14.1. Całka powierzchniowa niezorientowana
|
|
- Klaudia Klimek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wkład z Mateatki stosowanej w inżnierii środowiska, II se. Wkład CAŁKA POWIERZCHNIOWA 4.. Całka powierzchniowa niezorientowana. 4.. Nektóre zastosowania całek powierzchniowch niezorientowanch. 4.. Eleent teorii pola Całka powierzchniowa zorientowana Nektóre zastosowania całek powierzchniowch zorientowanch. 4.6 Jednolite podejście do wprowadzania całek powierzchniowch. 4.. Całka powierzchniowa niezorientowana 4A Deinicja (płat powierzchniow) Nich D będzie prostokąte doknięt oraz niech unkcja wektorowa dwóch ziennch r( u, v) ( ( u, v), ( u, v), z( u, v)), gdzie ( u, v) D, będzie ciągła i różnowartościowa na t prostokącie. Płate powierzchniow nazwa zbiór wartości unkcji wektorowej r : { r( u, v): ( u, v) D}. 4A Fakt (o postaci płatów powierzchniowch) Płatai powierzchniowi są wkres unkcji ciągłch postaci: ) z z(, ), (, ) D, gdzie D jest obszare na płaszczźnie O ; ) (, z), (, z) D, gdzie D jest obszare na płaszczźnie Oz ; (, z), (, z) D, gdzie D jest obszare na płaszczźnie Oz. ) Jeżeli unkcje,, z ają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na odpowiednich obszarach, to płat powierzchniowe są gładkie. 4A+B Twierdzenie (pole płata powierzchniowego) Jeżeli płat gładki jest wkrese unkcji z z(, ) gdzie (, ) D, to jego pole wraża się wzore z z S dd D Analogicznie wglądają wzor na pola płatów gładkich, które są wkresai unkcji postaci (, z) oraz (, z).
2 4A4 Uwaga (oznaczenia w deinicji całki powierzchniowej niezorientowanej) Niech { r( u, v), ( u, v) D} będzie gładki płate powierzchniow, gdzie D jest doknięt obszare regularn na płaszczźnie. Niech dalej P { D, D,, D n } podział obszaru D na obszar regularne o rozłącznch wnętrzach; pole obszaru ; ( P) a{ d : k n} średnica podziału P ; d k D k k u v u v un vn {(, ),(, ),,(, )}, gdzie ( uk, v k ) Dk zbiór punktów pośrednich podziału P ; k część płata odpowiadającego obszarowi D k ; k pole płata k ( k, k, zk ) punkt płata paraetrzacji r., gdzie k n ; k odpowiadając punktowi ( u, v ) D w podanej k k k 4A5 Deinicja (całka powierzchniowa niezorientowana) Niech unkcja będzie ograniczona na gładki płacie. Całkę powierzchniową niezorientowaną z unkcji po płacie deiniuje wzore (,, z) ds li (,, z ) n ( P) 0 k k k k k o ile granica istnieje oraz nie zależ od sposobu podziału P obszaru D ani od sposobu wboru punktów pośrednich. 4A6 Fakt (addtwność: całka powierzchniowa po płacie kawałkai gładki) Niech będzie płate złożon z płatów gładkich,,, oraz niech będzie unkcją ograniczoną na płacie. Całkę powierzchniową niezorientowaną z unkcji po płacie deiniuje wzore ds ds ds ds o ile całki po prawej stronie istnieją. 4A7 Fakt (linowość całki powierzchniowej niezorientowanej)
3 Jeżeli unkcje i g są całkowalne na kawałkai gładki płacie, to a) ( g) ds ds gds, b) ( c ) ds c ds, gdzie c jest dowolną liczbą rzeczwistą. 4A+B8 Twierdzenie (o zaianie całki powierzchniowej na całkę podwójną) Jeżeli płat gładki, jest wkrese unkcji z z(, ), gdzie (, ) D, oraz unkcja jest ciągła na D, to wzór na zaianę całek przjuje postać z z (,, z) ds (,, z(, )) (, ) (, ) dd D Podobne wzor a dla płatów gładkich opisanch równaniai (, z), (, z). płacie gdzie 4A+B9 Przkład. Obliczć całkę powierzchniową z unkcji powierzchnia (stożka) Rozwiązanie. Płat (,, z) po z odcięta płaszczznai z0 i z. rozważan w zadaniu jest wkrese unkcji (, ) D D {(, ) : }. z z z, D O Ma: z, z,, z ds z z d d d d d d. Korzstając z twierdzenia 4A+B8 o zaianie całki powierzchniowej na całkę podwójną i dokonując w tej całce zaian ziennch na współrzędne biegunowe otrza kolejno: z ds dd 4 d r dr d. D Niektóre zastosowania całek powierzchniowch niezorientowanch
4 4A0 Fakt (pole płata) Pole kawałkai gładkiego płata. wraża się wzore ds 4A+B Przkład. Obliczć pole części ser iędz płaszczznai zi z. z 9 zawartej Rozwiązanie. Płat jest wkrese unkcji z (, ) 9, gdzie punkt (, ) należą do pierścienia kołowego o środku w początku układu i proieniach: zewnętrzn 9 8 i wewnętrzn Wted ds dd 9 9 r 8 dd rdr 8 d r 5 4A+B Fakt (zastosowania w izce).. Masa płata aterialnego o gęstości powierzchniowej as wraża się wzore (,, z) ds... Moent statczne względe płaszczzn układu współrzędnch płata aterialnego o gęstości powierzchniowej as wrażają się wzorai: MS (,, z) ds, MS (,, z) ds, MS z (,, z) ds. z z.. Współrzędna środka ( C, C, z C) as płata o gęstości powierzchniowej MS z MS MS z as wrażają się wzorai: C, C, zc. M M M
5 .4. Moent bezwładności względe osi oraz względe początku układu współrzędnch płata aterialnego o gęstości powierzchniowej as wrażają się wzorai: I ( z ) (,, z) ds, I ( z ) (,, z) ds, I ( ) (,, z) ds, I ( z ) (,, z) ds. z 0 4A+B Przkład. Obliczć asę płata o równaniu zawartego iędz płaszczznai z0, z., ( ) z i gęstości ( ), Rozwiązanie. Płat jest wkrese unkcji z gdzie (, ) D D {(, ) : 4}. z O D Korzstając z 4A+B. oraz 4A+B8 otrza kolejno:
6 ( ) ds d d z, z D 5 r t d r r dr d t t dt 5 5. rdr tdt 5 Praca doowa z całek powierzchniowch niezorientowanch Obliczć pole, asę oraz położenie środka as jednorodnego płata aterialnego, gdzie część płaszczzn z odcięta przez płaszczzne, 0, z 0. Rozwiązanie. Płat jest wkrese unkcji z, gdzie (, ) D {(, ) : 0, [0,]} (zobacz rsunek). z O D Rs.: Powierzchnia oraz jej rzut na płaszczznę O Ma zate: z, z 0 ds ( z ) ( z ) dd dd. Oblicza pole Oblicza asę S ds dd d d.... D 0 0 ds dd.... const Oblicza współrzędne środka as: ds..., ds..., z z ds.... C C C D 4.. Eleent teorii pola 4A4 Deinicja (operator Hailtona nabla) Operator Hailtona (nabla) określa wzore,,. z 4A+B5 Uwaga (gradient unkcji) Dla unkcji (,, z) różniczkowalnej na obszarze D jej gradient grad jest wektore określon wzore grad,,. z własności (jeśli prawe stron równości poniżej są określone): Zachodzą następujące
7 5.) grad( a bg) agrad bgrad g, gdzie a, b ; 5.) grad( g) g grad grad g; g grad grad g 5.) grad ; g g 5.4) grad h( ) h( ) grad ; 5.5) (grad ) v, gdzie pochodna unkcji w kierunku wektora v ; v 5.6) gradient unkcji w punkcie wskazuje kierunek najszbszego wzrostu tej unkcji w t punkcie i jest prostopadł do odpowiedniej warstwic unkcji. 4A6 Przkład. Obliczć gradient podanch unkcji: z a) (,, z) ( ) ; b) (,, z) arctg. z 4A+B7 Uwaga (rotacja pola wektorowego) Dla różniczkowalnego pola wektorowego F ( P, Q, R) jego rotację rot F określa i j k v R Q P R Q P wzore rot F F,,. z z z Niech dalej P Q R unkcja a gradient na obszarze D. oraz niech pola wektorowe F różniczkowalne na t obszarze. Wted zachodzą własności: 7.) rot( af bg) arot F b rot G, gdzie a, b ; i G będą 7.) rot(grad U) 0 (dla unkcji U dwukrotnie różniczkowalnej w sposób ciągł na D ); 7.) * rot( F) grad F rot F. 4A+B8 Przkład. Obliczć rotacje podanch pól wektorowch: a) F(,, z) (, z, z); b) F(,, z) (cos,cos,cos z). 4A+B9 Uwaga (pole wektorowe potencjalne) Pole wektorowe F ( P, Q, R) nazwa potencjaln na obszarze D jeżeli istnieje taka unkcja U U(,, z) (potencjał), że F gradu na t obszarze. Dla pola F różniczkowalnego w sposób ciągł na obszarze doknięt jednospójn poniższe stwierdzenia są równoważne: a) pole potencjalne, b) całka krzwoliniowa z tego pola po dowoln łuku zaknięt w t obszarze wnosi zero; c) całka krzwoliniowa z tego pola w t obszarze nie zależ od kształtu drogi całkowania: d) rot 0 F w t obszarze F U 4A0 Deinicja (dwergencja pola wektorowego) w orie operatorowej: ( ) 0.
8 Niech F ( P, Q, R) będzie pole wektorow różniczkowaln w sposób ciągł na obszarze. Dwergencję pola wektorowego F określa wzore div F P Q R F. z 4B Fakt (własności dwergencji) Niech unkcja oraz niech pola wektorowe F i G będą różniczkowalne w sposób ciągł na obszarze. Wted.) div( af bg) adiv F bdiv G, gdzie a, b ; D D.) div( F) (grad ) F div F;.) div( F G) G rot F F rot G;.4) div(rot F) 0 lub w orie operatorowej ( F) 0 (pole F dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągł na D ). 4A Przkład. Wznaczć dwergencję podanch pól wektorowch 4 a) F(,, z) ( z,,5 z ); b) F(,, z) ( e,ln( ),cos z) Całka powierzchniowa zorientowana 4A Deinicja (płat powierzchniow zorientowan) Płat powierzchniow dwustronn, na któr wróżniono jedną ze stron (będzie ówili, strona dodatnia), nazwa płate zorientowan. Płat powierzchniow zorientowan przeciwnie do płata oznacza przez. Dla płatów zakniętch w przestrzeni za stronę dodatnią płata przjuje z reguł jego stronę zewnętrzną. Dla płatów, które są wkresai unkcji postaci z (, ), za stronę dodatnią przjuje zwkle górną część takiego płata. 4A4 Fakt (postać wersora noralnego płata) Jeżeli płat gładki jest wkrese unkcji z z(, ), gdzie (, ) D to wersor noraln n tego płata wstawion w punkcie ( 0, 0, z 0), gdzie z0 z( 0, 0) wraża się wzore p q n,,, p q p q p q
9 z z gdzie p ( 0, 0), q ( 0, 0). Wersor noraln ożna przedstawić w postaci wersora n (cos,cos,cos ), gdzie oznaczają kąt iędz wersore, a dodatnii częściai odpowiednio osi O, O, Oz.,, 4A5 Deinicja (całka powierzchniowa zorientowana) Niech F ( P, Q, R) będzie pole wektorow na płacie gładki zorientowan. Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F po płacie deiniuje wzore P(,, z) ddz Q(,, z) dzd R(,, z) dd ( P(,, z)cos Q(,, z)cos R(,, z)cos ) ds Ostatni wzór oznacza zaianę całki powierzchniowej zorientowanej na całkę niezorientowaną. 4A6 Uwaga Jeżeli jest płate zorientowan zaknięt, to wted pisze... 4A+B7 Twierdzenie (o zaianie całki powierzchniowej na całkę podwójną) Jeżeli gładki płat zorientowan dodatnio jest wkrese unkcji z z(, ), gdzie (, ) oraz pole wektorowe F ( P, Q, R) D P(,, z) ddz Q(,, z) dzd R(,, z) dd jest ciągłe na, to z z P(,, z(, )) Q(,, z(, )) R(,, z(, )) dd. D Podobne równości ają iejsce, gd płat jest wkrese unkcji postaci (, z) lub (, z). 4A+B8 Przkład. Obliczć całkę powierzchniową zorientowaną ( z) ddz ( z) dzd (5 ) dd, gdzie jest zewnętrzną stroną czworościanu Q ograniczonego płaszczznai 0, 0, z 0, z.
