2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ
|
|
- Jacek Andrzejewski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 . ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ.. Wstęp: metod współrzędnych WYKŁAD 5 W geometrii nlitycznej dmy oiekty geometryczne metodą nlityczną. Njrdziej znną metodą tego typu jest metod współrzędnych oprt n ukłdzie współrzędnych. A (Definicj: ukłd współrzędnych). Ukłd Oxyz współrzędnych w przestrzeni skłd się z trzech (zwykle wzjemnie prostopdłych) prostych Ox, Oy, Oz z jednostkmi mierzeni i ustlonymi kierunkmi, przecinjących się w jednym punkcie O. Proste Ox, Oy, Oz nzywmy osimi, płszczyzny xoy, xoz, yoz płszczyznmi, punkt O początkiem ukłdu współrzędnych. Zwykle korzyst się z orientcji ukłdu prwoskrętnego, tzn. jeżeli prwą rękę umieścimy tk, y kciuk wskzywł dodtnią część osi Oz, to zgięte plce wskżą kierunek orotu od osi Ox do osi Oy. W metodzie współrzędnych kżdemu punktowi M przestrzeni odpowid uporządkown trójk ( xm, ym, z M ) licz rzeczywistych (współrzędnych tego punktu) i n odwrót. Wtedy geometryczne oiekty opisujemy przez wrunki (równni, nierówności lu ich ukłdy), które spełniją współrzędne punktów zwrtych w geometrycznych oiektch. Odpowiednie równni nzywmy równnimi tych oiektów. Podonie definiujemy ukłd współrzędnych n płszczyźnie. A (Przykłdy)... Równnie ( x x0) ( y y0) ( z z0) 0 opisuje punkt o współrzędnych x0, y0, z 0 (to znczy M0( x0, y0, z 0) ) w przestrzeni;.. Ukłd nierówności x y, x 0, y 0 opisuje trójkąt OAB o wierzchołkch O(0,0), A(,0), O (0,) n płszczyźnie. M 0 W geometrii nlitycznej rozptrujemy dw podstwowych prolemy: opisnie oiektów równnimi otrzymnymi z włsności tych oiektów i n odwrót, dnie włsności geometrycznych oiektów przez ich równni.
2 .. Wektory Pod pojęciem wektor (odcink skierownego) w przestrzeni (lu n płszczyźnie) rozumiemy wyłącznie wektor swoodny, tzn. ziór wszystkich wektorów zczepionych w różnych punktch, które mją ten sm kierunek, zwrot orz długość. Wektor tego zioru o początku w punkcie O ędziemy nzywli reprezentntem wektor. Jeżeli A( xa, ya, z A) jest końcem tego reprezentnt, to wektor możn utożsmić z wektorem punktu A i z jego współrzędnymi. Mmy ztem def = OA = ( xa, ya, z A) gdzie liczy rzeczywiste ( x, y, z ), x, y, z są współrzędnymi wektor. OA wodzącym Wektor 0 (0,0,0) nzywmy wektorem zerowym, wektor ( x, y, z) nzywmy wektorem przeciwnym do wektor. Podonie definiujemy wektory n płszczyźnie. A+B (Wektory współliniowe). Wektory, są współliniowe (równoległe), co oznczmy, gdy istnieje jedn lu dwie równoległe proste, w których zwrte są te wektory. Stąd mmy wrunek współliniowości: x y z lu, gdzie jest liczą. x y z A+B4 (Wektory współpłszczyznowe). Wektory,, c są współpłszczyznowe, gdy są zwrte w jednej lu równoległych płszczyznch. Wrunek x y z x y z 0 jest wrunkiem współpłszczyznowości wektorów,, c. x y z c c c A5 (Definicj: długość wektor). Długość wektor wzorem x y z. jest określon A+B6 (Definicj: rzut wektor). Rzut P wektor n wektor określmy wzorem P cos( ), gdzie ( ) ozncz kąt między wektormi i. Uwg. Współrzędne wektor są jego rzutmi n osie ukłdu współrzędnych.
