Analiza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki

Transkrypt

1 Aaliza matematycza 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 1 Idukcja matematycza Przykªad 1. Pewego popoªudia Kubu± Puchatek kupiª pust beczk, która mie±ci 20 sªoików miodu, i wlaª do iej wszystkie swoje zapasy. Co dzie«rao Prosiaczek przyosi Kubusiowi owy sªoik miodu, który Kubu± dolewa do beczki (a sªoik oddaje Prosiaczkowi). Co dzie«wieczorem Kubu± zjada 5% zawarto±ci beczki. Popoªudiami Mi± o Bardzo Maªym Rozumku zastaawia si, czy kiedy± zabrakie mu miejsca w beczce. Czy umiesz mu pomóc? Rozwi zaie. W chwili, gdy Kubu± kupiª beczk, miejsca ie brakowaªo. Je±li którego± popªudia beczka ie jest przepeªioa i zawiera x sªoików miodu (x 20), to w ocy jest tam 95 x 100 sªoików, a ast pego popoªudia 95 x 1 sªoików. Skoro x 20, to x = 19 1 = 20, 100 czyli po upªywie jedego dia beczka rówie» ie jest przepeªioa. A wi c beczka wystarczy a Kubusiowe potrzeby. Zastosoway powy»ej argumet osi azw idukcji matematyczej. W skrócie: je±li pewe twierdzeie: (1) jest prawdziwe pewego dia; oraz (2) jest prawdziwe jutro, je±li jest prawdziwe dzisiaj; to automatyczie jest prawdziwe zawsze (od owego pocz tkowego dia). Gdy poumerujemy di liczbami aturalymi, otrzymamy ast puj ce zupeªie ±cisªe sformu- ªowaie. Zasada idukcji matematyczej. Je±li pewe twierdzeie jest prawdziwe dla pewej (kokretej) liczby aturalej k, oraz dla dowolego k z prawdziwo±ci twierdzeia dla liczby wyika jego prawdziwo± dla liczby 1, to twierdzeie jest prawdziwe dla wszystkich liczb aturalych ie miejszych od k. Zasad idukcji matematyczej zwykle uzaje si za aksjomat (czyli zdaie prawdziwe, którego si ie dowodzi) w teorii liczb aturalych. Przedstawimy teraz kilka wa»ych zastosowa«. Przykªad 2 (Wie»e z Haoi). Trzy pioowe pr ty s przytwierdzoe do podªo»a. Na lewy aªo»oe jest jede a drugim osiem kr»ków o coraz miejszych ±redicach. Zadaie polega a przeiesieiu wszystkich kr»ków a prawy pr t przy zachowaiu dwóch zasad: (1) w jedym ruchu wolo przeie± tylko jede kr»ek; oraz (2) wi kszy kr»ek ie mo»e zale¹ si a miejszym. Ile ruchów jest potrzebych do przeiesieia caªej wie»y? Uwaga. Powy»sza ªamigªówka zostaªa sformuªowaa przez fracuskiego matematyka Edouarda Lucasa w 1883 roku. Za Matematyk kokret : Lucas ubarwiª swoje zadaie leged o zaczie wy»szej Wie»y Brahmy, która miaªa mie 4 kr»ki z czystego zªota spoczywaj ce a 3 diametowych igªach. U zaraia czasu Bóg umie±ciª te zªote kr»ki a pierwszej z igieª i poleciª grupie michów, aby przeªo»yli je a igª trzeci zgodie z podaymi reguªami. Misi pracuj bez wytchieia dzie«i oc. Kiedy sko«cz, wie»a rozsypie si i ast pi koiec ±wiata. Miªo±icy Beskidu S deckiego z pewo±ci zetk li si z t ªamigªówk w Schroisku a Niemcowej, gdzie zajduj si drewiae wie»e z Haoi z siedmioma pi trami (do abycia u bazowego!). 1

