STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH"

Transkrypt

1 STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste w przestrzeni są równoległe, jeśli zawierają się w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się. 2 proste są skośne, jeśli nie istnieje płaszczyzna zawierająca obie proste. Proste i są prostopadłe w przestrzeni gdy prosta jest prostopadła do prostej, równoległej do i przecinającej. Proste równoległe Proste przecinające się Proste skośne Proste prostopadłe (, ) PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI Prosta jest równoległa do płaszczyzny, jeżeli nie ma z nią punktów wspólnych lub leży na niej. Jeżeli prosta nie jest równoległa do płaszczyzny, wówczas prosta przecina płaszczyznę w punkcie. Prosta jest prostopadła do płaszczyzny, jeżeli jest prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie. KĄT POMIĘDZY PROSTĄ I PŁASZCZYZNĄ Jeśli prosta nie jest ani równoległa ani prostopadła do płaszczyzny, to kątem nachylenia prostej do płaszczyzny nazywamy kąt ostry pomiędzy prostą i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. TWIERDZENIE O 3 PROSTYCH PROSTOPADŁYCH Niech będzie prostą, która nie jest równoległa i nie jest prostopadła do płaszczyzny, a prostą zawierającą się w płaszczyźnie i przechodzącą przez punkt wspólny prostej i płaszczyzny. Prosta jest prostopadła do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do rzutu prostej na płaszczyznę. Prosta prostopadła do płaszczyzny 1 Kąt pomiędzy prostą i płaszczyzną Prosta leżąca na płaszczyźnie prostopadła do prostej przecinającej płaszczyznę

2 PŁASZCZYZNY W PRZESTRZENI Płaszczyznę w przestrzeni jednoznacznie wyznaczają: 3 niewspółliniowe punkty 2 przecinające się proste Prosta i punkt poza nią 2 różne proste równoległe Płaszczyzny nazywamy równoległymi, jeżeli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się. Płaszczyzny, które nie są równoległe przecinają się. Częścią wspólną dwóch przecinających się płaszczyzn jest prosta. Dwie płaszczyzny nazywamy prostopadłymi, jeżeli istnieje taka prosta, która zawiera się w jednej z tych płaszczyzn i jest prostopadła do drugiej płaszczyzny. Płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej Płaszczyzny prostopadłe Kątem dwuściennym nazywamy zbiór złożony z dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednej z dwóch figur wyciętych z przestrzeni przez sumę tych półpłaszczyzn. Kątem liniowym kąta dwuściennego nazywamy kąt płaski otrzymany w wyniku przecięcia kąta dwuściennego płaszczyzną prostopadłą do jego krawędzi. Miarą kąta dwuściennego nazywamy miarę jego kąta liniowego. Odległość punktu od płaszczyzny jest równa odległości tego punktu od jego rzutu prostokątnego na płaszczyznę. A' - rzut prostokątny punktu A na płaszczyznę p. - odległość punktu A od płaszczyzny p. Kąt dwuścienny Odległość punktu od płaszczyzny 2

3 FIGURY PRZESTRZENNE (BRYŁY) Figurę nazywamy przestrzenną (bryłą), jeżeli nie zawiera się w żadnej płaszczyźnie. Figurę w przestrzeni nazywamy ograniczoną, jeżeli zawiera się w pewnej kuli. Figurę w przestrzeni nazywamy nieograniczoną, jeżeli nie zawiera się w żadnej kuli. WIELOŚCIANY Bryłę nazywamy wielościanem, jeżeli jej brzeg jest sumą skończonej liczby wielokątów, zwanych ścianami wielościanu, przy czym: 1. Jeśli dwa wielokąty zawierają się w jednej płaszczyźnie, to mają co najwyżej jeden punkt wspólny, 2. Każde dwa punkty brzegowe bryły można połączyć łamaną zawartą w jej brzegu. Boki ścian wielościanu nazywamy krawędziami, a wierzchołki ścian - wierzchołkami wielościanu. Twierdzenie Eulera. Jeśli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s ścian, to GRANIASTOSŁUP Graniastosłupem nazywamy wielościan, którego dwie ściany, zwana podstawami, są przystającymi wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są równoległobokami, których wszystkie wierzchołki są jednocześnie wierzchołkami podstaw. Graniastosłupy dzielimy na: proste krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw pochyłe jego krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw prawidłowe o podstawach będących wielokątami foremnymi równoległościany podstawą jest równoległobok, a przeciwległe ściany są równoległe prostopadłościany wszystkie ściany to prostokąty sześciany wszystkie ściany to kwadraty Wysokość graniastosłupa jest to odległość między podstawami. Przekątna graniastosłupa jest to odcinek łączący dwa wierzchołki nie leżące na jednej ścianie. OSTROSŁUP Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego podstawa jest dowolnym wielokątem, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku S, który nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa. Wysokość ostrosłupa to odległość wierzchołka od podstawy.ostrosłupy dzielimy na: proste na podstawie których można opisać okrąg, a punkt w którym wysokość styka się z podstawą, jest jednocześnie środkiem tego okręgu czworościany o podstawie trójkąta prawidłowe krawędzie boczne są równej długości a podstawą jest wielokąt foremny KĄTY W W GRANIASTOSŁUPACH I OSTROSŁUPACH Kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy (zarówno dla graniastosłupa jak i ostrosłupa) nazywamy kąt pomiędzy prostą prostopadłą do krawędzi podstawy, leżącą w płaszczyźnie tej ściany i podstawą. Kątem nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy nazywamy zaś kąt pomiędzy tą krawędzią i podstawą. Kąt nachylenia ścian bocznych jest to kąt pomiędzy płaszczyznami tych ścian. 3

4 Wielościanem foremnym (bryłą platońską) nazywamy wielościan wypukły, którego ściany są przystającymi wielokątami foremnymi. Oto WSZYSTKIE PIĘĆ wielościanów foremnych: czworościan sześcian ośmiościan dwunastościan dwudziestościan BRYŁY OBROTOWE Są to bryły ograniczone powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu). Najważniejsze bryły obrotowe to: Walec. Bryła powstała w wyniku obrotu prostokąta wokół jednej z krawędzi Jeżeli promień podstawy walca wynosi r, wysokość h, to: Pole powierzchni bocznej walca Pole powierzchni całkowitej walca Objętość walca Stożek. Bryła powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej Jeżeli promień podstawy walca wynosi r, wysokość h, a tworząca l to: Pole powierzchni bocznej stożka Pole powierzchni całkowitej stożka Objętość stożka Kula. Bryła powstała w wyniku obrotu koła wokół jego średnicy Jeżeli promień kuli wynosi r, to: Pole powierzchni kuli (sfery) Objętość kuli Przykładowe zadania Zadanie 1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole jednej ściany bocznej jest trzy razy mniejsze od pola podstawy. Obliczyć objętość tego ostrosłupa przyjmując, że długość krawędzi podstawy wynosi 14cm. Wyznacz sinus kąta między sąsiednimi krawędziami bocznymi tego ostrosłupa. Rozwiązanie. Ostrosłup prawidłowy czworokątny to ostrosłup o podstawie kwadratu. Jego ściany boczne to trójkąty równoramienne. Do wyznaczenia objętości potrzebna jest nam wysokość ostrosłupa. Oznaczmy ją. Pole podstawy. Zatem pole ściany bocznej. Skoro mamy pole możemy wyznaczyć wysokość ściany bocznej.. 4

5 Wreszcie, z twierdzenia Pitagorasa mamy:. Ostatecznie: Sinus kąta między sąsiednimi krawędziami bocznymi wyznaczymy ze stosunku Teraz musimy skorzystać ze znajomości tożsamości trygonometrycznych. Otóż: Oczywiście Ostatecznie mamy Zadanie 2. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości jego krawędzi jest równa 48, a pole powierzchni całkowitej 90. Oblicz długości krawędzi graniastosłupa i jego objętość. Rozwiązanie. Ponieważ graniastosłup ten ma u podstawy kwadrat, oznaczmy krawędzie graniastosłupa odpowiednio. Objętość graniastosłupa. Mamy dane: i Z pierwszego równania wyliczamy, po czym podstawiamy do drugiego. Otrzymujemy. Nietrudno sprawdzić, że równanie ma 2 rozwiązania: i, którym odpowiadają i. Zadanie 3 Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 8, a jeden z kątów ma miarę 30 O. Powierzchnia boczna tego graniastosłupa po rozwinięciu na płaszczyznę jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa. Rozwiązanie. Obliczmy przyprostokątne trójkąta w podstawie. Liczmy pole powierzchni całkowitej i objętość: Zadanie 4 W pojemniku o kształcie walca o promieniu podstawy R = 8 umieszczono dwie kule o promieniu r = 5, w ten sposób, że są do siebie styczne i każda z nich dotyka powierzchni bocznej walca, jak na rysunku. Jaka co najmniej musi być wysokość pojemnika, aby kule całkowicie się w nim mieściły. Oblicz objętość tego walca. Rozwiązanie. W pojemniku o najmniejszej wysokości kule są do siebie styczne oraz są styczne do podstaw pojemnika. Wysokość pojemnika możemy podzielić na trzy odcinki AD, BC i CE. Pierwszy i 5

