Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
|
|
- Adrian Stasiak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, ale µ n (A) µ(a) dla pewnego zbioru A.. Wykaż, że: a) jeśli X n X p.n., to X n X; b) jeśli X n X według prawdopodobieństwa, to X n X; c) jeśli X n c, gdzie c jest stałą, to X n c według prawdopodobieństwa. 5. Zmienne losowe X n, X przyjmują tylko wartości całkowite. a) Wykaż, że X n X wtedy i tylko wtedy gdy P(X n = k) P(X = k) dla wszystkich liczb całkowitych k. b) Czy z istnienia granic lim n P(X n = k) dla k całkowitych wynika zbieżność X n wg rozkładu? 6. Czy teza punktu a) poprzedniego zadania się zmieni, jeśli zmienne X n przyjmują wartości wymierne? 7. Niech Bin(p, n) oznacza rozkład Bernoulliego o n próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, a Poiss(λ) - rozkład Poissona z parametrem λ. Wykaż, że jeśli np n λ, to Bin(p n, n) Poiss(λ). 8. Podaj przykład ciągu dystrybuant F n, zbieżnego punktowo do funkcji, która nie jest dystrybuantą. 9. Podaj przykład ciągu zmiennych losowych X n, zbieżnego wg rozkładu, takiego, że odpowiadający mu ciąg dystrybuant nie zbiega punktowo do dystrybuanty rozkładu granicznego.. Wykaż, że zmienne losowe mające gęstości mogą zbiegać do stałej.. Niech X będzie rzeczywistą zmienną losową. Wykaż, że istnieje ciąg zmiennych X n zbieżny według rozkładu do X taki, że a) każde X n przyjmuje tylko skończenie wiele wartości, b) zmienne X n mają gęstość.. Udowodnij, że N (a n, σ n) N (a, σ ) wtedy i tylko wtedy, gdy a n a oraz σ n σ.
2 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Niech X będzie zmienną losową mającą gęstość oraz liczby a n i a będą nieujemne. Wykaż, że zmienne a n X + b n zbiegają według rozkładu do zmiennej ax + b wtedy i tylko wtedy gdy a n a i b n b. Uwaga. Wystarczy zakładać, że X jest niezdegenerowane, tzn. P(X = c) < dla wszystkich c.. Co trzeba założyć o funkcji f, by z tego, że X n jest zbieżne według rozkładu do X wynikała zbieżność według rozkładu f(x n ) do f(x)?. Udowodnij, że jeśli X n X, p > oraz sup n E X n p <, to E X p <, ale niekoniecznie E X n p E X p. Jest to jednak prawdą, gdy dla pewnego ε >, sup n E X n p+ε <.. Niech g n, g oznaczają odpowiednio gęstości rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ na R n. Wykazać, że jeśli g n g p.w., to µ n µ, ale niekoniecznie na odwrót. 5. Wykaż, że rodzina rozkładów normalnych N (a α, σ α) jest ciasna wtedy i tylko wtedy gdy sup α a α, sup α σ α <. 6. Dana jest rodzina rozkładów a) wykładniczych {Exp(λ) : λ A}, A R +, b) jednostajnych {U(a, b) : a, b A, a < b}, A R. Jaki warunek musi spełniać zbiór A, aby ta rodzina była ciasna? 7. Załóżmy, że ciąg zmiennych losowych X n zbiega według rozkładu do zmiennej X o rozkładzie ciągłym. Wykaż, że dystrybuanty X n zbiegają jednostajnie do dystrybuanty X. 8. Zmienne X, X,... są niezależne i mają rozkład jednostajny na [, a], zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n min{x, X,..., X n }.
3 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Oblicz funkcje charakterystyczne rozkładów i) dyskretnych - dwupunktowego, geometrycznego, Bernoulliego, Poissona; ii) ciągłych - normalnego, jednostajnego, wykładniczego, dwustronnego wykładniczego, Cauchy ego.. Które z następujących funkcji są funkcjami charakterystycznymi: cos t, cos t, ( + eit ), +cos t, e? it. Korzystając z funkcji charakterystycznej oblicz EX k dla X N (, ).. Pokaż, że kombinacje wypukłe funkcji charakterystycznych są funkcjami charakterystycznymi. 5. Wiadomo, że ϕ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X. Czy funkcjami charakterystycznymi są : ϕ, Reϕ, ϕ, ϕ? 6. Niech X będzie zmienną losową taką, że P(X Z) =. Pokaż, że dla każdego n Z, P(X = n) = π π e itn ϕ X (t)dt. 7. Wykaż, że jeśli funkcja charakterystyczna zmiennej X ma drugą pochodną w zerze, to EX <.