10 Rozwiązanie. Powierzchnia czworościanu składa się z czterech płatów,, (zobacz rsunek) o równaniach: 4, AOB : z (, ) 0, gdzie 0, [0,] ( z 0, z 0); AOC : (, z) 0, gdzie 0 z, [0,] ( 0, 0); BOC : (, z) 0, gdzie 0 z, [0,] ( 0, 0); ABC : z (, ), gdzie 0, [0,] ( z, z ). 4 4 z C B z z D O B O A A à ) á) z C z C z z D z D z O â) A O ã) B Rs.: Powierzchnia oraz jej rzut na płaszczznę O, Oz, Oz Wersor do tch płatów (skierowane na zewnątrz) ają odpowiednio postać: n (0,0, ), n (0,,0), n (,0,0), n4 (,,). Korzstając ze wzoru (zobacz 4A5) na zaianę całki zorientowanej na całkę niezorientowaną, otrza: ( z) ddz ( z) dzd (5 ) dd (5 ) ds (5 ) dd 4 7 d (5 ) d (5 ) d ( 4 ) d ; D
11 ( z) ddz ( z) dzd (5 ) dd ( z) ds zdd ( ) d zdz z d ( ) d ; ( z) ddz ( z) dzd (5 ) dd ( z) ds zddz z ( ) ( ) d zdz d d ; D ( z) ddz ( z) dzd (5 ) dd ( z) ( z) (5 ) ds z, D z D z ds ( z ) ( z ) dd dd dd d d d 0 (8 6 ) (8 6 ) (8 ) ( 5 ) d Korzstając teraz z addtwności całki powierzchniowej względe obszaru całkowania, otrza: ( z) ddz ( z) dzd (5 ) dd Niektóre zastosowania całek powierzchniowch zorientowanch 4A+B9 Deinicja (struień pola wektorowego) Struień pola wektorowego przez powierzchnię (ze stron ujenej na dodatnią) określan wzore Pddz Qdzd Rdd v(,, z) ds, W szczególności, oznacza ilość ciecz przepłwającej w jednostce czasu przez płat zorientowan (ze stron ujenej na dodatnią), gdzie v P(,, z), Q(,, z), R(,, z) prędkość ciecz w punkcie (,, z ) tego płata. 4A+B0 Przkład. Obliczć struień pola wektorowego F(,, z) (,, z) przez powierzchnię górna wewnętrzna strona półser z, z 0. Rozwiązanie. Płat (zorientowan ujenie) jest wkrese unkcji z, (, ) D {(, ) : }. Ma zate z, z oraz wersor noraln n do powierzchni,
12 skierowan do wewnątrz, a postać (zobacz 4A4) n (,, z ) (cos,cos,cos ). Korzstając z 4A5 otrza: ddz dzd zdd ( z ) ds ( ) dd D dd rdr d r 6. cos, 0 D sin 0 0 r 0 4A+B Twierdzenie (wzór Gaussa-Ostrogradskiego) Jeżeli jest zaknięt zorientowan dodatnio kawałkai gładki płate, któr jest brzegie obszaru dokniętego D, oraz pole wektorowe F ( P, Q, R) jest różniczkowalne w sposób ciągł na D, to P Q R Pddz Qdzd Rdd dddz z D lub krótko F ds ( div F) dddz. V 4A+B Przkład. Korzstając z twierdzenia 4A+B Gaussa-Ostrogradskiego obliczć całkę powierzchniową która jest bezpośrednio obliczona w przkładzie 4A+B8. Rozwiązanie. Stosując wzór Gaussa-Ostrogradskiego do całki podanej w przkładzie 4A+B8 otrza: z) ddz ( z) dzd (5 ) dd 0 dddz 5 5 dddz 5 D 5. 6 D 4B Twierdzenie (wzór Stokesa) Jeżeli jest płate kawałkai gładki zorientowan, którego brzeg L jest łukie kawałkai gładki zorientowan zgodnie z orientacją płata, oraz pole wektorowe F ( P, Q, R) jest różniczkowalne w sposób ciągł na płacie (łącznie z brzegie L ), to R Q P R Q P Pd Qd Rdz ddz dzd dd z z L lub krótko F dr rot F ds. L Wzór Greena jest szczególn przpadkie wzoru Stokesa. 4B4 Przkład. Korzstając z twierdzenia Stokesa obliczć całkę krzwoliniową D