6 trzeci mają długość r = 5 a długość drugiego możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego ABC. Zauważmy, że długość odcinka AB to średnica podstawy walca minus dwa promienie wpisanych kul. Zatem: Zatem wysokość walca wynosi: a jego objętość: 6

7 ZADANIA SPRAWDZAJĄCE 1. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach jeśli: a) b) c) 2. Oblicz objętość sześcianu jeśli jego przekątna ma długość. 3. Oblicz długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o polu powierzchni bocznej i objętości. 4. Suma długości krawędzi dwóch sześcianów wynosi a suma ich objętości. Oblicz długości krawędzi tych sześcianów. 5. W prostopadłościanie przekątna o długości nachylona jest do podstawy pod kątem. Przekątna podstawy tworzy z bokiem podstawy kąt. Oblicz objętość prostopadłościanu. 6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a wysokość. Oblicz wysokość ściany bocznej i długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa. 7. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku a krawędzie boczne nachylone są do podstawy pod kątem. Znajdź objętość tego ostrosłupa. 8. Znajdź pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości i kącie płaskim przy wierzchołku tego ostrosłupa. 9. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny prostokątny o przyprostokątnej długości. Wiedząc że wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość oblicz objętość tego ostrosłupa. 10. Prostokąt o bokach 3 i 4 obrócono wokół krótszego boku. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. 11. Oblicz objętość walca o polu powierzchni całkowitej i polu powierzchni bocznej. 12. Oblicz pole przekroju osiowego walca jeżeli przekątna przekroju osiowego ma długość, a pole powierzchni bocznej wynosi. 13. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka o wysokości i tworzącej. 14. Oblicz objętość bryły powstałej po obrocie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych i dookoła przeciwprostokątnej. 15. Oblicz objętość stożka którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny o wysokości. 16. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym którego przeciwprostokątna ma długość. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka. 17. Oblicz średnicę kuli o objętości równej sumie objętości kuli o średnicy oraz kuli o średnicy Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w sześcian do objętości tego sześcianu. 19. W sześcian o krawędzi wpisano kulę. Oblicz pole powierzchni i objętość tej kuli. 20. Ile razy trzeba zwiększyć długość promienia kuli by jej objętość wzrosła dwukrotnie? 7

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 13 Teoria stereometria

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 13 Teoria stereometria 1 GRANIASTOSŁUPY i OSTROSŁUPY wiadomości ogólne Aby tworzyć wzory na OBJĘTOŚĆ i POLE CAŁKOWITE graniastosłupów musimy znać pola figur płaskich a następnie na ich bazie stosować się do zasady: Objętość

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych: Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE IV TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE IV TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE IV TECHNIKUM. I. Podstawowe pojęcia statystyki. 1. Sposoby prezentowania danych, interpretacja wykresów. 2. Mediana i dominanta. 3. Średnia arytmetyczna

Bardziej szczegółowo

XII. GEOMETRIA PRZESTRZENNA GRANIASTOSŁUPY

XII. GEOMETRIA PRZESTRZENNA GRANIASTOSŁUPY pitagoras.d2.pl XII. GEOMETRIA PRZESTRZENNA GRANIASTOSŁUPY Graniastosłup to wielościan posiadający dwie identyczne i równoległe podstawy oraz ściany boczne będące równoległobokami. Jeśli podstawy graniastosłupa

Bardziej szczegółowo

Opracowanie tablic: Adam Konstantynowicz, Anna Konstantynowicz, Kaja Mikoszewska

Opracowanie tablic: Adam Konstantynowicz, Anna Konstantynowicz, Kaja Mikoszewska Opracowanie tablic: Adam Konstantynowicz, Anna Konstantynowicz, Kaja Mikoszewska Redaktor serii: Marek Jannasz Ilustracje: Magdalena Wójcik Projekt okładki: Teresa Chylińska-Kur, KurkaStudio Projekt makiety

