Pierwiastek z liczby zespolonej

Transkrypt

1

2 Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć wzorem, w którym k 0,,, n-: n ϕ + k ϕ + k n ϕ + k wk z cos + i sin z exp i n n n Przykłd: Znjdź wszystkie rozwiązni równni z 3 k exp( ) k k k wk i i i w0 w e w e Włsności pierwistk n-tego stopni z l.z. : ( k ) ω k exp i gdzie k 0,,..., n n k n ω ω ω ω ω ω ( ) ( ) k l k + l k n n n k i k ( ) ( ) exp e ω ω i 0 n e k i k 0 k 0 k 0 n - w /3 w Im z i -i /3 /3 Mth Plyer w 0 Mth Plyer Wykłd - Re z

3 Zespolony logrytm i zespolon potęg Definicj: Logrytmem nturlnym z liczby zespolonej z (ozn. Ln(z)) nzywmy liczbę zespoloną w tką, że z e w. w w w + w z z e e e ln( z z ) w + w ln( z ) + ln( z ) Zpiszemy liczbę z w postci wykłdniczej i znjdziemy jej logrytm: ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) z z exp i Arg z + k ln z ln z + i Arg z + k Przykłd: ( ) ( ) ( ) 3 7 ln i ln exp i + k i + k i, i, i,... Definicj: Niech z i w œc. Potęgą liczby z z e iϕ (gdzie fz ϕ Arg(z)+k) o wykłdniku w nzywmy wielkość z w exp(w ln(z)) z w exp(iϕw) gdzie A więc: w Re w i Im w Re w i Im w ln z i ϕ w ϕ Im w i ϕ Re w z z z z e orz e e e Rew ( ) w Im w w z z e ϕ orz rg z ln z Im w + ϕ Re w Przykłd: Oblicz z i -i ( ) ( ) z exp i ln e exp i i k ln ln i + k e e + e z i i + 4k Wykłd -3 Mth Plyer

4 F. trygonometryczne zmiennej zespolonej Definicj: Korzystjąc z postci biegunowej i trygonometrycznej liczby zespolonej możemy zdefiniowć funkcje sinus i cosinus w nstępujący sposób: sin x ( e ix e ix ) cos x ( e ix + e ix ) i Uwg: Definicje te spełniją wszystkie tożsmości trygonometryczne. Definicj: W nlogiczny sposób definiujemy sinus i cosinus liczby zespolonej: sin z ( e iz e iz ) cos z ( e iz + e iz ) i Uwg: Tkże te definicje spełniją wszystkie stndrdowe wzory trygonometryczne, np.: ( ) ( ) + cos z sin z ( e iz e iz ) ( e iz e iz ) ( e i z e i z ) cosz 4 4 sin z sin z cos z cos z sin z cos z sin z sin z cos z Interpretcj funkcji zespolonej sinz: i( x iy) i( x iy) y y sin z sin( x iy) ( e + e + ) + [ e ( cos x + i sin x) e ( cos x + i sin x) ] i i y y y y sin x ( e +e ) i cos x ( e -e ) + sin x cosh y + i cos x sinh y Mth Plyer Wykłd -4

5 Funkcje hiperboliczne zmiennej zespolonej Definicj: Funkcje hiperboliczne zdefiniowne są w nstępujący sposób: sinh ( e x x e x ) cosh x ( e x + e x ) Włsności funkcji hiperbolicznych: sinh( x) sinh x cosh ( x) cosh x cosh x sinh x sinh x sinh x sinh x cosh x cosh x + sinh x cosh x tnh x cosh x Definicj: W nlogiczny sposób definiujemy sinus i cosinus hiperboliczny liczby zespolonej: Przykłd: Oblicz cos(-i) sinh z e e cosh z e + e ( z z ) ( z z ) Uwg: Istnieją nstępujące związki pomiędzy funkcjmi trygonometrycznymi i hiperbolicznymi zmiennej zespolonej: sin iz i sinh z cos iz cosh z sinh iz i sin z cosh iz cos z Mth Plyer cos( i) cos cosh ( ) i sin sinh ( ) cosh( ) cosh 543. Wykłd -5

6 Relcje równowr wnowżności i klsy Definicj: Relcją określoną n zbiorze A nzywmy dowolny test porównwczy pomiędzy uporządkownymi prmi elementów elementów zbioru A. Jeśli pr (, b) œ A ä A spełni ten test, mówimy, że pozostje w relcji do b, ( b). Definicj: Relcją równowżności określoną n zbiorze A nzywmy relcję któr jest: zwrotn: A, symetryczn:,b A, b b przechodni:,b,c A, ( b) ( b c) c O elementch,bœa mówimy wówczs, że jest równowżne b Definicj: Klsą równowżności elementu œ A nzywmy zbiór wszystkich elementów A pozostjących w relcji równowżności z, { b A : b } Twierdzenie: Jeśli jest relcją równowżności n A orz,b œ A wtedy lbo b lbo b więc dowolny element klsy możn wybrć jko reprezentnt tej klsy. Przykłd: A zbiór ludzi: b - jest strszy od b nie jest relcją równowżności. b - i b mją tego smego dzidk ze strony ojc jest relcją równowności. Wykłd -6