3 B7 (Ćwiczenie). Podć włsności długości orz rzutów wektorów. A8 (Definicj: wersory). Kżdy wektor o długości nzywmy wersorem. Njrdziej znny są wersory i (,0,0), j (0,,0), k (0,0,) położone odpowiednio n osich Ox, Oy, Oz ukłdu współrzędnych. A+B9 (Podził odcink w podnym stosunku). Niech C ędzie punktem podziłu odcink AB w stosunku, gdzie 0 ( p 0, q 0), tzn. AC CB p: q. Wtedy współrzędne tego punktu wyrżją się wzormi: xa xb ya y B za zb xc, yc, zc. W postci wektorowej mmy OC ( ) OA OB. Punkt C jest środkiem odcink AB w szczególnym przypdku gdy xa xb ya y B za zb xc, yc, zc. Ćwiczenie (B+C). Określić podził odcink w podnym stosunku dl. : A+B0 (Iloczyn sklrny). Iloczyn sklrny wektorów ( x, y, z ) i ( x, y, z ) określmy wzorem cos ( ). Przykłdy: i i j j k k, i j j k i k 0 (tu i dlej wektory i, j, k oznczją wersory odpowiednio n osich Ox, Oy, Oz.. Włsności iloczynu sklrnego: ) ; ) ( ) ( ) ( ) ; ) 4) ( ) c c c ; 5) ; ; 6) 0 wektory i są prostopdłe (tu,, c są wektormi, ). Stąd mmy wzór do oliczni iloczynu sklrnego: x x y y z z. A+B (Iloczyn wektorowy). Niech wektory ( x, y, z), ( x, y, z), c ( x, y, z ) tworzą ukłd o orientcji zgodnej z orientcją ukłdu c c c
4 x y z współrzędnych tzn. x y z 0. Wtedy wektor c x y z c c c nzywmy iloczynem wektorowym uporządkownej pry wektorów jeżeli spełnione są wrunki: ) wektor c jest prostopdły do płszczyzny rozpiętej n wektorch ) długość wektorch c i wektor c i, co oznczmy c, i jest równ polu równoległooku rozpiętego n : c sin ( ) ; ) orientcj wektorów jest zgodn z orientcj ukłdu współrzędnych Oxyz. Przykłdy: i i j j k k 0, i j k j i, j k i k j, k i j i k. Włsności iloczynu wektorowego: ) ; ) ( ) ( ) ( ) ; ) ;,, c 0 4) ( ) c c c, ( c) c ; 5) ; 6) 0 wektory wektory i są równoległe (tu,, c są wektormi, ). Stąd mmy wzór do oliczni iloczynu wektorowego: i j k y z x z x y, def c x y z i j k y z x z x y x y z gdzie pierwszy wyzncznik oliczmy przez rozwinięcie względem pierwszego wiersz. A+B (Iloczyn mieszny). Iloczyn mieszny (,, c) lu ( x, y, z ), ( x, y, z ), c ( x, y, z ) określmy wzorem def c c c c (,, c) ( ) c. Włsności iloczynu miesznego: ) c c c c c c ; c wektorów ) interpretcj geometryczn iloczynu miesznego: iloczyn mieszny c wektorów,, c jest równy (z dokłdnością do znku) ojętości równoległościnu D rozpiętego n tych wektorch: D ) c 0 wektory,, c są współpłszczyznowe; 4) wzór do oliczni iloczynu miesznego: c ; ;
5 c x y z x y z x y z c c c, skąd możn otrzymć inne włsności iloczynu miesznego. B+C (Ćwiczenie: zstosowni rchunku wektorowego). Podć przykłdy: środek msy i momenty ezwłdności ukłdu punktów mterilnych, moment siły itd. Podonie rozptrujemy rchunek wektorowy n płszczyźnie. Ziór reprezentntów wszystkich wektorów przestrzeni przez współrzędne tych reprezentntów możn utożsmić z i ogólniej przestrzeń utożsmimy z przestrzenią wektorową n-wymirową, której elementy ędziemy nzywli wektormi (n-wektormi kolumnowymi). Przy oznczniu tych wektorów strzłki ędziemy opuszczli. A+B4 (Współrzędne wektor w zie). Bzą przestrzeni nzywmy ziór n liniowo niezleżnych wektorów tej przestrzeni. Wtedy kżdy wektor przestrzeni możn zpisć jko komincję liniową wektorów zy. Współczynniki tej komincji (to jest rozwinięci wektor w zie) dl dnego wektor są wyznczone jednozncznie i nzyw się współrzędnymi wektor w tej zie. Wektory tworzą zę stndrdową (knoniczną) jeżeli mcierz o kolumnch, których elementy są odpowiednio współrzędnymi tych wektorów jest jednostkow. Współrzędne wektor w podnej zie oliczmy jko współczynniki