - )!; ) / ( ; )!! ( ) (
William Gosset (876 937), statystyk agielski. Publikował pod pseudoimem Studet (stąd azwa wprowadzoego przez iego - w roku 908 - rozkładu prawdopodobieństwa: rozkład Studeta). 60
Odczyt z tablicy (tablica IV) dla rozkładu Studeta. P( T k) Uwaga. T k k N ( 0, ) 6
Rozkład F Sedecora ; N stopie swobody Y Y ; F, - iezależe o rozkł. chi kwadrat Y Y ; 6
EX = DX = 4 ( ) dla > dla > 4 63
64 gęstość 0 0 0 ) ( x x x x x f W tablicy ) ( F ; k P
65 TABLICE Tablica I. Rozkład Poissoa. P X k k e k ( )! \ k 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 0,9048 887 7408 6703 6065 5488 4966 4493 4066 3679 3 353 08 0498 030 083 0 0067 005 0009 0003 000 0000 0,0905 637 68 3033 393 3476 3595 3659 3679 3347 707 05 494 057 0733 0500 0337 049 0064 007 00 0005 0,0045 064 0333 0536 0758 0988 7 438 646 839 50 707 565 40 850 465 5 084 0446 03 007 0050 003 0,000 00 0033 007 06 098 084 0383 0494 063 55 804 38 40 58 954 687 404 089 05 086 050 0076 0,0000 000 0003 0007 006 0030 0050 0077 0 053 047 090 336 680 888 954 898 755 339 09 0573 0337 089 0,0000 0000 000 000 0004 0007 00 000 003 04 036 0668 008 3 563 708 755 606 77 096 0607 0378 0,0000 0000 0000 000 000 0003 0005 0035 00 078 0504 077 04 8 46 606 490 09 063 0,0000 0000 0000 000 0008 0034 0099 06 0385 0595 084 044 377 490 396 7 090 0,0000 000 0009 003 008 069 098 0463 0653 033 304 396 38 6 0,0000 000 0009 007 0066 03 03 0363 0688 04 4 38 5 0,0000 000 0008 003 0053 004 08 043 070 0993 86 5 0,0000 000 0007 009 0043 008 05 045 07 0970 37 \ k 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 0,000 000 0006 006 0034 03 064 048 078 0948 0,0000 000 000 0006 003 005 04 096 0504 079 0,0000 000 000 0005 00 007 069 034 05 0,0000 000 000 0009 0033 0090 094 0347 0,0000 0000 0003 004 0045 009 07 0,000 0006 00 0058 08 0,0000 000 0009 009 007 0,000 0004 004 0037 0,0000 000 0006 009 0,000 0003 0009 0,0000 000 0004 0,0000 000 0,000
Tablica II. Dystrybuata (x) rozkładu ormalego N(0, ) (-x) = - (x) x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 x 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 0,0 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0, 0, 0,5793 0,583 0,586 0,590 0,5949 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0, 0,3 0,679 0,67 0,65 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,3 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,684 0,6879 0,4 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,5 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,6 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,7 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,8 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389 0,9,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,86,0, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830,, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9047,,3 0,9030 0,90490 0,90658 0,9084 0,90988 0,949 0,9309 0,9466 0,96 0,9774,3,4 0,994 0,9073 0,90 0,9354 0,9507 0,9647 0,9785 0,99 0,93056 0,9389,4,5 0,9339 0,93448 0,93574 0,93699 0,938 0,93943 0,9406 0,9479 0,9495 0,94408,5,6 0,9450 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,9554 0,9554 0,9535 0,95449,6,7 0,95543 0,95637 0,9578 0,9588 0,95907 0,95994 0,96080 0,9664 0,9646 0,9637,7,8 0,96407 0,96485 0,9656 0,96638 0,967 0,96784 0,96856 0,9696 0,96995 0,9706,8,9 0,978 0,9793 0,9757 0,9730 0,9738 0,9744 0,97500 0,97558 0,9765 0,97670,9,0 0,9775 0,97778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,98030 0,98077 0,984 0,9869,0, 0,984 0,9857 0,98300 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,98500 0,98537 0,98574,, 0,9860 0,98645 0,98679 0,9873 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899,,3 0,9898 0,98956 0,98983 0,9 0097 0,9 0358 0,9 063 0,9 06 0,9 06 0,9 344 0,9 576,3,4 0,9 80 0,9 04 0,9 40 0,9 45 0,9 656 0,9 857 0,9 3053 0,9 344 0,9 343 0,9 363,4 66
x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 x,5 0,9 3790 0,9 3963 0,9 43 0,9 497 0,9 4457 0,9 464 0,9 4766 0,9 495 0,9 5060 0,9 50,5,6 0,9 5339 0,9 5473 0,9 5604 0,9 573 0,9 5855 0,9 5975 0,9 6093 0,9 607 0,9 639 0,9 647,6,7 0,9 6533 0,9 6636 0,9 6736 0,9 6833 0,9 698 0,9 700 0,9 70 0,9 797 0,9 78 0,9 7365,7,8 0,9 7445 0,9 753 0,9 7599 0,9 7673 0,9 7744 0,9 784 0,9 788 0,9 7948 0,9 80 0,9 8074,8,9 0,9 834 0,9 893 0,9 850 0,9 8305 0,9 8359 0,9 84 0,9 846 0,9 85 0,9 8559 0,9 8605,9 3,0 0,9 8650 0,9 8694 0,9 8736 0,9 8777 0,9 887 0,9 8856 0,9 8893 0,9 8930 0,9 8965 0,9 8999 3,0 3, 0,9 3 034 0,9 3 0646 0,9 3 0957 0,9 3 60 0,9 3 553 0,9 3 836 0,9 3 0,9 3 378 0,9 3 636 0,9 3 886 3, 3, 0,9 3 39 0,9 3 3363 0,9 3 3590 0,9 3 380 0,9 3 400 0,9 3 430 0,9 3 449 0,9 3 463 0,9 3 480 0,9 3 499 3, 3,3 0,9 3 566 0,9 3 5335 0,9 3 5499 0,9 3 5658 0,9 3 58 0,9 3 5959 0,9 3 603 0,9 3 64 0,9 3 6376 0,9 3 6505 3,3 3,4 0,9 3 663 0,9 3 675 0,9 3 6869 0,9 3 698 0,9 3 709 0,9 3 797 0,9 3 799 0,9 3 7398 0,9 3 7493 0,9 3 7585 3,4 3,5 0,9 3 7674 0,9 3 7759 0,9 3 784 0,9 3 79 0,9 3 7999 0,9 3 8074 0,9 3 846 0,9 3 85 0,9 3 88 0,9 3 8347 3,5 3,6 0,9 3 8409 0,9 3 8469 0,9 3 857 0,9 3 8583 0,9 3 8637 0,9 3 8689 0,9 3 8739 0,9 3 8787 0,9 3 8834 0,9 3 8879 3,6 3,7 0,9 3 89 0,9 3 8964 0,9 4 0039 0,9 4 046 0,040799 0,9 4 58 0,9 4 504 0,9 4 838 0,9 4 59 0,9 4 468 3,7 3,8 0,9 4 765 0,9 4 305 0,9 4 337 0,9 4 3593 0,9 4 3848 0,9 4 4059 0,9 4 433 0,9 4 4558 0,9 4 4777 0,9 4 4988 3,8 3,9 0,9 4 590 0,9 4 5385 0,9 4 5573 0,9 4 5753 0,9 4 596 0,9 609 0,9 4 653 0,9 4 6406 0,9 4 6554 0,9 4 6696 3,9 4,0 0,9 4 6833 0,9 4 6964 0,9 4 7090 0,9 4 7 0,9 4 737 0,9 4 7439 0,9 4 7536 0,9 4 7649 0,9 4 7748 0,9 4 7843 4,0 4, 0,9 4 7934 0,9 4 80 0,9 4 806 0,9 4 886 0,9 4 863 0,9 4 8338 0,9 4 8409 0,9 4 8477 0,9 4 854 0,9 4 8605 4, 4, 0,9 4 8665 0,9 4 873 0,9 4 8778 0,9 4 883 0,9 4 888 0,9 4 893 0,9 4 8978 0,9 5 06 0,9 5 0655 0,9 5 066 4, 4,3 0,9 5 460 0,9 5 837 0,9 5 09 0,9 5 545 0,9 5 876 0,9 5 393 0,9 5 3497 0,9 5 3788 0,9 5 4066 0,9 5 433 4,3 4,4 0,9 5 4587 0,9 5 483 0,9 5 5065 0,9 5 588 0,9 5 550 0,9 5 5706 0,9 5 590 0,9 5 6089 0,9 5 668 0,9 5 6439 4,4 4,5 0,9 5 660 0,9 5 6759 0,9 5 6908 0,9 5 705 0,9 5 787 0,9 5 738 0,9 5 744 0,9 5 756 0,9 5 7675 0,9 5 7784 4,5 4,6 0,9 5 7888 0,9 5 7987 0,9 5 808 0,9 5 87 0,9 5 858 0,9 5 8340 0,9 5 849 0,9 5 8494 0,9 5 8566 0,9 5 8634 4,6 4,7 0,9 5 8699 0,9 5 876 0,9 5 88 0,9 5 8877 0,9 5 893 0,9 5 8983 0,9 6 030 0,9 6 0789 0,9 6 35 0,9 6 66 4,7 4,8 0,9 6 067 0,9 6 453 0,9 6 8 0,9 6 373 0,9 6 3508 0,9 6 387 0,9 6 43 0,9 6 440 0,9 6 4696 0,9 6 4958 4,8 4,9 0,9 6 508 0,9 6 5446 0,9 6 5673 0,9 6 5889 0,9 6 6094 0,9 6 689 0,9 6 6475 0,9 6 665 0,9 6 68 0,9 6 698 4,9 Wartości k gdy (k) =. 