13 ( ) d ( z) d ( z ) dz jeżeli łuk L jest brzegie zorientowan dodatnio L względe płata, gdzie dolna strona stożka z odciętego płaszczzną z 0. Praca doowa z całek powierzchniowch zorientowanch Korzstając z twierdzenia 4A+B Gaussa-Ostrogradskiego oraz bezpośrednio obliczć struień pola wektorowego F ( z,, z) przez zewnętrzną stroną powierzchni, gdzie jest złożona z powierzchni bocznej walca oraz płaszczzn z0, z. Wskazówka. Ze wzoru Gaussa-Ostrogradskiego: zddz ddz zdd ( z ) dddz d rdr ( z r cos r sin ) dz.... G Z deinicji bezpośrednio: płat jest złożon z płatów : z (, ) 0, gdzie (dolna podstawa walca); : (, z), gdzie (górna podstawa walca); : (, z), gdzie, 0 z ); 4: 4(, z), gdzie, 0 z ). Ma zate zddz ddz zdd Jednolite podejście do wprowadzania całek powierzchniowch Rozważ powierzchnię. Wbierając współrzędne krzwoliniowe u i v (zobacz Rs. ), równanie oże zapisać w postaci r r( u, v), ( u, v) D () z v r u r r u u, v v r u, v O Rs. Współrzędne krzwoliniowe
14 Niech dalej M, M, M, M będą punktai z wektorai wodząci r( u, v), r( u, v v), r( u u, v), r( u, v) ur ur, gdzie odpowiednio r r ( u u u, v ) r ( u, v ), r r( u, v v) r( u, v) u. Wted pole równoległoboku M, M, M, M wraża się wzore r r S ur ur u v, () u v gdzie unkcje u i v są rosnące. Powierzchnię ożna zorientować, wbierając stronę dodatnią lub uje ną przez odpowiedni wektor noraln n tej powierzchni (stron). Wted całkę powierzchniową deiniuje i bada w zgodnie z jednolit podejście wprowadzania całek krzwoliniowch. 4A+B5 Uwaga (Całka powierzchniowa) Całka niezorientowana Całka zorientowana Ma: a) powierzchnię niezorientowaną a) powierzchnię zorientowaną W obszarze D jest określone b) pole skalarne b) pole wektorowe u u( M) u(,, z) F F( M ) ( P(,, z), Q(,, z), R(,, z)) na przkład, pole as ( na przkład, pole ruchu ciecz u(,, z) jest gęstością powierzchniową ( FM ( ) jest prędkość ciecz w punkcie M (,, z )) w punkcie M (,, z ) ) Wprowadza eleent powierzchni c) skalarn c) wektorow r r r r ds dudv, ds ds n dudv, u v u v r r gzie unkcje uv, są rosnące gdzie uvsą, takie, że kierunek u v jest zgodn z kierunkie wersora n Bada proble d) obliczania as powierzchni d) obliczania struieniu (ciecz) pola wektorowego F przez stronę dodatnią powierzchni Korzstając z powierzchni (płatu ) eleentarnej dla powierzchni niezorientowanej dla powierzchni zorientowanej oblicza różniczki as d i struieniu d : d F( M ) ds ( P( M )cos e) d u( M) u(,, z) ds e) Q( M )cos R( M )cos ) ds Całkując po powierzchni, otrza ) całkę powierzchniową ) całkę powierzchniową niezorientowaną (I rodzaju), zorientowaną (II rodzaju), tzn. tzn. asę powierzchni : struień pola F przez stronę dodatnią powierzchni : S
15 u( M ) ds F( M ) ds ( P( M )cos u (,, z ) ds Q( M)cos R( M)cos ) ds Ostatni wzór daje przejść od całki zorientowanej F( M ) ds do całki niezorientowanej ( P( M )cos Q( M )cos R( M )cos ) ds. Stąd wnika, że a uieć obliczć całkę niezorientowaną. 4A6 Deinicja (płat gładki) Gładki płate powierzchniow (względe płaszczzno ) będzie nazwać wkres unkcji z (, ), (, ) D, () klas D C ( D), gdzie D jest obszare regularn doknięt o jednospójn wnętrzu. 4A+B7 Twierdzenie (zaiana całki powierzchniowej na całkę podwójną) Niech będzie gładki płate powierzchniow o równaniu (), a unkcja u( M) u(,, z) jest ciągła w D. Wted, u(,, z) ds u(,, z) ( (, )) ( (, )) dd (4) D gdzie są rosnące. Scheat dowodu. Współrzędne krzwoliniowe. Wted a uv, na, ( z) ( z), ds ( z) ( z) dd. oże przjąć za współrzędne i j k r r r r r r r (,, z), (,0, z ), (0,, z ), 0 z z i z j k, u v u v 0 z r r u v Korzstając z 4A, dochodzi do (4), co kończ dowód. 4A8 Uwaga Jeżeli powierzchnia jest zaknięta, to całkę powierzchniową oznacza sbole Zwkle przjuje, że dodatnią stroną powierzchni zakniętej jest strona zewnętrzna.
