MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych

Transkrypt

1 MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych Prowadzący: dr Krzysztof Polko

2 Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Układem punktów materialnych nazwiemy zbiór punktów w sensie geometrycznym, którym przypisane są pewne masy. Układ nazwiemy swobodnym, gdy nie istnieją żadne ograniczenia, które krępowałyby ruchy punktów. Układ nazwiemy nieswobodnym, jeżeli wystąpią jakiekolwiek ograniczenia ruchów.

3 Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Układ nieswobodny Więzy ograniczające swobodę ruchów poszczególnych punktów Szczególnym modelem układu nieswobodnego punktów materialnych jest ciało sztywne (bryła materialna), którego więzy polegają na tym, że wzajemne odległości dwu dowolnych punktów bryły nie ulegają zmianie w czasie ruchu.

4 Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Siły działające na układ (rys. 1) dzielimy na: zewnętrzne, wewnętrzne. Siłami wewnętrznymi nazywamy wzajemne oddziaływania poszczególnych punktów układu na siebie. Siłami zewnętrznymi nazywamy siły pochodzące od działania innych ciał, nie wchodzących w skład badanego układu. Uwaga! Jedna konkretna siła może być zewnętrzna dla jednego, wewnętrzna zaś dla drugiego układu. Na przykład siła ciężkości jest dla punktu materialnego siłą zewnętrzną, natomiast będzie Rys. 1 ona siłą wewnętrzną dla układu złożonego z Ziemi i danego punktu.

5 Dynamiczne równanie ruchu i-tego PUNKTU pod działaniem wypadkowej sił zewnętrznych działających na badany punkt oraz sił wewnętrznych układu ma postać: mi gdzie: masa punktu (1) wektor przyspieszenia masy m i F ρ wypadkowa z sił zewnętrznych, działających na punkt i ρ ρ Wik = W ki siła wewnętrzna oddziaływania masy m k na masę m i, przy czym k = 1,...,n. a ρ i Układ równań (1) w postaci wektorowej można przedstawić w równoważnej postaci analitycznej np. we współrzędnych kartezjańskich (2)

6 Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych W przypadku występowania więzów ograniczających ruch układu, obok wzajemnego oddziaływania punktów materialnych na siebie, należałoby wprowadzić po prawej stronie siły reakcji więzów. Równania (1) możemy zapisać w postaci (3) przedstawiającej zasadę bezwładności d'alemberta w odniesieniu do układu punktów materialnych.

7 Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Zasada d Alemberta Siły działające na poszczególne punkty materialne poruszającego się układu równoważą się w każdej chwili z pomyślanymi siłami bezwładności. Wektory m i i nazywamy siłami bezwładności lub siłami d'alemberta punktów materialnych o masach a ρ m i

8 Ruch środka masy układu punktów materialnych Współrzędneśrodka masy układu punktów materialnych: a) w postaci wektorowej (4) gdzie m = n k = 1 m i masa całkowita b) w postaci analitycznej (np. w układzie kartezjańskim) (5) gdzie x, y, z współrzędne środka masy układu punktów materialnych S S S

9 Ruch środka masy układu punktów materialnych Różniczkując równanie (4) względem czasu otrzymujemy (6) gdzie wektor przedstawia pęd masy punktu m i wektor pędu ogólnego układu punktów materialnych. Twierdzenie: Pęd ogólny układu punktów materialnych równa się pędowi całej masy układu, skupionej w jegośrodku masy.

10 Ruch środka masy układu punktów materialnych Różniczkując po raz drugi równanie (4) napiszemy (7) lub (8) Suma sił bezwładności punktów materialnych równa się sile bezwładności masy całkowitej, skupionej w środku masy tego układu. Wstawiając wzór m i ai = Fi + Wik do równania (8) otrzymujemy ρ ρ n k = 1 ρ (9)

11 Ruch środka masy układu punktów materialnych Zauważmy jednak, że wektor główny sił wewnętrznych układu, występujących tzw. dwójkami zerowymi czyli ρ W = ρ ik W ki, jest równy zeru, (10) a więc (11) Zasada ruchu środka masy układu punktów materialnych Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak samo jak punkt, w którym skupiona jest cala masa układu i na który działa suma wszystkich sił zewnętrznych.

12 Ruch środka masy układu punktów materialnych Zasadę ruchu środka masy układu punktów materialnych, przedstawioną w postaci wektorowej wzorem (11), możemy też opisać analitycznie (12)

13 Przykład 1 Wskutek sił wewnętrznych pocisk rozrywa się na części. Siły te nie mogą zmienić ruchuśrodka ciężkości C.

14 Przykład 2 Na końcu łódki o masie m 1 i długości b stojącej nieruchomo na wodzie stoi człowiek o masie m. Obliczyć, o jaką odległość x przesunie się łódka, gdy człowiek przejdzie na jej drugi koniec. Opór wody pominąć.

15 Rozwiązanie Wyznaczamy położenieśrodka masy przed rozpoczęciem ruchu: Natomiast położenieśrodka masy na końcu ruchu wynosi: gdzie x odległość, o jaką przesunęła się łódka.

16 Ponieważ siły zewnętrzne działające na układ się równoważą (ciężar człowieka równoważy się z jego naciskiem na łódkę, a ciężar łódki równoważy się z siłą wyporu łódki), środek masy układu pozostaje w spoczynku, zatem: Ostatecznie:

17 Przykład 3 Klin o masie m 1 spoczywa na gładkiej powierzchni. Na klinie spoczywają dwa bloki o masach odpowiednio m 2 i m 3, połączone nierozciągliwą, nieważką liną przerzuconą przez nieważki krążek. Blok o masie m 3 doznał przesunięcia względem klina o wielkość d. Obliczyć poziome przesunięcie klina. Dane: m 1, m 2, m 3, d,β Szukane: s

18 Rozwiązanie Niech x 1, x 2, x 3 współrzędneśrodków masy klina i ciężarków o masach m 2 i m 3 przed rozpoczęciem ruchu. Wtedy, po przesunięciu się klina o s,środki masy tych punktów wynoszą:

19 Środek masy układu przed rozpoczęciem ruchu: Środek masy układu po przesunięciu klina: Ponieważ na układ nie działają siły zewnętrzne, środek masy układu nie zmieni położenia:

20 Po podstawieniu x 1, x 2, x 3 : Po przekształceniu:

21 oraz jego nacisk na płaszczyznę. W chwili początkowej t = 0 wózek znajdował się w spoczynku. Środek ciężkości wózka znajduje się w punkcie C 1 na wysokości b. Opory toczenia pominąć. Dane: m 1, m 2,φ=φ 0 sin(ωt), b Szukane: x(t), N 1, N 2 Przykład 4 Do wózka o masie m 1 przyczepiono nieważki pręt o długości l, na którego końcu zawieszono kulkę o masie m 2. Ruch obrotowy pręta opisany jest równaniemφ=φ 0 sin(ωt). Znaleźć równanie ruchu wózka

22 Rozwiązanie Współrzędnaśrodka masy układu przed rozpoczęciem ruchu: Współrzędnaśrodka masy układu w dowolnej chwili t: Zgodnie z zasadą ruchu środka masy układu:

23 Podobnie: Naciski wyznaczymy z drugiej zasady dynamiki: Po podstawieniu:

24 Zasada pędu układu punktów materialnych Uwzględniając wzory możemy napisać: oraz (13) lub też zgodnie z oznaczeniem pędu: (14) Pęd układu punktów materialnych wynosi: (15)

25 Pochodna względem czasu wektora ogólnego pędu układu punktów materialnych jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych, działających na dany układ. Zauważmy, że w przypadku gdy wektor główny sił zewnętrznych będzie równy zeru, wówczas pęd układu będzie wektorem stałym (co do modułu i co do kierunku). Jest to tzw. zasada zachowania pędu układu punktów materialnych. Wzór możemy przedstawić za pomocą równoważnych trzech równań analitycznych (16)

26 Zasada pędu układu punktów materialnych Wniosek Jeżeli część układu punktów materialnych zmienia w pewnej chwili swój pęd pod wpływem tylko sił wewnętrznych, wówczas pęd pozostałej części układu ulega odpowiedniej zmianie, zgodnie z warunkami gdyż

27 Przykład 5 Ciało o masie m spada na Ziemię z wysokości h. Brak sił zewnętrznych. Siły wewnętrzne siły wzajemnego przyciągania nie mogą zmienić położeniaśrodka masy. Znaleźć przesunięcie s Ziemi w kierunku ciała.