4 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Przy pomocy funkcji charakterystycznych sprawdź, że jeśli ε n są niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi przyjumjącymi wartości ±, to zmienna losowa n n ε n ma rozkład jednostajny na przedziale [, ].. Udowodnij, że zmienna losowa X jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ X (t) R dla wszystkich t.. Zmienne X, Y są niezależne, przy czym X i X +Y mają rozkłady normalne. Udowodnij, że zmienna Y ma także rozkład normalny lub jest stała p.n... Zmienne X, Y, ε są niezależne, przy czym X, Y mają rozkład wykładniczy z parametrem λ oraz P(ε = ±) =. Wykaż, że zmienna X Y ma ten sam rozkład, co zmienna εx. 5. Wykaż, że istnieje t takie, że ϕ X (t) = wtedy i tylko wtedy, gdy P(X a + bz) = dla pewnych a, b R. 6. Znajdź zmienne losowe X, Y takie, że ϕ X+Y = ϕ X ϕ Y oraz zmienne X, Y są zależne. 7. Zmienna X ma funkcję charakterystyczną ϕ X (t) = e t α dla pewnego α (, ]. Co można powiedzieć o rozkładzie zmiennej ax + by, gdzie a, b R, a Y jest niezależną kopią X? 8. Wykaż, że dla α > nie istnieje zmienna losowa taka, że ϕ X (t) = e t α. 9. Załóżmy, że zmienne X i Y są niezależne, mają jednakowy rozkład oraz dla dowolnych liczb a, b zmienna ax + by ma ten sam rozkład co zmienna ( a α + b α ) /α X. Wykaż, że ϕ X (t) = e c t α dla pewnego c.. Dla n zmienna X n ma rozkład geometryczny z parametrem p n (, ). Wykaż, że jeśli (a n ) n jest takim ciągiem liczb dodatnich, że a n, p n /a n λ >, to zmienne a n X n zbiegają słabo do rozkładu wykładniczego z parametrem λ.. Podaj przykład zmiennych losowych X n takich, że ϕ Xn ϕ punktowo, ale ϕ nie jest funkcją charakterystyczna żadnego rozkładu na prostej.
5 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - 5. W pewnym okręgu w wyborach do senatu głosuje 5. osób. Zakładając, że wyborcy głosują na każdego z dwu kandydatów z prawdopodobieństwem 5% jaka jest szansa, że różnica między kandydatami będzie mniejsza niż głosów?. Na podstawie losowej próby szacujemy procent dorosłych osób popierających pewną partię polityczną. Chcemy by błąd był mniejszy niż % z prawdopodobieństwem.95? Ile w tym celu musimy przepytać osób? Jak zmieni się odpowiedź, jeśli wiemy, że partię popiera nie więcej niż % wyborców?. Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi,57. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych noworodków liczba chłopców nie przewyższy liczby dziewcząt?. Rzucono razy kostką. Oszacuj prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie zawarta między a Dane są niezależne zmienne losowe X, X,..., o wspólnym rozkładzie z wartością oczekiwaną równą i dodatnią wariancją. Wyznacz w zależności od a, α R ( ) lim P X X n n > a. 6. Zmienne X, X,... są niezależne oraz P(X i = a) = P(X i = /a) = / dla pewnego a >. Wykaż, że zmienne Z n = (X X X n ) / n są zbieżne według rozkładu i znajdź rozkład graniczny. 7. Zmienne X λ mają rozkład Poissona z parametrem λ. Wykaż, że n α X n n n N (, ) według rozkładu, gdy n. 8. Udowodnij, że lim n k n e n k! =. k n 9. Wykaż, że jeśli X n X oraz Y n c dla pewnego c R, to a) X n + Y n c + X, b) X n Y n cx.. Zmienne losowe X, X,... są niezależne, mają ten sam rozkład taki, że EX =, Var(X) = σ <. Zbadaj zbieżność według rozkładu następujących ciągów n(x +..., X n ) U n = X , V n = X X n. X n X Xn 5