16 Wkład z Mateatki stosowanej w inżnierii środowiska, II se. Wkład 5 5. ELEMENTY NUMERYCZNYCH METOD OBLICZENIOWYCH 5.. Wstęp. 5.. Interpolacja. 5.. Aproksacja. 5.. Wstęp Metod nuerczne są ze swojej natur etodai przbliżoni, zate otrzwane w ten sposób wniki są obarczone zwkle pewn błęde. Jest rzeczą bardzo ważną, ab inżnier stosując etod nuerczne iał świadoość tego aktu i b potraił w każd przpadku oszacować popełnion błąd. Wiąże się z t zagadnienie wboru odpowiedniej etod, w szczególności proble szbkości zbieżności etod do rozwiązania dokładnego w przpadku etod iteracjnch. 5.. Interpolacja Interpolacja jest jedn ze sposobów przbliżania danej unkcji (powiedz poocą innej unkcji (oznacz ją ). Może rozpatrwać dwa zasadnicze przpadki: ) unkcja jest przedstawiona wzore, zwkle skoplikowan nie potrai wted wznaczć jej wartości (nawet dla stosunkowo prostej unkcji ( ) sin nie oże obliczć bez użcia tablic lub kalkulatora wartości np. sin(0,5)); ) unkcja jest przedstawiona w postaci tabelki, tzn. zna włącznie jej wartości w pewnch punktach 0,,, k, gdzie k jest pewną liczbą naturalną. Ma to iejsce np. wted, gd dokonuje poiaru pewnej wielkości izcznej co pewien określon czas T, np. odcztuje co T s odległość przebtą przez poruszając się obiekt. W przpadku ) unkcję nazwa unkcją teoretczną, w przpadku ) unkcją doświadczalną. Funkcja (przbliżająca unkcję ) powinna wrażać się prost wzore, ab jej wartość ożna bło łatwo obliczć. Jednocześnie błąd przbliżenia: ( ) ( ) dla każdego punktu D (gdzie D dziedzina unkcji ) powinien bć ożliwie ał, tzn. unkcję wbrać w odpowiedni sposób. Cele interpolacji unkcji doświadczalnej jest wznaczenie jej przbliżonch wartościach w takich punktach, którch nie a w tabelce tej unkcji. 5A Uwaga (interpolacja Lagrange a wzór wieloianu interpolacjnego) Najprostsz sposobe interpolacji jest przbliżenie unkcji za poocą wieloianu -tego stopnia, gd n jest liczbą naturalną. Oznacz n n ( ) Wn ( ) an an a a0, gdzie a0, a,, an, an są liczbai rzeczwisti, jest zienną niezależną. n ) za
17 Ponieważ chce, ab wieloian nie różnił się zbtnio od unkcji, więc rozsądnie jest przjąć, że wartości wieloianu i unkcji w punktach 0,,, nk są identczne (niestet, zazwczaj tlko w tch punktach), tzn. że Wn ( 0) ( 0), Wn ( ) ( ),, Wn ( n) ( n). Punkt 0,,, nk nazwa węzłai interpolacjni. Z powższego a: n n a0 a0 an 0 an0 ( 0) n n a0 a an an ( ) W n n n a0 an an n ann ( n) 5A+B Fakt (interpolacjn wzór Lagrange a) Wieloian spełniając powższe warunki ożna przedstawić w postaci n ( ) ( k )) Wn ( ), k0 ( k)( k) gdzie jest dowolną różniczkowalną unkcją która a punkt 0,,, nk jako ( ) W n pierwiastki krotności oraz wrażenie ( ) k jest określon w punkcie k w sposób ciągł, w szczególności, dla ( ) ( 0) ( )... ( n ) otrza postać Lagrange a wieloianu interpolacjnego: n 0 n Wn ( ) ( 0) ( ) n n 0 n ( ). n n n n 5B+C Uwaga Interpolacjn wzór Lagrange a pozostaje prawidłow w dziedzinie zespolonej i oże bć uogólnione dla nieskończonej liczb wielokrotnch węzłów (odpowiedni szeregi ają bć zbieżne). 5A+B4 Przkład. Wznaczć wieloian interpolacjn W (stopnia drugiego) dla unkcji ( ) sin i węzłów interpolacji 0 0,,. Obliczć za poocą wieloianu interpolacjnego Lagrange a przbliżoną wartość sin. 8 0 Rozwiązanie: W ( ) ( 0) ( ) ( ) Stąd sin 0, , gdzie 0,97. 8 n
18 5A5 Uwaga Przbliżoną wartość sin oglibś obliczć użwając jednie podstawowch 8 działań artetcznch. Wartość stablicowana różni się od obliczonej i wnosi 0, Aproksacja Aproksacja unkcji dla [ a, b] jest sposobe jej przbliżania za poocą innej unkcji, podobnie jak interpolacja, jednak aproksacja jest pojęcie ogólniejsz inaczej ówiąc, interpolacja jest szczególn przpadkie aproksacji. Stosując aproksację nie usi wagać, b wartości unkcji i bł identczne w pewnch punktach, które nazwaliś węzłai. Powższe waganie oże w przpadku unkcji doświadczalnej nie ieć sensu. Jest tak wted, gd wartości unkcji doświadczalnej, otrzane w wniku poiaru, są obarczone duż błęde. Wówczas żądanie b wkres unkcji przbliżającej przechodził dokładnie przez punkt poiarowe, oznaczałob, że błąd poiaru (którego w praktce nie ożna weliinować) wpłwa na postać unkcji. Ab ten wpłw ograniczć, należ poprowadzić wkres unkcji nie przez punkt poiarowe, ale iędz nii, jednocześnie jednak tak, b dobrze przbliżć wniki doświadczenia. Drugi powode, dla którego nie warto żądać, ab unkcja przbliżająca przjowała w węzłach te sae wartości co, jest akt, że często zależ na na przbliżeniu unkcji jedn wieloiane niskiego stopnia na cał przedziale [ ab, ]. W taki przpadku przeważnie nie wiadoo, jak wbrać węzł interpolacji, ab przbliżenie bło (dla danego stopnia wieloianu) najlepsze. Stosując aproksację nie usi wznaczać węzłów.