2 Rozwi zaie. W pewym momecie trzeba przesu ajwi kszy kr»ek wówczas caªa wie»a bez ajwi kszego kr»ka musi spoczywa a trzecim, iewykorzystywaym pr cie. St d ªatwo wywioskowa,»e optymalym rozwi zaiem jest przeiesieie caªej wie»y bez ajwi kszego kr»ka a ±rodkowy pr t; przeiesieie ajwi kszego kr»ka a prawy pr t; przeiesieie wie»y ze ±rodkowego pr ta a prawy. W te sposób zredukowali±my zadaie do przeiesieia wie»y o jede poziom miejszej. Wygl da wi c a to,»e wygodie jest utrudi rozwa»ae zadaie: iech a lewym pr cie spoczywa ie 8, a kr»ków. Ozaczmy ajmiejsz mo»liw liczb ruchów przez h. Zgodie z powy»sz strategi, h 1 = h 1 h = 2h 1 i oczywi±cie h 1 = 1. St d h 2 = 3, h 3 = 7 itd.; ªatwo policzy,»e h 8 = 255. A co z idukcj? Po chwili amysªu mo»a zgadywa,»e h = 2 1. Jak to udowodi? Idukcyjie: h 1 = 1 = 2 1 1, wi c twierdzeie jest prawdziwe dla liczby 1; je±li h = 2 1, to h 1 = 2h 1 = 2 (2 1) 1 = Na mocy zasady idukcji matematyczej twierdzeie jest prawdziwe dla ka»dego 1. W szczególo±ci z powy»szego rozumowaia wyika,»e misi z Brahmy b d musieli wykoa a» = ruchów. Przykªad 3. Dla dowolego 1 zachodzi = Dowód. Twierdzeie jest prawdziwe dla liczby 1, bowiem 1 2 = ( 1) (2 1) Zaªó»my,»e twierdzeie jest prawdziwe dla pewego. Wówczas ( 1) 2 ( 1) (2 1) = ( 1) 2 = 1 ( ) (2 1) ( 1) = 1 (2 2 7 ) ( 1) ( 2) (2 3) =, czyli twierdzeie jest prawdziwe dla liczby 1. To ko«czy dowód a mocy zasady idukcji matematyczej. Przykªad 4 (wzór dwumiaowy Newtoa). Niech a, b b d liczbami rzeczywistymi. Wiadomo,»e (a b) 2 = a 2 2 a b b 2, (a b) 3 = a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3, (a b) 4 = a 4 4 a 3 b a 2 b 2 4 a b 3 b 4,

3 Mo»a zatem przypuszcza,»e ( ) ( (a b) = a 0 1 ) a 1 b ( ) a 2 b 2 2 ( ) ( ) a 3 b 3... a b gdzie ( k) s odpowiedimi wspóªczyikami. Okazuje si,»e tak jest w istocie i poadto ( )! = k k! ( k)!, 0 k. Przypomiamy,»e 0! = 1 oraz ( 1)! = ( 1)! dla 0. Dowód. Dla = 0 twierdzeie jest prawdziwe, bowiem ( ) 0 (a b) 0 = 1 = a 0 b 0, 0 ( ) b, cho mo»a mie w tpliwo±ci, co je±li a = 0, b = 0 lub a b = 0. Zaczijmy wi c od = 1: ( ) ( ) 1 1 (a b) 1 = a b. 0 1 Zaªó»my,»e wzór dwumiaowy Newtoa zachodzi dla pewego. Wówczas: (a b) 1 = (a b) (( ) 0 a ( ) 1 a 1 b ( ) 2 a 2 b 2 ( ) 3 a 3 b 3... ( ) ) b = ( ) 0 a 1 ( ) 1 a b ( ) 2 a 1 b 2 ( ) 3 a 2 b 3... ( ) a b ( ) 0 a b ( ) 1 a 1 b 2 ( ) 2 a 2 b 3... ( ) 1 a b ( ) b 1 = ( ) 0 a 1 (( ( 0) )) 1 a b (( ( 1) )) 2 a 1 b 2... (( ( 1) )) a b ( ) b 1. Wystarczy teraz sprawdzi,»e: ( ) ( ) 1 = 1 =, 0 0 oraz ( ) k 1 ( ) = k ( 1 i teza wyika z zasady idukcji matematyczej. k ( ) = 1 = Uwaga. Krócej wzór dwumiaowy mo»a zapisa ast puj co: ( ) (a b) = a k b k, k ( ) 1, 1 ), 1 k, (1) k=0 o ile zgodzimy si wyj tkowo przyj,»e 0 0 = 1. wiczeie 1. Zapisa dowód wzoru dwumiaowego korzystaj c z otacji. wiczeie 2. Uzasadi wzór (1). wiczeie 3. Wywioskowa ze wzoru dwumiaowego,»e: ( ) ( ) ( ) ( )... = 2 ; ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( )... ( 1) = 0;

4 Przykªad 5. Dla dowolego 1, ostatia cyfra zapisu dziesi tego liczby 15 ( 9) to. Dowód. Dla = 1 rozwa»aa liczba to, ok. Zaªó»my,»e 15 ( 9) ko«czy si szóstk. Wyliczamy: 15 1 ( 9) 1 = ( 9) = (15 ( 9) ) ( 9) = (15 ( 9) ) ( 9), a wi c liczba 15 1 ( 9) 1 ma t sam ostati cyfr, co 15 ( 9). Teza wyika z zasady idukcji matematyczej. 2 Liczby rzeczywiste Liczby aturale (caªkowite dodatie, oz. N), caªkowite (oz. Z) i wymiere (oz. Q) s stosukowo proste w opisie i do± ªatwo je skostruowa (b dzie to by mo»e zrobioe a kursie Logika i struktury formale). Zakªadamy,»e czytelik za podstawowe fakty z teorii liczb. Liczby rzeczywiste (oz. R) to du»o bardziej skomplikoway zbiór. Zwykle wyobra»a si,»e R to o± liczbowa z zazaczoymi puktami 0 i 1. Jest to bardzo dobra ituicja, ale a formal deicj si ie adaje. S dwa podej±cia: kostruktywe (p. kostrukcja Dedekida) i aksjomatycze (p. to przedstawioe poi»ej). Zaim omówimy podstawowe wªaso±ci liczb rzeczywistych, podkre±lmy,»e ich formalie poprawa kostrukcja powstaªa dopiero w XX w., atomiast poprawie posªugiwao si tym poj ciem co ajmiej kilkadziesi t lat wcze±iej. Wiosek: dobre ituicje s w matematyce co ajmiej rówie wa»e, co formale dowody. Przede wszystkim w zbiorze liczb rzeczywistych mo»a wykoywa dodawaie. W zbiorze R jest wyró»ioa liczba 0. Dodawaie ma ast puj ce wªaso±ci: dla wszystkich a, b, c : (a b) c = a (b c) (ª czo± ), (2) dla wszystkich a, b : a b = b a (przemieo± ), (3) dla wszystkich a : a 0 = a, (4) dla ka»dego a istieje b takie,»e : a b = 0. (5) W zbiorze liczb rzeczywistych mo»a rówie» mo»y. Wyró»ioa jest liczba 1, ró»a od 0. Mo»eie ma ast puj ce wªaso±ci: dla wszystkich a, b, c : (a b) c = a (b c) (ª czo± ), () dla wszystkich a, b : a b = b a (przemieo± ), (7) dla wszystkich a : a 1 = a, (8) dla ka»dego a 0 istieje b takie,»e : a b = 1. (9) Zachodzi prawo rozdzielo±ci: dla wszystkich a, b, c : (a b) c = a c b c. (10) Poadto liczby rzeczywiste uporz dkowae s przez relacj bycia miejszym, która ma ast puj ce wªaso±ci: dla wszystkich a, b : a = b lub a < b lub b < a, (11) dla wszystkich a, b : je±li a < b, to ieprawda,»e b < a, (12) dla wszystkich a, b, c : je±li a < b oraz b < c, to a < c, (13) dla wszystkich a, b, c : je±li a < b, to a c < b c, (14) dla wszystkich a, b, c : je±li a < b oraz 0 < c, to a c < b c. (15) 4

5 Wreszcie ostatia wªaso±, azywaa zasad ci gªo±ci ka»dy iepusty i ograiczoy z góry zbiór liczb rzeczywistych ma kres góry; ka»dy iepusty i ograiczoy z doªu zbiór liczb rzeczywistych ma kres doly. (1) Wyja±ieie: zbiór A azywamy ograiczoym z góry, je±li istieje liczba m taka,»e a m dla wszystkich a A; liczb m azywamy ograiczeiem górym. Kres góry zbioru A to ajmiejsze z ograicze«górych (o ile ajmiejsza taka liczba istieje). Aalogiczie okre±la si poj cie zbioru ograiczoego z doªu i kresu dolego. Zbiór azywamy ograiczoym, je±li jest ograiczoy z doªu i z góry. Kres góry zbioru A ozaczamy przez sup A, a kres doly przez if A. Gdy A jest ieograiczoy z góry, to zapisujemy to w postaci sup A = ; aalogiczie gdy A jest ieograiczoy z doªu, to piszemy if A =. Podkre±lmy,»e oraz ( ) ie s liczbami. Uwaga. Kres góry to co iego i» elemet ajwi kszy! Kresem górym zbioru {x : x < 0} jest 0, cho ie ma o elemetu ajwi kszego. Przypomijmy,»e je±li a < b lub a = b, to piszemy a b. Je±li b < a, to piszemy a > b; aalogiczie je±li b a, to piszemy a b. T liczb b, dla której a b = 0, ozaczamy ( a). Odejmowaie deiujemy poprzez a b = a ( b). Aalogiczie gdy a 0, to t liczb b, dla której a b = 1, ozaczamy a 1, za± dzieleie deiujemy wzorem a/b = a b 1. Dla a R i N ozaczamy przez a iloczy liczb a, tj. a 1 = a oraz a 1 = a a. Poadto ozaczamy a = (a 1 ) = (a ) 1. Je±li a 0, to przyjmujemy a 0 = 1. Nie adajemy zaczeia symbolowi 0 0. Zbiór z dziaªaiami speªiaj cymi (2)(10) azywamy ciaªem liczbowym. Je±li speªioe s waruki (2)(15), to mamy do czyieia z uporz dkowaym ciaªem liczbowym. Przykªadem uporz dkowaego ciaªa liczbowego jest zbiór liczb wymierych; ie speªia o jedak waruku (1). Uporz dkowae ciaªo liczbowe speªiaj ce zasad ci gªo±ci musi by idetycze ze zbiorem liczb rzeczywistych. Bardzo istote w dowodzie tego faktu jest ast puj ce, z pozoru baale twierdzeie. Twierdzeie (o g sto±ci liczb wymierych). Niech A b dzie zbiorem dodatich liczb wymierych. Wówczas if A = 0. Dowód. Niech a = if A. Oczywi±cie a 0, wi c aa a. Poadto dla ka»dej liczby wymierej q > 0 zachodzi a q 2, a wi c a a q. St d wyika,»e a a sup A = a. Ostateczie a a = a, sk d a = 0. Przykªad. Zasada ci gªo±ci pozwala udowodi,»e istieje pierwiastek z dwóch, tj. taka liczba a > 0,»e a a = 2. Dowód. Wystarczy okre±li a = sup {b : b b 2 oraz b > 0}. Dla dowolej liczby wymierej q > 0 istieje liczba wymiera r > 0 taka,»e 2 q r r 2 (jak j zale¹?). Wobec deicji a, zachodzi a r, sk d a a r r 2 q, czyli 2 a a q. Z twierdzeia o g sto±ci liczb wymierych wyika wi c,»e 2 a a 0. Z drugiej stroy dla dowolej liczby wymierej q > 0 istieje liczba wymiera r > 0 taka,»e 2 r r 2q. Je±li teraz b b 2 i b > 0, to b b r r, sk d b r. Wyika st d,»e r jest ograiczeiem górym zbioru, którego supremum wyosi a, czyli a r. St d a a r r 2 q, czyli a 2 q. Z twierdzeia o g sto±ci liczb wymierych wyika,»e a 2 0. Ostateczie stwierdzamy,»e 0 a 2 0, czyli a = 2. Aalogiczie mo»a okre±li pot gowaie dodatich liczb rzeczywistych. Wygodiej b dzie jedak wprowadzi i deicj zaczie pó¹iej, w rozdziale o szeregach. Jak wiadomo, 2 ie jest liczb wymier. Istotie, gdyby byªo, to mieliby±my 2 = m dla pewych m, bez wspólego czyika pierwszego (tj. wzgl die pierwszych). Ale wtedy m 2 = 2 2, czyli m jest podziele przez 2, i wobec tego 2 = 2( m 2 )2, czyli te» jest parzyste. Sprzeczo±. 5

6 Przykªad 7. Wyzaczymy kres doly zbioru A = { m :, m N}. m Zauwa»my,»e m m = 1, zatem A jest ograiczoy z doªu i if A 1. Poadto m m m je±li przyjmiemy = k m, to otrzymamy m k m k m = 1 mk m k k k k Wobec tego if A 1 1 k dla ka»dego k N. St d if A 1 i ostateczie if A = 1. Uwaga. Ostati krok rozumowaia formalie powiie wygl da ast puj co. Dla dowolej liczby wymierej q > 0 istieje k N taka,»e 1 k < q. Poadto A zawiera elemet ie wi kszy od 1 1 k 1 q. Wobec tego if A 1 q, czyli if A 1 q. Z twierdzeia o g sto±ci liczb wymierych wyika,»e if A 1 0. Przykªad 8. Zachodzi 0, = 1. Dowód. Šatwo zawua»y,»e 0, q dla ka»dej liczby wymierej q > 0. St d, wobec twierdzeia o g sto±ci liczb pierwszych, 0, Nierówo± w drug stro jest oczywista. Uwaga. cisªy ses adamy symbolowi 0, pó¹iej, w rozdziale o szeregach. Najwa»iejsz ierówo±ci jest x 2 0 (x R). Caªkiem elemetarie mo»a z iej wywioskowa wiele iteresuj cych twierdze«. Przykªad 9. Rozwa»my trójmia kwadratowy p x 2 q x r (p > 0). Gdy q 2 4 p r < 0 to, za± p x 2 q x r > 0 dla wszystkich x. Gdy q 2 4 p r = 0, to p x 2 q x r 0 dla wszystkich x. Gdy q 2 4 p r > 0, to p x 2 q x r przyjmuje zarówo dodatie, jak ujeme warto±ci. ( ) Dowód. Teza wyika wprost z rówo±ci p x 2 q x r = p (x q 2p )2 q2 4 p r oraz z ajwa»- 4p iejszej ierówo±ci. Liczba q 2 4 p r azywaa jest wyró»ikiem trójmiau kwadratowego p x 2 q x r. Przykªad 10 (ierówo± Cauchy'ego-Schwarza-Buiakowskiego). Dla dowolych liczb rzeczywistych a 1, a 2, a 3,..., a oraz y 1, y 2, y 3,..., y zachodzi (a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3... a b ) 2 (a 2 1 a 2 2 a a 2 ) (b 2 1 b 2 2 b b 2 ). Dowód. Zachodzi: 0 (a 1 x b 1 ) 2 (a 2 x b 2 ) 2 (a 3 x b 3 ) 2... (a x b ) 2 = (a 2 1 a a 2 ) x 2 2(a 1 b 1 a 2 b 2... a b )x (b 2 1 b 2 2 b b 2 ). Ozacza to,»e wyró»ik trójmiau kwadratowego po prawej stroie jest iedodati. Wa»ymi pozdbiorami R s przedziaªy. Je±li a < b, to ozaczamy: (a, b) = {c : a < c < b}, [a, b] = {c : a c b}, [a, b) = {c : a c < b}, (a, b] = {c : a < c b}. Poadto deiujemy przedziaªy ieograiczoe: (a, ) = {c : a < c}, [a, ) = {c : a c}, (, b) = {c : c < b}, (, b] = {c : c b}.