odpowiedniej komincji liniowej w rozwinięciu wektor w tej zie, co sprowdz się do rozwiązywni pewnego ukłd Crmer... Płszczyzn w przestrzeni Niech w przestrzeni ędzie ustlony ukłd współrzędnych Oxyz. Wtedy równnie (przy pewnych dodtkowych złożenich) F x, y, z 0 jest równniem powierzchni w tej przestrzeni. Powierzchnię tę określmy jko ziór punktów M ( x, y, z ) w, których współrzędne x, y, z spełniją to równnie. Njprostszą powierzchnią jest płszczyzn, którą możn określić różnymi sposomi. W zleżności od sposoów rozptrujemy różne równni płszczyzny. A+B5 (Równni płszczyzny). 5.. Równnie normlne płszczyzny przechodzącej przez punkt M x, y z i prostopdłej do wektor n ( A, B, C) , 0 n n
6 Wektor n ( A, B, C) 0 nzywmy wektorem normlnym płszczyzny jeżeli jest on prostopdły do tej płszczyzny tzn. do dowolnego wektor zwrtego w tej płszczyźnie. Jeżeli wektor jest wektorem normlnym to i wektor n A, B, C ędzie normlnym wektorem płszczyzny. Niech M x, y, z ędzie dowolnym punktem płszczyzny. Wtedy wektor M 0 M x x0, y y0, z z0 jest prostopdły do wektor n A, B, C skąd iorąc pod uwgę A+B0 otrzymmy równnie płszczyzny (rys. ) M x, y z i prostopdłej do wektor n : przechodzącej przez punkt n 0 0 0, : x x By y Cz z A, () gdzie A B C 0. n A, B, C M x, y, z M x, y z 0 0 0, Rys.. Płszczyzn o równniu 0 0 A x x B y y C z z Uwg. Przy dowolnych A, B, C, gdzie A B C 0, równnie () określ pęk płszczyzn przechodzących przez punkt M 0 x0, y0, z Równnie ogólne płszczyzny. Oznczmy D Ax0 By0 Cz 0. Wtedy równnie () płszczyzny przyjmuje postć : Ax By Cz D 0, () któr jest prostopdł do wektor n A B C,, 0 (normlnego wektor płszczyzny). Twierdzenie. Przy ustlonym ukłdzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni liniowe równnie () przedstwi płszczyznę i n odwrót kżdą płszczyznę w tej przestrzeni możn opisć przez równnie (). Przykłdy: ) 0 A czyli By Cz D 0 równnie płszczyzny równoległej do osi Ox (wektor normlny n B C 0,, 0 jest prostopdły do osi Ox: n Ox ); ) B 0 czyli Ax Cz D 0 równnie płszczyzny równoległej do osi Oy n A,0, C Oy ); (
7 ) C 0 czyli 0 ( n A, B,0 Ax By D równnie płszczyzny równoległej do osi Oz Oz); 4) Ax By Cz równnie płszczyzny przechodzących przez początek ukłdu współrzędnych; 5) A B 0 czyli Cz D 0 równnie płszczyzny prostopdłej do osi Oz (równoległej do płszczyzny Oxy : n 0,0,C 6) A C 0 czyli By D 0 równnie płszczyzny prostopdłej do osi Oy (równoległej do płszczyzny Oxz ); 7) B C 0 czyli Ax D 0 równnie płszczyzny prostopdłej do osi Ox (równoległej do płszczyzny Oyz ); 8) A D 0 czyli By Cz 0 równnie płszczyzny przechodzącej przez oś Ox ; 9) B D 0 czyli Ax Cz 0 równnie płszczyzny przechodzącej przez oś Oy ; 0) czyli Ax By 0 ; ) A B D 0 czyli Cz 0 się z płszczyzną Oxy ; ) A C D 0 czyli By D 0 y 0 równnie płszczyzny pokrywjącej się z płszczyzną Oxz ; ) B C D 0 czyli Ax D 0 x 0 pokrywjącej się z płszczyzną Oyz. Oz D 0 czyli 0 C 0 Oz ); równnie płszczyzny przechodzącej przez oś z 0 równnie płszczyzny pokrywjącej równnie płszczyzny Nstępnie niech ędą wektormi wodzącymi punktów odpowiednio M 0 x0, y0, z0, M x, y, z. Wtedy mmy równnie normlne płszczyzny w postci wektorowej: : n ( rr o ) 0. () r 0, r W równniu () wektor normlny n A, B, C zstąpimy wersorem n gdzie i znk wyiermy przeciwny do wyrzu wolnego n A B C D. Wtedy otrzymmy równnie normlne płszczyzny : x cos y cos z cos p 0, (4) gdzie,, są kątmi między normlnym wektorem i wersormi odpowiednio n osich Ox, Oy, Oz orz p jest odległością początku ukłdu współrzędnych od polszczyzny.
