ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.

Transkrypt

1 Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie poszukiwanych liczb z u yciem jednej zmiennej: x, x, x. Zapisanie sumy kwadratów poszukiwanych liczb: S x x ( x) S x x y lub Zapisanie sumy kwadratów szukanych liczb jako funkcji jednej zmiennej: S( x) x x gdy x 0,. Obliczenie argumentu, dla którego funkcja S przyjmuje warto najmniejsz : xw. i x w 0, wi c funkcja S osi ga najmniejsz warto dla x.. Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to :,,. Liczba punktów Uwagi Zdaj cy nie musi wyznaczy dziedziny funkcji, o ile przeprowadzi rozwi zanie do ko ca i otrzyma trzy dodatnie liczby.

2 . Sporz dzenie wykresu funkcji g. f g y x Zapisanie podstawy a lub wzoru funkcji f:. Zapisanie wzoru funkcji g: g x x a lub f x x... Podanie wszystkich argumentów, dla których g x 0 :, x.

3 Wykorzystanie definicji rozwi zania równania lub twierdzenia o pierwiastkach wielomianu i zapisanie równania z niewiadom m: m m 0. Obliczenie wszystkich warto ci m, dla których liczba jest rozwi zaniem równania (pierwiastkiem wielomianu): m 0 lub m. Uzasadnienie, e dla m 0 równanie ma tylko jedno rozwi zanie x (wielomian ma tylko jeden pierwiastek), np. dla m 0 równanie ma posta x x x x 0, a trójmian x x nie ma pierwiastków. Uzasadnienie, e dla m równanie ma wi cej ni jedno rozwi zanie (wielomian ma wi cej ni jeden pierwiastek), np. dla m równanie ma posta x x 0, co oznacza, e liczba II sposób rozwi zania: czynno.,. te jest jego rozwi zaniem. Zapisanie równania w postaci iloczynu, np. x x bx c mno enia x b x c b x c 0. 0 i wykonanie Zastosowanie twierdzenia o równo ci wielomianów do zapisania uk adu warunków: c, b m i b m oraz rozwi zanie równania m m : m 0 lub m. III sposób rozwi zania: czynno.,. Wykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wielomianu i wykonanie dzielenia wielomianu W przez dwumian x : x x x m x m m m m W, Skorzystanie z twierdzenia o reszcie i obliczenie m: m m 0 st d m 0 lub m.

4 ..... Wykorzystanie w analizie zadania w asno ci: promie okr gu jest prostopad y do stycznej w punkcie styczno ci. Wyznaczenie równania prostej przechodz cej przez punkt B i prostopad ej do prostej o równaniu y x 9 : y x. Wyznaczenie równania prostej przechodz cej przez punkt A i prostopad ej do prostej o równaniu y x : y x. Obliczenie wspó rz dnych punktu przeci cia prostych y x i y x, S,. który jest rodkiem okr gu stycznego do danych prostych: Obliczenie promienia szukanego okr gu: r SA SB. Je li zdaj cy nie zapisa w punkcie. w asno ci: promie okr gu jest prostopad y do stycznej w punkcie styczno ci, ale z niej skorzysta w rozwi zaniu, to przyznajemy punkt w czynno ci..

5 II sposób rozwi zania: B 0 9 y W. P S A Wykorzystanie w asno ci rodek okr gu le y na symetralnej odcinka AB. Obliczenie wspó rz dnych punktów W przeci cia si danych prostych oraz P rodka odcinka AB:, P,. W, Wyznaczenie równania prostej przechodz cej przez punkty W oraz P (symetralnej odcinka AB): y x. Wyznaczenie równania prostej przechodz cej przez punkt B i prostopad ej do prostej, na której le y ten punkt (lub prostej przechodz cej przez punkt A i prostopad ej do prostej, na której le y ten punkt): y x lub y x. S.. Obliczenie wspó rz dnych rodka okr gu:,. Obliczenie promienia okr gu: r SA SB. x

6 . III sposób rozwi zania B 0 9 y W P S A x Obliczenie wspó rz dnych punktu W i obliczenie d ugo ci odcinków AW i BW: W,, AW BW (trójk t AWB jest równoramienny). Obliczenie wspó rz dnych punktu P ( rodka odcinka AB) oraz d ugo ci odcinków BP P,, BP, PW 9. i PW:. Stwierdzenie podobie stwa trójk tów BWP i BSP. BS BW. Zapisanie proporcji. BP PW. Obliczenie promienia okr gu: r AS BS.