6 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - 6. Niech X, X,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi, takimi, że Wykaż, że P(X n = ±) = ( n ), P(X n = ±n) = n. X X n n N (, ) oraz Var(X n ). Wywnioskuj stąd, że X X n N (, /). Var(X X n ). Niech X będzie całkowalną z kwadratem zmienną losową, taką, że X / (Y + Z), gdzie Y, Z - niezależne kopie X. Wykaż, że X ma rozkład N (, σ ).. Załóżmy, że zmienne X k są niezależne oraz P(X k = ±) = / zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n / (X + X nx n ).. Zmienne X i są niezależne i mają rozkład jednostajny na [, ]. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n / (X + X X n n ). 5. Zmienne X, X,... są niezależne i mają jednakowy rozkład o średniej zero i wariancji. Ciąg (a n ) jest ograniczony oraz s n = (a + a... + a n) /. Wykaż, że s n (a X + a X a n X n ) zbiega według rozkładu do N (, ). 6. Zmienne X n są niezależne, scentrowane, Var(X n ) = oraz EX n. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n / (X X n ). 7. Udowodnij, że zmienna X N (a, B) ma gęstość wtedy i tylko wtedy gdy B jest odwracalne oraz, że w tym ostatnim przypadku wynosi ona detc ( C(x a), x a ) g X (x) = (π) exp, gdzie C = B. d/ 6
7 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - 7. Rzucamy razy symetryczną monetą. Niech X oznacza łączną liczbę orłów, zaś Y liczbę orłów w pierwszych czterech rzutach. Znajdź E(X Y ) oraz E(Y X).. Załóżmy, że zmienne X, Y przyjmują wartości naturalne oraz Oblicz E(X Y ). P(X = k, Y = l) = { l l. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość g(x, y) = Znajdź E(X Y ). { x dla k l w przeciwnym przypadku. e x(y+) jeśli x >, y > w przeciwnym przypadku. Zmienne X, X,... są niezależne o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ, niech S n = X + X X n. a) blicz E(S n X ), E(S n X ). b) Dla n k wyznacz E(S n S k ), E(S n S k ) oraz E(e Sn S k ). 5. Znajdź przykład zmiennych losowych X, Y, które nie są niezależne, ale E(X Y ) = EX. 6. Zmienne X i Y są niezależne, a f jest borelowską funkcją dwu zmiennych taką, że E f(x, Y ) <. Wykaż, że E(f(X, Y ) Y ) = g(y ) p.n., gdzie g(y) = Ef(X, y). 7. Zmienne X i Y są całkowalne, niezależne i mają jednakowy rozkład. Wykaż, że E(X X + Y ) = E(Y X + Y ) = (X + Y ). 8. Załóżmy, że ε i są niezależnymi zmiennymi takimi, że P(ε i = ±) = /. Oblicz E(ε + ε ε ε ε ) oraz E(ε ε ε + ε ε ). 9. Zmienne X i Y są niezależne o rozkładzie jednostajnym na [, ]. Oblicz E(max(X, Y ) min(x, Y )) oraz E(X X + Y ).. Wektor (X, Y ) ma łączny rozkład gaussowski o średniej zero taki, że Var(X) = σ, Var(Y ) = σ oraz Cov(X, Y ) = c. Oblicz E(X Y ) oraz P(X Y ). 7
8 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - 8. Zmienne τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F n ) n=. Wykaż, że τ+σ jest momentem zatrzymania. Czy τ, τ+ są momentami zatrzymania?. Zmienne losowe (X n ) są adaptowalne względem filtracji (F n ) n=. Udowodnij, że następujące zmienne losowe są momentami zatrzymania dla dowolnego zbioru borelowskiego B: a) τ = inf{n : X n B} pierwsza wizyta w zbiorze B, b) τ k = inf{n > τ k : X n B}, k =,,... k-ta wizyta w zbiorze B.. Zmienne τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F n ) n=. Udowodnij, że {τ < σ}, {τ σ}, {τ = σ} F τ F σ oraz F τ F σ = F τ σ.. Podaj przykład momentu zatrzymania τ, takiego, że σ(τ) F τ. 5. Niech X, X,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o skończonej wariancji i średniej zero oraz S n = X + X X n. Wykaż, że S n i S n Var(S n ) są martyngałami względem filtracji generowanej przez X n. 6. Załóżmy, że ε, ε,... są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że P(ε i = ±) = / oraz F n = σ(ε,..., ε n ). Niech S n = ε ε n. a) Znajdź wszystkie liczby a takie, że (a n cos(s n ), F n ) jest martyngałem. b) Wykaż, że dla dowolnego λ >, ciąg (exp(λs n nλ /), F n ) jest nadmartyngałem. 