MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element

Transkrypt

1 MATEMATYKA Wykłd 4 (Funkcje) Pisząc f : (,b) R rozumiemy Ŝe kŝdemu (, b) przyporządkowny zostł dokłdnie jeden element y R. Wykresem funkcji nzywmy zbiór pr (,f()) n płszczyźnie skłdjącej się ze wszystkich punktów (,y), < <, < y <. ZuwŜmy iŝ okrąg : (-4) + ( y ) = (rys.) nie jest wykresem Ŝdnej funkcji poniewŝ wszystkim -om z przedziłu (,) przyporządkowne zostły elementy ( wrtości):... Serie okrąg o środku (4,) i promieniu 4 6 Rys. Rodzje funkcji () funkcje liniowe Są postci y = + b; gdzie orz b są dowolnymi liczbmi nturlnymi. N przykłd, y = + ; y = - + ; y = y = - + y = - + y = + - Rys.

2 Powiemy Ŝe funkcj y = f() jest rosnąc jeśli wrz ze wzrostem rgumentu wzrst y, to znczy, jeśli > to y = f( ( ) > f ( ) = y. Powiemy Ŝe funkcj y = f() jest mlejąc jeśli wrz ze wzrostem rgumentu mleje y, to znczy, jeśli > to y = f( ( ) < f ( ) = y. Z rys. widc Ŝe y = + jest rosnąc, zś dwie pozostłe funkcje są mlejące. Dlczego tk jest? Fkt. Gdy współczynnik występujący we wzorze funkcji liniowej y = + b jest dodtni, to t funkcj liniow jest rosnąc. Co więcej, jeśli współczynnik <, to funkcj liniow y = + b jest mlejąc. Zdnie. Udowodnij iŝ funkcj y = + 4 jest rosnąc. Dowód. Mmy pokzc Ŝe jeśli > to f( ( ) > f ( ), czyli + 4> + 4. Ale to jest oczywiste, wystrczy bowiem do obu stron nierówności > dodc liczbe 4 by uzyskc tezę. Zdnie (do domu) () Udowodnij iŝ funkcj y = + 4 jest rosnąc; (b) Udowodnij iŝ funkcj y = jest rosnąc. Po rozwiązniu zd. czytelnik bedzie potrfił teŝ wykzc prwdziwośc fktu! (b) funkcje kwdrtowe y = + b+ c, np. y = 6, y = + + 6, y = +, y = +. Są one uogólnieniem funkcji liniowych (gdy = otrzymujemy funkcje liniowe) y=^--6 y=^-+ y=-^++ y=-^ Rys.

3 Dl kŝdej funkcji kwdrtowej określmy współczynnik = b 4c. Dl funkcji y = 6 współczynnik = ( ) 4 ( 6) = >, dl funkcji y = + współczynnik = ( ) 4 <, dl funkcji y = + mmy = + 4 = 4>, zś dl y = + współczynnik = + 4 ( ) = 9<. Fkt Wszystkie funkcje kwdrtowe moŝn podzielic n 4 grupy: grup -: >, > ; grup -: <, > ; grup -: >, < ; grup -: <, <. Reprezentntem -ej grupy jest funkcj y = 6 o wykresie niebieskim. Funkje tu nleŝące mją miejsc zerowe (gdyŝ > ) orz ich wykres jest skierowny do góry (gdyŝ > ). Miejsc zerowe kŝdej funkcji kwdrtowej dne są wzormi () b b+ =, =. + W nszym przypdku są to = = orz = =. Reprezentntem -ej grupy jest funkcj y = + o wykresie czerwonym. NleŜą tu funkcje które nie mją Ŝdnego miejsc zerowego (gdyŝ < ) orz ich wykres jest równieŝ skierowny do góry gdyŝ >. Do -ej grupy, których reprezentntem jest funkcj y = + + o wykresie Ŝółtym, nleŝą te funkcje kwdrtowe które mją miejsc zerowe( > ) orz ich wykres jest skierowny do dołu poniewŝ <. Do 4-ej grupy, których reprezentntem jest funkcj y = = o wykresie jsnoniebieskim, nleŝą te funkcje kwdrtowe które nie mją Ŝdnego miejsc zerowego ( < ) orz ich wykres jest skierowny do dołu ( < ). (c) wielominy (są uogólnieniem funkcji kwdrtowych) Oto ogóln postc wielominu stopni n: n n n () y = f() = n n n +, 7 4 np. y = jest wielominem stopni 7.

4 4 Twierdzenie (Guss). KŜdy wielomin stopni n m n pierwistków, czyli miejsc zerowych(por. Rys. 4) Wniosek. Wynik stąd Ŝe kŝd funkcj liniow m co njwyŝej miejsce zerowe, zś kŝd funkcj kwdrtow m co njwyŝej miejsc zerowe. wielomin stopni wielomin stopni Rys. 4 Wielomin ten jest dny wzorem y = (-6)(-4)(+)(+7) jko iloczyn -iu wielominów stopni. Miejscmi zerowymi są liczby -7, -,, 4, 6, więc m on dokłdnie pierwistków. (d) funkcje wykłdnicze y = (nzw ich pochodzi stąd Ŝezmienn niezleŝn występuje w wykłdniku) y=(.8)^ y=(.4)^ y=(.)^ Rys.

5 Funkcj wykłdnicz y= jest określon dl wszystkich, tzn. dl < <. Jest rosnąc gdy > orz mlejąc gdy < <. Nie jest okreslon dl <. Funkcje wykłdnicze dl > rosn brdzo szybko, zś dl < < mlej szybko do zer. Przykłd Ilośc bkterii po kŝdym podzile komórkowym n części rośnie według wzoru f(n) = n.jesli podził dokonuje sie co godzin, to po godzinch z jednej bkterii powstnie f() = = 4 bkterii, po godzinch będzie juŝ + f() = = = >. bkterii! Zchodzą nstępujące wzory: () (e) funkcje potęgowe + y = y y ; = y ; =. y = r, np. y =, y =, y =, y = 4, y =. Nzw ich pochodzi stąd Ŝe zmienn niezleŝn występuje w potędze y=^ y=^4 y=^ y=^ Rys. 6 Wszystkie 4 funkcje potęgowe są bliskie zer dl - < <, co nikogo nie powinno dziwic poniewŝ kŝd potęg liczby bliskiej zer jest mniejsz niŝ.. Jk łtwo zuwŝyc, kŝdy wielomin jest sumą funkcji potęgowych pomnoŝonych przez pewne współczynniki liczbowe.

6 6 (f) funkcje trygonometryczne Njbrdziej znnymi są y = sin() orz y = cos(); por. ich wykresy poniŝej y = cos y = sin - -. Rys. 7 Ze szkoły średniej wiemy np. iŝ sin = sin( π / 6) = ½; cos 6 = cos( π / ) =/ orz znmy kilk innych wrtości. Ecel pozwl nm odszukc brdzo szybko wrtości tych funkcji dl dowolnych rgumentów (-ów) i nstępnie zrobic wykresy tych funkcji. Definicj g() nzwiemy funkcją odwrotną względem f() i oznczc będziemy przez f ( ) jeśli g[f(b)] = orz f[g()] =, czyli (4) f [ f ( )] =, f [ f ( )] =. Funkcję odwrotną do f() = przez ln(). Stąd e nzwiemy logrytmem nturlnym z i oznczmy ln( () ln[ e ] = orz e ) =. Fkt Wykres funkcji odwrotnej do f() jest zwsze symetryczny do wykresu funkcji f() względem prostej y = (Rys. 8). Funkcją odwrotną do liniowej y = f() =+b jest funkcj liniow dn wzorem f ( ) = b. N przykłd, gdy f() = +, to f()= -+4, to f ( ) = +, itp. f ( ) = ; gdy

7 7 wykres y = e^, y = orz y = ln - - y = e^ y = y = ln - - Logrytm nturlny y = ln() jest uniwerslną funkcją wśród wszystkich funkcji logrytmicznych y = (6) log poniewŝ ln log =, ln co ozncz Ŝe wystrczy miec w klkultorze lub w telefonie komórkowym funckję ln() by z pomocą wzoru (6) byc w stnie obliczyc logrytm z kŝdej liczby przy dowolnej podstwie >. N przykłd, ln 6 ln ln log 6= ; log = ; log = ; itp. ln ln ln Co więcej, ze wzoru = ( e ln ) = e ln wynik Ŝe mjąc w klkultorze lub w telefonie komórkowym jedną tylko funckję wykłdniczą e, jesteśmy w stnie obliczc wrtości dowolnej funkcji wykłdniczej. Jk pokzuje przykłd, pozwl nm to obliczc trudne n pozór do obliczeni potęgi njdziwniejszych liczb. Przykłd () oblicz e (π )? ; (b) oblicz ( ) ; (c) któr liczb jest większ: π (e) czy

