Zadania - powtórzenie do egzaminu dojrzałoci

Transkrypt

1 Zadaia - powtórzeie do egzamiu dojrzałoci. Dla jakich wartoci parametru m rozwizaie układu rówa y = m y = m jest par liczb o przeciwych zakach. Sformułuj waruek zbieoci ieskoczoego cigu geometryczego i ułamek okresowy 6,() zamie a ułamek zwykły.. Pukty A = (-;-), B = (;5), C = (,7) s wierzchołkami trójkta ABC. Napisz rówaie prostej zawierajcej wysoko trójkta poprowadzo z wierzchołka A i rówaie rodkowej poprowadzoej z wierzchołka C. 4. Ucze umie odpowiedzie a sporód 5 pyta egzamiacyjych. Jakie jest prawdopodobiestwo, e ucze odpowie a co ajmiej trzy pytaia z czterech wybraych losowo 5. Wyka, e czworokt A = (;-), B = (-;-4), C = (-;), D = (;) jest kwadratem. 6. Daa jest fukcja f ( ) = + a + b +. Wyzacz współczyiki a,b tej fukcji, wiedzc, e jej miejscem zerowym jest i e fukcja osiga ekstremum rówe dla = 7. Rozwi rówaie cos + cos = 8. Napisz rówaie styczej do paraboli y = w pukcie o odcitej =. 9. Powierzchia bocza stoka po rozwiiciu jest półkolem. Wyzacz miar kta midzy tworzc a wysokoci tego stoka.. Wiedzc, e liczby i s pierwiastkami wielomiau W ( ) = + m m + wyzacz trzeci pierwiastek tego wielomiau.. Dla jakiej wartoci parametru p fukcja f ( ) = p + 5, R osiga ekstremum dla = 5 Zbadaj, czy jest to maksimum, czy miimum.. Okrg wpisay w trójkt róworamiey ma promie długoci, a okrg styczy do ramio trójkta i do okrgu wpisaego ma promie długoci.oblicz długo wysokoci tego trójkta.. Day jest wielomia W ( ) = 4 + a a. Dla jakiej wartoci parametru a reszta zdzieleia tego wielomiau przez dwumia rówa si 6 4. Daa jest fukcja f ( ) = log.rozwi rówaie f ( f ( )) > 5. Co jest bardziej prawdopodobe: otrzyma trzy razy reszk w omiu rzutach symetrycz moet, czy otrzyma dwa razy reszk w czterech rzutach 6. Rozwi rówaie (+5) + (+8) + (+) (+) = 45

2 m 7. Dla jakiej wartoci parametru m R fukcja f ( ) = jest iemalejca w całej + swojej dziedziie 8. Z talii 5 kart losujemy pi. Oblicz prawdopodobiestwo wylosowaia dwóch kierów, jeli wiadomo, e wród wylosowaych kart ie ma trefli i pików. 9. Dla jakich wartoci zmieej wyraeie log ( 5 6) ma ses liczbowy,5 +. Dla jakich wartoci parametrów p i q liczba jest pierwiastkiem dwukrotym wielomiau W ( ) = 5 + p + q. Z grupy 7 dziewczt i chłopców w sposób losowy wybieramy rówoczeie osoby. Jakie jest prawdopodobiestwo, e wród losowo wybraej trójki bdzie zajdował si dokładie jede chłopiec. Day jest wektor u = [ ; 4]. Przedstaw te wektor w postaci sumy dwóch wektorów v i z takich, e u i v s prostopadłe, a u i z s rówoległe.. Daa jest fukcja f ( ) = m 6m + m. Wiedzc, e dla argumetu 6 = fukcja f() osiga maksimum, wyzacz m. 4. W sfer o promieiu R = wpisao walec o ajwikszej objtoci. Oblicz wysoko tego walca. 5. Dae s dwa pukty płaszczyzy OXY, M = (- ; ) i N = ( ; 6). Zajd taki pukt A ( o ; y o ), aby MA + NA = MN. 6. Jakie powio by k, aby obydwa pierwiastki rówaia ( k ) k + k + = były dodatie 7. Z grupy osób, wród których 9 czyta tygodik A, czyta tygodik B, a 5 czyta oba te tygodiki. Oblicz prawdopodobiestwo zdarzeia, e losowo wybraa osoba czyta dokładie jede dzieik. 8. Dla jakich wartoci α fukcja f : R R okreloa wzorem f ( ) = 4 cosα + 4 si α ma miimum rówe 9. Napisz rówaie okrgu przechodzcego przez pukty A=(5,) i B=(,4), jeeli rodek okrgu aley do prostej +y-a=, gdzie a jest pierwiastkiem rówaia log ( + 5) = log ( + ) Rozwi rówaie =, (6).. Wyzacz warto parametru p, aby fukcja okreloa wzorem f ( ) = p + 5 miała ekstremum w pukcie = 5. Zbadaj czy jest to maksimum, czy miimum.. Dla jakich liczby cos, cos,- s kolejymi wyrazami cigu arytmetyczego +. Ze zbioru = log π Z 7, lim, si losujemy jed liczb. Jakie jest + prawdopodobiestwo, e wylosowaa liczba jest pierwiastkiem wielomiau W ( ) = +

3 4. Rozwi rówaie f ( ) + f ( ) = cos, gdzie f ( ) = si + cos i R. 5. Wyzacz zbiór A B, gdzie A = : R ( ) lim, a B jest dziedzi 9 fukcji f ( ) =. log( ) 6. Oblicz objto ostrosłupa prawidłowego trójktego o długoci krawdzi podstawy a=6 i kcie achyleia ciay boczej do płaszczyzy podstawy α = Zbadaj mootoiczo fukcji f ( ) = + + a + b, wiedzc, e liczby = i =- s pierwiastkami wielomiau W ( ) = + + a + b Oblicz lim Ze zbioru Z = : C+ i losujemy kolejo bez zwracaia dwie liczby. Jakie 6 jest prawdopodobiestwo zdarzeia, e suma wylosowaych liczb jest liczb pierwsz 4. Dla jakich wartoci parametru m ierówo ( m + 5m 6) ( m ) + > jest prawdziwa dla kadej liczby R. 4. Wyzacz a tak, aby graic cigu b a = ( a ) + była liczba. Dla zalezioej liczby a zbadaj mootoiczo cigu. 4. Ze zbioru Z = : N i i < 6 losujemy dwie liczby i układamy je obok siebie tworzc liczb dwucyfrow, w której cyfr dziesitek jest pierwsza z wylosowaych liczb. Oblicz prawdopodobiestwo zdarzeia, e otrzymaa liczba jest podziela przez. 4. Dla jakich wartoci α rozwizaiem układu rówa siα y cosα = cosα y siα = Jest para liczb, y spełiajca waruek + y =. 44. Okrel dziedzi fukcji f ( ) = Wyzacz miejsca zerowe ( ) ( ) pochodej fukcji. 45. Dwaj strzelcy strzelaj do jedej tarczy. Pierwszy trafia do tarczy z prawdopodobiestwem,7, drugi z prawdopodobiestwem,8. Jakie jest prawdopodobiestwo, ze tarcza bdzie dokładie raz trafioa, jeli kady ze strzelców odda po jedym strzale 46. Wyzacz dziedzi fukcji + + f ( ) = log ( ) 8 4.

4 47. W urie jest kul, z których 5 jest białych. Jakie powio by, eby przy losowaiu kul bez zwracaia prawdopodobiestwo wylosowaia obu kul białych było wiksze od 48. Oblicz objto bryły powstałej w wyiku obrotu trójkta prostoktego o długociach przyprostoktych 6 cm i 8 cm dokoła prostej zawierajcej przeciwprostokt 49. Prosta o rówaiu y = + przecia parabol o rówaiu y = 4 + w puktach A i B. Oblicz pole trójkta ABC, gdzie C jest wierzchołkiem paraboli. 5. Rozwi rówaie log + log + log + =. 5. Rzucamy 5razy kostk. Jakie jest prawdopodobiestwo, e szóstka wypadie razy, jeli jest rozwizaiem rówaia 5 + =. 5. Prosta o rówaiu + y = przecia okrg + y y = w puktach A i B. Oblicz pole trójkta ABS, gdzie s jest rodkiem okrgu. 5. Dla jakich wartoci parametru p R suma odwrotoci pierwiastków rówaia + ( p) + ( p 5p ) = ma warto ujem si cos 54. Rozwi rówaie 4 + ( ) = Wyzacz ajwiksz i ajmiejsz warto fukcji f ( ) = w przedziale,. 56. Rozwi rówaie tg = a wiedzc, e a jest pierwiastkiem rówaia log + log = 57. Z grupy składajcej si z k kobiet i mczyz wybieramy -osobow delegacj. Jakie jest prawdopodobiestwo, e w skład delegacji wejd same kobiety, jeli k jest 5 4 pierwiastkiem rówaia =, a pierwiastkiem rówaia log ( ) 9 = Rozwi rówaie + si + si + =,,π Napisz rówaie styczej do wykresu fukcji f ( ) = w pukcie przecicia wykresu z osi OX. Napisz rówaie okrgu opisaego a trójkcie wyzaczoym przez stycz i osie układu współrzdych. 6. W trójkcie ABC dae s AB =, BC =, BAC i długo promieia okrgu opisaego a tym trójkcie. = Zbadaj mootoiczo cigu a = i oblicz jego graic. 6. Wyzacz zbiór A B jeli: R : ( ) } < { R : log log ( ) } A =, B =. ( 6. Fukcja f ) = a si + si ma ekstremum w pukcie czy jest to maksimum, czy miimum.. Oblicz pole trójkta π =. Wyzacz a. Zbadaj, 64. Napisz rówaie styczej do wykresu fukcji f ( ) = si + w pukcie o odcitej π =.

5 65. Dla jakich wartoci parametru m wielomia W ( ) = log m log m 6 log m jest podziely przez dwumia Boki czworokta ABCD wpisaego w okrg o promieiu maj długoci: AB =, BC =, CD =. Oblicz długo boku AD. 67. Bok trójkta rówoboczego jest redic koła o promieiu r. Oblicz pole figury, która jest wspól czci koła i trójkta. 68. W jakim pukcie stycza do wykresu fukcji f ( ) = jest rówoległa do prostej + o rówaiu y = 69. Dla jakich R wartoci fukcji: log ( 4), log, log s odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem cigu arytmetyczego 7. Fukcja f ( ) = ( ) osiga ekstrema w puktach i. Wyzacz rzd puktu C = (, y) tak, aby pole trójkta ABC było rówe, jeeli A = (, f ( ) ) B = (, f ( )). 7. Dla jakich α, π rówaie ( cos ) + cos α 5cosα = ma dwa róe pierwiastki rzeczywiste 7. Oblicz objto czworociau foremego o długoci krawdzi a = Ze zbioru = { : C i log ( ) log ( + ) < i 7 } Z losujemy dwie liczby < i układamy je w kolejoci losowaia obok siebie tworzc liczb dwucyfrow. Pierwsza wylosowaa liczba jest cyfr dziesitek. Oblicz prawdopodobiestwo zdarzeia, e otrzymamy liczb parzyst. 74. Wyzacz ajwiksz i ajmiejsz warto fukcji f ( ) = cos + cos w przedziale, Π 75. Wyzacz zbiór wartoci parametru k, dla których rówaie ( k + ) k + = ma jedo rozwizaie dodatie, a drugie ujeme Rozwi rówaie = a, gdzie a jest pierwiastkiem rówaia log ( + ) log ( ) = 4 log Napisz rówaia styczych do okrgu + y = 4 rówoległych do prostej y = 78. Trzy liczby s kolejymi wyrazami cigu geometryczego. Ich suma rówa si. Jeeli do drugiej dodamy,5, a pozostałe zostawimy bez zmiay, to otrzymamy koleje wyrazy cigu arytmetyczego. Wyzacz te liczby. 79. Dla jakich wartoci parametru a rówaie + = log a + log a ma dwa róe pierwiastki 8. Napisz rówaie okrgu o redicy AB, gdzie A i B s puktami, w których fukcja f ( ) = przyjmuje wartoci ekstremale. + Z =,,, losujemy kolejo, bez zwracaia dwie liczby a i b 8. Ze zbioru { }

6 i a płaszczyie zazaczamy pukt (a,b). Jakie jest prawdopodobiestwo zdarzeia, e otrzymay pukt aley do wykresu fukcji y = 8. Rozwi rówaie = 9 8. Trójkt róworamiey o ramioach długoci 6 i kcie rozwartym obraca si dookoła jedego z ramio. Oblicz pole powierzchi otrzymaej bryły. 84. Dla jakich wartoci parametru m prosta o rówaiu + 4y + = jest stycza do okrgu + y m = Napisz rówaie prostej rówoległej do tej styczej, przechodzcej przez rodek okrgu. 85. Dla jakich wartoci parametru t rówaie log t + log t = ma dwa róe pierwiastki rzeczywiste 86. Oblicz długoci boków i pole trójkta prostoktego, którego obwód ma długo 6 cm wiedzc, e długoci boków tego trójkta tworz cig arytmetyczy. a Wyzacz liczb a tak, aby fukcja f ( ) = osigała ekstremum dla =. Zbadaj, czy jest to maksimum, czy miimum. 88. Fukcja f ( ) = osiga ekstrema w puktach i. Napisz rówaie A = f ( ) B =, f ( )., symetralej odcika AB, gdzie ( ) ( ) 89. Rozwi rówaie cos + si = p + 4q + z iewiadom wiedzc, e wielomia ( ) = + p + q + W dzieli si przez dwumia. 9. Rzucasz dwa razy kostk do gry. Jak masz szas, e uzyskasz sum oczek rów 7, pod warukiem, e w pierwszym rzucie otrzymasz parzyst liczb oczek a + b 9. f ( ) =. Wyzacz a i b wiedzc, e liczba jest miejscem zerowym fukcji 4 i wykres fukcji przechodzi przez pukt ;. Zbadaj mootoiczo tej fukcji. 9. Rozwi rówaie = A = ( ; ), B = ( 9 ; ), C = ( ; 5). Wyzacz tak, aby kt przy wierzchołku C trójkta ABC był prosty. Napisz rówaie okrgu opisaego a tym trójkcie. 94. Liczby i s pierwiastkami rówaia k =. Wyzacz dziedzi fukcji f ( k) = + i zbadaj jej mootoiczo. 95. Dla jakich wartoci parametru m proste y = + m i y = m 4 przeciaj si w pukcie alecym do symetralej odcika o kocach A = ( ; ) i B = ( - ; 5 ) 96. Najdłusza przekta graiastosłupa prawidłowego szecioktego ma długo d i tworzy z krawdzi bocz graiastosłupa kt α. Oblicz objto graiastosłupa.

7 97. Wyzacz zbiór A B, jeli A = { (, y) : (, y) R R i y 7 + } B = { (, y) : (, y) R R i y< } 98. Wyzacz zbiór wartoci parametru m, dla których fukcja f ( ) = m + ( m ) + jest rosca w zbiorze liczb rzeczywistych. 99. W pierwszej urie s kartki z liczbami log, si, lim + 4, W drugiej z liczbami : tg π, log, lim si. Z ury przypadkowo wybraej losujemy jed kartk. Jakie jest prawdopodobiestwo, e wylosujemy kartk z liczb dodati. Dla jakich α, Π rówaie + cosα cos α = ma dwa róe pierwiastki rzeczywiste. Rozwi rówaie = + 9. W urie jest kul, z których 6 jest koloru czarego. Jakie powio by, eby przy losowaiu kul prawdopodobiestwo wylosowaia obu kul czarych było wiksze od. Rozwi ierówo < 4. Dla jakich wartoci zmieej ; Π suma 4 cos + cos + cos + jest miejsza od 5.Podstawa trójkta róworamieego zawiera si w prostej o rówaiu + y + =, a jedo z ramio w prostej o rówaiu y 4 =. Pukt ( ; 4 ) aley do drugiego ramieia trójkta. Wyzacz współrzde wierzchołków trójkta. 6.Rzucamy razy kostk. Jakie jest prawdopodobiestwo, e szóstka wypadie dokładie razy, jeli jest rozwizaiem rówaia log ( ) = log ( + 4) log ( + ) 7.Zbadaj mootoiczo cigu a = i oblicz jego graic. 8.Napisz rówaie okrgu o redicy AB, gdzie A i B s puktami, w których fukcja 4 f ( ) = przyjmuje wartoci ekstremale. + 9.Z grupy składajcej si z k kobiet i mczyz wybieramy w sposób losowy osobow delegacj. Jakie jest prawdopodobiestwo zdarzeia, e w skład delegacji wejdzie co ajmiej jede mczyza, jeeli k jest rozwizaiem rówaia za jest rozwizaiem rówaia log 4 = 6 =,.W trójkcie ABC dae s BC = 5, AC = 4, ACB = 6. Oblicz AB, pole

8 trójkta i długo promieia okrgu opisaego a tym trójkcie. si cos. Rozwi rówaie =. Dla jakich R wartoci fukcji log ( ), log, log s odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem cigu arytmetyczego.wyzacz zbiór wartoci parametru k, dla których rozwizaie (, y) układu rówa + ky = k + jest par liczb dodatich. k + y = k 4.Napisz rówaie styczej do okrgu + y y = w jedym z puktów przecicia tego okrgu z osi OX. 5.Wykres fukcji f ( ) = a + b + c przecia o OY w pukcie P = ( ; ). Współczyik kierukowy styczej do wykresu fukcji w pukcie P jest rówy -. Dla = fukcja osiga ekstremum. Wyzacz współczyiki a, b, c i zbadaj mootoiczo tej fukcji. 6. Oblicz objto czworociau foremego o długoci krawdzi a = 5 i objto kuli opisaej a tym czworociaie. (ctg ) 7. Rozwi ierówo log