7. Zmienne X, X,... są niezależne oraz E X i < dla wszystkich i. Udowodnij, że M n = X X X n jest martyngałem względem filtracji generowanej przez X n wtedy i tylko wtedy gdy EX i = dla wszystkich i lub X = p.n.. 8. Niech X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i średniej. Wykaż, że ciąg Z n dany wzorem Z = Z n = X X +X X +...+X n X n, n jest martyngałem względem F n = σ(x, X,..., X n ). 9. Niech t R oraz X, X,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (, ). Przyjmijmy S n = X + X X n oraz F n = σ(x,..., X n ). Znajdź wszystkie ciągi (a n ) takie, że (e itsn+an, F n ) jest martyngałem. 8
9 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - 9. Ciąg (X n ) jest martyngałem. Zbadaj, czy są pod- bądź nadmartyngałami ciągi: a) ( X n p ) n p ; b) (X n a) n ; c) (X n a) n ; d) (X n) n.. Zmienne X, X,... są niezależne oraz P(X i = ) = p = P(X i = ). Przyjmując S = oraz S n = n i= X i znajdź wszystkie liczby rzeczywiste λ dla których λ Sn jest martyngałem względem filtracji generowanej przez (X n ).. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania (przy skończonym kapitale obu graczy) w grze orła i reszkę monetą niesymetryczną.. Oblicz średni czas oczekiwania na ruinę któregoś z graczy w grze orła i reszkę a) monetą symetryczną, b) monetą niesymetryczną. 5. Niech X, X,... będą niezależnymi zmienymi losowymi takimi, że P (X i = ±) = /, S n = X + X X n oraz τ = inf{n : S n = }. Wykaż, że Eτ =. 6. Gracz A dysponuje nieskończonym kapitałem. Ile wynosi średni czas oczekiwania na wygranie zł. przez A w grze orła i reszkę a) monetą symetryczną, b) monetę niesymetryczną. 7. Niech (X n, F n ) będzie adaptowalnym ciągiem całkowalnym. Udowodnij, że jest on martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ograniczonego momentu zatrzymania τ, EX τ = EX. 8. X, X,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie takim, że EXi <. Udowodnij, że dla dowolnego momentu zatrzymania względem filtracji generowanej przez (X n ) takiego, że Eτ < zachodzi E(S τ τex ) = EτVar(X ). Czy wzór ten musi być prawdziwy bez założenia o skończoności Eτ? 9. Niech (ε n ) n będzie ciągiem niezależnych symetrycznych zmiennych losowych o wartościach ±. Wykaż, że nadmartyngał Z n := e a(ε+...+εn) (na /) jest zbieżny prawie na pewno. Czy jest zbieżny w L?. Niech X, X,... będą niezależne o rozkładzie jednostajnym na [, ]. Wykaż, że n M n = tworzą martyngał (względem filtracji generowanej przez X n ) zbieżny do prawie na pewno, ale nie w L.. Podaj przykład martyngału X n takiego, że X n p.n. oraz E X n. k= X k 9
10 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Wykaż, że jeśli (X i ) i (Y i ) są jednostajnie całkowalne, to dla dowolnych a, b R, (ax i + by i ) jest jednostajnie całkowalny.. Znajdź jednostajnie całkowalny ciąg X n taki, że E sup n X n =. ϕ(x). Niech ϕ : R + R + spełnia warunek lim x x =. Wykaż, że jeśli sup i Eϕ( X i ) <, to (X i ) jest jednostajnie całkowalny.. Niech X, X,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że X n ma rozkład Poissona z parametrem n. Wykaż, że ciąg M n = (n!) X X n, n =,... jest martyngałem względem filtracji generowanej przez (X n ). Czy M n jest zbieżny prawie na pewno? Czy jest zbieżny w L? Czy jest zbieżny w L? 5. Zmienne ε, ε,... są niezależne oraz P(ε i = ±) = /. Rozstrzygnij, które z podanych poniżej procesów są łancuchami Markowa. a) X =, X n = ε ε n, n =,,... b) Y =, Y n = ε ε ε n,, n =,,... c) Z n = ( ) εn,, n =,,... d) W n = ε n ε n+, n =,,... e) V n = ε n + ε n+, n =, Załóżmy, że E jest zbiorem przeliczalnym, f : E R E jest funkcją mierzalną (przyjmujemy, że wszystkie podzbiory E są mierzalne), Y pewną zmienną o wartościach w E, zaś X, X,... ciągiem niezależnych zmiennych losowych. Definiujemy Y n+ = f(x n, Y n ) dla n =,,.... Wykaż, że (Y n ) jest łańcuchem Markowa. 