19 5A+B6 (aproksacja liniowa i wierna) Niech 0,,, będą pewni liniowo niezależni unkcjai. Kobinacją liniową tch unkcji nazwa wrażenie ające postać: a0 0( ) a ( ) a ( ), gdzie a0, a,, a są liczbai. Funkcje są liniowo niezależne na pewn przedziale jeżeli żadnej z unkcji nie ożna przedstawić jako kobinacji liniowej pozostałch unkcji, tzn. że tlko ich trwialna kobinacja liniowa jest tożsaościowo równa zeru. Wted ówi, że unkcje 0,,, są unkcjai bazowi (stanowią bazę pewnej przestrzeni liniowej). Na przkład, unkcje ( ), ( ), ( ) są unkcjai bazowi, ponieważ a a a 0, [0,] a a a 0. Zadanie aproksacji liniowej polega na wznaczeniu unkcji ( ) a0 0( ) a ( ) a ( ). gdzie 0,,, są z gór określoni unkcjai bazowi, natoiast a0, a,, a są liczbai, które trzeba wznaczć w odpowiedni sposób. Funkcja oże bć wieloiane, ale niekoniecznie zależ to od postaci unkcji bazowch. Czasai stosuje też aproksację wierną, która polega na wznaczeniu unkcji: a ( ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) b ( ) 0 0 ( ), 0 0 gdzie powinniś wznaczć liczb a0, a,, a, b0, b,, b k. Może szukać unkcji dla k, k lub k. Z powższch deinicji widać, że aproksacja wierna jest ogólniejsz sposobe przbliżania unkcji niż aproksacja liniowa, gdż w szczególn przpadku (dla k 0 i 0( ) ) aproksacja wierna sprowadza się do liniowej. 5A+B7 Przkład (unkcje bazowe) 7.. Jeżeli jest unkcją okresową o okresie l, to oże przjąć jako unkcje k k bazowe: 0( ), k ( ) cos, k( ) sin, k,,..., n. Prz pewnch l T założeniach dotczącch unkcji wbór powższej baz gwarantuje na dobre przbliżenie tej unkcji dla wszstkich. Funkcja przbliżająca a postać n k k wieloianu trgonoetrcznego: ( ) a0 ak cos aksin. k l l 7.. Jeżeli chce aproksować za poocą wieloianu k k k ( ) a, to oże wbrać bazę: 0( ), ( ), ( ),, ( ). Funkcje bazowe ają w t przpadku bardzo prostą postać, jednak ich zastosowanie do aproksacji powoduje, że współcznniki a0, a,, a unkcji są obliczane z dużi błędai. k0 k
20 7.. * Obliczenia współcznników a0, a,, a oże przeprowadzić znacznie dokładniej, wbierając bazę złożoną z wieloianów Czebszewa. Jeśli dokonuje aproksacji na przedziale [,], to przjuje: 0( ) T0 ( ), ( ) T ( ),, ( ) T( ), gdzie T0, T,, T wieloian Czebszewa, [,]. Jeżeli jest aproksowana na dowoln przedziale [ ab, ], to 0( ) T0 ( a), ( ) T ( a),, b a b a ( ) T ( a), b a 5A+B8 Uwaga (aproksacja średniokwadratowa i jednostajna) W zależności od tego, jakich własności żąda od przbliżającej unkcji, stosuje różne rodzaje aproksacji. Zawsze oczwiście chce, ab popełnion błąd prz aproksacji bł najniejsz z ożliwch, ale wielkość tego błędu ożna obliczać w różn sposób. Dla unkcji teoretcznej, określonej dla, jeśli chce, ab różnica iędz błąd ze wzoru i średnio na cał przedziale [, ] b a ab w( ) ( ) ( ) d, [ a, b] bła jak najniejsza, oblicza gdzie jest tzw. unkcją wagową (wagą) jest to unkcja z gór określona, w ( ) 0, którą dobiera w zależności od postaci unkcji bazowch i przedziału [ ab, ]. W przpadku unkcji doświadczalnej całkę zastępuje suą po wszstkich węzłach tzn. w() n i w( ) ( ) ( ) w( ) ( ) ( ) w( ) ( ) ( ) i i i n n n Powższ sposób przbliżania unkcji (teoretcznej lub doświadczalnej) za poocą nazwa aproksacją średniokwadratową. Przpuść, że dla unkcji otrza najniejsz błąd obliczeniow jak wżej. Mówi wówczas, że unkcja najlepiej przbliża w sensie aproksacji średniokwadratowej. Może się jednak zdarzć (jeśli jest unkcją teoretczną), że io to są punkt w przedziale [ ab, ], w któr wartość ( ) ( ) jest duża. Jeśli chce, ab w każd punkcie przedziału [ ab, ] wartość ( ) ( ) bła jak najniejsza, to powinniś zastosować tzw. aproksację jednostajną. Polega ona na taki wznaczeniu unkcji przbliżającej, ab błąd określon wzore bł jak najniejsz. a ( ) ( ) [ a, b] 5A+B9 Uwaga (postać układu noralnego dla dowolnej baz) Zgodnie z t, co zostało powiedziane w poprzedni punkcie, chce tak wbrać współcznniki a0, a,, a unkcji, ab błąd aproksacji bł jak najniejsz.