8 5.4. Równnie płszczyzny przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty M x, y, z, M x, y, z, M x, y, z. M x, y, z ędzie dowolnym punktem płszczyzny. Wtedy wektory Nich M M x x, y y, z z, M M x x, y y, z z M M x x, y y z z są współpłszczyznowe (rys. )..,, M M M M Rys.. Płszczyzn przechodząc przez trzy niewspółliniowe punkty. Korzystjąc z wrunku współpłszczyznowości wektorów otrzymmy równnie tej płszczyzny x x x x x x y y y y y y z z z z z z 0. (6) 5.5. Równnie płszczyzny M x, y, z, M x, y, z i równoległej do wektor,,. Jeżeli wektory i M M x x, y y, z z nie są współliniowe (rys. ) to otrzymujemy równnie tej płszczyzny: x x y y z z : x x y y z z 0 przechodzącej przez dw punkty (7) M M M Rys.. Płszczyzn równoległ do wektor i przechodzą przez punkty M, M.
9 5.6. Równnie płszczyzny przechodzącej przez punkt M x, y, z i równoległej do dwu niewspółliniowych wektorów,,,, y, z Niech punkt M x, y, z nleży do płszczyzny. Wtedy wektory (rys. 4),,, y, z, M M x x, y y z z są,,. współpłszczyznowe. Z wrunku A+B4 współpłszczyznowości otrzymmy x x : 0 y y z z (8) A M M B Rys.4. Płszczyzn przechodzą przez punkt M wektorów i Równnie prmetryczne płszczyzny. i równoległ do dwu niewspółliniowych Niech dowolny punkt M x, y, z o wektorze wodzącym płszczyzny przechodzącej przez punkt x, y, z niewspółliniowych wektorch,,,, y, z i tworzą zę w r r M M x x, y y z z wektor 0 wektorze wodzącym r 0 możemy przedstwić jko MM u v tych wektorów (równnie wektorowe) : 0 r r u v czyli w rozwiniętej formie (równnie prmetryczne) x x u v, : y y u v, z z u v, gdzie u i v są prmetrmi. nleży do M i rozpiętej n, r. Wtedy wektory o komincję liniową A+B6 (Wzjemnie położenie dwu płszczyzn). Kąt między płszczyznmi nzywmy kąt ostry między wektormi normlnymi tych płszczyzn. Przyjmujemy, że kąt między płszczyznmi równoległymi jest równy 0. (9)
10 Kąt między płszczyznmi,i o wektorch normlnych odpowiednio n ( A, B, C) i n ( A, B, C) wyrż się wzorem A A BB CC n n cos lu (, ) rccos. A B C A B C n n Stąd mmy Twierdzenie. Niech : A x B y Cz D 0, : A x B y Cz D 0. Wtedy A B C D.. A B C D A B C D. A B C D tzn. pokryw się z n n (rys. 8). (0). Płszczyzny i są nierównolegle A B lu C A B B C B A, lu C. A C (rys. 9) n n A A B B C C 0. n n n n Rys. 8.. Rys. 9.. A+B7 (Odległość punktu od płszczyzny). Odległość punktu M0 ( x0, y0, z0) od płszczyzny : Ax By Cz D 0, gdzie A B C 0, wyrż się wzorem (A):
11 Ax0 By0 Cz0 D dm ( 0, ). A B C Odległość punktu M od płszczyzny jest równ długości odcink MM ', 0 0 gdzie n płszczyznę. Odległość między płszczyznmi równoległymi i o równnich : Ax By Cz D 0, : Ax By Cz D 0 wyrż się wzorem (B): D D d(, ). A B C A+B8 (Definicj: rzut punktu n płszczyznę). Rzutem prostokątnym punktu M n płszczyznę nzywny punkt płszczyzny spełnijący wrunek: MM '. P' jest rzutem prostokątnym punktu M.4. Prost w przestrzeni M ' tej A+B9 (Równni prostej). 