8 8 ln (.7)(.69).. Rozwiąznie () = e = e = e =. ; (b) (ln ).449 ( ) = (e) =. 77 =e ;.4 (c) ( e) π (ln ).7(.44). = ( e) =. ; ( π ) e = ( e) e π = ( e) = ( e) =., więc ( π ) e) e π < (. Przypominmy iŝ zgodnie z definicją jką poznliśmy w szkole średniej, log b rów- ny jest tkiej liczbie c Ŝe log c b=. N przykłd, = gdyŝ = () ; log 8= 4 poniewŝ 8 =. Przypomnijmy sobie jeszcze inne wzory ze szkoły średniej: b (7) log ( y) = log+ logy ; log = log logy ; log ( ) = blog y Przykłd (zdnie to rozwiązywłem w r. ze studentmi University of Toledo, Ohio n Wydzile Elektrycznym). Oblicz liczbę l, gdzie l = log + log log. Rozwiąznie. l = log ( ) log () = log log 8= log = log () = log 8 = Przykłd 4 Oblicz liczbę l, gdzie l = ln + (/ )ln8. Rozwiąznie. l = ln + ln(8) = ln + ln = ln( ) = ln 6=. 79. Przykłd. (zdnie to rozwiązywłem w r. ze studentmi University of Toledo, Ohio n Wydzile Elektrycznym). Populcj Ziemi P() =(.86)(.76), gdzie = czs mierzony w ltch począwszy od roku. () ilu ludzi Ŝyło w roku?; (b) ilu ludzi Ŝyło w roku?; (c) ilu ludzi Ŝyło w 7 r.?; (d) ilu ludzi Ŝyło w r.?; (e) kiedy n Ziemi będzie Ŝyło mld ludzi (zkłdmy Ŝe nie będzie konfliktu zbrojnego n wielką sklę)? Rozwiąznie () P() = 6.7 osób; (b) P() = 4.46 osób; (c) P(7) = osoby; (d) P() = osoby; (e) N pytnie to moŝn w

9 9 łtwy sposób odpowiedziec przy pomocy Ecel wykonując te sme klkulcje co do tej pory tylko dl dlszych lt, tzn. dl roku,, itd. Ŝ np. do roku. Wówczs zobczymy Ŝe dl roku 4 populcj n Ziemi będzie liczyc P(4) = osób, czyli w przybliŝeniu mld ludzi. Posidjąc jednk tę wiedzę co my czytelnicy tego wykłdu, odpowiemy n to pytnie w sposób brdziej nukowy, minowicie rozwizując nstępujce równnie z jedną niewidomą (8) P() =(.86)(.76) = (). ZuwŜmy iŝ równośc (8) jest prwdziw wtedy i tylko wtedy gdy (w skrócie: (.76) =.49() 7 ln(49 ) = = ln(.76) log (.76) log = (49 ) Osttecznie, w roku 4 roku będzie ns mld ludzi n Ziemi. Przykłd 6 Populcj Indii liczy mln ludzi, zś w Chinch Ŝyje mln ludzi. W którym roku populcje zrównją się jeśli przyrost nturlny netto w Indich wynosi.4% podczs gdy w Chinch przyrost ludności jest ujemny i wynosi -.%. Rozwiąznie Zchodzi nstępujące równnie z jedną niewidomą: t t (9) (.4) = (.998). Dzieląc obie strony równości (9) przez, otrzymujemy: (.4) log t = t =.674(.998) (.664) = 9.4. t t = log (.664).664 t = t = ln.674 ln.664 Ozncz to Ŝe po 9 ltch i dnich populcje w obu krjch zrównj się. Definicj Funkcj y = f() jest ciągł w punkcie= jeśli () limf ( ) = f ( ) gdy. () ozncz iŝ bierzemy pod uwgę wszystkie ciągi -ów zbiegjące do obserwu- jąc czy wrtości funkcji f() n tych ciągch zbiegją do (stją się corz bliŝsze)

10 f ( ). Jesli tk jest, to f() jest ciągł w punkcie, jreśli nie, to mówimy iŝ f() nie jest ciągł w =. Uwg Prktycznie wszystkie funkcje elementrne są ciągłe we wszystkich lub prwie wszystkich punktch. Np. ciągłe są w kŝdym punkcie wszystkie wielominy ( więc i wszytkie funkcje kwdrtowe i liniowe), funkcje potęgowe, funkcje wykłdnicze, sin, cos, itp. Funkcj tg jest ciągł wszędzie z wyjątkiem punktów gdzie nie jest określon, tj. Nie jest ciągł w punktch postci = π / + π. Twierdzenie KŜd funkcj ciągł y = f() określon n odcinku domkniętym [,b] osiąg w pewnym punkcie [, b] wrtośc njwiększą, w innym punkcie [,b] wrtośc njmniejszą. Uwg N przedzile otwrtym (,b) twierdzenie to nie jest prwdziwe. N przykłd, funkcj y = f() = sin() nie osiąg ni mksimum ni minimum n przedzile (, π / ). Dlczego? Dltego, Ŝe przyjmując wszystkie wrtości pomiędzy w przedzile (, π / ), nigdzie, to znczy w Ŝdnym punkcie tego przedziłu, nie osiąg wrtości któr jest jedynym kndydtem n wrtośc minimlną, jk równieŝ w Ŝdnym punkcie przedziłu (, π / ) nie przyjmuje wrtości któr jest jedynym kndydtem n wrtośc mksymlną.