będzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2

Transkrypt

1 Zadae. eh K będze próbką prostą z rozkładu ormalego ( μ σ ) zaś: ( ) S gdze:. Iteresuje as względy błąd estymaj: σ R S. σ rzy wartość ozekwaa E R jest rówa ( ) (A).8 (B).9 (C). (D). (E).

2 Zadae. eh K K będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze wykładzym z wartośą ozekwaą rówą. eh będze zmeą losową o rozkładze ujemym dwumaowym b e e e e ezależą od zmeyh K K. eh m K M Wyzaz EM. ( ) dla K { } gdy > gdy (A) e (B) e e (C) e e (D) e (E) ( e )

3 Zadae 3. W ure zajduje sę 4 kul z któryh jest bałyh zaryh. Losujemy bez zwraaa ajperw 3 kul a astępe z pozostałyh kul w ure losujemy bez zwraaa 8 kul. eh S ozaza lzbę kul bałyh w perwszym losowau a S lzbę kul bałyh w drugm losowau. Oblz Cov S S ). (A) ( (B) (C) (D) (E)

4 Zadae 4. Losujemy ze zwraaem po jedej kare do gry z tal kart tak długo aż wylosujemy pka. eh Y ozaza zmeą losową rówą lzbe wyągętyh kart a zmeą losową rówą lzbe kart w któryh uzyskalśmy karo. Oblz E( Y 4). (A) (B) 9 (C) (D) 6 (E) 7 4

5 Zadae. Załóżmy że są ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze wykładzym K K E. eh T dla. eh Y będze zmeą losową ezależą od zmeyh o rozkładze gamma o gęstoś T K K K ( ) > exp ) ( x gdy x gdy x x x p gdze > jest ustaloą lzbą. eh { } Y T : max. odaj rozkład prawdopodobeństwa zmeej. (A) ( ) ( ) dla K (B) ( ) ( ) dla K (C) ( ) ( ) dla K (D) ( )! exp dla K (E) ( )! exp dla K

6 Zadae 6. eh K gdze > będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze o gęstoś 4 4 p ( ) gdy x > x x gdy x gdze > jest ezaym parametrem. Rozważamy dwa estymatory parametru posta T a m{ K } T b gdze oraz a b są dobrae tak aby estymatory były eobążoe. Wyzaz różę ryzyk estymatorów zyl R E T E T. ( ) ( ) (A) (B) (C) (D) (E) ( ) ( ) 9( ) 4( ) ( ) 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6

7 Zadae 7. eh będze pojedyzą obserwają z rozkładu o gęstoś ( θ x ) gdy x [ θ θ ] p ( ) θ x θ gdy x [ θ θ ] gdze θ > jest ezaym parametrem. Weryfkujemy hpotezę H : θ θ przy alteratywe H : θ θ za pomoą testu opartego a loraze warogodoś a pozome stotoś.. Mo tego testu przy alteratywe θ 4θ jest rówa (A).8 (B).74 (C).6 (D).4 (E).37 7

8 Zadae 8. eh K gdze > będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze Webulla o gęstoś θx θxe gdy x > fθ ( x) gdy x gdze θ > jest ezaym parametrem. Zakładamy że parametr θ ma rozkład a pror o gęstoś α α θ exp( θ ) gdy θ > p ( θ ) Γ( α). gdy θ Wyzaz estymator bayesowsk θˆ parametru θ przy fukj straty Esshera rówej ˆ θ L θ θ e θ ˆ θ gdze jest ustaloą lzbą. ( ) ( ) (A) (B) (C) (D) (E) α α α α α 8

9 Zadae 9. Zmee losowe U V są ezależe mają rozkłady jedostaje a przedzale (). eh max{ U V} Y m{ U V}. Wtedy prawdzwe jest astępująe stwerdzee (A) Cov ( Y ) (B) ( Y < 4). (C) ( Y ). 7 (D) ( Y ). (E) Cov ( Y ) 9 9

10 Zadae. Obserwujemy ezależe zmee losowe 3 4 Y Y Y3 Y4 3 4 F μ Y Y Y3 Y4 Y μ Zmee losowe mają te sam rozkład o dystrybuae a zmee losowe waruek Y. mają te sam rozkład o dystrybuae F. Dystrybuata F speła F ( x) F( x μ) μ dla pewej ustaloej ezaej ągłej śśle rosąej dystrybuaty F. Weryfkujemy hpotezę H : μ μ przy alteratywe H : μ μ stosują test o obszarze krytyzym K { S : S 3 S 7} gdze S jest sumą rag zmeyh losowyh 3 4 w próbe złożoej ze wszystkh obserwaj ustawoyh w ąg rosąy. Wyzaz rozmar testu. μ (A) (B) (C) (D) (E)

11 Egzam dla Aktuaruszy z 3 gruda 7 r. rawdopodobeństwo statystyka Arkusz odpowedz * Imę azwsko :...K L U C Z O D O W I E D Z I... esel... Zadae r Odpowedź uktaja B A 3 C 4 A A 6 C 7 C 8 B 9 E B * Oeae są wyłąze odpowedz umeszzoe w Arkuszu odpowedz. Wypeła Komsja Egzamayja.