9.. Równnie prmetryczne prostej. Równnie prostej l przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym i wyznczonej przez niezerowy wektor kierunku v (,, c) m postć: l : r r0 tv, gdzie t lu po rozpisniu n współrzędne: l : ( x, y, z) ( x0, y0, z0) t(,, c), gdzie t. Powyższą zleżność nzywny równniem prmetrycznym prostej w postci wektorowej. Inny zpis tego równni m postć x x0 t, l : y y0 t, gdzie t. z z0 ct, Uwg. Powyższe równni ędą przedstwiły półproste lu odcinek, gdy prmetr ędzie przeiegł odpowiednio przedziły (, ], [, ) lu [, ]. t 9.. Równnie kierunkowe prostej. Równnie prostej przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) i wyznczonej przez niezerowy wektor kierunku v (,, c) m postć x x0 y y0 z z0 l :. c Ten sposó zpisu równni prmetrycznego prostej nzywmy jej równniem kierunkowym. r 0 l
12 Uwg (B). Ay nie ogrniczyć zkresu stosowni równni kierunkowego prostej przyjmujemy, że w minownikch powyższych ułmków mogą wystąpić zer. 9.. Równnie krwędziowe prostej. Prostą l, któr jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płszczyzn : A x B y Cz D 0, : A x B y C z D 0, ędziemy zpisywć w postci: A x B y Cz D 0, l : A x B y Cz D 0. Ten sposó zpisu prostej nzywmy jej równniem krwędziowym. Uwg. Wektor kierunkowy prostej A x B y Cz D 0, l : A x B y Cz D 0. m postć v n n ( A, B, C) ( A, B, C). A+B0 (Rzut punktu n prostą). Rzutem prostokątnym punktu n prostą l nzywmy punkt spełnijący wrunek: PP' l. Uwg. W podony sposó definiuje się rzut ukośny punktu n płszczyznę lu n prostą w kierunku ustlonego wektor. P P' tej prostej A+B (Kąt nchyleni prostej do płszczyzny). Kątem nchyleni prostej l do płszczyzny nzywmy kąt, gdzie jest kątem ostrym między wektorem normlnym płszczyzny i wektorem kierunkowym prostej. Jeżeli prost jest równoległ do płszczyzny, to przyjmujemy, ze kąt jej nchyleni do tej płszczyzny jest równy 0. Kąt nchyleni prostej o wektorze kierunkowym o wektorze normlnym n wyrż się wzorem: n v ( l, ) rcsin. n v A+B (Kąt między prostymi). Kątem między prostymi nzywmy kąt ostry utworzony przez wektory kierunkowe tych prostych. Przyjmujemy, że kąt między prostymi równoległymi jest równy 0. Kąt między prostymi l, l o wektorch kierunkowych odpowiednio v i v wyrż się wzorem l v l n v do płszczyzny
13 n v ( l, l) rccos. n v A+B+C (Wzjemnie położenie dwu prostych). Niech v,, c, v,, c ędą wektormi kierunkowymi prostych l i l przechodzących odpowiednio przez punkty M x, y, z i M x, y, z. Wtedy c.(a). l l v v. c.(a). ll v v cc 0..(B). są zwrte w jednej płszczyźnie.4(c). l i l x x y y z z c c l i l są skośne 0. x x y y z z c c 0. A+B4 (Odległość punktu od prostej). Odległość punktu x, y z M 0 0 0, 0 od x x y y z z prostej o równniu oliczmy ze wzoru c gdzie v,, c, i M x, y z,,, r 0 r rr 0 v d, v są wektormi wodzącymi odpowiednio punktów 0 0 0, 0 M x y z (rys. 0). Odległość d jest równ wysokości równoległooku rozpiętego n wektorch r r 0 i v. M 0 r r 0 d r 0 M r O Rys. 0. Odległość punktu od prostej.
