Ruch bryły swobodnej

Transkrypt

1 751 Ruch brł swobone Swobona brła stwna ma w prestren seść stopn swobo o oreślena e ruchu potreba seścu równań ruchu Ruch brł możem robć na ruch śroa mas wwołan pre ałane wetora głównego sł ewnętrnch obrót brł wglęem śroa mas wwołan pre moment główn sł ewnętrnch reuowan o śroa mas Do ułożena równań ruchu brł worstam wprowaone popreno asa pęu rętu punce 73 waano że pochona pęu wglęem casu równa wetorow głównemu sł ewnętrnch opsue ruch śroa mas a w punce 735 że pochona rętu reuowanego o śroa mas wglęem casu równa momentow głównemu sł ewnętrnch opsue obrót brł wglęem śroa mas am węc wa równana wetorowe opsuące ruch brł swobone: p 790 Te wa równana wetorowe są równoważne seścu równanom salarnm trmam e po rutowanu wetorów wstępuącch w powżsch równanach na ose prostoątnego ułau współręnch Poobne a pr oblcanu rętu brł prmem wa uła współręnch: een neruchom r o pocątu w owolnm punce rug ruchom stwno wąan brłą o pocątu w śrou mas rs 74 Ponao la uproscena oblceń ałożm że ose ułau ruchomego są głównm centralnm osam Rs 74 Ruch swobon brł stwne bewłanośc Pr tam ałożenu gone e worem 766 ręt brł a ge są głównm centralnm momentam bewłanośc a ruchomm współręnm wetora pręośc ątowe w ułae

2 perwse olenośc oblcm pochoną rętu wglęem casu worstanem poanch w nematce brł worów na pochone wglęem casu wersorów ułau ruchomego 531 rażene w nawase w powżsm wore est rętem brł wglęem śroa mas Zatem pochona rętu wglęem casu 791 Po oblcenu locnu wetorowego wstępuącego w tm wore ora opowenm pogrupowanu wraów otrmam ostatecne: 79 Po apsanu wstępuącego w równanach 790 wetora głównego momentu głównego w ruchomm ułae współręnch: ora postawenu o rugego równana 790 woru 79 porównanu wrażeń pr wersorach otrmam seść salarnch równań ruchu brł:

3 ma ma ma 793 w tórch amast pochonch wglęem casu współręnch pręośc ątowe wprowaono opowene współręne prśpesena ątowego : a a a a są współręnm prśpesena a śroa mas Powżse równana różncowe wra warunam pocątowm enonacne opsuą ruch brł po wpłwem prłożonego o ne ułau sł Pr wprowaanu równań ruchu brł 793 a begun reuc pręto śroe mas brł Pocąte ruchomego ułau współręnch można prąć poa śroem mas po warunem że punt ten est neruchom Jeżel w porusaące sę brle stnee neruchom punt np to oberaąc go a begun reuc otrmam równana o postac 793 ale wte amast współręnch momentu głównego reuowanego o śroa mas należ postawć współręne momentu reuowanego o tego neruchomego puntu stępuące w tch równanach moment bewłanośc musą bć głównm momentam bewłanośc

4 75 brót brł woół stałe os obrotu brót owoln brł woół główne os bewłanośc ażnm aganenem w namce masn est ruch obrotow brł woół stałe os obrotu Z tm aganenem mam o cnena we wsstch masnach wrnowch Ab ta ruch można bło realować brła wrn mus bć ograncona węam Są nm nacęśce łożsa w tórch w case ruchu brł powstaą opowene reace Z nemat waomo że obracaąca sę brła woół stałe os obrotu ma een stopeń swobo Ta ruch brł można enonacne opsać enm równanem ruchu w postac ąta obrotu w func casu ϕ ϕt l o ϕ ϕ r c Rs 75 Ruch obrotow brł stwne woół główne os bewłanośc Dla wprowaena namcnego równana ruchu brł ałożm że brła obraca sę ruchem owolnm cl że pręość ątowa brł ne est stała woół os bęące główną osą bewłanośc rs 75 Ponao prmuem że pocąt neruchomego ułau współręnch ruchomego nauą sę w neruchomm punce nauącm sę na os obrotu l Poa tm la uproscena worów ałożm że śroe mas brł leż na os Poneważ la taego ruchu pręość ątowa prśpesene ątowe leżą na os obrotu atem

5 a wetor można apsać woram: 0 0 b ϕ ϕ Prśpesene a śroa mas oblcm e woru 537 poanego w p 534 otcącm nemat ruchu obrotowego: a r r Po postawenu o tego woru ależnośc r r wnaące wprost rs 75 otrmam: a r r r r cl współręne prśpesena śroa mas wnosą: a r a r a 0 c prowaone w poprenm punce równana 793 po postawenu ależnośc b ora worów c reuuą sę o postac 794: Stą m mr r ora 0 Z ależnośc ora równań 794 wna że w prpau obrotu brł woół główne os bewłanośc uła sł ewnętrnch reuue sę o momentu głównego leżącego na os obrotu l wetora głównego leżącego w płascźne prostopałego o te os Trece równań 794 est namcnm równanem ruchu obrotowego brł pr nanch warunach pocątowch powala na wnacene równana e ruchu ϕ ϕt Z wóch perwsch równań możem wnacć sł wwołane tm że śroe mas leż poa osą obrotu cl oś obrotu ne est główną centralną osą bewłanośc albo użwaąc termnolog nam masn

6 brła est newważona statcne Równana te powalaą na wnacene reac węów reac łożs Jeżel oś obrotu l bęe główną centralną osą bewłanośc cl śroe mas bęe leżał na os obrotu r 0 co bęe onacało ealne wważene brł równana 794 reuuą sę o enego równana: 795 a po uwglęnenu wm że wsste współręne wetora głównego ora we współręne momentu głównego są równe eru: 0 ora 0 e Z namcnego równana ruchu obrotowego brł 795 wna że eżel suma momentów wsstch sł ewnętrnch sł cnnch reac łożs os obrotu wglęem os obrotu bęe równa eru 0 to równeż / 0 atem pręość ątowa bęe stała const cl brła bęe sę porusać ruchem enostane obrotowm Z tam prpaem bęem mel o cnena g brła bęe sę obracać woół ponowe os obrotu osaone w ealne głach łożsach Słam ewnętrnm są wówcas sł cężośc reace głach łożs tórch moment wglęem os obrotu są równe eru Prła 714 Jenorona tarca o mase m promenu r obraca sę woół neruchome os prechoące pre śroe te tarc rs 76 po wpłwem prłożonego momentu o stałe wartośc const Na tarcę ała moment oporu proporconaln o pręośc ątowe ge est nanm współcnnem nacć pręość ątową tarc w func casu t ora e wartość masmalną ma Rs 76 nacene pręośc ątowe tarc r Rowąane Po postawenu o namcnego równana ruchu obrotowego brł 795 gone treścą aana ora otrmam równane ruchu obrotowego tarc w postac:

7 lub oment bewłanośc tarc wglęem os obrotu mr / Zatem 1 mr Po roelenu mennch powżse równane różncowe możem apsać w postac: mr albo mr Scałuem to równane w grancach o 0 o ora o 0 o t: t mr 0 Po wonanu całowana astąpenu różnc logartmów logartmem lorau otrmam: m r ln t lub Stą pręość ątowa ln 1 e 0 t mr t mr Z otrmanego woru wm że upłwem casu t o nesońconośc rug wra w nawase bęe ążł o era cl pręość ątowa bęe ążć o wartośc masmalne równe: ma

8 brót enostan brł woół os owolne Reace namcne becne ropatrm ruch brł obracaące sę e stałą pręoścą ątową woół owolne os poparte w łożsach a na rs 77 sute ałana sł cnnch na ropatrwaną brłę w łożsach powstaną reace statcne tóre można wnacć ponanch w statce warunów równowag Zaganena tego ne bęem tuta ropatrwać amem sę natomast słam momentam wwołanm pre aan ruch nnm słow ropatrm ruch bewłan brł porusaące sę e stałą pręoścą ątową be uału sł ewnętrnch Na os obrotu w punce prmem pocąte neruchomego ułau współręnch ora pocąte ułau ruchomego stwno wąanego brłą Założm pr tm że ose ułau ruchomego są głównm osam bewłanośc a śroe mas ne leż na os obrotu cl brła est newważona arówno namcne a statcne Poneważ pręość ątowa est stała e rut na ose ruchomego ułau współręnch równeż są stałe węc współręne prśpesena ątowego są równe eru: 0 f r c Rs 77 Ruch obrotow brł stwne woół os owolne Zatem prśpesene a śroa mas brł wra wór: a r r r g Jeżel wetor woąc r śroa mas apsem a pomocą współręnch w ułae ruchomm: r

9 to po rutowanu wetora g na ose opowenm pogrupowanu wraów otrmam wor na współręne prśpesena a śroa mas: a a a h Po postawenu ależnośc f ora worów h o równań 793 mane beguna reuc na otrmam seść równań opsuącch omawan ruch brł: m m m ] [ ] [ ] [ 796 Po uwglęnenu we wore 791 ależnośc f ora pręcu a begun reuc amast puntu neruchomego puntu pochona rętu wglęem casu a po uwglęnenu asa rętu możem napsać: Po pomnożenu salarne obu stron powżsego woru pre pręość ątową otrmam: 0 arune ten można prestawć w postac: 0 l Z powżsego równana wna że moment główn wwołan pre sł bewłanośc est w case obrotu brł awse prostopał o pręośc ątowe cl o os obrotu G ta ne est obrót enostan brł ne est możlw

10 Ponao warunu l wna ż tlo wa trech ostatnch równań 796 są neależne cl równań 796 możem w ułae wnacć pęć słaowch reac spowoowanch omawanm ruchem brł Poneważ uła wrue raem brłą woół os obrotu pręoścą ątową tą samą pręoścą wruą reace w łożsach wglęem ułau neruchomego Reace te nawam reacam namcnm G śroe mas brł bęe sę naował na os obrotu cl brła bęe wważona statcne wte 0 lewe stron trech perwsch równań 796 bęą równe eru a tm samm nną sł wwołane pre newważene statcne 0 tm prpau trech ostatnch równań 796 wna że reace namcne w łożsach bęą spowoowane pre moment wąan ałanem sł bewłanośc Poneważ na postawe warunu l moment ten est prostopał o os obrotu atem reace namcne w łożsach bęą tworć parę sł wruącą pręoścą równą pręośc ątowe ówm wte że brła est newważona namcne Jeżel oś obrotu bęe główną centralną osą bewłanośc np oś pore sę osą to poostałe ose ułau ruchomego bęą o ne prostopałe cl 0 na tego że tr poostałe równana 796 naą a tm samm naą reace namcne w łożsach Na postawe powżsch roważań możem sformułować następuąc wnose: Jeżel oś obrotu brł est główną centralną osą bewłanośc cl brła est wważona statcne namcne to reace namcne są równe eru Z preprowaonch w tm punce roważań wna że ruch wruące brł wwołue oresowo menne sł ałaące na łożsa tóre prenosąc sę na orpus masn a ale na funament wwołuą rgana Drgana te powouą prśpesone użce elementów masn a taże neorstne wpłwaą na otocene Ab temu apobec wruące cęśc masn proetue sę ta ab oś obrotu bła główną centralną osą bewłanośc Jena np e wglęu na błę wonawce spełnene tego warunu ne awse est możlwe Dlatego wruące cęśc masn są sprawane po wonanu ewentualne wważane pre opoweną oretę mas Prła 715 ena enorona płta prostoątna o mase m boach h ora b obraca sę woół preątne e stałą pręoścą ątową blcć reace namcne łożs A B eżel oległość mę nm wnos L rs 78

11 R B h b α A B R B L Rs 78 nacene reac namcnch łożs Rowąane Poneważ śroe cężośc płt leż na os obrotu tóra ne est główną centralną osą bewłanóśc reace w łożsach A B bęą spowoowane newważenem namcnm śrou cężośc prmem ruchom uła współręnch stwno wąan płtą w ten sposób że ose są osam smetr płt a oś est prostopała o płascn rsunu tm ułae współręnch pręość ątowa ma współręne: snα 0 cosα Po postawenu tch worów o trech ostatnch równań 796 po astąpenu puntu puntem otrmuem: 0 0 ora snα α cos a oment bewłanośc prostoątne płt wglęem os smetr otrmam e worów wprowaonch w prłae 63: mh mb b 1 1 Z rsunu wna że snα b cosα h c h b h b

12 Po postawenu onaceń b c o woru a otrmuem: h b bh m 1 h b Z ależnośc wna że wetor momentu leż na os cl est prostopał o płascn płt wrue raem ną oment ten est wwołan pre parę sł reac RA R B prostopałch o os obrotu artoc momentu reac są równe: h b h b R AL R BL R A R B e case obrotu reace R A R B wruą raem płtą Ponao są one proporconalne o waratu pręośc ątowe w prpau bt sbo obracaące sę brł mogą osągać uże wartośc L m 1 bh L

13 753 Ruch płas brł nematce ruchu brł stwne ruchem płasm nawalśm ruch w case tórego wsste punt brł areślaą tor równoległe o pewne płascn nawane płascną ruchu lub płascną eruącą r ϕ Rs 79 Ruch płas brł stwne Na rsunu 79 prestawono preró brł płascną ruchu prechoącą pre śroe mas owolnm punce pręto neruchom uła współręnch ta że ose leżą w płascźne ruchu a oś est o ne prostopała Ruchom uła współręnch o pocątu w śrou mas pręto w ten sam sposób cl ose porusaą sę w płascźne ruchu a oś est o ne prostopała na tego że ose są o sebe równoległe alsch roważanach nam ruchu płasego brł prmem następuące ałożena: a oś est główną centralną osą bewłanośc b ruch brł obwa sę po wpłwem sł ałaącch w płascźne ruchu Brła porusaąca sę ruchem płasm ma tr stopne swobo a węc o ego opsu wstarc poać tr równana ruchu wóch współręnch śroa mas ora ąta obrotu ϕ ułau ruchomego wglęem neruchomego Knematcne równana ruchu płasego możem apsać w postac: t t ora ϕ ϕ t 797

14 Zatem o opsu nam ruchu płasego brł nebęne są tr namcne równana ruchu Do ch wnacena worstam równana 793 opsuące ruch brł swobone Z ałożena b na postawe własnośc płasego ułau sł 38 wna że wetor główn bęe leżał w płascźne sł a moment główn bęe prostopał o te płascn ożem w te stuac apsać: ora 0 m 0 Ponao w ruchu płasm brł p 538 pręość ątowa est prostopała o płascn ruchu cl 0 n Po uwglęnenu ależnośc m n równana 793 reuuą sę o trech namcnch równań ruchu płasego brł ma 798 ma Po wrażenu prśpesena a śroa mas ora wetora głównego w neruchomm ułae współręnch ora uwglęnenu że wór 563 równana 798 można apsać następuąco: ma ma 799 Poneważ współręne prśpesena śroa mas w neruchomm ułae współręnch są równe rugm pochonm wglęem casu współręnch powżsm równanom można naać postać równań różncowch po uwglęnenu rugego woru 564: ϕ 7100 m m Prła 716 Na poomm sorstm stole naue sę spula tóre śroe mas leż na os smetr obrotu Spula ma masę m ora wa promene R r Rsune 730 prestawa spulę w ruce na płascnę prostopałą o os smetr oment bewłanośc wglęem te os wnos Z obwou o promenu r owa sę nć o tóre ońca prłożono stałą słę poomą P nacć masmalną wartość sł P P ma po wpłwem tóre spula bęe sę tocć be poślgu eżel współcnn tarca statcnego mę spulą a stołem est równ µ a współcnn tarca tocnego f Dla tego prpau wnacć prśpesene os spul a

15 Rowąane Na spulę ałaą we sł obcążaące: sła cężaru spul G ora sła P powouąca ruch spul Reacę stołu rołożono na słę tarca T serowaną w erunu precwnm o erunu ruchu ora reacę normalną N presunętą w erunu tocena spul o wartość współcnna tarca tocnego f rs 311b Roważan ruch spul est ruchem płasm atem na postawe woru 799 namcne równana ruchu spul bęą następuące : R T G r Rs 730 Ruch spul uwglęnenem oporu tocena N f a P ma P T 0 N G TR Pr Nf a Jeżel spula toc sę be poślgu to mę prśpesenem śroa spul prśpesenem ątowm mus bć spełnona następuąca ależność nematcna: a R b Z rugego równań a wna że reaca normalna est równa cężarow spul: N G mg c ge g est prśpesenem emsm asmalną wartość sł P otrmam ałożws że sła tarca T est grancną słą tarca o wartośc wór 35: T µn µmg Jeżel o perwsego trecego równana a postawm wor c a w trecm uwglęnm ależność b otrmam wa równana:

16 ma P µmg a µmgr Pr f mg R e równanach tch mam we newaome: a P Pma celu welmnowana prśpesena poelm równana stronam otrmam: mr a P µmg µmgr Pr f mg Stą µmr f mr µ mg P Pma f mrr Po postawenu tego woru o perwsego równana e wnacm prśpesene os spul a [ µ R r f ] mgr g mrr Z otrmanego woru wna że oś spul porusa sę e stałm prśpesenem cl ruchem enostane prśpesonm telnow poostawam wnacene równana ruchu t? la warunów pocątowch np la t 0 0 v 0