Moele zmieości akywów ryzykowych Moel muliplikaywy Rozkła logarymiczo-ormay Paramery siaki wumiaowej
Moel muliplikaywy zmieości akywów Rekurecyjy moel muliplikaywy: (=, (k+ = (k u(k, k=,, Cea akywa w chwili k aa jes więc wzorem ( (k = u(k-u(k- u((. Po zlogarymowaiu obu sro wprowazeiu ozaczeia w(i=u(i mamy ( k ( k i u( i ( k i w( i k ( ( k ( i w( i
Oczekiwaa logarymicza sopa wzrosu cey akcji w moelu muliplikaywym Poieważ (k+ = (k u(k, więc (3 w(k = u(k = [(k+/(k ] czyli zmiea w(k jes logarymiczą sopą wzrosu cey akcji w k-ym eapie (4 E {[(k+/(k]} = E[w(k] = μ k μ k - oczekiwaa logarymicza sopa wzrosu w k-ym eapie Z efiicji moelu (5 E{ ((k/(} = E[w(+ +w(k-]= μ + μ + + μ k- Lewa sroa ozacza oczekiwaą całkowią (po k eapach logarymiczą sopę wzrosu
Oczekiwaa warość i wariacja logarymu cey końcowej Jeśli wszyskie zmiee w(i mają ę samą warość oczekiwaą μ i wariację σ oraz są wzajemie iezależe, o korzysając z własości warości oczekiwaej i wariacji możemy zapisać: (6 E [ (k] = ( +μk, (7 var [(k] = k σ. Ławo zauważyć, że warość oczekiwaa logarymu cey jes fukcją liiową zmieej k zaś wariacja logarymu cey rośie proporcjoaie o k.
Oczekiwaa warość współczyika wzrosu cey po k krokach Z rówości (5 la jeakowych warości oczekiwaych orzymujemy (8 E [ (k/(] = μk Dla ciągłej fukcji f i zmieej losowej X posiaającej warość oczekiwaą prawziwa jes rówość E [f (X ] = f (E (X. osując ę własość o rówości (8 la fukcji f( = e orzymujemy (9 E [(k/(] = e μk Gzie μ - oczekiwaa logarymicza sopa wzrosu w pojeyczym eapie
Logarymicza a zwykła sopa wzrosu Przy przyjęych ozaczeiach μ = E [ ((k+/(k], k=,, Poieważ (k+/(k = [(k+-(k]/(k+ Zaem [(+/(] = {[(+-(]/(+} Ozaczając r = [(+-(]/( (r jes sopą wzrosu cey w jeym eapie, mamy [(+/(]= (r+. Dla bliskich zeru warości r mamy przybliżeie ( (r+ r, czyli μ = E (r Korzysamy z rozwiięcia ( ( la R( (,
Rozkła zmieej losowej [(k/(] Bezpośreio ze związku ( k ( k i u( i ( k i w( i Orzymujemy logarym z ilorazu ( ( k ( k i u( i k i w( i Jeżeli w(i są iezależymi zmieymi losowymi o rozkłaach ormaych i paramerach μ, σ, o zmiea losowa [(k/(] ma rozkła ormay o warości oczekiwaej (kμ oraz wariacji kσ (Wiosek 3, par. 37, Zubrzycki Wykł. rach. p-swa..
