Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.

Transkrypt

1 Komisja Egzamiacyja dla Akuariuszy XXXIV Egzami dla Akuariuszy z 17 syczia 2005 r. Część I Maemayka fiasowa Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... WERSJA TESTU A Czas egzamiu: 100 miu 1

2 1. Day jes ieskończoy ciąg re ieskończoych, gdzie rea sarująca a począku roku k wypłaca z dołu a koiec kolejych la kwoy k, k+1, k+2,... (k= 1,2,3,...). Ile wyosi bieżąca warość ego ciągu re przy założeiu i = 10% dla pierwszych 5 la oraz i = 8% dla całego późiejszego okresu (podaj ajbliższą warość)? A) 3850 B) 3900 C) 3950 D) 4000 E)

3 2. Cea akcji spółki X wyosi 50. Przyjmujemy założeie, że cea akcji za rok ma rozkład rówomiery a przedziale (30;90). Rozważmy dwa porfele: porfel 1 : zawierający w 100% akcje spółki X, porfel 2 : zawierający w 100% europejskie opcje call (pozycje długie) a akcje spółki X z ceą wykoaia 50 Cea opcji wyosi 10. Ile wyosi sosuek wariacji roczej sopy zwrou z porfela 2 do wariacji roczej sopy zwrou z porfela 1 (podaj ajbliższą warość)? A) 10,5 B) 11,5 C) 12,5 D) 13,5 E) 14,5 3

4 3. Iwesor przyjmuje asępujące założeia co do kszałowaia się kursu akcji spółki X : obeca cea akcji wyosi 50, w każdym z dwóch kolejych okresów cea akcji może zmieić się o + 20% (z prawdopodobieńswem 60%) lub -10% w odiesieiu do jej warości z począku okresu, a prawdopodobieńswa zmiay są jedakowe w każdym okresie. Opcja amerykańska call "po ceie miimalej" wypłaca w momecie realizacji (realizacja opcji możliwa jes a koiec zarówo pierwszego jak i drugiego okresu) różicę pomiędzy ceą akcji w chwili realizacji opcji a miimalą ceą akcji w okresie do momeu realizacji opcji (z uwzględieiem cey począkowej), o ile a różica jes dodaia. Jaką maksymalą ceę iwesor byłby skłoy zapłacić za opcję amerykańską call po ceie miimalej (podaj ajbliższą warość) a akcję spółki X jeżeli wymaga, aby oczekiwaa sopa zwrou z iwesycji w opcję wyiosła co ajmiej i = 10% w skali jedego okresu (opcja jes waża od chwili obecej przez dwa okresy)? A) 8,30 B) 9,10 C) 9,90 D) 10,70 E) 11,50 4

5 4. Bak oferuje swoim klieom lokaę w PLN wypłacającą po roku rówież w PLN: kwoa_depozyu * (1 + k * MAX(0; MIN( X,Y))), gdzie X - zmiaa proceowa ideksu giełdowego WWW w ciągu roku, Y - zmiaa proceowa ideksu giełdowego ZZZ w ciągu roku. Do kosrukcji ej lokay bak może wykorzysać wyłączie poiższe isrumey ryku fiasowego: a) depozy w PLN a 12% w sosuku roczym w iym baku, b) rocze europejskie opcje call a ideksy giełdowe: ideks cea wykoaia opcji cea opcji (PLN) WWW ZZZ Wypłaa z ych opcji jes sadardowa i wyosi w PLN rówowarość MAX (0; warość_ideksu_za_rok - cea wykoaia opcji). 1 puk ideksu odpowiada 1 PLN. Na opcjach dopuszczale jes zajmowaie przez Bak zarówo pozycji długich jak i krókich (brak depozyów zabezpieczających). Obeca warość ideksów: ZZZ = 25000, WWW = 2000 puków. Jakie ajwyższe k może Bak zaoferować klieowi chcącemu zdepoować 1 ml. PLN, aby mieć pewość osiągięcia zysku a ej lokacie (podaj ajbliższą warość)? A) 0,92 B) 1,12 C) 1,32 D) 1,52 E) 1,72 5