21 W przpadku aproksacji średniokwadratowej, jeśli przbliża unkcję teoretczną, oże zapisać: b w( ) ( ) a ( ) a ( ) a ( ) d. a 0 0 Może potraktować nieznane liczb a0, a,, a jako zienne. Wted jest unkcją tch ziennch, co zapisze następująco: H( a0, a,, a ). Nasz zadanie jest wznaczenie iniu unkcji H( a0, a,, a ). Jest ono osiągalne w punkcie, w któr zerują się wszstkie pochodne cząstkowe unkcji H, tzn. są spełnione warunki: H H H 0, 0,, 0. a0 a a Jeżeli wziąć pod uwagę powższe wzor, oznacza to, że: b H w( ) ( ) a00 ( ) a ( ) a( ) 0( ) d 0, a 0 a b H w( ) ( ) a00 ( ) a ( ) a( ) ( ) d 0, a a b H w( ) ( ) a00 ( ) a ( ) a ( ) ( ) d 0. a a Stąd otrza b b b b a a a a a w( ) ( ) d a w( ) ( ) ( ) d a w( ) ( ) ( ) d w( ) ( ) ( ) d, b b b b 0 0 a a a a a w( ) ( ) ( ) d a w( ) ( ) d a w( ) ( ) ( ) d w( ) ( ) ( ) d, b b b b 0 ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a w d a w ( ) d a w( ) ( ) d w( ) ( ) ( ) d. Wszstkie całki oznaczone wstępujące w równaniach (jest ich ) potrai obliczć, gdż unkcje w, 0,,, i a dane przed dokonanie aproksacji. Ostatnie równanie stanowi zate układ liniow z niewiadoi a0, a,, a. Nazwa go układe noraln. Rozwiązując go otrzuje unkcję. Jeżeli przbliża unkcję doświadczalna, oże zapisać n i0 w( ) ( ) a ( ) a ( ) a ( ) i i 0 0 i i i prz cz suuje po wszstkich punktach 0,,, n, które są w tabelce unkcji. Zwróć uwagę, że oże bć n, zate jeśli przbliża unkcję wieloiane,
22 to nie koniecznie usi to bć wieloian stopnia traktuje błąd aproksacji jako unkcję ziennch a0, a,, a. Szuka jej iniu i otrzuje układ noraln, któr teraz a postać: n. Podobnie, jak dla unkcji teoretcznej, n n n n 0 i 0 i i i 0 i i i 0 i i i 0 i i0 i0 i0 i0 a w( ) ( ) a w( ) ( ) ( ) a w( ) ( ) ( ) w( ) ( ) ( ), n n n n 0 i 0 i i i i i i i i i i i0 i0 i0 i0 a w( ) ( ) ( ) a w( ) ( ) a w( ) ( ) ( ) w( ) ( ) ( ), n n n n 0 ( i) 0( i i a w i i i aw i i w i i i i0 i0 i0 i0 a w ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 5A+B0 Przkład. Dla unkcji określonej tabelką: 4 5 znaleźć wieloian aproksując (średniokwadratow) pierwszego stopnia, przjując jako bazę unkcje 0( ), ( ) oraz unkcję wagową. Rozwiązanie. Chce wznaczć ( ) a00 ( ) a ( ). Zapisze postać układu noralnego: a0 0 ( i ) a ( i ) 0( i ) ( i ) 0( i ) i0 i0 i0. a0 0( i ) ( i ) a ( i ) ( i ) ( i ) i0 i0 i0 ( ) w ( ) 5B+C Uwaga Inne nie wienione tu zagadnienia nuercznch etod obliczeniowch to np.: układ równań liniowch; wektor i wartości własne; równanie nieliniowe; układ równań nieliniowch; całkowanie nuerczne;
23 równania różniczkowe. Uwaga. Materiał do wkładu został zaczerpnięt z Wprowadzenie do etod nuercznch Krzszto Piekarski, Oicna Wdawnicza Politechniki Białostockiej, Białstok 0.
Lista 3 CAŁKI KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE. K cykloida c x y ds K x y x r t t t y r t t t t ) ( 2 ) + ( 2 ) = {(, ) : 1 1 = }
Lista CAŁI RZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE Zad 1. Obliczć całki krzwoliniowe nieskierowane po wskazanch krzwch: ds a) = {(, ) : 0 1 = } + + ds = {(, ) : = r( t sin t), = r(1 cos t), 0 t } r > 0 ustalone
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoPodstawy opisu dynamiki punktu materialnego
Podstaw opisu dnaiki punktu aterialnego Ruch ałego obiektu, któr oże przbliżać koncepcjnie jako punkt obdarzon asą (tzw. punkt aterialn) będzie opiswać podając wektor położenia tego punktu jako funkcję
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowo2. Wstęp do analizy wektorowej
2. Wstęp do analiz wektorowej 2.1. Pojęcia podstawowe Wielkości wektorowe (1) Wektorem (P) w punkcie P trójwmiarowej przestrzeni euklidesowej nazwam uporządkowan zbiór trzech liczb (skalarów, składowch
Bardziej szczegółowoPomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym
. Rodzaj poiaru.. Poiar bezpośredni (prost) W przpadku poiaru pojednczej wielkości przrząde wskalowan w jej jednostkach wartość niedokładności ± określa graniczn błąd przrządu analogowego lub cfrowego
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Interpolacja wykorzystująca wielomian Newtona
Interpolacja Funkcja y = f(x) jest dana w postaci dyskretnej: (1) y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ), y 3 = f(x 3 ), y n = f(x n ), y n +1 = f(x n +1 ), to znaczy, że w pewny przedziale x 1 ; x 2 Ú ziennej niezależnej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoCałkowanie przez podstawianie i dwa zadania
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 1.1 : Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach. π 4. (a) sin(x + y) dxdy, R = π 4, π ] [ dy = sin(x + y)dy = dx =
achunek prawdopodobieństwa MAP6 Wdział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wkładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przkład do list : Całki podwójne Przkład do zadania. : Obliczć dane całki podwójne po wskazanch
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n
MES 07 lokaln Interpolacja. Układ Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami?
