WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

Transkrypt

1 WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów).

2 PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak gdyby miniaturą populacji generalnej. Można ją uzyskać metodą losowania=> próba losowa. Istnieje kilka metod losowania: losowanie zależne lub niezależne ( bez lub z zwracaniem) nieograniczone lub warstwowe ( losowanie z całej lub z poszczeg. części populacji stosując np. liczby losowe) Losowanie indywidualne lub zespołowe (losowanie pojedynczych lub zespołów elementów) PRÓBA (n-liczba elementów) Mała n < 30 Duża n 30

3 ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA Populacja Generalna (PG) funkcja gęstości prawdopodobieństwa : f(x) - <x < Próba (P n ) 1) mała n<30 2) duża n 30 Parametry PG: Estymatory: Wartość oczekiwana (, EX) Średnia arytmetyczna (, x sr ) Wariancja ( 2, V(X) ) Wariancja z próby (kwadrat odchylenia standardowego)

4 Estymacja parametrów rozkładu w PG ESTYMACJA PUNKTOWA Parametry w PG przybliża się ich estymatorami. Np. PRZEDZIAŁOWA Dla wybranego poziomu ufności (1- ) określa się przedział ufności parametru z PG

5 Estymacja (przedziałowa) wartości oczekiwanej ( ) P.G. populacja generalna X- zmienna losowa; f(x) funkcja gęstości prawdopodobieństwa -wartość oczekiwana; - odchylenie standardowe P n - próba n-elementowa ; x sr N(, sr )

6 Estymacja wartości oczekiwanej ( ) Poziom ufności Przedział ufności P ( - z α/2 < z < z α/2 ) = 1 α

7 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARTOŚCI OCZEKIWANEJ µ gdy znana jest wariancja σ 2 populacji Poziom ufności Przedział ufności 1-α : POZIOM (WSPÓŁCZYNNIK) UFNOŚCI

8 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARTOŚCI OCZEKIWANEJ µ gdy znana jest wariancja σ 2 populacji Przykład: Oszacować żywotność ( w godzinach świecenia) wyprodukowanej, partii świetlówek. Wiadomo, że czas świecenia świetlówek ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym σ=120 godz. Wylosowano niezależnie n=25 świetlówek, których czas świecenia wynosił: x i ([godz]= 2630; 2820; 2900;.; 3060; 2850 obliczona średnia x sr = 2800 godz. Przyjmując współczynnik ufności 1-α=0,99 oszacować średni czas świecenia wyprodukowanych świetlówek α=0,01 stąd α/2=0,005 F(-z α ) = α/2 (EXCEL: ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW) z α =2, ,576*120/5 < μ < ,576*120/ < μ < 2862 Lub: µ = (2800±62) godz; lub µ = 2800 godz ±2,21% (2,21%=62*100/2800)

9 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARTOŚCI OCZEKIWANEJ µ dla próby dużej (nieznana jest wariancja σ 2 populacji)

10 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARTOŚCI OCZEKIWANEJ µ dla próby dużej (nieznana jest wariancja σ 2 populacji) Przykład: W eksperymencie chemicznym bada się czas zakończenia pewnej reakcji. Dokonano n=60 niezależnych doświadczeń i otrzymano średnią: =46 s oraz s=13 s. Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować metodą przedziałową średni czas zakończenia reakcji. Rozwiązanie: 1- =0,99, więc /2=0,005, Z EXCELA, ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW mamy dla prawdopodobieństwa : 0,005 wartość -2,57583; stąd: Stąd: 46-4,3 < µ <46+4,3 ostatecznie: Lub: 41,7 < µ < 50,3 lub

11 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARTOŚCI OCZEKIWANEJ µ dla próby małej (nieznana jest wariancja σ 2 populacji)

12 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARTOŚCI OCZEKIWANEJ µ dla próby małej (nieznana jest wariancja σ 2 populacji) Przykład: Dokonano n=7 pomiarów ciśnienia w komorze spalania silnika rakietowego i otrzymano wyniki (w MPa) : 3,185; 3,136; 3,032; 3,090; 3,170; 3,240; 3,160. Zakładając, że ciśnienie ma rozkład normalny. Oszacować średnie ciśnienie w komorze spalania, przyjmując współczynnik ufności 0,99. p_sr= 3, s_p= 0, alfa/2= 0,005 t_alfa, 6 = 4, EXCEL delta= 0, ,145-4,317*0,0675/7^0,5 < µ < 3,145+ 4,317*0,0675/7^0,5 3,145-0,110 < µ < 3,145+ 0,110 3,035 MPa < µ < 3,255 MPa Lub: µ =(3,145±0,110) MPa; lub µ =3,145 MPa±3,50%