6 5. Ile z poiższych zdań jes prawdziwych (przyjmij, że sopy zwrou z akywów X,Y mają rozkłady dopuszczające rówież warości ujeme): 1) Wrażliwość cey obligacji zamieej a akcje a zmiay sopy proceowej maleje wraz ze wzrosem kursu akcji, 2) Wzros korelacji pomiędzy sopami zwrou z akywów X i Y zwiększa warość isrumeu wypłacającego 100 * MAX(0 ; (sopa zwrou z X + sopa zwrou z Y) / 2), 3) Duraio akywów i pasywów zakładu ubezpieczeń wyosi 5. Zakład jes w e sposób zabezpieczoy przed dowolą zmiaą kszału rykowej krzywej sopy proceowej (z. zmiaa warości rykowej akywów będzie zawsze ie miejsza od zmiay warości rykowej pasywów), 4) Wzros wariacji sóp zwrou z akywów X i Y (przy ie zmieioych warościach oczekiwaych i iezależości obu sóp) zwiększa warość isrumeu wypłacającego 100 * MAX(0 ; MIN(sopa zwrou z X, sopa zwrou z Y)). A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 6

7 6. Dwaj kredyobiorcy X i Y zaciągają jedocześie kredyy w kwocie , spłacae w formie re 30 leich o rówych raach płaych a koiec kolejych la. i(x,0) = 10% a i(y,0) = 6% (sałe sopy oproceowaia kredyów odpowiedio dla X i Y w chwili jego orzymaia =0). Bezpośredio po zapłaceiu 10 ray zmieiają się waruki rykowe i kredyobiorcy muszą reegocjować z bakiem waruki kredyu. X orzymuje owe korzysiejsze i(x,10) = 8% a Y zmuszoy jes przyjąć od baku gorszą od doychczasowej oferę i(y,10) = 8%. Według ych sóp wyliczae są owe ray kredyu spłacaego eraz w rówych raach przez kolejych 20 la (uwzględiae jes całe pozosałe a daą chwilę ich zadłużeie). Koleja reegocjacja ma miejsce po zapłaceiu 20 ray kredyu (czyli a koiec 20 roku od orzymaia kredyu). Tym razem i(x,20) = 6% a i(y,20) = 10%. Poowie wyliczae są owe ray a podsawie sau zadłużeie a mome zmiay sóp kredyu (przy założeiu spłay w 10 rówych roczych raach). Ile wyosi różica (omiala) sumy ra zapłacoych a rzecz baku przez kredyobiorcę X i ra zapłacoych przez kredyobiorcę Y w okresie od końca 5 do końca 25 roku ważości kredyów? Podaj ajbliższą warość (ie uwzględiamy płaości ray r 5 aomias uwzględiamy raę r 25). A) B) C) D) E)

8 7. Rozważmy dziesięciolei okres oszczędzaia w fuduszu iwesycyjym. Pa X dokoał rzech wpła do fuduszu iwesycyjego w wysokości 250 a koiec pierwszego, drugiego i rzeciego roku. Na koiec 10 roku suma oszczędości Paa X w fuduszu wyiosła Po 10 laach Pa X chce zamieić zgromadzoą kwoę oszczędości a reę pewą 15 leią o sałych płaościach, płaą a koiec kolejych la. Ile wyosi raa rey skalkulowaa przy sopie rówej sopie zwrou z fuduszu (podaj ajbliższą warość)? A) 107 B) 111 C) 119 D) 125 E) 132 8

9 8. Kóre z poiższych swierdzeń są prawdziwe (i>0) : (i) Dla całkowiych oraz, ( > > 0): ( + 1) a < ( + 1) a (ii) Dla całkowiego > 0 i rzeczywisego > 0 : d dδ ( I a ) ) = 0 e 2 δ (iii) Dla całkowiych oraz ( > > 0): d 1 s 0 x s dx = l s s. A) ylko (ii) B) ylko (iii) C) (i) i (ii) D) wszyskie E) (i) i (iii) 9

10 9. Rea -leia płaci a koiec roku (=1,2,...,) kwoę ( - +1) *. Rocza sopa lim proceowa wyosi i = 7%. Niech d ozacza duraio ej rey. Oblicz ( d ). ajbliższą warość). A) 22.7 B) 24.3 C) 25.6 D) 27.9 E) 29.6 (podaj 10

11 10. Iesywość oproceowaia δ = 1, gdzie fukcja f spełia dla wszyskich x, y f ( ) zależość: x + y f = 2 f ( x) + f ( y). 2 Dodakowo wiadomo, że δ jes fukcją ciągłą dla δ ( 0) 1, δ (1) = = Oblicz a A) 2 * l (+1) B) l (+1) C) l (+2) / 2 D) 4 E) l( / 2 + 1) 0 spełiającą waruki: 11

12 Egzami dla Akuariuszy z 17 syczia 2005 r. Maemayka fiasowa Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko:... Pesel:... OZNACZENIE WERSJI TESTU... Zadaie r Odpowiedź Pukacja 1 D 2 E 3 B 4 C 5 D 6 A 7 D 8 D 9 E 10 B * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja. 12