14 B+C5 (Odległość między prostymi). 5.. Odległość między równoległymi prostymi x x y y z z l : i c l : x x y y z z c wyrż się wzorem d r r v v r r v. v 5.. Odległość między prostymi skośnymi d r r v v v v l i, gdzie v,, c, v,, c l ; wyrż się wzorem wodzącymi odpowiednio punktów M x, y, z i,, r i r M x y z. Uwg. Wiemy z A+B5 że równnie liniowe (4) w przestrzeni płszczyznę. Anlogiczne równnie liniowe Ax By C 0, gdzie są wektormi określ A B 0, określ prostą n płszczyźnie. Więcej informcji o geometrii nlitycznej w płszczyźnie możn przeczytć w skrypcie Terez Jurlewicz, Zigniew Skoczyls. Alger liniow, GiS, Wrocłw, 00, s
4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.
Ekoenergetyka Matematyka. Wykład 6. RÓWNANIA PŁASZCZYZN Fakt (równanie normalne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r [ x, y, z ] i prostopadłej
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia
1 Algebr Liniow z Geometri - Wydził Fizyki Zestw nr 5 Powierzchnie -go stopni 1 N sferze 1 + + 3 = 4 znleźć punkt, którego odległość od punktu p = (, 6, 3) byłby njmniejsz Wyznczyć osie elipsy powstłej
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowo1.5. Iloczyn wektorowy. Definicja oraz k. Niech i
.. Iloczyn ektoroy. Definicj. Niech i, j orz k. Iloczynem ektoroym ektoró = i j k orz = i j k nzymy ektor i j k.= ( )i ( )j ( )k Skrótoo możn iloczyn ektoroy zpisć postci yzncznik: i j k. Poniżej podno
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoZadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.
dnie 5. Krtownic sttycznie wyznczln. Wyznczyć wrtości sił w prętch krtownicy sttycznie wyznczlnej przedstwionej n Rys.1: ). metodą nlitycznego równowżeni węzłów, ). metodą gricznego równowżeni węzłów;
Bardziej szczegółowoProsta i płaszczyzna w przestrzeni
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowo2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki
Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem
Bardziej szczegółowoa a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Relcje równowr wnowżności i klsy Definicj: Relcją określoną n zbiorze A nzywmy dowolny test porównwczy pomiędzy uporządkownymi prmi elementów elementów zbioru A. Jeśli pr (, b) œ A ä A spełni ten test,
Bardziej szczegółowoPRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,
WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
Bardziej szczegółowo1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przeksztłceni liniowe Niech V i W ędą przestrzenimi liniowymi określonymi nd tym smym ciłem K. Przeksztłcenie f :V W nzyw się liniowe, gdy dl kżdych wektorów u, v V i wszystkich sklrów K jest f (u+v) f
Bardziej szczegółowo1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące
Bardziej szczegółowoWspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad
Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f
Bardziej szczegółowoSzczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
Bardziej szczegółowoAUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI
UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej
Bardziej szczegółowoMetoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).
Metod sił jest sposoem rozwiązywni ukłdów sttycznie niewyznczlnych, czyli ukłdów o ndliczowych więzch (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowdz się on do rozwiązni ukłdu sttycznie wyznczlnego (ukłd potwowy
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowof(x) = ax 2, gdzie a 0 sności funkcji: f ( x) wyróżnik trójmianu kw.
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził - Lp Lp temt z.p. z.r. Zkres treści Wykres f() = 1 1 wykres i włsności f() =, gdzie 0 Przesunięcie wykresu f() = wzdłuż osi OX i OY /o wektor/ Postć knoniczn i postć ogóln
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoH. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania
H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 1 Zdnie 15 różne sposoy jego rozwiązni Henryk ąrowski, Wldemr Rożek Zdnie 15 Punkt jest środkiem oku prostokąt, w którym Punkt leży n oku
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoPochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowoWykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wykłd z mtemtyki dl studentów Inżynierii Środowisk Wykłd. Litertur. Gewert M., Skoczyls Z.: Anliz mtemtyczn, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 0.. Jurlewicz T., Skoczyls Z.: Algebr liniow, Oficyn Wydwnicz GiS,
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoGeometria Analityczna w Przestrzeni
Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Bardziej szczegółowoIII. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.