13 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARTOŚCI OCZEKIWANEJ µ dla próby małej (nieznana jest wariancja σ 2 populacji) k= n-1 t α z rozkładu t-studenta ROZKŁAD.T.ODW (prawdopodobieństwo: α, stopnie swobody: k=n-1 t α

14 PRÓBA P (m) (m-elementowa) Obliczenie: x sr ; s bez wyników wątpliwych TEORIA ESTYMACJI I (ESTYMACJA PUNKTOWA) 1. ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH Odrzucenie wyników z poza przedziału: x sr 3s PRÓBA LOSOWA P (n) (n-elementowa) 2. ESTYMACJA PUNKTOWA DLA x s( x ) sr sr x sr s n Jeśli nie odrzucono wszystkich wątpliwych z próby P (m) to należy dla P (n) wyznaczyć (ponownie) x sr ; s Zapis z błędem bezwzględnym x sr s( x x sr sr ) *100% x sr x sr s n *100% Zapis z błędem względnym

15 TEORIA ESTYMACJI II ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA dla μ: μ=x sr ±Δμ Dane: próba losowa: P (n), poziom ufności: 1-α 3. ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA : PRÓBA LOSOWA P (n) (n-elementowa) Można skorzystać z funkcji: EXCEL statystyczne UFNOŚĆ Gdy: σ znane (jest to słuszne też dla małej próby) Gdy: σ nieznane TYLKO dla dużej próby Mała (n <30) z α z N(0,1) : ROZKLAD.N.S.ODW t α z rozkładu t-studenta ROZKŁAD.T.ODW (prawdopodobieństwo: α, stopnie swobody: k=n-1

16 Z α (Rys.1); t α (Rys.2) Rys.1 Rys. 2 k=n-1

17 ESTYMACJA PUNKTOWA vs. PRZEDZIAŁOWA Estymacja punktowa: x s( x ) sr sr x sr s n Pokrywa się z estymacją przedziałową, tylko wówczas gdy spełnione są założenia: 1. 1-α= 0.68 (68%) 2. σ= s Istnieje możliwość jej uogólnienia dla innych wartości poziomu ufności 1-α wprowadzając czynnik i : Lub: i 1 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 1-α 0,68 0,87 0,92 0,954 0,988 0,997

18 WYZNACZANIE NIEZBĘDNEJ LICZBY POMIARÓW DO PRÓBY PROBLEM: Szacujemy w oparciu o próbę n-elementową parametr populacji generalnej: µ-wartość oczekiwaną lub wskaźnik struktury p. Żądamy, aby przy zadanym poziomie ufności 1-α, błąd szacunku (tj. połowa przedziału ufności) nie przekroczył danej z góry wartości d. Jak wielka ma być próba? ( ile ma wynieść n?). Przypadek 1. Populacja generalna ma rozkład normalny N(µ,σ ) lub zbliżony do normalnego. Wariancja populacji: σ 2 jest znana, wówczas: Gdzie z α wyznacza się z dwuśladowego N(0,1). Przypadek 2. Populacja generalna ma rozkład normalny N(µ,σ ). Wariancja populacji: σ 2 jest nieznana, ale znamy s 2 z małej (wstępnej próby) o liczebności n o : Gdzie t α jest parametrem z dwuśladowego rozkładu t-studenta o k= n o -1 stopniach swobody. Jeśli n>n o to należy dolosować n-n o elementów do próby, w przeciwnym przypadku O.K.

19 WYZNACZANIE NIEZBĘDNEJ LICZBY POMIARÓW DO PRÓBY (c.d) Pr óba d (połowa szerokości przedziału ufności) n 1 d 1 n 2 d 2

20 WYZNACZANIE NIEZBĘDNEJ LICZBY POMIARÓW DO PRÓBY Przykład 1: Ile niezależnych pomiarów należy wykonać by oszacować czas zakończenia reakcji chemicznej z błędem maksymalnym 20 s, przy współczynniku ufności 0,95. Wiadomo, że czas zakończenia reakcji jest zmienną losową o rozkładzie N(µ, 40). Z rozkładu normalnego N(0,1) dla 1-α=0,95 mamy z α =1,96 ; stąd: n = (1,96* 40) 2 / 20 2 =15,36 16

21 WYZNACZANIE NIEZBĘDNEJ LICZBY POMIARÓW DO PRÓBY Przykład 2. Należy oszacować średnią wartość masy produktu reakcji. Ile niezależnych doświadczeń należy przeprowadzić, aby przy współ. ufności 0,95 oszacowana średnia masa była z błędem maksymalnym 0,01 g, jeśli wstępna próba 5 doświadczeń dała wyniki: 2,10; 2,12; 2,12; 2,16; 2,10 g Dla wstępnej próby mamy: s 2 = 0,0006 g 2, z rozkładu t-studenta dla α=0,05, k=4 mamy: t α, k = 2,776 Więc: n=(2,776/0,01) 2 *0,0006 = 46, Należy dorobić 47-5= 42 wyników

22 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WSKAŹNIKA STRUKTURY (PROCENTU) Populacja generalna ma rozkład dwupunktowy tj. elementy populacji mają jedną z dwu cech ( np. dobry, zły ). Frakcja elementów wyróżnionych (np. dobrych) wynosi p, przy czym p>0,05. Z populacji wylosowano niezależnie n elementów, przy czym n> 100. Wtedy przedział ufności dla wskaźnika struktury p populacji:

23 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WSKAŹNIKA STRUKTURY (PROCENTU) Przykład: Aby oszacować procent pracowników w Krakowie, którzy jadają obiady w stołówkach pracowniczych wylosowano n=900 osób i znaleziono, m=300 osób, które jedzą w stołówkach. Przyjmując współczynnik ufności 1-α=0,95 zbudować przedział ufności dla procentu pracowników Krakowa korzystających z obiadów w stołówkach. m/n= 300/900=1/3; {1/3(1-1/3)/900} 1/2 =0,016 Z rozkładu normalnego Z EXCELA, ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW dla z α =2,96 (α/2=0,025), stąd: 0,333-1,96*0,016 < p < 0,333+ 1,96*0,016 Czyli: 0,302< p < 0,364 Lub: 30,2 % < p < 36,4 %

24 WYZNACZANIE NIEZBĘDNEJ LICZBY POMIARÓW DO PRÓBY Przypadek 3. Populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p. a) Jeżeli znamy orientacyjną wartość p, to: b) Jeśli nie znamy rzędu wielkości p to: Przykład 3: Ile należy wylosować niezależnie studentów AGH do próby, by oszacować procent studentów AGH palących papierosy z błędem maksymalnym 5%, przy współczynniku ufności 0,90, jeśli : a) przypuszcza się, że ten procent jest rzędu 70 % b) nie znany jest rząd wielkości szacowanego procentu Z rozkładu N(0,1) mamy dla α=0,10 z α =1,64 Ad a): n=(1,64/0,05) 2 *0,7*0,3=225, Ad b) n==(1,64/0,05) 2 /4 =269

25 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARIANCJI Populacja generalna ma rozkład normalny N(µ,σ) o nieznanych parametrach µ i σ. Z populacji tej wylosowano n-elementową próbę. Z próby tej wyliczono s 2. Przedział ufności dla wariancji σ 2 : Gdzie c 1 i c 2 patrz Rys. F(c 1 )= F(χ 2 1)= α/2 F(c 2 )= F(χ 2 2)= 1- α/2 k=n-1 Rozkład χ 2

26 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARIANCJI Przykład: Badano wytrzymałość mechaniczną urządzenia dokonując n=4 niezależnych pomiarów wytrzymałości i otrzymano następujące wyniki ( w kg/cm 2 ) : 120; 102; 135; 115. Przyjmując współczynnik ufności 1-α=0,96 zbudować przedział ufności dla wariancji σ 2. Z danych mamy: (n-1)s 2 =558; z rozkładu χ 2 EXCEL, ROZKŁAD.CHI.ODW Dla 1-α/2, k=3 oraz dla α/2, k=3 mamy c 1 =0,185 oraz c 2 =9,837 stąd: 558/9,837 < σ 2 < 558/ 0,185 Lub: 56,7 < σ 2 < 3016 (kg/cm 2 ) 2