Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

Transkrypt

1 Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów, grupując razem wyk jedakowe umeścć je w tabel: Tabela x 3... x koleje przegrody lość wszystkch kulek w -tej przegrodze 3. Sporządzć a paperze mlmetrowym hstogram wyków dośwadczalych. III. Opracowae wyków.. Oblczyć wartość średą x oraz estymator waracj S.. Wyzaczyć wartość χ korzystając z Tabel. Wartośc P( u ) odczytać z tabel gęstośc prawdopodobeństwa stadaryzowaego rozkładu ormalego (Tabela 3) umeszczoej w dodatku. Tabela : : K u u ) P ( 3. Dla pozomu stotośc α. daej lczby stop swobody f odczytać z tablcy rozkładu χ (Tabela 4 umeszczoa w dodatku), wartość krytyczą χ. 4. Zweryfkować hpotezę stwerdzającą, że erwoway rozkład jest rozkładem ormalym. Model błędów pomarowych: deska Galtoa Rozważmy pomar pewej welkośc fzyczej mającej wartość µ. W typowej sytuacj pomarowej stee losowych zakłóceń procesu pomarowego powoduje, że jako wyk przeprowadzoego pomaru, zamast teresującej as welkośc µ, otrzymujemy pewą

2 welkość losową x. Moża pokazać, że w przypadku występowaa welu ezależych zakłóceń przypadkowych, zmea losowa x posada tzw. rozkład ormaly (Gaussa) określoy wzorem: ( x µ ) / σ f ( x) e () σ π Rozkład te ozaczay jest symbolem N ( µ, σ ), gdze µ ozacza wartość oczekwaą, a σ odchylee stadardowe, zmeej losowej x. Welkość ta terpretowaa jest jako mara błędu merzoej welkośc x. Fzyczą realzacją omówoego wyżej modelu błędów pomarowych jest tzw. deska Galtoa, w której kulk spadające a układ kołków rozsypują sę zgode z rozkładem ormalym. Deska Galtoa może być zatem używaa do empryczego badaa rozkładu ormalego. Wartość średa odchylee stadardowe. Poeważ welkośc µ σ e są a ogół zae, w celu oszacowaa ch wartośc wykoujemy serę pomarów welkośc x otrzymując wyk x, x, x 3,...x, zwae próbą losową. Jeśl zamy wyk pomarów x, x, x 3,..., x, to ajlepszym przyblżeem (estymatorem) wartośc µ jest średa arytmetycza x pomarów: x x () atomast ajlepszym przyblżeem odchylea stadardowego σ jest estymator gdze estymator waracj S zdefoway astępująco: S S, S ( x x) (3) Zatem, operając sę a wykach przeprowadzoych pomarów x, x, x 3,...x, ostateczy rezultat pomaru zapsujemy jako µ x ± S (4) Zaps te terpretujemy astępująco: jako wyk pomaru welkośc µ przyjmujemy welkość x z błędem pomarowym S. Ozacza to w stoce, że rozkład wyków pomarów zmeej losowej x w przyblżeu opsay jest rozkładem ormalym N ( x, S). Test χ W celu sprawdzea hpotezy, czy erwoway rozkład zmeej losowej x jest zgody z hpotetyczym rozkładem f(x) stosujemy tzw. test χ (ch-kwadrat). Stosując te test moża sprawdzć, czy rozkład kulek otrzymay w dośwadczeu z deską Galtoa jest rozkładem ormalym. Procedura testowaa przebega astępująco:

3 ) otrzymae wyk grupujemy w szereg rozłączych przedzałów x lczbę wyków zawartych w przedzale pomarów k, ozaczając przez x (,,...,k). Zatem lczba wszystkch. Przedzały te wyberamy w tak sposób, aby lczba wyków w każdym przedzale była wększa od pęcu ( > 5). Jeśl waruek te e jest spełoy, łączymy ze sobą sąsede przedzały. ) dla hpotetyczego rozkładu f(x) oblczamy spodzewae lczby wyków każdym z przedzałów, przy czym ) x zawarte w P( x, gdze prawdopodobeństwo x P( x x ) f ( x) x. W celu skorzystaa ze stadaryzowaej fukcj gęstośc rozkładu prawdopodobeństwa P(u), ( Tabela 3) przechodzmy od zmeej x do zmeej x x u (5) S pozwalającej wyzaczyć wartośc o P( u ) x (6) S 3) wyzaczamy wartość statystyk testowej k ( ) χ (7) 4) dla zadaego pozomu stotośc α lczby stop swobody f k m, gdze m ozacza lczbę parametrów rozkładu wyzaczoych z próby, z tablc rozkładu odczytujemy wartość krytyczą χ α zdefowaą astępująco: χ P ( χ > χα ) α. 5) w przypadku gdy χ χ α testowaą hpotezę przyjmujemy (e ma podstaw do jej odrzucea), atomast w przypadku gdy χ > χ α testowaą hpotezę odrzucamy (e ma podstaw do jej przyjęca). Przykład: Załóżmy, że z pomarów otrzymao serę 4 wyków ( ), które podzeloo a grup (x ). Wyk pomarów umeszczamy w Tabel : x Następe oblczamy wartość średą x estymator odchylea stadardowego S: x ( x x) x.9 S. 88 Rozkład wyków pomarów moża przedstawć grafcze za pomocą hstogramu.

4 7 6 hstogram rozklad ormaly Lczba przypadków Numer przedzalu x Rys.: Hstogram wyków wraz z krzywą rozkładu ormalego N ( x, S). Następe oblczamy welkośc u zgode ze wzorem (5), gęstość prawdopodobeństwa o odczytujemy z Tabel 3 (dodatek) a spodzewae wartośc wyków zgode ze wzorem (6). W aszym przypadku szerokość przedzału x. Otrzymae wyk umeszczamy w Tabel grupując przedzały skraje tak aby spełoa była zależość > 5. Po tej operacj lczba grup zmejszyła sę do wartośc k 3. x u u ) P ( Na podstawe otrzymaych wyków wyzaczamy wartość statystyk testowej:

5 χ 3 ( ) 5.8 Odczytujemy z Tabel 4 (dodatek) wartość krytyczą lczby stop swobody f k--m3-- χ dla pozomu stotośc α. α χ. 3,9 Porówując teoretyczą wartość krytyczą χ. z wartoścą χ otrzymaą z eksperymetu wdzmy, że spełoy jest waruek χ χ α umożlwający przyjęce testowaej hpotezy. Ozacza to, że baday rozkład jest rozkładem ormalym (Gaussa). W przecwym wypadku ależy hpotezę odrzucć. Lteratura:. T. Dryńsk, Ćwczea laboratoryje z fzyk, PWN, Warszawa 995. H Szydłowsk, Pracowa fzycza, PWN, Warszawa J.R Taylor, Wstęp do aalzy błędu pomarowego, PWN, Warszawa 995

6

7

8