0,9 0,9 0,9 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,975 0,98 0,985 0,99 0,995 k,8,34,405,476,555,645,75,88,960,054,70,36,576 0,6 0,7 0,8 0,999 0,9999 0,99999 0,999999 k 0,53 0,54 0,84 k 3,090 3,79 4,65 4,753 67
68 Tablica III. Tablica rozkładu chi kwadrat Tablica podaje wartości x takie, że P Y x ( ), - ilość stopi swobody 0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0,00 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 0,000 0,00 0,5 0,97 0,554 0,87,39,646,088,558 3,053 3,57 4,07 4,660 5,9 5,8 6,408 7,05 7,633 8,60 8,897 9,54 0,96 0,856,54,98,879 3,565 4,56 4,953 0,0006 0,0404 0,85 0,49 0,75,34,564,03,53 3,059 3,609 4,78 4,765 5,368 5,985 6,64 7,55 7,906 8,567 9,37 9,95 0,600,93,99,697 3,409 4,5 4,847 5,574 6,306 0,004 0,03 0,35 0,7,45,635,67,733 3,35 3,940 4,575 5,6 5,89 6,57 7,6 7,96 8,67 9,390 0,7 0,85,59,338 3,09 3,848 4,6 5,379 6,5 6,98 7,708 8,493 0,06 0, 0,584,064,60,04,833 3,490 4,68 4,865 5,578 6,304 7,04 7,790 8,547 9,3 0,085 0,865,65,443 3,40 4,04 4,848 5,659 6,473 7,9 8,4 8,939 0,599 3,364 0,064 0,446,005,649,343 3,070 3,8 4,594 5,380 6,79 6,989 7,807 8,634 9,467 0,307,5,00,857 3,76 4,587 5,445 6,34 7,87 8,06 8,940 9,80 0,703,588,475 3,364 0,48 0,73,44,95 3,000 3,88 4,67 5,57 6,393 7,67 8,48 9,034 9,96 0,8,7,64 3,53 4,440 5,35 6,66 7,8 8,0 9,0 9,943 0,867,79,79 3,647 4,577 5,508 0,455,386,366 3,357 4,35 5,348 6,346 7,344 8,343 9,34 0,34,340,340 3,339 4,339 5,338 6,338 7,338 8,338 9,337 0,337,337,337 3,337 4,337 5,336 6,336 7,336 8,336 9,336,074,408 3,665 4,878 6,064 7,3 8,383 9,54 0,656,78,899 4,0 5,9 6,6 7,3 8,48 9,5 0,60,689,775 3,858 4,939 6,08 7,096 8,7 9,46 30,39 3,39 3,46 33,530,64 3,665 4,64 5,989 7,89 8,558 9,803,030,4 3,44 4,63 5,8 6,985 8,5 9,3 0,465,65,760 3,900 5,038 6,7 7,30 8,49 9,553 30,675 3,795 3,9 34,07 35,39 36,50,706 4,605 6,5 7,779 9,36 0,645,07 3,36 4,684 5,987 7,75 8,549 9,8,064,307 3,54 4,769 5,989 7,04 8,4 9,65 30,83 3,007 33,96 34,38 35,563 36,74 37,96 39,087 40,56 3,84 5,99 7,85 9,488,070,59 4,067 5,507 6,99 8,307 9,675,06,36 3,685 4,996 6,96 7,587 8,869 30,44 3,40 3,67 33,94 35,7 36,45 37,65 38,885 40,3 4,337 4,557 43,773 5,4 7,84 9,837,668 3,388 5,033 6,6 8,68 9,679,6,68 4,054 5,47 6,873 8,59 9,633 30,995 3,346 33,687 35,00 36,443 37,659 38,968 40,70 4,566 4,856 44,40 45,49 46,693 47,96 6,635 9,0,345 3,77 5,086 6,8 8,475 0,090,666 3,09 4,75 6,7 7,688 9,4 30,578 3,000 33,409 34,805 36,9 37,566 38,93 40,89 4,638 4,980 44,34 45,64 46,963 48,78 49,588 50,89 0,87 3,85 6,68 8,465 0,57,457 4,3 6,5 7,877 9,588 3,64 3,909 34,58 36,3 37,697 39,5 40,790 4,3 43,80 45,35 46,797 48,68 49,78 5,79 5,60 54,05 55,476 56,893 58,30 59,703 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30
69 Tablica IV. Tablica rozkładu Studeta Tablica podaje wartości x takie, że P T x ( ), - ilość stopi swobody 0,90 0,80 0,70 0,60 0,40 0,30 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0,00 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 40 60 0 0,58 0,4 0,37 0,34 0,3 0,3 0,30 0,30 0,9 0,9 0,9 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,6 0,6 0,6 0,6 0,35 0,89 0,77 0,7 0,67 0,65 0,63 0,6 0,6 0,60 0,60 0,59 0,59 0,58 0,58 0,58 0,57 0,57 0,57 0,57 0,57 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,55 0,54 0,54 0,53 0,50 0,445 0,44 0,44 0,408 0,404 0,40 0,399 0,398 0,397 0,396 0,395 0,394 0,393 0,393 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,390 0,390 0,390 0,390 0,390 0,389 0,389 0,389 0,389 0,388 0,387 0,386 0,385 0,77 0,67 0,584 0,569 0,559 0,553 0,549 0,546 0,543 0,54 0,540 0,539 0,538 0,537 0,536 0,535 0,534 0,534 0,533 0,533 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,530 0,530 0,530 0,59 0,57 0,56 0,54,376,06 0,978 0,94 0,90 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,86 0,86 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 0,85 0,848 0,845 0,84,963,386,50,90,56,34,9,08,00,093,088,083,079,076,074,07,069,067,066,064,063,06,060,059,058,058,057,056,055,055,050,046,04,036 3,078,886,638,533,476,440,45,397,383,37,363,356,350,345,34,337,333,330,38,35,33,3,39,38,36,35,34,33,3,30,303,96,89,8 6,34,90,353,3,05,943,895,860,833,8,796,78,77,76,753,746,740,734,79,75,7,77,74,7,708,706,703,70,699,697,684,67,658,645,706 4,303 3,8,776,57,447,365,306,6,8,0,79,60,45,3,0,0,0,093,086,080,074,069,064,060,056,05,048,045,04,0,000,980,960 3,8 6,965 4,54 3,747 3,365 3,43,998,896,8,764,78,68,650,64,60,583,567,55,539,58,58,508,500,49,485,479,473,467,46,457,43,390,358,36 63,657 9,95 5,84 4,604 4,03 3,707 3,499 3,355 3,50 3,69 3,06 3,055 3,0,977,947,9,898,878,86,845,83,89,807,797,787,779,77,763,756,750,704,660,67,576 636,69 3,598,94 8,60 6,859 5,959 5,405 5,04 4,78 4,587 4,437 4,38 4, 4,40 4,073 4,05 3,965 3,9 3,883 3,850 3,89 3,79 3,767 3,745 3,75 3.707 3,690 3,674 3,659 3,646 3,55 3,460 3,373 3,9 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 40 60 0
