WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

Transkrypt

1 YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą th wszstkih wielkośi opisć się nie d, dltego posługuje się wektore, któr jest ukłde dwu liz (swoih współrzędnh). Podonie łtwo zuwżć, że opisują równnie liniowe nleż użć ukłdu trzeh liz np. równnie () 3+ =0 ożn jednoznznie opisć ukłde liz ( 3,, ). Gdś rozwżli ukłd dwóh równń liniowh, powiedz: () + 3+ = = 0 to w sposó jednoznzn opisuje go ukłd liz: 3 4 Tkie ukłd w tete nzw się ierzi. Przjij definiję: Mierzą roziru n nzw prostokątn tlię liz o n wierszh i kolunh. Mierz opisują równnie () jest roziru 3. Mierz opisują ukłd () jest roziru 3. Łtwo zuwżć, że opisują ukłd trzeh równń z trze niewidoi nleżło użć ierz o rozirze 3 4 (trz równni w kżd równniu zter współznniki lizowe). Mierz oznz wpisują jej eleent np. (3) Szzególnie wżne są ierze kwdrtowe, to znz tkie gdzie liz wiersz równ jest lizie kolun. Mierz kwdrtową hrkterzuje pewn liz zwn wznznikie ierz. znznik ierz (3) oznz się poprzez det lu Det jest skróte ngielskiego terinu deterinnt. Opisze terz sposó olizni wznznik, któr ożn przjąć z jego definiję.

2 . Dl ierz roziru, to znz ierz, gdzie jest dowolną lizą, wznznikie ędzie ( ). Zuwż, o dlej ędzie przdtne, że + = = ( ).. Dl ierz roziru, to znz ierz wznznikie jest liz: = Opisze szzegółowo sposó jej powstni, gdż ędzie sposó ten stosowć w ierzh roziru większego. Bierze eleent, noż go przez ( ) + ( do potęgi nuer wiersz + nuer kolun), skreśl wiersz i kolunę w której ten eleent stoi (to znz pierwsz wiersz i pierwszą kolunę), po skreśleniu otrzuje ierz roziru +, której wznznik zn i nsz ilozn ( ) donż przez ten włśnie wznznik otrzują. Do tego wniku dodje lizę uzskn w identzn sposó le po przesunięiu się o jedno iejse w prwo. Bierze eleent, noż go przez ( ) + ( do potęgi nuer wiersz + nuer kolun), skreśl wiersz i kolunę w której ten eleent stoi (to znz pierwsz wiersz i drugą kolunę), po skreśleniu otrzuje + ierz roziru, której wznznik zn i nsz ilozn ( ) donż przez ten wznznik otrzują. 3. Dl ierz roziru n n wznznik liz nstępująo: skreśl w ierz pierwszą kolunę i pierwsz wiersz otrzują ierz roziru ( n ) ( n ). znz- + nik tej nowej, niejszego roziru ierz noż przez ( ). Przesuw się o jedną kolunę w prwo do wrzu. Skreśl pierwsz wiersz i drugą kolunę, otrz- + uje kolejną ierz roziru ( n ) ( n ). Jej wznznik noż przez ( ) i dodje do poprzedniego wniku. Przesuw się o jedną kolunę w prwo do wrzu 3, powtrz znność itd. ż dojdzie do osttniego wrzu n. Su w ten sposó otrznh n liz jest wznznikie ierz roziru n n. Opisn etod nzw się rozwinięie Lple i pozwl wlizć wznznik ierz roziru n n prz poo wznzników ierz roziru niejszego. Jest to tpow w tete sposó postępowni, gdzie prole rdziej skoplikown rozkłd się n prole niej skoplikowne, dohodzą w końu do proleu trwilnego (ozwistego). Przkłd = = =. 0 0 =

3 = ( ) + ( ) + ( ) 3 = = ( 5) (3 4) + 3(5 8) = 3+ + = = ( 5) = 37 Zuwż, że lizą ten wznznik rdzo w olizenih poogł zer w pierwszej i drugiej kolunie = = 3 4 = (0 6) [ 3 (8 4) + (4 4) ] (0 6) = = 50 Podonie jk w poprzedni przkłdzie oeność zer uprośił olizeni. Metodę Lple, którą się posługuje ożn stosowć nie tlko do pierwszego wiersz. znznik przjie identzną wrtość jeżeli ędzie go rozwijli względe dowolnego wiersz nwet dowolnej kolun. Nleż tlko piętć o włśiw znku, któr uzskuje podnoszą do potęgi nuer wiersz + nuer kolun. prkte wznzniki stopni 3 (wznzniki ierz roziru 3 3) liz posługują się sposoe Srrus. Poleg on n t, że n końu wznznik dopisuje dwie pierwsze kolun i ierze ilozn liz n przekątnh (przesuwją sie w prwo) ćwirtki II i IV ze znkie plus, nstępnie ćwirtki I i III ze znkie inus. Przkłd = = = = = = = = = = 0 znzniki posidją kilk włsnośi, które ułtwiją ih oliznie. Już zuwżliś, że pojwienie się zer w wierszu lu kolunie, względe której stosuje rozwinięie Lple uprszz rhunki. Czsi ożn tk przeksztłić wznznik, że tkih zer pojwi 3