Rozkła graiczy zmieej losowej [(k/(] Z ceraego wierzeia graiczego wyika, że jeżeli zmiee losowe w(i mają jeakowe rozkłay o paramerach μ, σ oraz saowią ciąg iezależych zmieych losowych, o zmiea losowa [(k/(] ma w graicy rozkła ormay, czyli lim lub lim czyli lim k k k P{ a iaczej P{ a P{ a ( k k ( b} k ( k k k ( k b b a ep( k k} k ( ( k b k k ( } b a ep( b a ep(
Rozkła logarymiczo ormay Niech Y ozacza zmieą losową o rozkłazie ormaym N(μ,σ. Niech X = e Y (Y = X DEF. Rozkła prawopoobieńswa zmieej losowej X azywamy rozkłaem logarymiczo ormaym i ozaczamy Λ(μ,σ (X jes fukcją wykłaiczą zmieej losowej o rozkłazie ormaym F X ysrybuaa zmieej X iech F X ( P{ Y } gzie P{ X F Y } P{ F Y ( X } ysrybuaa zmieej Y
Rozkła logarymiczo ormay Zaem ( Ozaczmy przez ( gęsość rozkłau zmieej X (3 ( ( ogóie ( ( F F la F F Y X Y X ep w pukcie, ( (esiy rozkl. ' ( '( ( Y X N F F
Rozkła logarymiczo ormay Niech Y ozacza zmieą losową o rozkłazie ormaym N(μ,σ. Niech X = e Y Wey k - y mome rozkłau logarymiczo-ormaego M k ay jes wzorem: (4 M k = ep (μk +,5 σ k a są EX = ep (μ+,5 σ (5 War X = E(X - (E(X = ep (μ+ σ - ep (μ+ σ = = ep (μ+ σ [ ep ( σ ]
Moel muliplikaywy, wumiaowy Zakłaamy, że w każym okresie cea akcji może spaść lub wzrosąć, zawsze w ej samej proporcji, czyli (6 u, u( k, gzie gzie przy czym pierwsza z ych warości jes przyjmowaa z prawopoobieńswem p a ruga z (-p u
Drzewo ce w moelu muliplikaywym, wumiaowym - iaka wumiaowa ce (4 eapy, cea począkowa
Cey końcowe w moelu muliplikaywym wumiaowym, -eapowym Ze wzoru ( = u(-u(- u(( wyika, że możliwe cey końcowe muszą mieć posać ( u k -k, gzie k =,,,. Na rzewie ceowym isieje różych róg prowazących o węzła ieyfikowaego z ceą (u k -k, gyż każa roga jes jeozaczie scharakeryzowaa przez - wyrazowy ciąg (u,u,,u,,,u, zawierający k lier u oraz (-k lier. k
Cey końcowe w moelu muliplikaywym wumiaowym, -eapowym Prawopoobieńswo każej akiej rogi jako koiukcji zarzeń iezależych - wyosi p k (-p -k Zaem prawopoobieńswo cey końcowej u k -k wyosi k p k ( p k
Przykła. Moel muliplikaywy, wumiaowy ((=; u=,; =,9; prawopoobieńswo wzrosu,6. Cea końcowa akcji po 34 eapach oraz jej prawopoobieńswo, zł CENA POCZĄTKOWA P Q R T r wiersza P$7*G$5^R3*G$6^3 ROZKŁAD.DWUM(R3;34;G$8;FAŁZ p-swo cea kocowa akcji (po 34 eapach liczba wzrosów liczba spaków skłaiki warości oczekiwaej cey 4 3,6393E-68 383 56 579 95 95, 34, zł 5 7,344E-66 33 49 747 33 45, 33, zł 6 7,39748E-64 56 493 47 736 43, 3, zł 7 4,96453E-6 9 858 784 35, 3 3, zł 8,4954E-6 7 7 9 459 94, 3 4, zł 9 9,966E-59 4 483 59 376 3, 99 5, zł 3,3965E-57 4 94 69 489 7, 98 6, zł 9,393E-56 94 4 693 8 846,6 97 7, zł,3479e-54 76 944 74 5,9 96 8, zł 3 5,973E-53 6 954 99 59 78,6 95 9, zł
PRAWDOPODOBIEŃTWO Rozkła prawopoobieńswa cey końcowej (cea oś pozioma TEORETYCZNY ROZKŁAD CENY AKCJI,5,45,4,35,3,5,,5,,5 5 5 5 3 35 4 45 5
Rozkła prawopoobieńswa cey końcowej (cea oś pozioma,5,45,4,35,3,5,,5,,5
PRAWDOPODOBIEŃTWO Rozkła prawopoobieńswa cey końcowej. Oś X skala logarymicza TEORETYCZNY ROZKŁAD CENY AKCJI,5,45,4,35,3,5,,5,,5
,5,45,4,35,3,5,,5,,5,E+,E+6 4,E+6 6,E+6 8,E+6,E+7,E+7,4E+7,6E+7,8E+7,E+7,E-,5,45,4,35,3,5,,5,,5,E+,E+,E+,E+3,E+4,E+5,E+6,E+7,E+8
ymulacja cey 3 eapach 35, zł 3, zł 5, zł, zł 5, zł, zł 5, zł - zł 8 35 5 69 86 3 37 54 7 88 5 39 56 73 9
ymulacja cey 3 eapach 5, zł 45, zł 4, zł 35, zł 3, zł 5, zł, zł 5, zł, zł 5, zł - zł 8 35 5 69 86 3 37 54 7 88 5 39 56 73 9
ymulacja cey 3 eapach 7, zł 6, zł 5, zł 4, zł 3, zł, zł, zł - zł 8 35 5 69 86 3 37 54 7 88 5 39 56 73 9
Logarymicza-ormaość rozkłau graiczego cey w moelu muliplikaywym, wumiaowym Ze wzoru ( k ( k i u( i i z faku, że suma ma graiczy (z. przy k rozkła ormay wyika, że zmiea losowa (k ma akże graiczy rozkła ormay. Ozaczmy lim k (k =. Zaem zmiea ma rozkła ormay, zaś zmiea X= ep( czyli zmiea X= ma rozkła logarymiczo-ormay k i w( i
Paramery siaki wumiaowej formułowaie problemu Daa jes rocza oczekiwaa logarymicza sopa zwrou z akcji: (7 E[( T / ] = - gzie T ozacza ceę akcji po roku oraz wariacja logarymu ze zmieej ( T / (8 War [( T / ] = Ile powiy wyosić przy ych aych paramery siaki zmieości, czyli wielkości u,p w jeym eapie, jeżeli w ciągu roku wysąpi eapów oraz u =/?
Paramery siaki wumiaowej Zakłaamy, że zmiee losowe k=,,, są iezależe, wzros asępuje z prawopoobieńswem p. Zmiee losowe (9 u, u( k, u, u( k, gzie gzie gzie gzie k=,,, są akże iezależe, co wyika bezpośreio z efiicji iezależości zmieych losowych u u
Paramery siaki wumiaowej Ogóe rówaia moelu: (... / ( ( / ( (... ( ]... [ ( (... ( ( ( i i k War gzie War War E E E E c u E E E E b k u a
Paramery siaki wumiaowej i ozacza ceę akcji po i-ym eapie ( e War( E( p u ( p u p ( p p u ( p u p ( p p u ( p p u u p( p ( p( ( p p u( p p( p[ u u ] ( p p( p( u p( p u ( f War( War( i i p( p u
Paramery siaki wumiaowej Ze związku ( c wyika, że po eapach w omawiaym moelu E(( / =, co jes rówoważe rówościom E( / =e, E( = e Jeżeli oakowo założymy, że =, o orzymujemy E( =, E( =e Wprowaźmy oakowe ozaczeia U:=u,D:=, :=/ ( E[ i U ( p / E( u( i i ] pu E( u( i (, p D pu gzie p u ( ( p U p
Paramery siaki wumiaowej Wariacja. Z iezależości zmieych (u(k, wyika, że ( / ( / ( ( / u p p gzie War u p p War k u War War k
Paramery siaki wumiaowej Pp ( (,, ( ( ( ( ( / U p p zaem D U wiec u wey u eraz iech D U p p u p p u p p War p U z ( (
Paramery siaki wumiaowej U ( p p( p(u U ( p p( p(u po oaiu sroami U u p U
(,,!! bliskich la a R a ze wzoru Taylora gyż p czyli p a p e e u u
Paramery siaki wumiaowej Osaeczie orzymujemy asępujące paramery siaki wumiaowej u e ( p = E [ ( T / ], T cea po roku - rocza wariacja zmieej ( T / czas rwaia jeego eapu (ułamek roku e
Ierpreacja paramerów, = E[( T / ], = (E[( T / ] E[( T / ]=e E( T = e, gyż jes sałą Paramer jes więc roczą oczekiwaą logarymiczą sopą wzrosu, Jeżeli =, o = E[( T ]. ą E( T = e War [( T / ] =War [( T ] = jes wey wariacją z logarymu cey po roku, czyli miarą zmieości roczej cey akcji
Lieraura Teoria iwesycji fiasowych D. Lueberger Isrumey pochoe sympozjum maemayki fiasowej. Kraków UJ 997 Koraky ermiowe i opcje. Wprowazeie J. Hull Warszawa 997 Iwesycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 8 Rykowe isrumey fiasowe A. opoćko PWN 5