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa IX. Stereometria

Matematyka podstawowa IX. Stereometria Zadania wprowadzające: Matematyka podstawowa IX Stereometria 1. Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Oblicz objętość sześcianu. 2. Pole powierzchni sześcianu jest równe 96.Oblicz długość

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

Stereometria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Stereometria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie Stereometria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA. Poziom podstawowy

STEREOMETRIA. Poziom podstawowy STEREOMETRIA Poziom podstawowy Zadanie ( 8 pkt ) W stożku tworząca o długości jest nachylona do powierzchni podstawy pod kątem, którego tangens jest równy Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej do pola

Bardziej szczegółowo

Klasa 3.Graniastosłupy.

Klasa 3.Graniastosłupy. Klasa 3.Graniastosłupy. 1. Uzupełnij nazwy odcinków oznaczonych literami: a........................................................... b........................................................... c...........................................................

Bardziej szczegółowo

MAZOWIECKI PROGRAM STYPENDIALNY DLA UCZNIÓW SZCZEGÓLNIE UZDOLNIONYCH NAJLEPSZA INWESTYCJA W CZŁOWIEKA 2016/2017

MAZOWIECKI PROGRAM STYPENDIALNY DLA UCZNIÓW SZCZEGÓLNIE UZDOLNIONYCH NAJLEPSZA INWESTYCJA W CZŁOWIEKA 2016/2017 MAZOWIECKI PROGRAM STYPENDIALNY DLA UCZNIÓW SZCZEGÓLNIE UZDOLNIONYCH NAJLEPSZA INWESTYCJA W CZŁOWIEKA 2016/2017 Nr z wniosku ID: 3313 Tytuł projektu edukacyjnego: Jakie bryły przestrzenne spotykamy na

Bardziej szczegółowo

Graniastosłupy mają dwie podstawy, a ich ściany boczne mają kształt prostokątów.

Graniastosłupy mają dwie podstawy, a ich ściany boczne mają kształt prostokątów. GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY Bryły czyli figury przestrzenne dzielimy na: graniastosłupy ostrosłupy bryły obrotowe Graniastosłupy i ostrosłupy nazywamy wielościanami Graniastosłupy mają dwie podstawy, a

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy, klasa 3 ZSZ

Plan wynikowy, klasa 3 ZSZ Plan wynikowy, klasa 3 ZSZ Nazwa działu Temat Liczba godzin 1. Trójkąty prostokątne powtórzenie 1. Trygonometria (10 h) 2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 3. 4. Trygonometria zastosowania 5. 6. Związki

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Skrypt 33. Powtórzenie do matury:

Skrypt 33. Powtórzenie do matury: Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 33 Powtórzenie do matury:

Bardziej szczegółowo

Czy pamiętasz? Zadanie 1. Rozpoznaj wśród poniższych brył ostrosłupy i graniastosłupy.

Czy pamiętasz? Zadanie 1. Rozpoznaj wśród poniższych brył ostrosłupy i graniastosłupy. 1. Bryły Tradycyjna futbolówka jest zszyta z 3232 kawałków. Gdybyśmy ją rozcięli, ujrzelibyśmy siatkę dwudziestościanu ściętego. Kulisty kształt piłka otrzymuje dzięki wypełnieniu sprężonym powietrzem.

Bardziej szczegółowo

5. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

5. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa. 11. STEREOMETRIA Zad.11.1. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu, wiedząc Ŝe jego objętość wynosi 16 cm. Zad.11.. Oblicz długość przekątnej sześcianu, jeśli jego pole powierzchni całkowitej wynosi

Bardziej szczegółowo

Planimetria 1 12 godz.

Planimetria 1 12 godz. Planimetria 1 1 godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 1 definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1 (5 PKT) ZADANIE 2 (5 PKT) Oblicz objętość czworościanu foremnego o krawędzi a.

ZADANIE 1 (5 PKT) ZADANIE 2 (5 PKT) Oblicz objętość czworościanu foremnego o krawędzi a. ZADANIE 1 (5 PKT) Czworościan foremny o krawędzi a rozcięto płaszczyzna prostopadła do jednej z krawędzi, przechodzac a w odległości 0, 25a od jednego końca tej krawędzi. Oblicz objętość otrzymanych brył.