7 . Zapisanie wzoru funkcji f w postaci : f x. Sporz dzenie wykresu funkcji f : 9 x x y dla x dla x. x Je li zdaj cy od razu poprawnie naszkicuje wykres funkcji f, to przyznajemy punkty w czynno ci. oraz f x m. Podanie liczby rozwi za równania : zero rozwi za dla m, jedno rozwi zanie dla m, dwa rozwi zania dla m.. Wprowadzenie oznacze, np.: x liczba kupionych koszulek, y cena koszulki oraz zapisanie równania: x y 0.. Zapisanie równania: ( x )( y ) 0.. Zapisanie równania kwadratowego w zale no ci od jednej niewiadomej, np. x x 00 0 lub y y 0.. Rozwi zanie równania kwadratowego x 0 lub x ( y lub y ) i wybór w a ciwego rozwi zania, spe niaj cego warunki zadania.. Podanie odpowiedzi: x 0, y.

8 . Obliczenie d ugo ci przek tnej BD (le cej naprzeciw k ta DAB): BD... Obliczenie miary k ta C le cego naprzeciw k ta A (wykorzystanie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa lub twierdzenia kosinusów): BCD 90. Zapisanie pola P czworok ta ABCD jako sumy pól dwóch trójk tów, np.: P P P. ABCD ABD BCD. Obliczenie pola czworok ta ABCD: P. C h. w B D 0 E A a Zaznaczenie na rysunku kata 0 k ta nachylenia p aszczyzny przekroju do p aszczyzny podstawy graniastos upa. Przyj cie oznacze, np.: a d ugo kraw dzi podstawy graniastos upa, w wysoko trójk ta ABC, b d cego rozwa anym przekrojem graniastos upa, h wysoko graniastos upa.

9 9. Wyznaczenie wysoko ci w z trójk ta prostok tnego CDE: trójk ta CDE w DE st d w a. a DE i z w asno ci. Obliczenie d ugo ci kraw dzi podstawy graniastos upa: AB a, a.. Obliczenie wysoko ci h graniastos upa: h.. Obliczenie obj to ci V graniastos upa: V. 9. Przyj cie metody prowadz cej do wyznaczenia zale no ci mi dzy bokami AB i BC trójk ta ABC (np. zapisanie pola trójk ta ABC na dwa sposoby lub zapisanie, e ADB CEB ). 9. Wyznaczenie zale no ci mi dzy bokami AB i BC trójk t ABC: AB a, AC BC a lub BC AB. 9. Obliczenie kosinusa k ta ABC, np. z trójk ta CEB: 9. Wyznaczenie BD z trójk ta ADB: CD AB. 9. Obliczenie kosinusa k ta BCA z trójk ta ADC: cos ABC cos CAB. BD cos ABD AB st d BD AB oraz, CD cos BCA. AC II sposób rozwi zania: (czynno ci 0., 0.) Zapisanie d ugo ci boków trójk ta ABC w zale no ci od jednej zmiennej, np.: AB a, AC BC a. Zdaj cy nie musi zapisywa podwójnej równo ci. Wystarczy, e oznaczy t sam liter k ty przy podstawie trójk ta Obliczenie z tw. Pitagorasa w trójk cie ACE wysoko ci CE: a AD CE. a CE, oraz

10 0 AD 9. Obliczenie sinusa k ta DCA z trójk ta ADC: sin DCA. AC 9. III sposób rozwi zania: (czynno ci 0., 0.) Przedstawienie metody pozwalaj cej obliczy kosinus k ta przy wierzcho ku C : np. z trójk ta prostok tnego ADC : cos DC DC DB DB DB DCA AC DB DC DB DC oraz wyznaczenie BD z trójk ta ADB: BD AB. 9. Obliczenie kosinusa k ta DCA : 9. IV sposób rozwi zania: (czynno ci 0., 0.) Zastosowanie twierdzenia kosinusów i zapisanie, e AB AC BC AC BC cos BCA a a a a a cos BCA. cos DCA. 9. Obliczenie kosinusa k ta BCA: cos BCA. 0. Wyznaczenie wyrazu an : n 0. Obliczenie ilorazu ci gu a n : a n S q lub q. 00 log log log... log. 0. Zapisanie sumy logarytmów: Zapisanie sumy logarytmów w postaci: S log log. (...99) 0 ( 99) Obliczenie sumy stu pocz tkowych wyrazów ci gu: S Je li zdaj cy od razu poda prawid owo iloraz ci gu to otrzymuje równie punkt w czynno ci 0. 0

11 . Obliczenie mocy zbioru zdarze elementarnych:.. Obliczenie liczby zdarze elementarnych sprzyjaj cych zdarzeniu A:. Obliczenie prawdopodobie stw zdarzenia A:.. A. P A, Stwierdzenie, e suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek b dzie podzielna przez trzy wtedy, gdy ka da z wyrzuconych liczb b dzie podzielna przez trzy albo gdy adna z nich nie jest podzielnych przez trzy. Obliczenie liczby zdarze elementarnych sprzyjaj cych zdarzeniu B : i prawdopodobie stwa tego zdarzenia B: P B. B Akceptujemy wynik w postaci u amka skracalnego albo przybli ony, o ile tylko rozwi zanie zdaj cego wskazuje na poprawne obliczenie liczby B i poprawne zastosowanie definicji prawdopodobie stwa.