Krzywe stożkowe. Algebra. Aleksander Denisiuk

Transkrypt

1 Algebra Krzywe stożkowe Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk Algebra p. 1

2 Krzywe stożkowe Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem Algebra p. 2

3 Współrzędne biegunowe A ρ O O biegun Oś biegunowa g θ g Kierunek odliczania katów (ρ, θ) współrzędne biegunowe Algebra p. 3

4 Równanie krzywej we współrzędnych biegunowych ϕ(ρ,θ) = 0 Przykład 1 (Okrag). ρ = 2Rcosθ A O θ A 0 Algebra p. 4

5 Współrzędne biegunowe a kartezjańskie x = ρcosθ, y = ρsinθ Algebra p. 5

6 Równanie prostej we współrzędnych biegunowych ax+by +c = 0, c < 0 ρcos(α θ) = ρ 0, gdzie cosα = a a2 +b 2, sinα = b a2 +b 2, ρ 0 = c a2 +b 2, Algebra p. 6

7 Krzywa stożkowa Krzywa stożkowa nazywa się krzywa, powstała na przecięciu stożka i płaszczyzny. Algebra p. 7

8 Ogniska i kierownice Każda krzywa stożkowa, oprócz okręgu, jest miejscem geometrycznym punktów, majacych stały stosunek odległości od pewnego punktu F i pewnej prostej δ Punkt F nazywa się ogniskiem krzywej Prosta δ nazywa się kierownica krzywej Algebra p. 8

9 Ogniska i kierownice, cd FM = BM, AM = h/sinα, BM = h/sinβ FM AM = BM AM = sinα sinβ = λ λ nazywa się mimośrodem Algebra p. 9

10 Klasyfikacja krzywych stożkowych W zależności od mimośrodu λ, krzywa stożkowa nazywa się elipsa λ < 1 parabola λ > 1 hyperbola λ > 1 składa się z dwóch gałęzi Algebra p. 10

11 Równanie we współrzędnych biegunowych Niech biegun pokrywa się z ogniskiem krzywej, a oś biegunowa będzie przecinała prostopadle kierownicę Niech p będzie odległościa ogniska od kierownicy W przypadku elipsy i paraboli W przypadku hiperboli ρ p ρcosθ = λ ρ p ρcosθ = ±λ W postaci rozwiazanej względen ρ: W przypadku elipsy i paraboli ρ = W przypadku hiperboli ρ = ±λp 1±λcosθ λp 1+λcosθ Algebra p. 11

12 Równanie we współrzędnych kartezjańskich ρ 2 = λ 2 (p ρcosθ) 2 x 2 +y 2 = λ 2 (p x) 2 (1 λ) 2 x 2 +2pλ 2 x+y 2 λ 2 p 2 = 0 λ 1 (1 λ 2 ) ( x+ pλ2 1 λ 2 ) 2 +y 2 p2 λ 2 1 λ 2 = 0 Nowe współrzędne: x = x+ pλ2 1 λ 2, y = y Elipsa: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Hiperbola: x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 gdzie a 2 = λ2 p 2 (1 λ 2 ) 2, b 2 = λ2 p 2 1 λ 2 półosie równanie kanoniczne Algebra p. 12

13 Równanie kanoniczne paraboli (1 λ) 2 x 2 +2pλ 2 x+y 2 λ 2 p 2 = 0 λ = 1 2px+y 2 p 2 = 0 y 2 2p ( x+ p 2) = 0 Nowe współrzędne: x = x+ p 2, y = y y 2 2px = 0 Algebra p. 13

14 Właściwości elipsy x2 a 2 + y2 b 2 = 1, a > b > 0 Symetria względem osi i środka układu współrzędnych Elipsa zawarta jest wewnatrz prostokatu x a, y b a nazywa się większa półosia, b mniejsza półosia. Punkty (±a, 0), (0, ±b) wierzchołki elipsy Algebra p. 14

15 Elipsa a okrag Elipsa może zostać otzrymana z okręgu x2 a 2 + y2 b 2 = 1 poprzez skalowanie w kirunku osi Oy ze współczynnikiem b a < 1 Algebra p. 15

16 Właściwości hiperboli x2 a 2 y2 b 2 = 1, a,b > 0 Symetria względem osi i środka układu współrzędnych Hiperbola znajduje się na zewnatrz od prostokatu x a, y b Hiperbola jest położona poza katem x a < y b a nazywa się rzeczywista półosia, b półosia urojona. Punkty (±a, 0) wierzchołki hiperboli Algebra p. 16

17 Asymptoty hiperboli Proste x a ± y b = 0 s a asymptotami hiperboli Odległość od punktów hiperboli do asymptot dazy do żera przy x 2 +y 2 Niech punkt (x,y) leży na hiperboli Liczby x a + y b odległości oraz x a y b = 1 x a + y x b a y b Załóżmy, że odległości nie d sa proporcjonalne do aza do zera, wtedy istnieje taka liczba ε > 0, że dla wszystkich punktów (x,y) hiperboli spełniono x a + y b > ε oraz x a y b > ε A więc x a + y b < 1 ε oraz x a y b < 1 ε Czyli x2 a a + y2 b 2 < 1 ε 2, co jest sprzeczne z tym, że x 2 +y 2 Algebra p. 17

18 Hiperbola sprzężona Hiperbola x2 a y2 2 b = 1 nazywa się sprzężona do hiperboli 2 x 2 a y2 2 b = 1 2 Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona maja wspólne asymptoty Hiperbola sprzężona znajduje się w katach uzupełniajacych Algebra p. 18

19 Parabola y 2 = 2px Parabola jest symetryczna względem osi Ox Oś symetrii nazywa się osia paraboli Przecięcie osi z parabola nazywa się wierzchołkiem paraboli Algebra p. 19

20 Równania parametryczne {x = t2 parabola 2p, y = t { x = acost, elipsa y = bsint { x = acosht, hiperbola y = bsinht cosht = et +e t 2, sinht = et e t 2 Algebra p. 20

21 Styczna do krzywej w punkcie(x 0,y 0 ) Styczna do krzywej stożkowej (x 0,y 0 ) nazywa się prosta, która ma z nia dokładnie jeden punkt przecięcia (i nie jest równoległa do osi dla paraboli) Sens geometryczny stycznej: graniczne położenie siecznych przechodzacych przez punkty (x 0,y 0 ) i (x 1,y 1 ) gdy punkt (x 1,y 1 ) daży do (x 0,y 0 ) Można podstawić równanie parametryczne prostej, wychodzacej z punktu (x 0,y 0 ) do równania krzywej: styczna do paraboli yy 0 = p(x+x 0 ) styczna do elipsy xx 0 a + yy 0 2 b = 1 2 styczna do hiperboli xx 0 a yy 0 2 b = 1 2 Algebra p. 21

22 Właściwości ogniskowe Elipsa i hiperbola maja drugie ognisko i druga kierownicę Suma odległości punktów elipsy od ognisk jest stała Różnica odległości punktów hiperboli od ognisk jest stała Ogniska elipsy maja współrzędne (0,±c), c = a 2 b 2 Ogniska hiperboli maja współrzędne (0,±c), c = a 2 +b 2 Promień świetlny wychodzacy z jednego ogniska elipsy po odbiciu od krawędzi przejdzie przez drugie ognisko Promień świetlny wychodzacy z jednego ogniska hierboli po odbiciu od krawędzi będzie pokrywał się z promieniem, wychodzacycm z drugiego ogniska Promień świetlny wychodzacy z ogniska paraboli po odbiciu od krawędzi będzie równoległy do jej osi Algebra p. 22

23 Średnice krzywej stożkowe Średnica elipsy (hiperboli) nazywamy odcinek, przechodzacy przez jej środek Średnica paraboli jest prosta, równoległa do jej osi. Środki równoległych siecznych znajduja się na średnicy 1. Sieczna jest równoległa do osi współrzędnych 2. y = kx+b, k 0, elipsa (hiperbola) αx 2 +βy 2 = 1 y c = α βk x c średnica y = α βkx jest sprzężona do średnicy y = kx 3. y = kx+b, k 0, parabola y c = p k = const Algebra p. 23

24 Krzywe drugiego stopnia a 11 x 2 +2a 12 xy +a 22 y 2 +2a 1 x+2a 2 y +a = 0, przynajmniej jeden ze współczynników a 11, a 12, a 22 jest niezerowy. Niepusta krzywa drugiego stopnia: krzywa stożkowa dwie proste (być może pokrywajace się) punkt Przykład 3x 2 +3y 3 +10xy +14x 2y 13 = 0 Algebra p. 24