Bardziej szczegółowo

w jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok

w jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok Wielościany Definicja 1: Wielościanem nazywamy zbiór skończonej ilości wielokątów płaskich spełniających następujące warunki: 1. każde dwa wielokąty mają bok lub wierzchołek wspólny albo nie mają żadnego

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 13 Zadania stereometria

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 13 Zadania stereometria 1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Graniastosłup ma 12 wierzchołków. Liczba krawędzi tego graniastosłupa to: A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 2. (1p) Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe 9. Objętość tego sześcianu

Bardziej szczegółowo

2. Permutacje definicja permutacji definicja liczba permutacji zbioru n-elementowego

2. Permutacje definicja permutacji definicja liczba permutacji zbioru n-elementowego Wymagania dla kl. 3 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za pomocą drzewa

Bardziej szczegółowo

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 x 3 x 4 jest równe A. 94 B. 60 C. 47 D. 20

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 x 3 x 4 jest równe A. 94 B. 60 C. 47 D. 20 STEREOMETRIA - ZADANIA MATURALNE lata 2010-2017 Zadanie 1. (0-1) Maj 2010 [I. Wykorzystanie i tworzenie informacji] Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 x x 4 jest równe A. 94 B.

Bardziej szczegółowo

Ostrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V =

Ostrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V = Ostrosłupy Zad 1: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kwadrat długości krawędzi podstawy, kwadrat długości wysokości ostrosłupa i kwadrat długości krawędzi bocznej są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA 7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek

Bardziej szczegółowo

=, =, =, = Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego określa się wzorami:

=, =, =, = Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego określa się wzorami: Matematyka to nauka o naszych wspólnych urojeniach. Ale urojenia jak to urojenia, jak się je nieco usystematyzuje to stają się rzeczywistością. To już druga część słynnego kompendium czyli funkcje trygonometryczne,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad.1. ( 5 pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o długości krawędzi podstawy 6 cm, jest równa cm 3. Oblicz

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019 Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019 Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE 3 ZASADNICZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE 3 ZASADNICZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE 3 ZASADNICZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ I. Funkcja kwadratowa i wymierna 1. Funkcja kwadratowa i jej postacie. 2. Wykres funkcji kwadratowej. 3. Równania

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne. sinus (sin) cosinus (cos) tangens (tg) kotangens (ctg) secans (sec) cosecans (cosec)

Funkcje trygonometryczne. sinus (sin) cosinus (cos) tangens (tg) kotangens (ctg) secans (sec) cosecans (cosec) Matematyka to nauka o naszych wspólnych urojeniach. Ale urojenia jak to urojenia, jak się je nieco usystematyzuje to stają się rzeczywistością. To już druga część słynnego kompendium czyli funkcje trygonometryczne,

Bardziej szczegółowo

Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x

Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x . Oblicz: a) (,5) 8 c) ( ) : ( ). Oblicz: Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A [ ] d) 6 a) ( : ) 5 6 6 8 50. Usuń niewymierność z mianownika: a). Oblicz obwód koła o polu,π dm. 5. Podane wyrażenia przedstaw

Bardziej szczegółowo

1.2. Ostrosłupy. W tym temacie dowiesz się: jak obliczać długości odcinków zawartych w ostrosłupach, jakie są charakterystyczne kąty w ostrosłupach.

1.2. Ostrosłupy. W tym temacie dowiesz się: jak obliczać długości odcinków zawartych w ostrosłupach, jakie są charakterystyczne kąty w ostrosłupach. 12 Ostrosłupy W tym temacie dowiesz się: jak obliczać długości odcinków zawartych w ostrosłupach, jakie są charakterystyczne kąty w ostrosłupach Ostrosłup prosty to ostrosłup, który ma wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Klasa 3

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Klasa 3 PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Klasa 3 I. FUNKCJE grupuje elementy w zbiory ze względu na wspólne cechy wymienia elementy zbioru rozpoznaje funkcje wśród przyporządkowań

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 4 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3. Zakres podstawowy

Plan wynikowy klasa 3. Zakres podstawowy Plan wynikowy klasa 3 Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające. RACHUNE PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV

Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej.

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej. Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające;

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ELEMENTARNA

GEOMETRIA ELEMENTARNA Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 72 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa 3 Rozkład materiału i plan wynikowy

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa 3 Rozkład materiału i plan wynikowy Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa Rozkład materiału i plan wynikowy I. FUNKCJE 1 1. Pojęcie funkcji zbiór i jego elementy pojęcie przyporządkowania pojęcie funkcji

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania

Bardziej szczegółowo

MATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki

MATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część IX: Stereometria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Przekątna prostopadłościanu o wymiarach ma długość A. 2 5 B. 2 3 C. 5 2 D Zadanie 2.

Zadanie 1. Przekątna prostopadłościanu o wymiarach ma długość A. 2 5 B. 2 3 C. 5 2 D Zadanie 2. Zadanie 1. Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 3 4 5 ma długość A. 2 5 B. 2 3 C. 5 2 D. 2 15 Zadanie 2. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

Stożkiem nazywamy bryłę obrotową, która powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego przyprostokątnych.

Stożkiem nazywamy bryłę obrotową, która powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego przyprostokątnych. 1.4. Stożek W tym temacie dowiesz się: jak obliczać pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej stożka, jak obliczać objętość stożka, jak wykorzystywać własności stożków w zadaniach praktycznych.

Bardziej szczegółowo

ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU

ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Matematyka na czasie Program nauczania matematyki w gimnazjum ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ I z dn. 23 grudnia 2008 r. Autorzy: Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Wymagania edukacyjne

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III gimnazjum Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je zatem opanować każdy

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): F x E' E''

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): F x E' E'' GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2012/2013 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wykreślić je w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić, gdzie w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia uczeń: I. FUNKCJE 14

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia uczeń: I. FUNKCJE 14 I. FUNKCJE 1 Podstawowe Ponadpodstawowe grupuje dane elementy w zbiory ze względu na wspólne cechy wymienia elementy zbioru rozpoznaje funkcje wśród przyporządkowa opisanych słownie lub za pomocą grafu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

MATEMATYKA - WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA - WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA III GIMNAZJUM Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, podstawowych; powinien je opanować każdy uczeń. Wymagania podstawowe

Bardziej szczegółowo

COMENIUS PROJEKT ROZWOJU SZKOŁY. Sezamie, otwórz się! - rozwijanie zdolności uczenia i myślenia uczniów.

COMENIUS PROJEKT ROZWOJU SZKOŁY. Sezamie, otwórz się! - rozwijanie zdolności uczenia i myślenia uczniów. COMENIUS PROJEKT ROZWOJU SZKOŁY Sezamie, otwórz się! - rozwijanie zdolności uczenia i myślenia uczniów. GIMNAZJUM 20 GDAŃSK POLSKA Maj 2007 SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI Z WYKORZYSTANIEM METODY STOLIKÓW

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Karta pracy: podzielność przez 9 Niektóre są dobre, z drobnymi usterkami. Największy błąd: nie ma sformułowanej

Bardziej szczegółowo

Geometria wykreślna. 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury

Geometria wykreślna. 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Geometria wykreślna 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1 3.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - STEREOMETRIA PP poziom podstawowy PR poziom rozszerzony

ZADANIA MATURALNE - STEREOMETRIA PP poziom podstawowy PR poziom rozszerzony ZADANIA MATURALNE - STEREOMETRIA PP poziom podstawowy PR poziom rozszerzony Zad.1. ( PP 5 pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o długości krawędzi podstawy 6 cm, jest równa 9 cm. Oblicz miarę

Bardziej szczegółowo

odczytywać własności funkcji y = ax 2 na podstawie funkcji y = ax 2 szkicować wykresy funkcji postaci y = ax,

odczytywać własności funkcji y = ax 2 na podstawie funkcji y = ax 2 szkicować wykresy funkcji postaci y = ax, Funkcja kwadratowa Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Zawód: FRYZJER, STOLARZ, MECHANIK POJAZDÓW SAMOCHODOWYCH, BLACHARZ SAMOCHODOWY I inne Rok szkolny 2012/2013 Przedmiot: MATEMATYKA Numer programu

Bardziej szczegółowo

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu

Bardziej szczegółowo

Geometria wykreślna. 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury

Geometria wykreślna. 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Geometria wykreślna 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1 5. Obroty i

Bardziej szczegółowo

str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk

str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. DZIAŁ Potęgi

MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. DZIAŁ Potęgi MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wymagań na wszystkie oceny niższe.) DZIAŁ Potęgi DOPUSZCZAJĄCY

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA 2 I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę w postaci potęgi o wykładniku ujemnym porządkuje

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6

Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6 Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6 Lang: Długość okręgu. pole pierścienia będę chciał znaleźć inne wyrażenie na pole pierścienia. oszacowanie

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowe Zasady Oceniania

Przedmiotowe Zasady Oceniania Strona tytułowa Przedmiotowe Zasady Oceniania Matematyka Liceum podstawa Krzysztof Pietrasik Podręcznik: 1. Matematyka III 2. M. Dobrowolska, M. Karpiński, J. Lech 3. GWO Forma 1. Formy sprawdzania wiedzy

Bardziej szczegółowo

reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za pomocą drzewa reguła dodawania definicja n! liczba permutacji zbioru n-elementowego

reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za pomocą drzewa reguła dodawania definicja n! liczba permutacji zbioru n-elementowego FUNKCJE LOGARYTMICZNE powtórzenie 4 godziny RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 28 godz. Moduł - dział -temat Reguła mnożenia. Reguła dodawania Lp 1 2 reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za

Bardziej szczegółowo

Okręgi i proste na płaszczyźnie

Okręgi i proste na płaszczyźnie Okręgi i proste na płaszczyźnie 1 Kąt środkowy i pole wycinka koła rozpoznawać kąty środkowe, obliczać kąt środkowy oparty na zadanym łuku, obliczać długość okręgu i łuku okręgu, obliczać pole koła, pierścienia,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wyrażenia wymierne. Prawdopodobieństwo. Stereometria

Spis treści. Wyrażenia wymierne. Prawdopodobieństwo. Stereometria Spis treści Wyrażenia wymierne Przekształcanie wielomianów... 8 Równania wymierne... 12 Hiperbola. Przesuwanie hiperboli... 19 Powtórzenie... 26 Praca badawcza Hiperbola, elipsa, parabola... 28 Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Temat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW. Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej

Temat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW. Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej Temat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej Przypomnienie podstawowych wiadomości potrzebnych do rozwiązywania zadań z przekrojami prostopadłościanów. 1. Prostopadłościan

Bardziej szczegółowo

mgr A. Piłat, mgr M. Małycha

mgr A. Piłat, mgr M. Małycha K 1. Oblicz długość odcinka KL łączącego środki dwóch krawędzi sześcianu, którego krawędź ma długość 6. L 2. Przekątna d prostopadłościanu o podstwie kwadratowej jest nachylona do płaszczyzny podstawy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Zadanie 4. Krawędź sześcianu jest o 6 krótsza od jego przekątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu

Zadanie 4. Krawędź sześcianu jest o 6 krótsza od jego przekątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu Zadanie 4. Krawędź sześcianu jest o 6 krótsza od jego przekątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu Zadanie 5. Sześcian o krawędzi 10 przecięto płaszczyzną zawierającą przekątną dolnej

Bardziej szczegółowo

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO STEREOMETRIA wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny odróżnić proste równoległe

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ VIII

ARKUSZ VIII www.galileusz.com.pl ARKUSZ VIII W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Iloczyn liczb 2+ 3 i odwrotności liczby 2 3 jest równy A) 2 3 B) 1 C) 2 3 D) 2+

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa 3 Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne Przed przystąpieniem do omawiania zagadnień programowych i przed rozwiązywaniem

Bardziej szczegółowo

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

MATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE MATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, niewymiernej, - sposób i potrzebę zaokrąglania liczb, - pojęcie wartości bezwzględnej,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z. matematyki. dla uczniów klasy IIIa i IIIb. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z. matematyki. dla uczniów klasy IIIa i IIIb. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy IIIa i IIIb Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ 1. FUNKCJE (11h) Uczeń: poda definicję funkcji (2)

Bardziej szczegółowo

A. 4, 5, 6 B. 3, 4, 5 C. 6, 8, 12 D. 5, 12, 14

A. 4, 5, 6 B. 3, 4, 5 C. 6, 8, 12 D. 5, 12, 14 OSTROSŁUPY i GRANIASTOSŁUPY - test grupa A 1 Ile wynosi objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o = 27 cm 2 i wysokości 10 cm A 270 cm 3 B 27 cm 3 C 90 cm 3 D 81 cm 3 2 Ile wynosi powierzchnia całkowita

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego ETAP WOJEWÓDZKI rok szkolny 2018/2019

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego ETAP WOJEWÓDZKI rok szkolny 2018/2019 Kod ucznia Data urodzenia ucznia dzień miesiąc rok Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego ETAP WOJEWÓDZKI rok szkolny 018/019 Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź,

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma

Bardziej szczegółowo

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN 978-83-7521-522-9 c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania

Bardziej szczegółowo

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza 1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności

Bardziej szczegółowo