III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,
Bardziej szczegółowoSpis treści. Podstawowe definicje. Wielokąty. Trójkąty. Czworokąty. Kąty
Mrt Compny Ksprowicz LOGO Spis treści. 1 Podstwowe definicje 2 Wielokąty 3 Trójkąty 4 Czworokąty 5 Kąty Podstwowe definicje w geometrii. 1.Punkt 2.Prost 3.Proste prostopdłe 4.Proste równoległe 5.Półprost
Bardziej szczegółowoTyp szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.
Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 016/017 Zwód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zwody Przedmiot: MATEMATYKA Kls II (67 godz) Rozdził 1. Funkcj liniow 1. Wzór i
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)
Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii
Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 6 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 9 listopd 8r. Cłk oznczon i cłk niewłściw Zstosowni rchunku cłkowego w geometrii
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
Bardziej szczegółowoWykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne
Wykłd 2 Funkcj rytmiczn, Deinicj rytmu: Włsności rytmu: 2 u 2 u b c c b 2 2 Lorytm nturlny: Funkcje tryonometryczne Funkcje tryonometryczne kąt ostreo: b c sin cos t ct b c b c b Mir łukow kąt wyrż się
Bardziej szczegółowoWładysław Tomaszewicz Piotr Grygiel. Podstawy Fizyki. Część I Fizyka Klasyczna. (na prawach rękopisu)
Włdysłw Tomszewicz Piotr Grygiel Podstwy Fizyki Część I Fizyk Klsyczn (n prwch rękopisu) Wydził Fizyki Technicznej i Mtemtyki Stosownej Politechnik Gdńsk 2002 Rozdził 1 Wstęp 1.1 Międzynrodowy ukłd jednostek
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoIloczyn wektorowy. Autorzy: Michał Góra
Iloczyn wektorowy Autorzy: Michał Góra 019 Iloczyn wektorowy Autor: Michał Góra DEFINICJA Definicja 1: Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektorów v = ( v x, v y, v z ) R 3 oraz w = ( w x, w y, w z
Bardziej szczegółowo1. Krzywe stożkowe. (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. (1) Wykonując działania w równaniu (1) i podstawiając c = a 2 + b 2 r 2 otrzymamy
1. Krzywe stożkowe 1.1. Okrąg Niech w przestrzeni dne będą dwie proste l i l 1, przecinjące się w punkcie W. Jeżeli prost l 1 będzie obrcć się dokoł prostej l, to zkreśli powierzchnię w przestrzeni zwną
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoPlanimetria czworokąty
Plnimetri czworokąty Emili Ruszczyk kl. II, I LO im. Stefn Żeromskiego w Ełku pod kierunkiem Grżyny iernot-lendo Klsyfikcj czworokątów zworokąty dzielą się n niewypukłe i wypukłe, wypukłe n trpezy i trpezoidy,
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę
Bardziej szczegółowoXI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:
XI. Rhunek łkowy funkji wielu zmiennyh. 1. Cłk podwójn. 1.1. Cłk podwójn po prostokąie. Oznzeni: P = {(x, y) R 2 : x b, y d} = [, b] [, d] - prostokąt n płszzyźnie, f(x, y) - funkj określon i ogrnizon
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów orz oddziłów gimnzjlnych województw mzowieckiego w roku szkolnym 2018/2019 Model odpowiedzi i schemty punktowni Z kżde poprwne i pełne rozwiąznie, inne niż przewidzine
Bardziej szczegółowoTEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)
1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 1 1. 1. TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE) Płyt jest to ukłd ogrniczony dwom płszczyznmi o młej krzywiźnie. Odległość między powierzchnimi ogrniczjącymi tę wysokość płyty
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń
Bardziej szczegółowoO RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI
ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,
Bardziej szczegółowoSkrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera
Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im Stnisłw Stszic w Ryniku, współfinnsowny przez Unię Europejską
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoWykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Bardziej szczegółowo