Bardziej szczegółowo24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoRozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA
Księgarnia PWN: Grigorij M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 3 Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA 1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju 543. Definicja całki krzywoliniowej
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Analiza matematyczna II Rok akademicki: 2013/2014 Kod: MIS-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Informatyka Stosowana Specjalność: - Poziom
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoMATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO
IMIE I NAZWISKO MATURA PRÓBNA KLASA I LO CZAS PRACY: 90 MIN. SUMA PUNKTÓW: 60 ZADANIE (5 PKT) Znajdź wszstkie funkcje liniowe określone na zbiorze ;, którch zbiorem wartości jest przedział ; 0. ZADANIE
Bardziej szczegółowoZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR
ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR ZADANIA w semestrze zimowm Teoria zbiorów funkcje. Podać interpretację geometrczną zbiorów: A B jeżeli A = i B = A B X = X X X gdzie X = gdzie A= { : } B = d) { }
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz I Pole wektorowe
Matematka Element anali wektorowej c I Pole wektorowe Literatura M.Gewert Z.Skoclas; Element anali wektorowej; Oficna Wdawnica GiS Wrocław 000 W.Żakowski W.Kołodiej; Matematka c II; WNT Warsawa 1984 W.Leksiński
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez
Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) =.................................................
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 2 b
Akademia Górniczo Hutnicza Wdział Inżnierii Mechanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grupa nr: Ocena:
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowo3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.
WYKŁAD 7 3 Podstawowe własności unkcji Funkcje cklometrczne, hiperboliczne Deinicję unkcji o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mam w 3A5 3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna) Często się zdarza, że unkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoWykład 10. Funkcje wielu zmiennych
Wkład 1. Funkcje wielu zmiennch dr Mariusz Grządziel 6 maja 1 (ostatnie poprawki: 1 maja 1) Funkcje wielu zmiennch Przestrzeń dwuwmiarowa, oznaczana w literaturze matematcznej smbolem R, może bć utożsamiona
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowo(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)
Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoZmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)
Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki z wykorzystaniem komputera
Scenariusz lekcji matematki z wkorzstaniem komputera Temat: Wpłw współcznników a i b na położenie wkresu funkcji liniowej. (Rsowanie wkresów prz użciu arkusza kalkulacjnego EXCEL.) Czas zajęć: 9 min Cele:
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ
ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ Marian Gewert Zbigniew Skoczlas ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ Teoria, przkład, zadania Wdanie szóste zmienione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowo[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)
. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji wykład 5
Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 1 Pochodne cząstkowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tlko jedna jest prawdziwa). Ptanie 1 Funkcja dwóch zmiennch a)
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA. ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż liczbę, której 4% jest równe 8. A) 200 B) 100 C) 3,2 D) 32
PRÓBNA MATURA ZADANIE ( PKT) Wskaż liczbę, której % jest równe 8. A) B) C), D) ZADANIE ( PKT) Odległość liczb od liczb -8 na osi liczbowej jest równa A) 8 B) + 8 C) + 8 D) 8 ZADANIE ( PKT) Wskaż rsunek,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoMłodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA
Młodzieżowe Uniwerstet Matematczne Projekt współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu połecznego REGUŁA GULDINA dr Bronisław Pabich Rzeszów marca 1 Projekt realizowan przez Uniwerstet
Bardziej szczegółowo2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich.. CHRKTERSTKI GEOMETRCZNE FIGUR PŁSKICH.. Definicje podstawowch charakterstk geometrcznch Podczas zajęć z wtrzmałości materiałów
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY MAJA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 ( 4) 2 8 4 jest
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Parcie na ściankę zakrzywioną
WYKŁD.3. Parcie na ściankę zakrzwioną Parcie ciecz na dowolną zakrzwiona powierzchnie jest geoetrczna sua par eleentarnch. Obliczenie tego parcia polega na wznaczeniu jego składowch, jako rzutów na osie
Bardziej szczegółowoPierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.
Bardziej szczegółowoCharakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji
Charakterstki geometrczne figur płaskich dr hab. inż. Tadeusz Chż Katedra Mechaniki Konstrukcji Wielkości geometrczne charakterzujące przekrój pod względem wtrzmałościowm to: pole przekroju (A), (ang.
Bardziej szczegółowoSIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14,
IMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14, 2012-06-03 Całka powierzchniowa efinicja gładkiego płata powierzchni Gładkim płatem powierzchni nazywamy zbiór : = {(x, y, z) : z = g(x, y), (x, y) }, gdzie R 2 jest
Bardziej szczegółowoPochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:
ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 30 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. uzicki Zadanie 0 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzon Zadanie 0. an jest sześcian (zobacz rsunek), którego krawędź ma długość 5. unkt i dzielą krawędzie i w stosunku :, to znacz, że 0. łaszczzna
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoFizyka I (mechanika), ćwiczenia, seria 1
Fizka I (mechanika), ćwiczenia, seria 1 Układ współrzędnch na płaszczźnie. Zadanie 1 Odcinek o stałej długości porusza się tak, że jego punkt końcowe A i B ślizgają się po osiach odpowiednio x i pewnego
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)
SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2017 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Analiza matematyczna Kod przedmiotu/ modułu* Wydział (nazwa jednostki
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoStan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:
Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane
Bardziej szczegółowo= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2
64 III. Zienne losowe jednowyiarowe D Ponieważ D (A) < D (B), więc należy wybrać partię A. Przykład 3.4. Obliczyć wariancję rozkładu jednostajnego. Ponieważ a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiey, że
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Przbliżenie dziesiętne
Bardziej szczegółowoRuch po równi pochyłej
Sławomir Jemielit Ruch po równi pochłej Z równi pochłej o kącie nachlenia do poziomu α zsuwa się ciało o masie m. Jakie jest przspieszenie ciała, jeśli współcznnik tarcia ciała o równię wnosi f? W jakich
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowof x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
Bardziej szczegółowoWykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.
Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób
Bardziej szczegółowoElementy analizy wektorowej. Listazadań
Elementy analizy wektorowej Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Listazadań % Całki krzywoliniowe niezorientowane 1. Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną f dl, jeżeli: 1 a)fx,y)=
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo