Stereometria (geometria przestrzenna)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Stereometria (geometria przestrzenna)"

Transkrypt

1 Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy sobie wzajemne poªo»enie prostych i pªaszczyzn w przestrzeni. Dwie proste w przestrzeni s równolegªe, je±li zawieraj si w jednej pªaszczy¹nie i nie maj punktów wspólnych lub pokrywaj si. Dwie proste s sko±ne, je±li nie istnieje pªaszczyzna zawieraj ca obie proste. Proste k i l s prostopadªe w przestrzeni gdy prosta k jest prostopadªa do prostej k', równolegªej do l i przecinaj cej k. Proste równolegªe Proste przecinaj ce si Proste sko±ne Proste prostopadªe Wzajemne poªo»enie prostej i pªaszczyzny w przestrzeni Prosta jest równolegªa do pªaszczyzny, je»eli nie ma z ni punktów wspólnych lub le»y na niej. Je»eli prosta nie jest równolegªa do pªaszczyzny, wówczas prosta przecina pªaszczyzn w punkcie. Prosta jest prostopadªa do pªaszczyzny, je»eli jest prostopadªa do ka»dej prostej zawartej w tej pªaszczy¹nie. K t pomi dzy prost i pªaszczyzn Je±li prosta nie jest ani równolegªa ani prostopadªa do pªaszczyzny, to k tem nachylenia prostej do pªaszczyzny nazywamy k t ostry pomi dzy prost i jej rzutem prostok tnym na pªaszczyzn. Twierdzenie o 3 prostych prostopadªych Niech k b dzie prost, która nie jest równolegªa i nie jest prostopadªa do pªaszczyzny, a l prost zawieraj c si w pªaszczy¹nie i przechodz c przez punkt wspólny prostej k i pªaszczyzny. Prosta l jest prostopadªa do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy l jest prostopadªa do rzutu k prostej k na pªaszczyzn. Prosta prostopadªa do pªaszczyzny K t pomi dzy prost i pªaszczyzn 1

2 Prosta le» ca na pªaszczy¹nie prostopadªa do prostej przecinaj cej pªaszczyzn Pªaszczyzny w przestrzeni Pªaszczyzn w przestrzeni jednoznacznie wyznaczaj : 3 niewspóªliniowe punkty 2 przecinaj ce si proste Prosta i punkt poza ni 2 ró»ne proste równolegªe Pªaszczyzny nazywamy równolegªymi, je»eli nie maj punktów wspólnych lub pokrywaj si. Pªaszczyzny, które nie s równolegªe przecinaj si. Cz ±ci wspóln dwóch przecinaj cych si pªaszczyzn jest prosta. Dwie pªaszczyzny nazywamy prostopadªymi, je»eli istnieje taka prosta, która zawiera si w jednej z tych pªaszczyzn i jest prostopadªa do drugiej pªaszczyzny. Dwie pªaszczyzny przecinaj si wzdªu» prostej Pªaszczyzny prostopadªe K t dwu±cienny, k t liniowy K tem dwu±ciennym nazywamy zbiór zªo»ony z dwóch póªpªaszczyzn o wspólnej kraw dzi i jednej z dwóch gur wyci tych z przestrzeni przez sum tych póªpªaszczyzn. K tem liniowym k ta dwu±ciennego nazywamy k t pªaski otrzymany w wyniku przeci cia k ta dwu±ciennego pªaszczyzn prostopadª do jego kraw dzi. Miar k ta dwu±ciennego nazywamy miar jego k ta liniowego. Rzut równolegªy Je»eli mamy w przestrzeni dan pªaszczyzn zwan rzutni i prost k, która przecina pªaszczyzn π i której kierunek nazywamy kierunkiem rzutowania, wówczas rzutem równolegªym na pªaszczyzn dowolnego punktu A nazywamy punkt A przeci cia prostej przechodz cej przez punkt A, równolegªej do prostej k z pªaszczyzn π. Wªa±ciwo±ci rzutu równolegªego Rzut równolegªy nie zachowuje odlegªo±ci punktów (nie jest izometr ). Twierdzenie 2 Rzutem równolegªym odcinka równolegªego do rzutni jest odcinek równy i równolegªy do danego. Twierdzenie 3 Rzut równolegªy zachowuje uporz dkowanie punktów na prostej nierównolegªej do kierunku rzutowania. Twierdzenie 4 Rzut równolegªy zachowuje stosunki odcinków na prostej nierównolegªej do kierunku rzutowania. Twierdzenie 5 Rzut równolegªy zachowuje równolegªo± i stosunki odcinków do siebie równolegªych (ale nierównolegªych do kierunku rzutowania). Rzut prostok tny 2

3 Rzut prostok tny jest szczególnym przypadkiem rzutu równolegªego na prost, w którym kierunek rzutowania jest prostopadªy do rzutni. Odlegªo± punktu od pªaszczyzny Odlegªo± punktu od pªaszczyzny jest równa odlegªo±ci punktu od rzutu prostok tnego na pªaszczyzn. K t dwu±cienny Odlegªo± punktu od pªaszczyzny A - rzut prostok tny punktu A na pªaszczyzn. d = AA - odlegªo± punktu A od pªaszczyzny. Figury przestrzenne (bryªy) ograniczone i nieograniczone Figur nazywamy przestrzenn (bryª ), je»eli nie zawiera si w»adnej pªaszczy¹nie. Figur w przestrzeni nazywamy ograniczon, je»eli zawiera si w pewnej kuli. Figur w przestrzeni nazywamy nieograniczon, je»eli nie zawiera si w»adnej kuli. Wielo±cian. Bryª nazywamy wielo±cianem, je»eli jej brzeg jest sum sko«czonej liczby wielok tów, zwanych ±cianami wielo±cianu, przy czym: Je±li dwa wielok ty zawieraj si w jednej pªaszczy¹nie, to maj co najwy»ej jeden punkt wspólny, Boki ±cian wielo±cianu nazywamy kraw dziami, a wierzchoªki ±cian - wierzchoªkami wielo±cianu. :Twierdzenie Eulera Je±li wielo±cian wypukªy ma w wierzchoªków, k kraw dzi i s ±cian, to: w k + s = 2 Graniastosªup Graniastosªupem nazywamy wielo±cian, którego dwie ±ciany, zwana podstawami, s przystaj cymi wielok tami le» cymi w pªaszczyznach równolegªych, a pozostaªe ±ciany, zwane ±cianami bocznymi, s równolegªobokami, których wszystkie wierzchoªki s jednocze±nie wierzchoªkami podstaw. Graniastosªupy dzielimy na: proste kraw dzie boczne s prostopadªe do podstaw pochyªe kraw dzie boczne nie s prostopadªe do podstaw prawidªowe proste. o podstawach b d cych wielok tami foremnymi równolegªo±ciany podstaw jest równolegªobok, a przeciwlegªe ±ciany s równolegªe prostopadªo±ciany wszystkie ±ciany s prostok tami sze±ciany wszystkie ±ciany s kwadratami Wysoko± graniastosªupa jest to odlegªo± mi dzy podstawami. Przek tna graniastosªupa jest to odcinek ª cz cy dwa wierzchoªki nie le» ce na jednej ±cianie. Ostrosªup. Ostrosªupem nazywamy wielo±cian, którego podstawa jest dowolnym wielok tem, a ±ciany boczne s trójk tami o wspólnym wierzchoªku S, który nazywamy wierzchoªkiem ostrosªupa. Wysoko± ostrosªupa to odlegªo± wierzchoªka od podstawy. Ostrosªupy dzielimy na: proste na podstawie których mo»na opisa okr g, a punkt w którym wysoko± styka si z podstaw, jest jednocze±nie ±rodkiem tego okr gu 3

4 czworo±ciany o podstawie trójk ta prawidªowe kraw dzie boczne s równej dªugo±ci a podstaw jest wielok t foremny K ty w graniastosªupach i ostrosªupach K t nachylenia ±ciany bocznej do podstawy to k t pomi dzy pªaszczyzn zawieraj c ±cian boczn a pªaszczyzn podstawy. K t nachylenia kraw dzi ±ciany bocznej do podstawy to k t pomi dzy t kraw dzi i podstaw. K t nachylenia ±cian bocznych to k t pomi dzy pªaszczyznami tych ±cian. Wielo±cian foremny Wielo±cianem foremnym (bryª plato«sk ) nazywamy wielo±cian wypukªy, którego ±ciany s przystaj cymi wielok tami foremnymi. Od czasów Platona wiadomo,»e istnieje dokªadnie 5 wielo±cianów foremnych: Bryªy obrotowe S to bryªy ograniczone powierzchni powstaª z obrotu gury pªaskiej dookoªa prostej (osi obrotu). Najwa»niejsze bryªy obrotowe to: Walec Jest to bryªa powstaªa w wyniku obrotu prostok ta wokóª jednej z kraw dzi Pole powierzchni bocznej walca: P b = 2πrh Pole powierzchni caªkowitej walca: Obj to± walca: gdzie r promie«podstawy, h wysoko± walca Sto»ek P c = 2πr(r + h) V = πr 2 h 4

5 Jest to bryªa powstaªa w wyniku obrotu trójk ta prostok tnego wokóª przyprostok tnej Pole powierzchni bocznej sto»ka: P b = πrl Pole powierzchni caªkowitej sto»ka: Obj to± sto»ka: P c = πr(r + l) V = 1 3 πr2 h gdzie r promie«podstawy sto»ka h wysoko± sto»ka l tworz ca sto»ka Kula Jest to bryªa powstaªa w wyniku obrotu koªa wokóª jego ±rednicy Pole powierzchni kuli: P = 4πr 2 Obj to± kuli: V = 4 3 πr3 r promie«kuli 5

Stereometria. Zimowe Powtórki Maturalne. 22 lutego 2016 r.

Stereometria. Zimowe Powtórki Maturalne. 22 lutego 2016 r. Stereometria Zimowe Powtórki Maturalne 22 lutego 2016 r. 1. Przek tna sze±cianu o boku 1 ma dªugo± : 1. Przek tna sze±cianu o boku 1 ma dªugo± : 1 1. Przek tna sze±cianu o boku 1 ma dªugo± : 1 2 1. Przek

Bardziej szczegółowo

Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos

Bardziej szczegółowo

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0, XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4

Bardziej szczegółowo

Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006

Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006 Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy

Bardziej szczegółowo

r = x x2 2 + x2 3.

r = x x2 2 + x2 3. Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0

Bardziej szczegółowo

WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0

WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0 WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. W pewnym sonda»u partia A uzyskaªa o 8 punktów procentowych wi ksze poparcie ni» partia B. Wiadomo,»e liczba gªosów oddanych w sonda»u

Bardziej szczegółowo

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +

Bardziej szczegółowo

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne 1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie 7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,

Bardziej szczegółowo

Co i czym mo»na skonstruowa

Co i czym mo»na skonstruowa Co i czym mo»na skonstruowa Jarosªaw Kosiorek 5 maja 016 Co mo»na skonstruowa? Maj c dany odcinek dªugo±ci 1 mo»na skonstruowa : 1. odcinek dªugo±ci równej dowolnej liczbie wymiernej dodatniej;. odcinek

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)

Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D) W ka dym z zada.-24. wybierz i zaznacz jedn poprawn odpowied. Zadanie. (0- pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% Zadanie 2. (0- pkt) Wyra enie

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

Dynamika Bryªy Sztywnej

Dynamika Bryªy Sztywnej Dynamika Bryªy Sztywnej Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków, 27.10.2016 Podstawy dynamiki bryªy sztywnej Bryªa sztywna to ukªad cz stek o niezmiennych wzajemnych odlegªo±ciach. Adam Szmagli«ski

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie 2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny sumaryczna liczba punktów (wypeªnia sprawdzaj cy) Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych.

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Geometria przestrzenna. Stereometria

Geometria przestrzenna. Stereometria 1 Geometria przestrzenna. Stereometria 0.1 Graniastos lupy Graniastos lup to wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, s a przystaj cymi wielok atami leż acymi w p laszczyznach równoleg lych,

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie: WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D

Bardziej szczegółowo

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5. Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej.

Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej. Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej. Paulina Michta V Liceum Ogólnoksztaªc ce im. Augusta Witkowskiego w Krakowie Opiekun: dr Jacek Dymel 2 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADA MATURALNYCH 1

ZBIÓR ZADA MATURALNYCH 1 ZBIÓR ZADA MATURALNYCH 1 Zad 1. Wyznacz NW D i NW W podanych liczb: a) x = 24, y = 66 b) x = 132, y = 198. Zad 2. Uzasadnij,»e suma czterech kolejnych liczb naturalnych nie mo»e by liczb pierwsz. Zad 3.

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i sieci 1 / 58

Teoria grafów i sieci 1 / 58 Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Rysunek do zadania testowego

Rys. 1. Rysunek do zadania testowego Test zaliczeniowy Zadanie testowe. Przeanalizuj rysunek 1., przedstawiający odwzorowanie pewnej sytuacji przestrzennej przy pomocy metody Monge a (rzutów prostokątnych na dwie wzajemnie prostopadłe rzutnie

Bardziej szczegółowo

jest wierzchołkiem kąta prostego. Przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu 3 x y + 2 = 0. Oblicz współrzędne punktów A i B.

jest wierzchołkiem kąta prostego. Przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu 3 x y + 2 = 0. Oblicz współrzędne punktów A i B. Zadanie PP-GA-1. W trójkącie równoramiennym prostokątnym punkt C = ( 3, 1) jest wierzchołkiem kąta prostego. Przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu 3 x y + 2 = 0. Oblicz współrzędne punktów

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na. Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B.

Bardziej szczegółowo

2 Statyka. F sin α + R B = 1 1 n ( 1. Rys. 1. mg 2

2 Statyka. F sin α + R B = 1 1 n ( 1. Rys. 1. mg 2 1 Moment p du Zad. 1.1 Cz stka o masie m = 5 kg znajduj c si w poªo»eniu r = 3i + j + k [m] ma pr dko± v = i [m/s]. Obliczy wektor momentu p du L cz stki wzgl dem pocz tku ukªadu wspóªprzednych, wzgl dm

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. 2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 (Wydziaª Architektury) Lista 1: Funkcje dwóch zmiennych

Matematyka 2 (Wydziaª Architektury) Lista 1: Funkcje dwóch zmiennych Matematka 2 (Wdziaª Architektur) Lista : Funkcje dwóch zmiennch I Wznacz i narsowa dziedzin funkcji:. z = 3 2 5 2. z = sin(2 + 2 ) 2 + 2 3. z = arcsin(2 + 2 ) 2 + 2 4. z = 5. z = ln 2 2 + 2 4 2 ( ) 2 +

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 z y 0 x Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 2018 1 1 Projekt trzynasty

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj

Bardziej szczegółowo

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

pobrano z  (A1) Czas GRUDZIE EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,

Bardziej szczegółowo

*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów

*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów *** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za

Bardziej szczegółowo

Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny

Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny Instytut Informatyki i Automatyki Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Informatyki i Przedsi biorczo±ci w Šom»y 2 0 0 9 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Przeksztaªcenia pªaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni

Bardziej szczegółowo

Kinematyka 2/15. Andrzej Kapanowski ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A. Kapanowski Kinematyka

Kinematyka 2/15. Andrzej Kapanowski   ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A. Kapanowski Kinematyka Kinematyka 2/15 Andrzej Kapanowski http://users.uj.edu.pl/ ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków 2018 Podstawowe poj cia Kinematyka jest cz ±ci mechaniki, która zajmuje si opisem

Bardziej szczegółowo

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. Podstawa programowa:

SCENARIUSZ LEKCJI. Podstawa programowa: SCENARIUSZ LEKCJI 1. Informacje wstępne: Szkoła : Publiczne Gimnazjum nr 6 w Opolu Data : Klasa : I A Czas trwania zajęć : 90 minut Nauczany przedmiot: matematyka. Program nauczania: Matematyka z plusem.

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest w stanie zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010 WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna

Bardziej szczegółowo

1 Trochoidalny selektor elektronów

1 Trochoidalny selektor elektronów 1 Trochoidalny selektor elektronów W trochoidalnym selektorze elektronów TEM (Trochoidal Electron Monochromator) stosuje si skrzy»owane i jednorodne pola: elektryczne i magnetyczne. Jako pierwsi taki ukªad

Bardziej szczegółowo

NUMER IDENTYFIKATORA:

NUMER IDENTYFIKATORA: Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Dział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne. Wielokąty i okręgi

Dział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne. Wielokąty i okręgi Dział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne Wielokąty i okręgi zna twierdzenie Pitagorasa rozumie potrzebę stosowania twierdzenia Pitagorasa umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium

AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy PROSERWY 2009 Zadania matematyczne

Obóz Naukowy PROSERWY 2009 Zadania matematyczne I Liceum Ogólnoksztaªc ce w Biaªymstoku Podlaskie Stowarzyszenie na Rzecz Uzdolnionych Obóz Naukowy PROSERWY 2009 Zadania matematyczne Kadra obozu: Aleksandra Baranowska Iwona Bujnowska Joachim Jelisiejew

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES I. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie notacji wykładniczej. 2. Zna sposób

Bardziej szczegółowo

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 1 Działania na wektorach bez układu współrzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie

Bardziej szczegółowo

Biedronka. Wej±cie. Wyj±cie. Przykªady. VI OIG Zawody dru»ynowe, Finaª. 19 V 2012 Dost pna pami : 64 MB.

Biedronka. Wej±cie. Wyj±cie. Przykªady. VI OIG Zawody dru»ynowe, Finaª. 19 V 2012 Dost pna pami : 64 MB. Biedronka Pªot ma D cm dªugo±ci i zbudowany jest z desek zako«czonych trójk tami równoramiennymi, poª czonych ze sob w jedn caªo±. Dªugo± ramienia ka»dego z trójk tów stanowi P % dªugo±ci podstawy. Po

Bardziej szczegółowo

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska Andrzej Jastrz bski Akademia ET I Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 13 Teoria stereometria

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 13 Teoria stereometria 1 GRANIASTOSŁUPY i OSTROSŁUPY wiadomości ogólne Aby tworzyć wzory na OBJĘTOŚĆ i POLE CAŁKOWITE graniastosłupów musimy znać pola figur płaskich a następnie na ich bazie stosować się do zasady: Objętość

Bardziej szczegółowo

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt):

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2014/2015 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wyznaczyć ich położenie w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić,

Bardziej szczegółowo

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a

Bardziej szczegółowo

Wektor. Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D).

Wektor. Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D). Wektor Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D). Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, 10.10.2015 1 / 13 Wektor Uporz dkowany

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja 1 A. Strojnowski 1. 1 Wprowadzenie. Zagadnienie diety. Zagadnienie transportowe:

Optymalizacja 1 A. Strojnowski 1. 1 Wprowadzenie. Zagadnienie diety. Zagadnienie transportowe: Optymalizacja 1 A Strojnowski 1 1 Wprowadzenie Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przykªadów zada«optymalizacji liniowej Zagadnienie diety Jak wymiesza pszenic, soj i m czk rybna

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD I KONSTRUKCJE PODSTAWOWE RZUT RÓWNOLEGŁY RZUT PROSTOKĄTNY AKSONOMETRIA. AdamŚwięcicki

WYKŁAD I KONSTRUKCJE PODSTAWOWE RZUT RÓWNOLEGŁY RZUT PROSTOKĄTNY AKSONOMETRIA. AdamŚwięcicki WYKŁAD I KONSTRUKCJE PODSTAWOWE RZUT RÓWNOLEGŁY RZUT PROSTOKĄTNY AKSONOMETRIA AdamŚwięcicki KONSTRUKCJA PROSTEJ PRZECHODZĄCEJ PRZEZ DWA PUNKTY a B B A A KONSTRUKCJA ODCINKA B B A A wariant I KONSTRUKCJA

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI pobrano z www.sqlmedia.pl ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas

Bardziej szczegółowo

1. H.S.M. Coxeter Wst p do geometrii dawnej i nowej. 2. R.Courant, H. Robbins Co to jest matematyka.

1. H.S.M. Coxeter Wst p do geometrii dawnej i nowej. 2. R.Courant, H. Robbins Co to jest matematyka. Literatura: 1. H.S.M. Coxeter Wst p do geometrii dawnej i nowej. 2. R.Courant, H. Robbins Co to jest matematyka. 3. M. Kordos, L.W. Szczerba Geometria dla nauczycieli. 4. M. Stark Geometria analityczna.

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału klasa 1BW

Rozkład materiału klasa 1BW Rozkład materiału klasa BW wg podręcznika Matematyka kl. wyd. Nowa Era 2h x 38 tyg. = 76h lekcyjnych LICZBYRZECZYWISTE (7 godz.). Zapoznanie z programem nauczania, wymaganiami edukacyjnymi, zasadami BHP

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

KOD UCZNIA PESEL EGZAMIN. jedna. zadaniach. 5. W niektórych. Czas pracy: do. 135 minut T N. miejsce. Powodzeni GM-M7-132. z kodem. egzaminu.

KOD UCZNIA PESEL EGZAMIN. jedna. zadaniach. 5. W niektórych. Czas pracy: do. 135 minut T N. miejsce. Powodzeni GM-M7-132. z kodem. egzaminu. Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2011 UZUPE NIA ZESPÓ NADZORUJ CY KOD UCZNIA PESEL miejsce na naklejk z kodem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-061 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez

Bardziej szczegółowo

sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),

sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]), WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa

Bardziej szczegółowo

Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. PESEL

Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. PESEL Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 0 KOD UCZNIA UZUPE NIA ZESPÓ NADZORUJ CY PESEL miejsce na naklejk z kodem

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Styczeń 2013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. W zadaniach od 1. do 25. są

Bardziej szczegółowo