Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

Transkrypt

1 Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da ma inny kolor wªosów - biaªy, czarny, rudy, albo zielony (tak, rusaªki te» przyszªy). Mªodzieniec o imieniu Zbrozªo planuje zata«czy przy ognisku 6 ta«ców. a) Zbada na ile sposobów mog odby si te ta«ce, przy zaªo»eniach»e Zbrozªo zata«czy z dziewczyn ka»dego koloru wªosów oraz dwa razy nie b dzie ta«czyª z t sam partnerk. b) Zbada na ile sposobów mog odby si te ta«ce, je±li Zbrozªo rozró»nia dziewczyny jedynie po kolorze wªosów (w tym przypadku partnerki mog si powtarza ). W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na. a) Zauwa»my,»e mo»liwe s dwie rozª czne sytuacje - albo Zbrozªo zata«czy z trzema dziewczynami o takim samym kolorze wªosów (wtedy pozostaªe kolory wªosów b d reprezentowane przez jedn partnerk ), albo nie (wtedy dwa kolory wªosów reprezentowane s przez dwie dziewczyny, a pozostaªe kolory przez jedn ). W pierwszym przypadku mo»emy na 4 sposoby wybra kolor, w którym wªosy maj trzy partnerki Zbrozªy, na ( ) 11 3 sposobów trzy dziewczyny o tym kolorze wªosów, a pozostaªe partnerki na 11 3 sposobów (po jednej dziewczynie z ka»dego koloru). Tym samym partnerki mo»na w tym przypadku wybra na 4 (11 ) sposobów. W drugim przypadku na ( 4 2) sposobów wybieramy kolory, które b d reprezentowane przez dwie partnerki, potem na ( ) sposobów wybieramy po dwie dziewczyny z ka»dego wybranego koloru, a na 11 2 sposobów po jednej dziewczynie z pozostaªy dwóch kolorów. Czyli partnerki w tym wypadku mo»na wybra na ( 4 ) ( 2 11 ) sposobów. W ka»dym przypadku pozostaje na 6! sposobów ustali w jakiej kolejno±ci odbywaj si ta«ce, czyli ostateczna odpowied¹ to 6! ( 4 ( ) ( ) 4 2 ( ) ) b) W tym wypadku ka»da organizacja ta«ców to w istocie ci g dªugo±ci 6 o wyrazach ze zbioru {B, C, R, Z}, gdzie literki odpowiadaj kolorom wªosów, a takich ci gów jest 4 6.

2 Zadanko 2 (12p.) W zbiorze wszystkich ci gów dªugo±ci 5 o wyrazach ze zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} wprowad¹my relacj tak,»e dwa ci gi b d w relacji, je±li jeden jest pewn permutacj drugiego. Przykªadowo ci gi 10075, i s parami w relacji. Jak mo»na zobaczy niewielkim kosztem relacja ta jest relacj równowa»no±ci. a) Wyznaczy liczb klas abstrakcji relacji ; b) Wyznaczy liczb klas abstrakcji relacji, które zawieraj ci gi, w których cyfry 5, 7 i 9 mog si pojawi co najwy»ej raz.

3 Zadanko 3 (12p.) Niech n > 0. Niech G = ({v 1,..., v n }, E) i G = ({w 1,..., w n }, E ) b d izomor- cznymi grafami, gdzie funkcja f(v i ) = w i dla i [n] jest izomorzmem. Zdeniujmy graf a) Wykaza,»e je±li H jest eulerowski, to 2 n. H = ({v 1,..., v n, w 1,..., w n }, E E {v 1 w 1,..., v n w n }). b) Wykaza,»e je±li G jest hamiltonowski, to H te» jest hamiltonowski. 1. Zauwa»my,»e ( i) deg H (v i ) = deg G (v i ) + 1. Skoro H jest eulerowski, to z twierdzenia Eulera otrzymujemy,»e ( i)2 deg H (v i ), co oznacza ª cznie z powy»sz obserwacj,»e ( i)2 deg G (v i ). Czyli wszystkie wierzchoªki w grae G maj nieparzyste stopnie, co poci ga za sob,»e graf G musi mie parzy±cie wiele wierzchoªków, czyli 2 n. 2. Bez straty ogólno±ci mo»emy zaªo»y,»e (v 1,..., v n, v 1 ) jest cyklem Hamiltona w G. Wtedy ci g (w 1,..., w n, w 1 ) jest cyklem Hamiltona w G, a (v 1,..., v n, w n,..., w 1, v 1 ) cyklem Hamiltona w H.

4 Zadanko 4 (12p.) Graf G = (V, E) nazywamy krytycznym je±li χ(g v) < χ(g) dla ka»dego wierzchoªka v grafu G. Graf G nazywamy k-krytycznym, je±li jest krytyczny oraz χ(g) = k. a) Pokaza,»e je±li G jest k-krytyczny, to δ(g) k 1; b) Pokaza,»e je±li G jest k-krytyczny, to G jest spójny. Ponadto, je±li dodatkowo k > 1, to G v jest spójny dla ka»dego wierzchoªka v V (G). (a) Zaªó»my przez zaprzeczenie,»e G jest k-krytyczny oraz δ(g) < k 1. We¹my wierzchoªek x V (G) taki,»e deg(x) = δ(g) oraz rozwa»my H = G x. Z zaªo»enia o k-krytyczno±ci grafu G mamy,»e χ(h) = k 1. Z zasady szuadkowej natomiast widzimy,»e je±li S i dla i = 1,..., k 1 oznacza b d podzbiory wierzchoªków grafu H pokolorowane na i-ty kolor w dobrym kolorowaniu, to istnieje kolor j dla którego»aden z wierzchoªków z S j nie jest poª czony kraw dzi z wierzchoªkiem x. Z tego oczywiscie wynika,»e je±li teraz pokolorujemy wierzchoªki grafu G tak jak wierzchoªki grafu H oraz x pokolorujemy na kolor j to b dzie to dobre kolorowanie G na k 1 kolorów. Sprzeczno±. (b) Niech G b dzie k-krytyczny. W pierwszej cz ±ci udowodnimy,»e musi by spójny. Przez zaprzeczenie zaªó»my,»e G jest jednak niespójny. Niech G 1,..., G l b d skªadowymi spójno±ci G. Istnieje G i takie,»e χ(g i ) = k. Je±li we¹miemy dowolny wierzchoªek x V (G) \ V (G i ), to oczywiscie G x b dzie zawieraª G i jako swój podgraf. Oznacza to,»e χ(g) χ(g i ) = k. Sprzeczno±. Teraz przejdziemy do drugiej cz ±ci podpunktu. Niech k > 1 i niech, przez zaprzeczenie, G v b dzie niespójny dla pewnego v V (G). Oznacza to,»e G v ma dwa podgrafy H 1, H 2 takie,»e H 1 H 2 = G v oraz V (H 1 ) V (H 2 ) =. Z k-krytyczno±ci grafu G wynika,»e χ(h i ) k 1. Z faktu,»e G jest k-krytyczny wynika,»e podgrafy indukowane G[V (H i ) {v}] dla i = 1, 2 maj liczb chromatyczn która nie przekracza k 1. Przedstawimy teraz dobre kolorowanie grafu G w dwóch krokach. Najpierw kolorujemy podgraf indukowany G[V (H 1 ) {v}] na co najwy»ej k 1 kolorów. Do peªnego pokolorowania grafu G brakuje nam kolorów na wierzchoªkach ze zbioru V (H 2 ). Aby pokolorowa te wierzchoªki, u»ywamy kolorowania podgrafu indukowanego G[V (H 2 ) {v}] na co najwy»ej k 1 kolorów pami taj c,»e wierzchoªek v zostaª juz pokolorowany na pewien kolor w pierwszym kroku. Poniewa» nie ma»adnych kraw dzi mi dzy H 1 i H 2, to przedstawione wy»ej kolorowanie jest dobre. Oznacza to,»e χ(g) k 1. Sprzeczno±.

5 Zad. 5 (12p.) Udowodni,»e graf G = (V, E) jest dwuspójny wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dych dwóch ró»nych x, y V istnieje w G cykl prosty przechodz cy przez x i y. Czy która± implikacja pozostanie prawdziwa je±li opu±cimy sªowo prosty? Je±li tak to która? A mo»e obie?