7. Dwa jednorodne łańcuchy Markowa (X n ), (Y n ) z macierzą przejścia P są niezależne. Udowodnij, że Z n = (X n, Y n ) też jest łańcuchem Markowa i znajdź jego macierz przejścia. 8. Ciąg (X n ) n jest łańcuchem Markowa o wartościach w E. Wykaż, że dla dowolnej funkcji różnowartościowej f : E E, (f(x n )) jest łańcuchem Markowa. Czy tak być musi, jeśli nie założymy różnowartościowości f?
11 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Dla łańcuchów Markowa o przestrzeni stanów {,,, } i poniższych macierzach przejścia znajdź wszystkie stany nieistotne i wszystkie zamknięte zbiory stanów. a) b). (X n ) jest łańcuchem Markowa, czy wynika stąd, że a) P(X n = a k+ X ik = a k, X ik = a k,..., X i = a ) = P(X n = a k+ X ik = a k ) dla dowolnych liczb całkowitych i < i <... < i k < n oraz stanów a, a,..., a k+? b) P(X n A k+ X ik A k, X ik A k,..., X i A ) = P(X n A k+ X ik A k ) dla dowolnych liczb całkowitych i < i <... < i k < n oraz zbiorów stanów A, A,..., A k+?. Udowodnij, że łańcuch Markowa jest nieprzywiedlny wtedy i tylko wtedy gdy nie ma właściwych podzbiorów zamkniętych.. Zmienne Y, Y, Y,... są niezależne i mają ten sam rozkład geometryczny z parametrem. Ciąg zmiennych X, X,... jest określony następująco: X p.n., a dla n, { jeśli Y n =, X n+ = X n Y n jeśli Y n. a) Wykaż, że (X n ) n jest nieprzywiedlnym łańcuchem Markowa. b) Czy ten łańcuch jest okresowy? c) Udowodnij, że wszystkie stany są powracające. 5. Wykaż, że jeśli y jest stanem chwilowym to n= p x,y(n) < dla wszystkich x, w szczególności lim n p x,y (n) =. 6. Wykaż, że skończony łańcuch Markowa ma przynajmniej jeden stan powracający. 7. Wykaż, że w powracalnym i nieprzywiedlnym łańcuchu Markowa z prawdopodobieństwem każdy stan jest odwiedzany nieskończenie wiele razy (niezależnie od rozkładu początkowego).
12 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Zbadaj okresowość łańcuchów o poniższych macierzach przejścia: a) b). Jednorodny łańcuch Markowa o przestrzeni stanów {,,...} ma macierz przejścia (p n,m ) n,m taką, że p, =, p n,n+ = p n,n = p dla n =,..., gdzie p (, ). W zależności do parametru p wyznacz wszystkie rozkłady stacjonarne.. W dwu urnach znajduje się łącznie n kul. W każdej chwili wybieramy losowo kulę i przenosimy ją do innej urny. Znajdź rozkład stacjonarny liczby kul w pierwszej urnie.. Rozważamy symetryczne błądzenie losowe (X n ) po kracie Z, tzn. ze stanu (i, j) przechodzimy z równymi prawdopodobieństwami do jednego ze stanów (i +, j), (i, j) (i, j + ) i (i, j ). Czy łańcuch Markowa (X n ) jest a) okresowy, b) powracalny? c) Czy istnieje rozkład stacjonarny? 5. Ciąg niezależnych zmiennych losowych Y, Y,... ma wspólny rozkład taki, że P(Y i = ) = P(Y i = ) = p. Definiujemy rekurencyjnie ciąg X n wzorami X =, X n+ = max(x n, ) + Y n. Wykaż, że ciąg ten jest łańcuchem Markowa. Znajdź rozkład stacjonarny, o ile istnieje. 6. W powiecie N. syn piekarza zostaje piekarzem z prawdopodobieństwem /, a syn niepiekarza z prawdopodobieństwem /. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wnuk piekarza jest piekarzem? A potomek w n-tym pokoleniu? Jaki procent ludzi w N. stanowią piekarze?
13 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Macierz przejścia łańcucha Markowa (X n ) n na przestrzeni S = {,,, } dana jest następująco:. a) Czy jest to łańcuch nieprzywiedlny? b) Oblicz prawdopodobieństwo przejścia w dwu krokach ze stanu do stanu. c) Zakładając, że X = p.n. oblicz prawdopodobieństwo tego, że X n będzie w stanie przed stanem. d) Zakładając, że X = p.n. oblicz wartość oczekiwaną czasu dojścia do stanu.. Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się ciąg 6 lub 66. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ciąg 6 pojawi się wcześniej?. Rzucamy symetryczną monetą aż do momentu, gdy wyrzucimy pod rząd cztery orły. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład
Bardziej szczegółowoZadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n
Zadania z RP 2. seria 1. 1. Dla x R n, niech δ x oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie x. Wykazać, że dla dowolnego ciągu x n R n zachodzi δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x. 2. Podać przykład
Bardziej szczegółowoSeria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 12
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 12 1. Udowodnij, że dla dowolnych punktów x n, x w przestrzeni metrycznej E δ xn δ x wtedy i tylko wtedy gdy x n x. 2. Wykaż, że 1 n n k=1 δ k/n λ, gdzie λ jest
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.
Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o następujących rozkładach: a) symetryczny dwupunktowy; b) dwumianowy z parametrami n, p; c) Poissona z parametrem
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym
Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa - 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A)
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoLista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym oraz F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, takie że P(A)
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 Aksjomatyka Kołmogorowa, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo geometryczne
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 Aksjomatyka Kołmogorowa, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo geometryczne 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest
Bardziej szczegółowoLista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.
Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym oraz F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, takie że P(A)
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 Aksjomatyka Kołmogorowa, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo geometryczne
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 Aksjomatyka Kołmogorowa, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo geometryczne 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoi=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoP(U 1 > max{u 2,..., U 1000 } U 1 = s)dp U1 (s).
Kolokwium poszło gorzej, niż miałem nadzieję, a lepiej, niż się obawiałem. Maksymalny wynik to 74 punkty na 20), średnia to 55,6, zaś mediana to 50. Grupy były dość równe w jednej średnia to 54,5, w drugiej
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowo19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 19 marzec, 2012 Przykłady procesów Markowa (i). P = (p ij ) - macierz stochastyczna, tzn. p ij 0, j p ij =
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoTrochę zadań kombinatorycznych. 1. na ile sposobów można siedmiu stojących na peronie pasażerów umieścić w trzech wagonach?
Trochę zadań kombinatorycznych 1. na ile sposobów można siedmiu stojących na peronie pasażerów umieścić w trzech wagonach? 2. Na szachownicy o wymiarach n n umieszczamy 8 nierozróżnialnych wież szachowych
Bardziej szczegółowoPrzykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Przykłady 6. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Transformacje zmiennej losowej. Opracowanie:
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowo5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3
LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest
Bardziej szczegółowoZadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W 7. 2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego
Bardziej szczegółowoZestaw 2. jej wartość oczekiwaną oraz wariancję. Znaleźć gęstości zmiennych losowych X, X 2, {
Zestaw 1 P1.1. Czy, jeśli obraz funkcji jest przeliczalny, wystarczy, że przeciwobrazy zbiorów jednopunktowych są mierzalne, aby mieć pewność, że funkcja jest zmienną losową? P1.2. Sprawdzić, że jeśli
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoNajczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady
Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoWartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych
Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoTeoria ze Wstępu do analizy stochastycznej
eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 3.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowo