Algebra WYKŁAD 8 ALGEBRA

Transkrypt

1 Algebr WYKŁAD 8

2 Geometri nlitzn

3 Geometri nlitzn Geometri nlitzn dził geometrii zjmują się bdniem figur geometrznh metodmi nlitznmi (oblizeniowmi i lgebriznmi. Złożone rozwżni geometrzne zostją w geometrii nlitznej sprowdzone do rozwiązwni ukłdów równń, które opisują bdne figur. Pozątki geometrii nlitznej są związne z nzwiskmi Fermt, Psl orz Krtezjusz, którz jko pierwsi punktom n płszzźnie przpisli pr lizb nzwne ih współrzędnmi, pewne zleżnośi międz współrzędnmi w dnm ukłdzie współrzędnh utożsmili z krzwmi n płszzźnie 3

4 Definij Geometri nlitzn Ukłdem współrzędnh krtezjńskih nzwm ukłd współrzędnh, w którm zdne są: punkt zwn pozątkiem ukłdu współrzędnh, którego wszstkie współrzędne są równe zeru, zęsto oznzn literą O lub frą 0. zestw prmi prostopdłh osi lizbowh zwnh osimi ukłdu współrzędnh. z 0 Krtezjusz (René Desrtes 4

5 Geometri nlitzn N zjęih będziem zjmowć się głównie obiektmi w przestrzeni trójwmirowej. Pierwsze dw wkłd stnowią przpomnienie i uzupełnienie pojęć znnh ze szkoł średniej w przestrzeni dwuwmirowej (n płszzźnie

6 Krzwe stożkowe Krzw stożkow zbiór punktów będą zęśią wspólną powierzhni stożk obrotowego, i płszzzn. okrąg elips prbol hiperbol punkt pr prosth prost

7 Krzwe stożkowe Tp krzwej zleż od kąt, jki tworz płszzzn przeinją z osią stożk i jego tworząą: Gd płszzzn tną jest prostopdł do osi stożk i nie przehodzi przez jego wierzhołek otrzmujem okrąg. W przpdku, gd kąt pomiędz płszzzną przeinjąą osią stożk jest większ od kąt międz tworząą osią stożk, krzwą stożkową jest elips. Jeżeli tworzą jest równoległ do płszzzn tnąej, to krzwą stożkową jest prbol. W szzególnm przpdku, gd płszzzn tną pokrw się z tworząą, otrzmujem prostą (nie zlizną do krzwh stożkowh.

8 Krzwe stożkowe Jeżeli kąt pomiędz płszzzną tnąą osią stożk jest mniejsz od kąt pomiędz osią stożk jego tworząą, to otrzmn krzw stożkow jest hiperbolą. Hiperbol powstje również, gd płszzzn tną jest równoległ do osi stożk, le nie obejmuje tej osi. W szzególnm przpdku, gd oś stożk jest zwrt w płszzźnie tnąej, otrzmujem prę przeinjąh się prosth, nie zlizną do stożkowh.

9 Krzwe stożkowe Krzwe stożkowe mogą bć definiowne (równowżnie n kilk sposobów. Są również nzwne krzwmi drugiego stopni, gdż możn je w krtezjńskim ukłdzie współrzędnh opisć równnimi lgebriznmi drugiego stopni względem zmiennh i.

10 Elips Definij Elipsą nzwm zbiór wszstkih punktów płszzzn, dl którh sum odległośi od dwóh dnh punktów F 1 i F jest stł i większ od odległośi th punktów. Punkt F 1 i F nzwm ogniskmi elips. Promienimi wodząmi punktu P nzwm odinki PF 1 orz PF Środek odink łąząego ognisk nzwm środkiem elips. P (, P (,

11 Elips Osią wielką elips nzwm odinek A 1 A (punkt A 1 i A to punkt przeięi prostej wznzonej przez ognisk z elipsą. Osią młą elips nzwm odinek B 1 B (punkt B 1 i B to punkt przeięi smetrlnej osi wielkiej z elipsą. Odległość ognisk elips F 1 F nzwm ogniskową elips. Stosunek ogniskowej do długośi osi wielkiej nzwm mimośrodem elips i oznzm literą e: e F F A A 1 1 1

12 Nieh PF 1 + PF =, gdzie > 0 ( ( ( ( ( ( 4 4 ( 4 4 ( 4 4 ( 4 Elips

13 4 ( ( ( b Nieh b b 1 b Postć stndrdow równni elips - długość półosi wielkiej b - długość półosi młej Elips

14 Elips b 1 oś wielk wierzhołki długość półosi wielkiej = oś mł długość półosi młej = b

15 Kierownimi elips nzwm proste o równnih Poniewż mimośród w równowżnej posti orz e równni kierowni możn zpisć e Elips orz Uwg Stosunek odległośi punktu elips od ognisk do odległośi tego punktu od kierowni (leżąej po tej smej stronie o ognisko jest stł i równ mimośrodowi. e

16 Elips kierowni

17 Elips Prmetrem elips nzwm długość ięiw przehodząej przez ognisko i prostopdłej do osi wielkiej. Oznzm go przez p. Półprmetr p m wrtość p b długość odink jest równ p b

18 Elips Normln do elips jest dwusiezną kąt międz promienimi wodząmi. Stąd sgnł świetlne, lub dźwiękowe wsłne z jednego ognisk, po odbiiu się od elips dohodzą jednoześnie do drugiego ognisk.

19 Elips Równnie elips o środku ( 0, 0 orz osih i b, równoległh do osi ukłdu współrzędnh m postć. ( ( b Jej ognisk F 1 i F mj współrzędne F 1 ( 0, 0, F ( 0, 0 gdzie jest ogniskową elips.

20 Elips Jeżeli odinek o długośi +b ślizg się jednm końem po osi O, drugim po osi O, to punkt M dzielą ten odinek w stosunku :b zkreśl elipsę o półosih, b gd b, lub okrąg gd = b. Kżd punkt przedłużeni tego odink również zkreśl pewną elipsę. Jest to podstwą konstrukji przrządu do kreśleni elips elipsogrfu.

21

22 Elips Elips jest szzególnm przpdkiem hpotrohoid, gd R = r; (n rsunku R = 10, r = 5, d = 1.

23 Orbit plnet

24 Definij Hiperbol Hiperbolą nzwm zbiór wszstkih punktów płszzzn, którh moduł różni odległośi od dwóh dnh punktów F 1 i F jest stł i mniejsz od F 1 F. Punkt F 1 i F nzwm ogniskmi hiperboli. Odległość międz ogniskmi hiperboli F 1 F nzwm ogniskową hiperboli. Punkt przeięi hiperboli i prostej wznzonej przez ognisk nzwm wierzhołkmi hiperboli. Odinek A 1 A o końh w wierzhołkh nzwm osią rzezwistą hiperboli. Mimośrodem hiperboli nzwm stosunek ogniskowej do długośi osi rzezwistej: F F e A A 1 1 1

25 Nieh PF 1 - PF = gdzie > 0 ( ( ( ( ( ( 4 4 ( 4 4 ( 4 4 ( 4 Hiperbol

26 4 ( ( ( Nieh b b b 1 b Postć stndrdow równni hiperboli Hiperbol

27 Hiperbol wierzhołki oś rzezwist oś urojon

28 Hiperbol smptot Równni smptot : b

29 Kierownimi hiperboli nzwm proste o równnih Poniewż mimośród w równowżnej posti orz e równni kierowni możn zpisć e Hiperbol orz Uwg Stosunek odległośi punktu hiperboli od ognisk do odległośi tego punktu od kierowni (leżąej po tej smej stronie o ognisko jest stł i równ mimośrodowi. e

30 Hiperbol kierownie

31 Hiperbol Prmetrem hiperboli nzwm długość ięiw przehodząej przez ognisko i prostopdłej do osi wielkiej i oznzm p. Półprmetr m wrtość p b długość odink jest równ p b

32 Hiperbol Inn postć hiperboli b 1

33 Hiperbol Jeżeli = b, wówzs hiperbol jest równoosiow b 1

34 b 1 Hiperbol

35 Hiperbol Prz obroie o 45 o równnie hiperboli równoosiowej = przjmuje postć

36 Równnie hiperboli o środku ( 0, 0, ogniskowej orz osi rzezwistej, któr jest równoległ do osi O m postć 1 ( ( 0 0 b gdzie b. Jej ognisk F 1 i F mją współrzędne, (,, ( F F Hiperbol

37 Prbol Definij Prbolą nzwm zbiór punktów płszzzn równo oddlonh od ustlonego punktu F (ognisk orz prostej k nieprzehodząej przez punkt F. Prostą k nzwm kierownią prboli. k: = - p/ N P PF = PN - p/ O F(p/, 0

38 Z definiji prboli PF = PN ( p p ( ( p p 4 4 p p p p p stndrdow postć rownni prboli Prbol

39 Prbol Stł p jest nzwn prmetrem prboli, zś p półprmetrem. Mimośród prboli jest równ 1. k: = - p/ N PF = PN - p/ O F(p/, 0 długość odink jest równ p

40 Prbol Równnie prboli o wierzhołku ( 0, 0, prmetrze p, której oś smetrii jest równoległ do osi O m postć ( 0 p( 0 Równnie kierowni tkiej prboli Ognisko F m współrzędne 0 p p F ( 0, 0

41 Prbol Włsnośi odbiiowe prboli: kżd promień "wpdją" do prboli, prostopdł do kierowni po odbiiu się od prboli trfi w ognisko, promienie whodząe z ognisk po odbiiu się od prboli tworzą wiązkę równoległą. O F(p/, 0

42

43 Prbol: wvefront All rs prllel to the is re onentrted to point (the fous. All pths from wvefront to the fous re of equl length.

44 Hperbol: P B A Light onverging towrds B -> refleting off the hperbol: onverges t A For n rbitrr point P on the hperbol, (AP BP = onstnt

45 Ellipse: Soure t one fous.. Rs re refleted b the ellipse to the seond fous And ll these pths hve the sme distne

46 Corretl foussed ntenn: Equi-length pths from il wvefront to the reeiver

47 Signl pth:

48