4 się kilk. Podonie zniejszenie liz wstępująh w wznzniku oże znznie ułtwić jego wlizenie. Pod zter główne włsnośi wznzników, które tkie przeksztłeni uożliwiją. I. Jeżeli w wznzniku wszstkie wrz pewnego wiersz (lu pewnej kolun) są równe 0, to wznznik jest równ 0. A to uzsdnić nleż rozwinąć wznznik sposoe Lple względe tego wiersz (lu kolun). Przkłd = = II. Jeżeli w wznzniku wszstkie wrz wiersz lu kolun ponożone są przez dowolną stłą, to tą stłą ożn wiągnąć przed wznznik. A uzsdnić tę włsność wstrz zuwżć, że rozwijją wznznik sposoe Lple względe tego wiersz (lu kolun) stłą ożn wiągnąć przed nwis. Przkłd = = = = III. Jeżeli w wznzniku do dowolnego wiersz (lu dowolnej kolun) dod odpowiednie eleent innego wiersz (lu innej kolun) ponożone przez stłą, to wznznik nie zieni wrtośi. Tę włsność ożn sprwdzić rozwijją wznznik względe wiersz lu kolun, n którh dokonno operji. Przkłd = 0 6 = = t przkłdzie do pierwszej kolun dodno drugą ponożon przez. Powstł w ten sposó wznznik rozwinięto względe pierwszej kolun. 4

5 IV. Jeżeli wznznik zwier dw identzne wiersze lu dwie identzne kolun to jest równ 0. Jest to wniosek z włsnośi (I) i (III). strz do pierwszego równego wiersz (pierwszej równej kolun) dodć eleent drugiego równego wiersz (drugiej równej kolun) ponożone przez. Otrz wiersz (kolunę) równ 0, zte wznznik równ jest 0. Przkłd = = Do kolun pierwszej dodno kolunę drugą ponożoną przez, powstł kolun z si zeri, wię n podstwie włsnośi (I) wrtość wznznik wnosi 0. znzniki stosuje przede wszstki do rozwiązwni ukłdów równń liniowh. Złóż, że he rozwiązć ukłd równń z dwie niewidoi: (4) + = + = Ukłd tki nzw się liniow gdż kżde z równń opisuje prostą dną w posti ogólnej. Zuwż, że ukłd zostł uporządkown tzn. w pierwszej kolunie znjdują się niewido, w drugiej kolunie niewidoe, nstępnie znk = i kolun wrzów wolnh (liz ez niewidoej). Jeżeli pierwsze z równń ponoż przez, drugie ponoż przez, to po dodniu stroni redukji ulegną niewidoe : + = = = iąg przed nwis nstępnie dzieli otrzują: = = podon sposó, nożą pierwsze z równń przez, drugie przez zredukuje po dodniu stroni niewido i dlej wliz : 5

6 = = rziliś niewidoe ukłdu jko ilorz pewnh wznzników. Dl ukłdu dwóh równń z dwie niewidoi (4) oliz trz wznzniki: wznznik główn = orz dw wznzniki ozne = i =. Prz th oznzenih otrzuje =, =. Są to tk zwne wzor Crer. Zwróć uwgę, że powstł przez zstąpienie w wznzniku główn współzn- ników kolun prz niewidoej wrzi wolni. znznik powstł przez zstąpienie w wznzniku główn współznników kolun prz niewidoej wrzi wolni. UAGA Brdzo wżne, że ukłd ł uporządkown tzn. kolun -ów, kolun -ów równość, kolun wrzów wolnh. Przkłd 7 Korzstją ze wzorów Crer rozwiąż ukłd równń: 3+ = 4 5+ = + 3 Po uporządkowniu i skróeniu równń : = = = = 3 = 3 3 = = 9+ = = = + 3= 4 0 = = = 5 4 = = = Zuwż, że we wzorh Crer doznieni z ilorze. Jeżeli wznznik główn 0, to niewidoe, są wznzone i tki ukłd nzw się oznzon. Może się zdrzć, że = 0 wted dwie ożliwośi: ) jeżeli o wznzniki ozne tkże równe są 0, to wzor Crer ożn zpisć w posti = orz =, z której widć, że ukłd nieskońzenie wiele rozwiązń, 6

7 (kżd pr liz, spełni 0 = 0 i 0 = 0) ukłd nzw się nieoznzon poniewż nie ożn oznzć, wskzć jednego rozwiązni, ) jeżeli którkolwiek z wznzników oznh równ się 0 ukłd jest nzwn sprzezn gdż we wzorh Crer lizę różną od 0 (wznznik główn) dzieli się przez 0. Przkłd 8 Dl jkih wrtośi pretru ukłd: + = + = jest oznzon, nieoznzon sprzezn? A zdnie rozwiązć skorzst z etod wznzników. Poliz wznznik główn: = = Ustl kied wznznik główn równ jest 0. = 0 = = Skoro dl dwóh wrtośi wznznik główn równ jest 0, to ukłd równń dl th wrtośi jest nieoznzon lu sprzezn. Dl wszstkih liz \{, } ukłd jest oznzon (posid dokłdnie jedno rozwiąznie). Poliz wznzniki ozne: = = Dl liz wrtość wznznik wnosi + =, jest zte różno od 0 i ukłd jest sprzezn. Podonie dl liz wrtość wznznik wnosi =, jest różn od 0, zte w t przpdku ukłd również jest sprzezn. Metodą Crer ożn rozwiązwć ukłd równń liniowh dowolnego stopni. Przkłdowo dl ukłdu trzeh równń z trze niewidoi wzor Crer prziorą postć: =, z =, z = Nleż tlko piętć, że wszstkie równni ją ć uporządkowne, jeżeli w równniu nie wstępuje jkś niewido to w wznzniku współznnik tej niewidoej wnosi 0. 7