Tablica V. Tablica rozkładu F - Sedecora P F ; k) ( 3 4 5 6 7 8 0 0 40 60 00 Tablica dla = 0,05: 6 00 6 5 30 34 37 39 4 48 5 5 53 54 8,5 9,0 9, 9, 9, 9,3 9,3 9,4 9,4 9,4 9,5 9,5 9,5 9,5 3 0, 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,79 8,66 8,59 8,57 8,55 8,53 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 5,96 5,8 5,7 5,69 5,66 5,63 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,74 4,56 4,64 4,43 4,4 4,37 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,06 3,87 3,77 3,74 3,7 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,64 3,44 3,34 3,3 3,7 3,3 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,35 3,5 3,04 3,0,97,93 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,4,94,83,79,76,7 0 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07,98,77,66,6,59,54 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,85,65,53,49,46,40 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,75,54,43,38,35,30 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77,67,46,34,30,6, 4 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,60,39,7,,9,3 5 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64,54,33,0,6,,07 6 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,49,8,5,,07,0 7 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55,45,3,0,06,0,96 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,4,9,06,0,98,9 9 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48,38,6,03,98,94,88 0 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,35,,99,95,9,84 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,3,0,96,9,88,8 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,30,07,94,89,85,78 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,7,05,9,86,8,76 4 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,5,03,89,84,80,73 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,4,0,87,8,78,7 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,,99,85,80,76,69 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,0,97,84,79,74,67 8 4,0 3,34,95,7,56,45,36,9,9,96,8,77,73,65 9 4,8 3,33,93,70,55,43,35,8,8,94,8,75,7,64 30 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7,6,93,79,74,70,6 40 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8,08,84,69,64,59,5 50 4,03 3,8,79,56,40,9,0,3,03,78,63,58,5,44 00 3,94 3,09,70,46,3,9,0,03,93,68,5,45,39,8 00 3,89 3,04,69,4,6,4,06,98,88,6,46,39,3,9 3,84 3,00,60,37,,0,0,94,83,57,39,3,4,00. 70
Cetrale twierdzeie graicze Lideberga Levy'ego Jeśli iezależe zmiee losowe X i (i =,,..., ) mają taki sam rozkład oraz istieje E(X ) = m i D (X ) = > 0 to ciąg dystrybuat (F ) stadaryzowaych średich arytmetyczych X (lub stadaryzowaych sum i Y X i ) X / m i X m jest zbieży do dystrybuaty rozkładu N(0, ).. 7
Prawo wielkich liczb Chiczya (X i ) ciąg iezależych zmieych losowych o takim samym rozkładzie oraz iech istieje E(X i ) = m. Y Wtedy ciąg X i jest zbieży i stochastyczie do m.. 7
Populacja to zbiorowość podlegająca badaiu statystyczemu. Aby populację określić jedozaczie charakteryzujemy ją pod względem: rzeczowym czasowym przestrzeym (terytorialym).. 73
Cecha to właściwość elemetów populacji ze względu a którą prowadzimy badaie statystycze. Wariaty to wartości cechy (cecha powia mieć przyajmiej dwa wariaty).. 74
Przykład Populacja: Studeci II semestru Wydziału Cyberetyki WAT, wg stau a.03.08. Cechy: płeć, wzrost, kolor oczu, ocea a egzamiie z matematyki po I semestrze, ulubioy tygodik, wysokość miesięczych dochodów, czas poświęcoy a aukę w tygodiu poprzedzającym ostatią sesję egzamiacyją.. 75
Przykład Populacja: Samochody osobowe zarejestrowae w Warszawie, wg stau a.09.07. Cechy: kolor karoserii, przebieg, średie zużycie paliwa a 00 km, marka, czas osiągaia prędkości 00 km/godz.. 76
Uproszczoa klasyfikacja cech:. 77
Badaie statystycze może być: pełe (obejmuje całą populację), częściowe (obejmuje część populacji próbę).. 78
Próba powia być reprezetatywa tz. rozkład wariatów badaej cechy w próbie powiie być zbliżoy do rozkładu w całej populacji.. 79
George Gallup 90-984 Pioier w dziedziie badaia opiii publiczej. Rozwiął techikę doboru grupy reprezetatywej. 80
Rok 936 - wybory prezydeckie w USA. Frakli Delao Roosvelt - Partia Demokratycza, Alf Lado - Partia Republikańska. "Literary Digest" 0 ml akiet (zwrot ok. ml), - ieprawidłowa progoza. Gallup 4000 akiet (w 935 założył pierwszy a świecie istytut badaia opiii publiczej) - prawidłowa progoza. Wyiki: Roosvelt - 60,8%, Lado - 36,5%.. 8
Uwaga Badaia pełe ie zawsze są możliwe lub celowe (badaia iszczące, duża próba, wysokie koszty).. 8
Humor Polski lata 80-te. 83
Liczebość próby. Dla reprezetatywej próby dorosłej liczebości Polski zwykle 000 300 osób. Jerzy Spława-Neyma (894-98) polski i amerykański matematyk i statystyk. Wprowadził pojęcie przedziału ufości.. 84
ROZKŁADY PODSTAWOWYCH STATYSTYK X zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (X, X,...,X ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, X i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak X (taką próbę azywamy próbą prostą). Jeśli x i jest wartością zmieej X i (i =,,..., ) to ciąg (x, x,..., x ) azywamy realizacją próby (są to dae statystycze).. 85
Statystyka to praktyczie dowola fukcja od próby Y = g(x, X,..., X ) Statystyka przekształca iformację zawartą w próbie czyiąc prostszym wioskowaie o rozkładzie cechy w populacji.. 86
Statystyka jako fukcja od zmieej losowej jest też zmieą losową i możemy mówić o jej rozkładzie. Statystyka ma rozkład dokłady, jeśli jest spełioy dla każdego. Statystyka ma rozkład asymptotyczy, jeśli jest spełioy, gdy dąży do ieskończoości.. 87
Statystyki podstawowe: X X i X i średia z próby Gdy X i mają rozkład zerojedykowy ( sukces, 0 porażka) to średią możemy zapisać w postaci Y W gdzie Y jest liczbą sukcesów w próbie Te szczególy przypadek średiej azywamy średią częstością sukcesu.. 88
89. i i X X S S wariacja z próby Uwaga. i X i X S i i S X X S S odchyleie stadardowe z próby
90. i i X X S S ˆ ˆ wariacja z próby ieobciążoa i i m X S S 0 0 wariacja z próby dla daej wartości oczekiwaej m.
Uwaga Sˆ S zatem dla dużych S ˆ S ˆ S S. 9
Rozkłady iektórych statystyk: Jeśli cecha X ma rozkład N(m, ), to:,, a) statystyka X ma rozkład N m X m b) statystyka S ma rozkład Studeta z - stopiami swobody, S c) statystyka 0 ma rozkład chi kwadrat z stopiami swobody, S d) statystyka ma rozkład chi kwadrat z - stopiami swobody,. 9
Jeśli cecha X ma rozkład N(m, ) a cecha Y ma rozkład N(m, ), (próby iezależe odpowiedio i elemetowe) to: e) statystyka X Y ma rozkład N m m,, gdy X ma rozkład N(m, ), Y ma rozkład N(m, ), to X Y ( ) e ) statystyka S S ma rozkład Studeta z + - stopiami swobody, f) statystyka Sˆ Sˆ ( Y ) ( X ) ma rozkład F,,. 93
Uwaga. ) Statystyki X i S są zmieymi losowymi iezależymi, ) Ciąg średich z próby jest zbieży (wg prawdopodobieństwa) do wartości oczekiwaej m rozpatrywaej cechy (zakładamy, że EX = m istieje), 3) Ciąg wariacji z próby jest zbieży (wg prawdopodobieństwa) do wariacji rozpatrywaej cechy (zakładamy, że D X = > 0 istieje), 4) Gdy spełioe są założeia puktu ) i 3) to średia ma dla dużych w przybliżeiu rozkład N m, (rozkład asymptotyczy) W szczególości średia częstość sukcesu ma rozkład asymptotyczy p( p) N p,, gdzie p prawdopodobieństwo sukcesu. Y W. 94
ESTYMACJA PUNKTOWA Niech - iezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będziemy estymować (przybliżać) a podstawie elemetowej próby. - wybieramy statystykę U o rozkładzie zależym od - obliczamy a podstawie próby jej wartość u - przyjmujemy, że u Statystykę U azywamy estymatorem parametru.. 95
Klasyfikacja estymatorów. Estymator U jest: - zgody jeśli U wg prawdopodobieństwa - ieobciążoy jeśli E ( U ) - asymptotyczie ieobciążoy jeśli lim E ( U ) - ajefektywiejszy gdy jest ieobciążoy i ma ajmiejszą wariację w klasie ieobciążoych estymatorów tego parametru, - asymptotyczie ajefektywiejszy gdy jest ieobciążoy lub asymptotyczie ieobciążoy i jego wariacja dąży do wariacji estymatora ajefektywiejszego.. 96
Przykład Niech X N(m; ). Przyjmijmy, że mamy próbę (X, X, X 3, X 4 ). Zakładamy, że = jest zae, szukamy estymatora parametru m. Rozpatrzmy kilka prostych estymatorów. U U ( X U U U U X X 4 X 3 3 X 4 ( X 3 X U 4 X 3 5 X 4 6 0 4 i ix i ) ) Sprawdzimy własości tych estymatorów.. 97
Policzmy wartości oczekiwae tych estymatorów (zbadamy czy są ieobciążoe). EU m EU m EU m 3 m E U 4 3 EU 5 m EU 6 m Zatem estymatory U i U 4 są obciążoe, ależy je odrzucić.. 98
Policzmy wariacje pozostałych estymatorów. D U 0, 5 D U 3 0, 5 D U 5, 5 D U 6 0, 3 Zatem estymator U 3 ma ajmiejszą wariację.. 99
Estymatory parametrów rozkładu N(m, ). Parametr Estymator Własości estymatora m X Zgody. Nieobciążoy. Najefektywiejszy. S Zgody. Asymptot. ieobciążoy. Asymptot. ajefektywiejszy. S Zgody. Nieobciążoy. ˆ Asymptot. ajefektywiejszy. 0 S Zgody. Nieobciążoy. Najefektywiejszy. S Ŝ Zgode. Asymptot. ieobciążoe. Asymptot. ajefektywiejsze. 0 S. 00
Estymatory iych parametrów. Parametr Estymator Własości estymatora Wartość oczekiwaa (rozkład dowoly) (rozkład Poissoa) p (rozkład zero-jedykowy) Wariacja (rozkład dowoly) X X liczba W sukcesów = średia częstość sukcesu S S ˆ Zgody. Nieobciążoy. Zgody. Nieobciążoy. Najefektywiejszy. Zgody. Nieobciążoy. Najefektywiejszy. Zgody. Asymptot. ieobciążoy. Zgody. Nieobciążoy.. 0
Uwaga a) w praktyce zgodość estymatora sprawdza się a podstawie praw wielkich liczb lub korzysta się z faktu, że estymator ieobciążoy (asymptotyczie ieobciążoy), którego wariacja dąży do zera (tz. lim D U 0 ) jest estymatorem zgodym. b) w praktyce efektywość estymatora bada się a podstawie ierówości Rao-Cramera:. 0
03. Dla (praktyczie każdego) estymatora ieobciążoego U prawdziwa jest ierówość i i p i p d d U D ) ( ) ( l dla zmieej losowej skokowej )dx x, ( f ) x, ( f l U D dla zmieej losowej ciągłej
Przy czym dla estymatora ajefektywiejszego zachodzi rówość (jeśli istieje estymator ajefektywiejszy to prawe stroy powyższych ierówości są rówe jego wariacji).. 04
C. R. Rao (90 - ), Harald Cramér (893-985), statystyk matematyk, statystyk,. 05
. 06
Przykład Niech X N(m; ). Przyjmijmy, że estymatorem parametru m jest X. Sprawdzimy własości tego estymatora.. 07
08. Rozwiązaie: m m m X E X E X E i i i i i ) ( zatem jest to estymator ieobciążoy.
D lim X D D X D ( X i ) i i i i X lim 0 zatem jest to estymator zgody.. 09
f x m ( x, m) e Wyzaczmy prawą stroę ierówości Rao-Cramera:. 0
. dx m x f m x dx m x f m x f m 4 4 ), ( ), ( ), ( l zatem jest to estymator ajefektywiejszy.
Przykład Niech X N(m; ). Obliczymy S E, S 0 E, ˆ E S..
Rozwiązaie: E S E Y E ( ) S S E (estymator obciążoy) S bo statystyka ma rozkład chi kwadrat z stopiami swobody, oraz wartość oczekiwaa zmieej losowej o rozkładzie chi kwadrat jest rówa liczbie stopi swobody.. 3
4. ˆ S E S E S E (estymator ieobciążoy)
5. 0 0 0 Y E S E S E S E (estymator ieobciążoy)
Wiosek S jest estymatorem asymptotyczie ieobciążoym parametru bowiem: lim E S lim S ˆ jest estymatorem ieobciążoym parametru. 0 S jest estymatorem ieobciążoym parametru.. 6
Wyzaczaie estymatorów metodą mometów (K.Pearso) Niezae momety teoretycze cechy X szacujemy przez momety empirycze tego samego rzędu. Estymatory uzyskae tą metodą są zwykle mało efektywe (zwłaszcza dla rozkładów asymetryczych).. 7
Momety teoretycze: k mk E( X ) momet rzędu k zmieej losowej X (m = EX). k l mkl E( X Y ) momet rzędu k, l zmieej losowej (X, Y).. 8
Momety empirycze: M M k k x i x momet rzędu k cechy X (M = X ). y k l kl i i momet rzędu k, l jedocześie badaych cech (X, Y). Zatem przyjmujemy, że: m k M k oraz m kl M kl Parametry będące fukcjami mometów teoretyczych szacuje się przez wartości tych fukcji obliczoe dla mometów empiryczych.. 9
Przykład Dla rozkładu wykładiczego z parametrem a mamy wartość oczekiwaą rówą EX = m = /a. Poieważ przyjmujemy m M to /a X, zatem estymatorem parametru a jest. X. 0
Wyzaczaie estymatorów metodą ajwiększej wiarygodości (MNW) (R.A.Fisher) Dla uproszczeia rozpatrujemy przypadek gdy iezay jest tylko jede parametr rozkładu. a) wyzaczamy fukcję wiarygodości L( ; x, x,..., x ) i i dla zmieej losowej skokowej L( ; x, x,..., x ) p( ; x i i dla zmieej losowej ciągłej f ( ; x ) ).
b) wyzaczamy logarytm fukcji wiarygodości, l ) l( ; x, x,..., x ) l L( ; x, x,..., x ) ( c) wyzaczamy dla którego fukcja l ( ) ma maksimum (w tym celu obliczamy pochodą fukcji l ( ), wyzaczamy miejsce zerowe pochodej i sprawdzamy czy w tym pukcie pierwsza pochoda odpowiedio zmieia zak lub druga pochoda jest ujema), d) przyjmujemy, że wyzaczoy w te sposób wzór a jest poszukiwaym estymatorem. Uwaga ) Postać fukcji wiarygodości wyika z wielowymiarowego rozkładu próby (gęstość/fukcja prawdopodobieństwa jest iloczyem gęstości/f.p brzegowych). ) Logarytmowaie fukcji wiarygodości wyika z potrzeb praktyczych. 3) Jeśli rozpatrujemy przypadek gdy iezaych jest wiele parametrów rozkładu to postępujemy podobie stosując rachuek różiczkowy fukcji wielu zmieych..
Uwaga Estymatory uzyskae tą metodą są zwykle co ajmiej zgode, asymptotyczie ieobciążoe i asymptotyczie ajefektywiejsze. Warto też wiedzieć, że estymatory uzyskae tą metodą mają asymptotyczy rozkład ormaly Uwaga Niech g będzie fukcją rzeczywistą różowartościową. Jeśli u jest estymatorem NW parametru to estymatorem NW parametru g( ) jest g(u ). Własość ta jest prawdziwa rówież dla przypadku wielu parametrów.. 3
Przykład Wyzaczymy MNW estymator parametru rozkładu jedostajego w [0; ], > 0. Mamy próbę (X, X, X 3,..., X ). Wtedy L( ) dla 0 l ( ) l l '( ) / 0 x i. 4
Zauważmy, że max i,,.. x i zatem L ( ) ma ajwiększą wartość dla maxx i i jest to szukay estymator NW. i,,... 5
Estymatory uzyskae MNW ie zawsze są wyzaczoe jedozaczie. Przykład Wyzaczymy MNW estymator parametru rozkładu jedostajego w [ ; + ]. Mamy próbę (X, X, X 3,..., X ). Wtedy L( ) dla xi jest fukcją stałą względem parametru. zatem każda wartość x max i ; i,,.. mi i,,.. x i może być szukaym estymatorem NW.. 6
Przykład Wyzaczymy MNW estymator parametru rozkładu Poissoa. Mamy próbę (X, X, X 3,..., X ).. 7
Wtedy L( ) x x! x x.. x e... e e x! x!... x! x.. x l lx!... x! l( ) l L( ) x.. x l ( ) / '. 8
Wyzaczamy pukt krytyczy l'( ) 0 x.. x x.. x / x / 0 sprawdzamy istieie maksimum l ''( ) x.. x / 0 Zatem estymatorem parametru jest średia z próby.. 9
Przykład zastosowaia estymacji Chcemy w dyskrety sposób (obawa karalości) oceić odsetek k osób dających łapówki. Moża to zrobić astępująco. Pytaa osoba rzuca moetą i wyik rzutu zachowuje do swojej wiadomości. Przygotowujemy dużą liczbę kart a połowie których jest pytaie: "czy wypadł orzeł?" a a drugiej połowie kart jest pytaie "czy dajesz łapówki?". Karty losujemy. Pytay losuje kartę i odpowiada TAK (T) lub NIE a wylosowae pytaie. Rozpatrywae doświadczeie ma rozkład zerojedykowy z iezaym parametrem p. Niech K wylosowaie karty z pytaiem r. Niech K wylosowaie karty z pytaiem r. Wtedy p = P(T) = P(K) P(T K) + P(K) P(T K) = = 0,5 0,5 + 0,5k Estymatorem dla p jest średia w. Stąd estymatorem k jest k w - 0,5.. 30
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech - iezay parametr rozkładu cechy X. Niech będzie liczbą z przedziału (0, ). Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od oraz P U U to przedział losowy U ; U azywamy przedziałem ufości dla parametru, a poziomie ufości -. Jeśli a podstawie próby obliczymy wartości u i u statystyk U i U to otrzymamy liczbowy przedział ufości.. 3
Iterpretacja poziomu ufości -. Na ogół dla różych prób otrzymuje się róże liczbowe przedziały ufości, lecz ależy oczekiwać, że około ( - )00% z ich będzie zawierać rzeczywistą wartość parametru. Np. dla - = 0,99 oczekujemy, że przeciętie w tylko próbie a 00 otrzymay liczbowy przedział ufości ie będzie zawierał parametru.. 3
Uwaga. Z powyższej iterpretacji wyika, że poziom ufości ie może być zbyt iski. Jeśli atomiast zwiększamy admierie wartość poziomu ufości to rośie długość przedziału ufości i spada jakość oszacowaia parametru (rośie błąd bezwzględy i błąd względy). Dlatego przyjmuje się, że ajbardziej odpowiedie wartości poziomu ufości mieszczą się w graicach 0,9-0,99.. 33
Uwaga. Jeśli chcemy poprawić jakość oszacowaia iezaego parametru przedziałem ufości to ależy zwiększyć liczebość próby.. 34
Jerzy Neyma (894-98), statystyk. Wprowadził i rozwiął pojęcie przedziału ufości.. 35
Zestawieie ajważiejszych przedziałów ufości. Poziom ufości = (typowe wartości : 0,9; 0,95; 0,99). L.p. 3 Parametr Wartość oczekiwaa m Wartość oczekiwaa m Wartość oczekiwaa m Rozkład cechy, założeia Normaly N(m,), jest zae Normaly N(m,), ie jest zae Dowoly Licza próba > 80 X X X Przedział ufości σ u σ u ; X S u Su ; X S u ; X S u Wyzaczaie liczby u ( u ) α Błąd względy P ( T u ) α X ( u ) α σ x u S u S u X. 36
37. 4 Wariacja Normaly N(m,), ; u S u S ) ( ) ( u Y P u Y P 5 Odchyleie stadardowe Normaly N(m,), ; u S u S ) ( ) ( u Y P u Y P 6 Odchyleie stadardowe Normaly N(m,), licza próba > 80 S u S S u S ; ) ( α u Φ u 7 Wariacja Normaly N(m,), licza próba > 80 ) ;( ) ( S u S S u S ) ( α u Φ
8 Prawdopod obieństwo sukcesu p Rozkład zerojedykowy P( X) p, P( X0) p licza próba, > 00 Wu Gdzie W( W) ; Wu W( W) W k/ k-liczba sukcesów Φ( u ) α u W ( W W dystrybuata rozkładu ormalego N(0,) T zmiea losowa o rozkładzie Studeta z stopiami swobody Y zmiea losowa o rozkładzie chi kwadrat ( ) z stopiami swobody.. 38
Uzasadieie ) Rozpatrujemy stadaryzowaą statystykę X m U (ma rozkład N(0;)). Rozkład ormaly jest symetryczy więc szukamy przedziału [-u, u ] aby P ( u U u ). Z powyższego waruku wyika rówość Φ( u ) stąd zajdujemy w tablicach dystrybuaty rozkładu ormalego N(0;) wartość u. α 39
40 Przekształcamy: ) ( u m X u P ) ( u m X u P ) ( u X m u X P ostateczie ) ( u X m u X P
) Korzystamy z rozkładu t-studeta Rozpatrujemy statystykę X m U S (ma rozkład T - ). Rozkład Studeta jest symetryczy więc szukamy przedziału [-u, u ] aby P ( u U u ). Z powyższego waruku wyika rówość P ( T u ) α stąd zajdujemy w tablicach rozkładu Studeta wartość u. 4
4 Przekształcamy: ) ( u S m X u P ) ( S u m X S u P ) ( S u X m S u X P ostateczie ) ( S u X m S u X P
43 3) Dla dużych prób, statystyka S m X U ma w przybliżeiu rozkład ormaly N(0,). Wówczas przedział ufości ma taki kształt jak w ) ) ( S u X m S u X P
Zadaie. Trwałość żarówek z pewej partii jest zmieą losową X o rozkładzie ormalym N(m, 00 h). Z partii tej pobrao próbę 6 żarówek i otrzymao x = 670 h. Oszacujemy średią trwałość żarówek z tej partii przedziałem ufości, a poziomie ufości - = 0,95. Zajdziemy względy błąd tego oszacowaia. 44
Rozwiązaie. Zastosujemy przedział ufości r : σ u X ; X σ u α. Mamy ( u ) = 0,975, stąd u, 96, więc błąd (bezwzględy), czyli połowa długości przedziału ufości σ u 00,96 6 = 49 h, 45
zatem szukaym przedziałem ufości jest przedział < 670 49 ; 670 + 49> = < 6 ; 79 >. σu 49 Błąd względy x = x 670 =,8%. 46
Przykład. Badaa cecha ma rozkład N(m, ). Średia z próby 0 elemetowej wyosi 5. Wyzaczymy przedziały ufości dla wartości oczekiwaej dla różych poziomów ufości. Sprawdzimy jak zmieia się błąd względy przy rozpatrywaych poziomach ufości. 47
- u lewy-k prawy-k bł.wzgl 0,8 0,9,8 3,68 6,3 5,9% 0,85 0,95,440 3,5 6,49 5,95% 0,9 0,95,645 3,30 6,70 6,80% 0,9 0,955,695 3,5 6,75 7,00% 0,9 0,96,75 3,9 6,8 7,3% 0,93 0,965,8 3,3 6,87 7,49% 0,94 0,97,88 3,06 6,94 7,77% 0,95 0,975,960,98 7,0 8,0% 0,96 0,98,054,88 7, 8,48% 0,97 0,985,70,76 7,4 8,97% 0,98 0,99,36,60 7,40 9,6% 0,99 0,995,576,34 7,66 0,64% 0,99 0,9955,6,30 7,70 0,79% 0,99 0,996,65,6 7,74 0,96% 0,993 0,9965,697, 7,79,4% 0,994 0,997,748,6 7,84,35% 0,995 0,9975,807,0 7,90,60% 0,996 0,998,878,03 7,97,89% 0,997 0,9985,968,93 8,07,6% 0,998 0,999 3,090,8 8,9,77% 0,999 0,9995 3,90,60 8,40 3,59% 48
błąd względy 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% 0,00% błąd względy jako fukcja poziomu ufości 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9, poziom ufości 49
Przykład. Zapytao 000 wylosowaych dorosłych osób czy popierają wprowadzeie kary śmierci. Sześćset osób odpowiedziało twierdząco. Na poziomie ufości 0,95 oszacować odsetek wszystkich dorosłych osób popierających wprowadzeie kary śmierci. Zakładając, że rozpatrywae próby są reprezetatywe rozwiążemy powyższe zadaie dla prób o różych liczebościach. W każdym przypadku obliczymy błąd względy. 50
k - u w 000 600 0,95 0,975,96 0,6 lewy-k prawy-k bł.wzgl 00 0,5040 0,6960 6,00% 00 0,53 0,6679,3% 300 0,5446 0,6554 9,4% 400 0,550 0,6480 8,00% 500 0,557 0,649 7,6% 600 0,5608 0,639 6,53% 700 0,5637 0,6363 6,05% 800 0,566 0,6339 5,66% 900 0,5680 0,630 5,33% 000 0,5696 0,6304 5,06% 00 0,570 0,690 4,83% 00 0,573 0,677 4,6% 300 0,5734 0,666 4,44% 400 0,5743 0,657 4,8% 500 0,575 0,648 4,3% 600 0,5760 0,640 4,00% 700 0,5767 0,633 3,88% 800 0,5774 0,66 3,77% 900 0,5780 0,60 3,67% 000 0,5785 0,65 3,58% 5
błąd względy jako fukcja liczebości próby błąd względy 8,00% 6,00% 4,00%,00% 0,00% 8,00% 6,00% 4,00%,00% 0,00% 0 000 000 3000 4000 liczebość próby Wiosek. Błąd względy zmiejsza się wraz ze wzrostem liczebości próby. 5
WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, parametr rozkładu cechy X. 53
Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową) H 0 ( 0 i alteratywą H, która ma jedą z astępujących postaci H ( ) 0, H ), H ) ( 0 ) ( 0 54
Postępowaie przy weryfikacji powyższych hipotez jest astępujące. Wybieramy pewą statystykę U o rozkładzie zależym od parametru oraz pewą liczbę z przedziału (0, ) i wyzaczamy podzbiór K zbioru liczb rzeczywistych tak by spełioy był waruek P ( U K 0 ) czyli aby prawdopodobieństwo, iż statystyka U przyjmie wartość ze zbioru K, przy założeiu, że prawdziwa jest hipoteza zerowa było rówe. 55
. Pobieramy próbę i obliczamy wartość u statystyki 3. Podejmujemy decyzje gdy gdy odrzuceia H 0 ). u K odrzucamy H 0, u K przyjmujemy H 0 (ie ma podstaw do U 56
Uzasadieie: Hipotezę H 0 odrzucamy gdy u K bowiem prawdopodobieństwo zajścia zdarzeia U K jest bardzo małe przy założeiu, że prawdziwa jest hipoteza H 0 i skoro takie zdarzeie dla pobraej próby zaszło, ależy sądzić, że założeie o prawdziwości hipotezy H 0 było iesłuszie przyjęte. 57
Termiologia. U - sprawdzia, (statystyka testowa) K zbiór krytyczy (zbiór odrzuceń), - poziom istotości (typowe wartości : 0,; 0,05; 0,0). ˆ - krytyczy poziom istotości (poziom istotości przy którym astępuje zmiaa decyzji). 58
Błędy decyzji w teście sprawdzającym hipotezę H 0. Decyzja Przyjmujemy H 0 Odrzucamy H 0 H 0 - prawdziwa Decyzja właściwa Błąd I rodzaju H - fałszywa Błąd II rodzaju Decyzja właściwa 0 Prawdopodobieństwo popełieia błędu I rodzaju wyosi: P( U 0 K H ) Prawdopodobieństwo popełieia błędu II rodzaju wyosi: P( U K H) 59
Testy do weryfikacji hipotez o wartości oczekiwaej I. Cecha X populacji ma rozkład ormaly N(m, ), jest zae Hipoteza zerowa H 0( m m0 ) H U Wyzaczaie H ( m 0 ) m X / m Zbiór kryt. K k ; ) H ( m m0 ) 0 ( ; k H m ) ( ; k k ; ) ( m0 liczby k ) Nr testu (k (k ) ( k ) II. Cecha X populacji ma rozkład ormaly N(m, ), ie jest zae. Hipoteza zerowa H0( m m0 ) H U Zbiór kryt. K Wyzaczaie liczby k H( m m0 ) k ; ( T k) ) H ( ) X m m m0 0 ( ; k ( T k) H ( S / m m0 ) ( ; k k ; ) ( T k) III. Cecha X populacji ma dowoly rozkład, próba jest licza > 0. Hipoteza zerowa H 0( m m0 ) H U Zbiór kryt. K Wyzaczaie liczby k H ( ) m m0 X m k ; ) ) 3 Nr tes tu P 4 P 5 P 6 Nr testu (k 7 0 H( m m0 ) ( ; k (k ) S / 8 H ( ) m m0 ( ; k ; ) k ( k ) 9 60
Test do weryfikacji hipotezy o prawdopodobieństwie sukcesu Cecha X populacji ma rozkład zerojedykowy P ( X ) p, P( X 0) p, p (0;) Hipoteza zerowa H 0 ( p p0 ) Próba licza >00 H Nr testu (k 0 U Zbiór kryt. K Wyzaczaie liczby k p k ; ) ) H( p p0 ) W 0 H p0 ( p0 ) ( p p ) ( ; k 0 (k ) H W średia ( p p0 ) ( ; k k ; ) ( k ) częstość sukcesu k W 6
H Test do weryfikacji hipotez o odchyleiu stadardowym Cecha X populacji ma rozkład ormaly N(m, ). Hipoteza zerowa H 0 ( 0) H U Wyzaczaie liczb Zbiór kryt. K k i l ( ) 0 k ; ) P( Y k) 3 ( ) 0 S ( 0 ; k P( Y k) 4 ( ) 0 ( 0 ; k l ; P( Y l) / 5 H H ) 0 P ( Y k) / Uwaga: dla >30 moża stosować statystykę U o rozkładzie N(0,). S 0 ( ) Nr testu 6
Testy do porówywaia wartości oczekiwaych Badae są dwie cechy X i Y różych populacji. Zakładamy, że cechy te są zmieymi losowymi iezależymi. Z populacji, w której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomiast z drugiej populacji pobrao próbę elemetową.. Cechy X i Y mają rozkłady ormale odpowiedio N ( m, ), N( m, ), przy czym odchyleia stadardowe i są zae. Hipoteza zerowa H 0 ( m m ) H U Zbiór kryt. K Wyzaczaie liczby k Nr testu H( m m ) X Y k ; ) (k ) 6 H( m m ) ( ; k (k ) 7 H ( ) m m ( ; k k ; ) ( k ) 8 63
. Cechy X i Y mają rozkłady ormale odpowiedio N ( m, ), N( m, ), przy czym odchyleia stadardowe obu cech są sobie rówe i ie są zae. Hipoteza zerowa H 0 ( m m ) H U Zbiór kryt. Wyzaczaie liczby k K H ( m ) m X Y k ; ) S S H( m m ) ; k H ( m ) m Wielkość S p P( T ) k Nr testu 9 ( P( T k) ( ; k k ; ) 0 P( T k) S S azywamy wariacją połączoych populacji. H 3. Cechy X i Y mają rozkłady dowole o wartościach oczekiwaych m, m, przy czym próby są licze,, > 0. H 0 ( m m ) H ( m ) m U X Y Zbiór kryt. K Wyzaczaie liczby k Nr testu k ; (k ) ) S S H( m m ) ( ; k (k ) 3 H ( m ) ( ; k k ; ) m ( k ) 4 64
Test do porówywaia prawdopodobieństw sukcesu. Badae są dwie cechy X i Y różych populacji o rozkładach zerojedykowych, P X ) p, P( X 0), ( p ( Y ) p, P( Y 0) p, P Z populacji, której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomiast z drugiej populacji pobrao próbę elemetową. Obie próby są licze, >00. Hipoteza zerowa: H 0 ( p p ) H U Zbiór kryt. K Wyzaczaie liczby k Nr testu H( p p ) W W k ; ) (k ) 5 H ( ) p p ( ; k (k ) 6 H ( ) W( W) p p ( ; k k ; ) ( k ) 7 W, W średie częstości sukcesów w poszczególych próbach, W ( k /, W k /, k k ) /( ) W - średia częstość sukcesu w połączoych próbach, W W W 65
Test do weryfikacji hipotez o porówywaiu wariacji Cechy X i Y mają rozkłady ormale odpowiedio N ( m, ), N( m, ). Z populacji, w której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomiast z drugiej populacji pobrao próbę elemetową. Tak dobieramy ozaczeia populacji aby Sˆ S ˆ Hipoteza zerowa H 0 ( ) H H( ) U ˆ Sˆ Zbiór kryt. K S k ; ) Wyzaczaie liczby k P ( F ; k) (F - rozkład Sedecora) Nr testu 8 66
Przykłady Przykład. Według daych produceta, określoy typ samochodu zużywał 0 l/00km. Po dokoaiu pewych usprawień w tym typie samochodu oczekuje się, że zużycie paliwa spadie. Aby to sprawdzić dokoao pomiaru zużycia paliwa w 5 losowo wybraych samochodach tego typu po moderizacji i otrzymao wyik x 9, 5 3 l/00km. Zakładając, że zużycie paliwa ma rozkład ormaly N(m, ) sprawdzić czy moderizacja istotie zmiejszyła zużycie paliwa. Przyjąć = 0,05. 67
Rozwiązaie. Zastosujemy test. H 0 ( m 0), H( m 0), = 0,05 zatem (k ) = 0,95 stąd k =,64 Zbiór krytyczy K = (-; -,64> Wartość statystyki 9,3 0 u 5,75 iterpretacja graficza: 0,05 -,75 --,64 0 Poieważ u K to hipotezę H 0 odrzucamy. Zatem zmiay kostrukcyje istotie zmiejszyły zużycie paliwa. 68
Obliczymy dla jakich wartości średiej z próby 5 - elemetowej decyzja byłaby taka sama: x 0 9, 5,64 x 9, 34 Zatem dla x 34 wartość U ależy do zbioru krytyczego. 69
Wyzaczymy krytyczy poziom istotości ˆ. (,75) ˆ 0,96 stąd ˆ 0,04. Zatem dla < 0,04 podjęlibyśmy ią decyzję. Zauważmy, że odrzucając hipotezę 0 H arażamy się a popełieie błędu I rodzaju (prawdopodobieństwo jego popełieia wyosi 0,05). 70
Przykład. Dla sytuacji z poprzediego przykładu iech x 9,44 5. Rozpatrzmy hipotezy H 0 ( m 0), H( m 9), Zastosujemy test. 7
Zbiór krytyczy jak poprzedio K = (-; -,64> Wartość statystyki 9,44 0 u iterpretacja graficza: 5,4 0,05 -,64 -,4 0 Poieważ u K to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H 0. Przyjmując hipotezę H 0 arażamy się a popełieie błędu II rodzaju. Wyzaczymy krytyczy poziom istotości ˆ. (,4) ˆ 0,9 stąd ˆ 0,08. Zatem dla > 0,08 podjęlibyśmy ią decyzję. 7
Obliczymy prawdopodobieństwo popełieia błędu II rodzaju. X 0 P( U K m 9) P 5,64m P X 9,344m 9 9 X 9 9,3449 P 5 5 (0,86) 0, Zatem przyjmując hipotezę H 0 możemy zakwalifikować około 0% samochodów mających zużycie 9 l/00km jako samochody o zużyciu 0 l/00km. 73
Przykład Dwie brygady produkują detale. Z partii detali wyprodukowaych przez I brygadę wylosowao 000 szt. i wśród ich było 0 braków. Z partii detali wyprodukowaych przez II brygadę wylosowao 900 szt. i wśród ich było 30 braków. Na poziomie istotości = 0,0 sprawdzić hipotezę, że odsetek braków w I brygadzie jest iż iższy iż w II brygadzie. 74
Rozwiązaie. Zastosujemy test 6. H 0 ( p p p ), H( p ), = 0,0 Zbiór krytyczy K = ( ;,33> Obliczamy: w ; w 30/ 900 0/000 w 50 /900 Wartość statystyki u,8 75
iterpretacja graficza: 0,0 --,33 -,8 0 Poieważ u K to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H 0. Ozacza to, że w graicach błędu statystyczego obie brygady mają te sam odsetek braków. 76
Wyzaczymy krytyczy poziom istotości ˆ. (,8) ˆ 0,96485 stąd ˆ 0,035. Zatem dla > 0,035 podjęlibyśmy ią decyzję. 77
Przykład. Dokładość pracy obrabiarki sprawdza się wyzaczając odchyleie stadardowe średicy toczoego detalu, powio oo wyosić 0, 0. Zmierzoo średice (mm) losowo wybraych detali i otrzymao: 00,6; 99,6; 00,0; 00,; 00,3; 00,0; 99,9; 00,; 00,4; 00,6; 00,5. Zakładając, że średice detali mają rozkład ormaly, sprawdzić a podstawie powyższych daych, że obrabiarka ma pożądaą dokładość. Przyjąć poziom istotości 0,05. 78
Rozwiązaie. Zastosujemy test 5. H 0 ( 0,), H( 0,), = 0,05 Zbiór krytyczy K = <8,307; ) Obliczamy: x 00, s 0, 09 Wartość statystyki 0,09 u 0,04 iterpretacja graficza: 5 0,05 8,307 5 Poieważ u K to hipotezę H 0 odrzucamy. Zatem ależy sądzić, że obrabiarka ma gorszą dokładość iż pożądaa. Wyzaczymy krytyczy poziom istotości ˆ. Y 0 (5) ˆ 0,005 Zatem dla < 0,005 podjęlibyśmy ią decyzję. 79
WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH Test zgodości Hipoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacji ma rozkład o dystrybuacie F). Hipoteza alteratywa H( ma rozkładu o dystrybuacie F). Cecha X populacji ie 80
Weryfikacja powyższych hipotez za pomocą tzw. testu przebiega astępująco:. Pobieramy liczą próbę ( >80). Prezetujemy ją w szeregu rozdzielczym klasowym w r klasach.. Obliczamy a podstawie próby estymatory ajwiększej wiarygodości iezaych parametrów. 3. Przyjmujemy, że cecha X ma rozkład o dystrybuacie F. 4. Dla każdego przedziału klasowego A ; ) i ai ai obliczamy prawdopodobieństwo p i P( X Ai ) P( ai X ai ) F( ai ) F( a i ) 8
5. Obliczamy u r i ( i p p i i ) r i ( i ˆ ˆ i i ) A i. gdzie i jest liczebością (empiryczą) klasy ˆ i jest liczebością teoretyczą klasy A i 6. Wyzaczamy zbiór krytyczy prawostroy K k ; ), gdzie k wyzaczamy z tablicy rozkładu dla r l stopiami swobody gdzie l liczba iezaych parametrów rozkładu X, i dla prawdopodobieństwa (rówemu poziomowi istotości). 7. Podejmujemy decyzję: odrzucamy hipotezę H 0, gdy przyjmujemy hipotezę H 0, gdy u K u K 8
Uwaga. Do obliczaia prawdopodobieństw p i, pierwsza i ostatia klasa szeregu rozdzielczego powiy mieć postać A ( ; a), a ;) A r r i do każdej z ich powio ależeć co ajmiej 5 elemetów próby. Do pozostałych klas powio ależeć co ajmiej 0 elemetów próby. Klas ie może być miej iż 4. 83
Przykład. Badao liczbę awarii systemu komputerowego (cecha X populacji). W ciągu 00 tygodi zarejestrowao astępujące ilości awarii: Liczba awarii Liczba tygodi 0 3 4 4 3 3 9 Na poziomie istotości = 0,05 sprawdź czy liczba awarii ma rozkład Poissoa. hipotezy: H 0 ( H( i Cecha X populacji ma rozkład Poissoa) Cecha X populacji ie ma rozkładu Poissoa). i i i p i p i ( p 0 4 0 0,3,3 0,3 3 3 0,33 33 0,06 3 46 0,5 5, 0,8 3 36 0,3 3 0,0 4 9 36 0,066 6,6 0,9 50,00000 00,9 i p i ) 84