7 Algebr wektorów Definicj: Sklr to wielkość fizyczn, któr posid tylko wrtość (liczb). np. tempertur, czs, ms, Definicj: Wektor to kls równowżności pr punktów, czyli zorientownych odcinków, które przeksztłcją się w siebie przy przesunięciu równoległym. np. wektor położeni, siły, prędkości, Symbole wektorów: PQ P Dodwnie wektorów (reguł równoległoboku): przemienność: + b b + łączność: ( + b ) + c + ( b + c ) + b + c b + b + c c Q b Odejmownie wektorów: ( ) P Q P Q P 3 b + + b Q 3 b - b + -b Wykłd -7

8 Algebr wektorów W wyniku mnożeni wektor przez liczbę rzeczywistą otrzymujemy wektor o tym smym kierunku co wektor oryginlny i proporcjonlnej długości: - λ P Q P Q P Q PQ' λ PQ Włsności: ( λµ ) λ ( µ ) µ ( λ ) ( + b ) λ λ + λ b ( λ + µ ) λ + µ Przykłd: Niech punkt P dzieli odcinek AB w stosunku λ : µ. Znjdź wektor położeni punktu P jeśli wektory położeni punktów A i B są znne i wynoszą odpowiednio i. B λ λ p + AB + ( OP b ) λ + µ λ + µ µ λ + b λ + µ λ + µ O b p µ P λ b A Wykłd -8

9 Kombincj liniow wektorów Definicj: Wektor b nzywmy liniową kombincją wektorów jeśli istnieją stłe c, c,, c n tkie, że: v, v,..., v n b cv + cv cnvn Definicj: Mówimy, że wektory v, v,..., v n są liniowo zleżne jeśli istnieją stłe c, c,, c n, nie wszystkie równe zero, tkie że: c v + c v cnvn 0 Jeśli powyższ równość zchodzi tylko wtedy gdy wszystkie stłe c, c,, c n, są jednocześnie równe zero, to o wektorch v, v,..., v n mówimy, że są liniowo niezleżne. Uwg: Powyższe opercje możn określić dl wektorów w dowolnej liczbie wymirów. Włsności: kżdy zbiór m+ lub więcej m-wymirowych wektorów jest liniowo zleżny. jeśli dny zbiór wektorów jest liniowo niezleżny, to kżdy podzbiór tych wektorów jest również liniowo niezleżny. kżdy zbiór wektorów o tym smych wymirze, zwierjący wektor zerowy, jest liniowo zleżny. Wykłd -9

10 Krtezjński ukłd współrz rzędnych Odległość pomiędzy punktmi P i P znjdujemy z twierdzeni Pitgors: ( ) ( ) ( ) P P x x + y y + z z Wykłd -0

11 Współrz rzędne wektor i wektory bzowe Q(x, y, z ) P(x, y, z ) Reprezentnt wektor PQ u ν, ν, ν ( ν ν ν ) 3 Dysponując trzem różnymi wektormi, e, e, e 3, nie leżącymi w jednej płszczyźnie, możn w trójwymirowej przestrzeni dowolny wektor zpisć jko kombincję tych wektorów: e + e + e ie ˆ ei i ei i Wektory e, e, e ei nzywmy bzą w przestrzeni 3, ntomist sklry,, to 3 3 współrzędne wektor w tej bzie. Mówimy, że wektor zostł rozłożony n skłdowe. Dl współrzędnych krtezjńskich w 3 stosujemy oznczeni: eˆ i eˆ j eˆ k 3 Wykłd -

12 y Algebr wektorów w n współrz rzędnych Mth Plyer Mth Plyer (u + v, u +v ) Dodwnie i odejmownie wektorów: ± b ( xi + y j + zk ) ± ( bxi + by j + bzk ) ± b i + ± b j + ± b k ( x x ) ( y y ) ( z z ) x ( x, y, z ) lub y z x Długość (moduł) wektor: x + y + z ˆ x y z λ λ,, fi wektor jednostkowy: x λ y λ z,, v i + 3 j + 6k v i k. Znjdź ich sumę, v + v u v + v ( i + j + k ) + ( i k ) j + 4k 0 u + + uˆ czyli j + k Mnożenie wektor przez liczbę: ( ) Przykłd: Dne są wektory orz Wygodny sposób zpisu wektor: moduł sumy i wektor jednostkowy o tym smym kierunku i zwrocie co wektor Wykłd -

13 Iloczyn sklrny wektorów Definicj: Iloczynem sklrnym dwóch wektorów i b nzywmy liczbę: b b cosq gdzie q jest kątem pomiędzy wektormi i b. Uwg: W dowolnej liczbie wymirów iloczyn sklrny jest liczbą. Włsności: przemienny: b b b + bc b + b c liniowy w kżdym z rgumentów (, b e ): ( ) Dw niezerowe wektory są ortogonlne (prostopdłe) jeśli ich iloczyn sklrny jest równy zero: b 0 Przykłd: Wektory bzowe w ukłdzie krtezjńskim spełniją relcje: b b cosq i i j j k k i j j k k i 0 Oblicznie iloczynu sklrnego: b i + j + k b i + b j + b k b + b + b 3 b i Długość wektor: ( 3 ) ( 3 ) 3 3 i i Wykłd -3

14 Iloczyn sklrny wektorów Przykłd: Znjdź kąt pomiędzy wektormi i + j + 3k orz b i + 3 j + 4k b b b cosq cosq b b cos q q 0. rd 4 9 b Cosinusy kierunkowe wektorów: b x bx y by z bz cosq + + b b b b / b / b b wielkości orz gdzie i x, y, z to cosinusy kierunkowe wektorów i. i Skłdowe wektorów w bzie : i ij j dl i j dij d di { e, e,..., e 0 dl i j n} n n n u e u e e u ( e e ) u d u k k k Delt Kronecker (i, j, ): j k k j k k j k kj j Wykłd -4

15 Rozkłd wektor n dowolne skłdowe u u v u v u vu + ( u vu) v + proj u v proj v v Przykłd: Rozłożyć wektor n skłdowe: równoległą i prostopdłą do wektor. proj v skldow skldow rownolegl do v prostopdl do v u v v u v v u v u u cosq v v v v v gdzie rzut wektor n wektor dny jest przez: proj v u u u proj v u Metod ortonormlizcji Grm-Schmidt w -dim: Rozwżmy dowolną bzę w -dim przestrzeni. Chcemy utworzyć tkie {, } kombincje liniowe tych wektorów by otrzymne wektory były ortonormlne. Jko pierwszy wektor poszukiwnej bzy wybiermy: e e eˆ ( ˆ ) eˆ Drugi wektor otrzymujemy odejmując od jego rzut n wektor : i odpowiednio normlizując do ê eˆ e e v v Mth Plyer Wykłd -5

16 Permutcje { } Definicj: Permutcją zbioru liczb,,..., n nzywmy dowolną różnowrtościową funkcję określoną n tym zbiorze i o wrtościch w tym zbiorze. Uwg: Liczb wszystkich permutcji wynosi n! ( n ) Permutcje zpisujemy w formie tbeli: f f ( ) f ( ) f ( n ) ( ) Permutcj identycznościow: I n Iloczynem permutcji f i g jest złożenie tych funkcji: n ( ) f g ( i) f g ( i) ( ) ( ) Przykłd: Niech f 3 4 orz g ( ) ( ) Wtedy f g 3 4 orz g f Definicj: Niech będzie permutcją określoną n zbiorze {,,..., n} orz niech r będzie njmniejszą liczbą cłkowitą tką, że r (i) i. Wówczs zbiór r różnych k { ( i) } r elementów nzywmy r-wyrzowym cyklem permutcji. k 0 Wykłd -6

17 Permutcje rozkłd n cykle ( ) Przykłd: ( 374)( 5)( 68) ( ) ( 5)( 36748) ( ) ( 5387)( )( 46) ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) Dw cykle ( i, i,..., i k ) orz ( j, j,..., jl ) nzywmy rozłącznymi jeżeli zbiory liczb { i, i,..., i k } orz { j, j,..., jl} nie mją elementów wspólnych. Twierdzenie: Kżdą permutcję możn rozłożyć n iloczyn rozłącznych cykli. Definicj: Permutcję w której jeden cykl m długość r, pozostłe mją tylko po jednym elemencie, nzywmy permutcją cykliczną o długości r. Definicj: Permutcję cykliczną o długości nzywmy trnspozycją. ( )( )( ) ( ) Przykłd: ( ) Mth Plyer Wykłd -7

18 Przystość permutcji Twierdzenie: Dowolny cykl o długości r możn rozłożyć n r- trnspozycji: ( i, i,..., i ) ( i, i )( i, i )...( i, i )( i, i ) r r r 3 Uwg: Chociż rozkłd n trnspozycje nie jest jednoznczny, to możn pokzć, że przystość rozkłdu (tzn. czy liczb trnspozycji jest przyst czy nie) jest jednoznczn. ( 34) ( 4)( 3)( ) ( 4)( 34)( 34)( 3)( )( )( 3)( 3)( ) Twierdzenie: Dowoln permutcj może być rozłożon n iloczyn trnspozycji. Przystość rozkłdu jest jednozncznie określon. Definicj: Permutcję nzywmy przystą (nieprzystą) jeśli może być rozłożon n iloczyn przystej (nieprzystej) liczby trnspozycji. Określenie: Nieporządkiem w permutcji nzywmy kżdą prę liczb i, j tką że i < j orz (i) > (j). A więc przystość permutcji możn określić zliczjąc nieporządki: ( j) ( i) + przyst i< j j i nieprzyst Wykłd -8