28 Z zasady zachowania pędu, w chwili zderzenia: gdzie v 1 prędkość ciała; v 2 prędkość Ziemi. W dowolnej chwili t, w ruchu jednostajnie przyspieszonym: Z zasady zachowania pędu, w chwili zderzenia t 0 : Zatem: Ponieważ h = h 0 + s, to

29 Całkując równanie od Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów materialnych t1 do t2 d dt n ρ d pi = = 1 dt, otrzymamy i ρ p ρ = F w przedziale czasu (17) lub Jak już wiemy z dynamiki punktu, wektor przedstawia elementarny impuls siły a więc równanie ρ F i dt = dπ ρ F ρ i w czasie dt i (18) (19)

30 Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów materialnych możemy przedstawić również w postaci: (20) Zasada pędu i impulsu układu punktów materialnych Przyrost wektora pędu układu punktów materialnych w określonym przedziale czasu jest równy sumie impulsów sił zewnętrznych, działających na ten układ.

31 Przykład 6 Wózek o masie m 1 jechał po prowadnicy z prędkością v 1. W pewnej chwili pasażer o masie m 2 wskoczył do wózka pod kątemαzszybkością u względem wózka. Wyznaczyć: prędkość końcową v 2 wózka wraz z pasażerem popęd siły normalnej do szyn.

32 Pęd początkowy układu (w chwili wskoku pasażera na wózek): Pęd końcowy układu: p = p 1 2 Prędkość końcowa układu (w kierunku szyn): Zgodnie z zasadą zachowania pędu: v 2 = W kierunku prostopadłym do szyn: t 2 t 1 Rdt =

33 Przykład 7 Nieważka sztywna tarcza kołowa o promieniu r 1 z doczepionymi na obwodzie czterema masami m wiruje z prędkością kątowąω 0. Tarcza ta jest połączona przez nie napiętą linkę z drugą analogiczną tarczą o promieniu r 2. Zakładając,że linka jest doskonale plastyczna, obliczyć prędkości kątoweω 1 iω 2 obu tarcz po momencie szarpnięcia poprzez linkę tarczy o promieniu r 2 oraz wyznaczyć zmianę krętu układu. Dane: r 1, r 2, m,ω 0 Szukane:ω 1,ω 2, K

34 Rozwiązanie Uwaga! Masy m są tak ułożone,że dla każdej tarczy suma momentów ich ciężarów względem środka danej tarczy jest w dowolnej chwili równa zeru. Napiszemy zasadę krętu dla każdej tarczy. Wobec powyższej uwagi po prawej stronie równań otrzymamy tylko moment siły S napięcia linki. Zasada krętu dla I-szej tarczy: Zasada krętu dla II-giej tarczy:

35 Zależność kinematyczna pomiędzy tarczami: Rozwiązujemy powyższe równania:

36 Kręt układu w chwili t 1 : Kręt układu w chwili t 2 : Zmiana krętu układu:

37 Ruch układu o zmiennej masie a) dm m v ρ b v ρ S b) m + dm ρ v + ρ d S v S

38 Ruch układu o zmiennej masie a) m v ρ S b) dm m dm v ρ b ρ v ρ d S v S

39 Ruch układu o zmiennej masie Zakładając, że od układu odrywa się z prędkością bezwzględną masa dm, określimy elementarną zmianę wektora pędu układu b v ρ przy czym mv ρ S wektor pędu układu przed oderwaniem się masy dm pęd układu po oderwaniu się masydm

40 Ruch układu o zmiennej masie Zatem: czyli: gdzie nazywamy siłą reakcji cząstki oddzielającej się.

41 Ruch układu o zmiennej masie W przypadku gdy równocześnie oddziela się lub przyczepia więcej mas dm j równanie napiszemy w ogólniejszej postaci gdzie (30) zaś ρ v bj ρ v S ρ u = j wektor prędkości względnej oddzielającej się lub dołączającej się masy dm j Wzór (30) przedstawia tzw. równanie Mieszczerskiego, charakteryzujące ruch układu o zmiennej masie.

42 Przykład 8 Początkowa masa rakiety wraz z materiałem pędnym jest równa m 0, a masa korpusu wynosi m. Znaleźć prędkość końcową rakiety przy założeniu, że na rakietę nie działa żadna siła zewnętrzna i jej prędkość początkowa jest równa v 0. Prędkość bezwzględna wyrzucanych gazów wynosi v b. Dane: m 0, m, v 0, v b. Szukane: v =?

43 Rozwiązanie Wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zeru, działa tylko siła reakcji cząstki oddzielającej się siła odrzutu. Zatem, zgodnie z równaniem Mieszczerskiego: gdzie: u prędkość względna oddzielającej się masy; Zatem R siła odrzutu.

44 Rozwiązanie Całkujemy powyższe równanie: i otrzymujemy: Stąd prędkość końcowa rakiety wynosi: wzór Ciołkowskiego