WYBRANE PROBLEMY DOTYCZĄCE OPTYMALIZACJI FUNKCJI UŻYTECZNOŚCI

Transkrypt

1 STDIA I RACE WYDIAŁ NAK EKONOMICNYCH I ARĄDANIA NR 6 Henrk Kowgier niwerstet Szczeciński WYRANE ROLEMY DOTYCĄCE OTYMALIACJI NKCJI ŻYTECNOŚCI STRESCENIE W artkule ukazano niektóre aspekt optmalizacji warunkowej unkcji użteczności wóch zmiennch prz założeniu że warunki ograniczające mają charakter liniow. Wbór warunkowego ekstremum unkcji użteczności związan jest z aktem że zasob zawsze są ograniczone. onato zinterpretowano optmalną wartość mnożnika Lagrange a. Wkazano że ab zoptmalizować swoją unkcję użteczności inwestor musi sprawić b nachlenie jego linii bużetu bło takie samo jak nachlenie warstwic jego unkcji użteczności w pewnm punkcie co jak sprawzono zachozi w takim punkcie krzwej użteczności w którm krzwa ta jest ściśle wpukła ku ołowi. Słowa kluczowe: unkcja użteczności optmalizacja warunkowa optmalna wartość mnożnika Lagrange a. Wprowazenie unkcja użteczności jest ważnm przcznkiem ecującm o preerencjach zakupów jenak jej wznaczenie nie jest sprawą prostą. reerencje inwestorów można sprawzić metoą ankietową. owstaje jenak ptanie jak z przebaanch preerencji eektwnie zbuować unkcję użteczności? Jest to wciąż trun problem teoretczn. Można oczwiście aksjomatcznie zei-

2 6 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII niować unkcję użteczności a następnie z nałożonch warunków spróbować znaleźć jej kształt. ałóżm że inwestor może okonwać wboru spośró wu rozajów óbr i prz czm niech obra te posiaają oatnią unkcję krańcowej użteczności to znacz oraz. onato niech cen obu óbr bęą określone przez rnek to znacz bęą obrami egzogenicznmi oraz siła nabwcza inwestora ana bęzie wielkością. ajmiem się maksmalizacją głakiej unkcji użteczności postaci = 1 prz ograniczeniu bużetowm inwestora anm równaniem: 1 gzie: cena obra cena obra. W tm celu rozpatrzm unkcję Lagrangea : Warunkiem koniecznm o tego ab w punkcie istniało ekstremum unkcji = prz założeniu że i spełniają równanie jest to b istniała taka liczba żeb punkt stanowił rozwiązanie ukłau równań: 3 Jeżeli ponato la wrażenie: 1 ob. E. anek Ekonomia matematczna Wawnictwo AE w oznaniu oznań s. 5. ob. G.M. ichtenholz Rachunek różniczkow i całkow t. I WN Warszawa 1985 s. 416.

3 HENRYK KOWGIER WYRANE ROLEMY DOTYCĄCE OTYMALIACJI NKCJI ŻYTECNOŚCI 7 W jest ujemne to w punkcie unkcja = posiaa maksimum. Nietruno zauważć że g W < warunek 4 w naszm przpaku reukuje się o nierówności: ponieważ gzie jest ukłaem cen. Graient unkcji celu któr jest graientem unkcji użteczności inormuje nas o sile wzrostu zaś graient ograniczeń ukazuje jak hamowan jest ten wzrost. Mnożnik pokazuje o ile wzrost przewższa hamowanie. W naszm przpaku prz ograniczeniu liniowm mówi nam też o tm ile złotch wajem na przrost jenostki użteczności zaowolenia. 4 Interpretacja ekonomiczna optmalnej wartości mnożnika Lagrange a Wracając o ukłau równań 3 warunek konieczn na ekstremum unkcji = możem napisać jak poniżej: 5 Wznaczając z wóch ostatnich równań otrzmujem: 6 powższego równania wnika że ab zmaksmalizować użteczność inwestor musi tak rozzielić swój bużet ab la każego rozaju óbr proporcja mięz użtecznością krańcową i ceną bła taka sama. atem w optmalnm położeniu równowagi proporcje te powinn mieć wspólną wartość.

4 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII 8 astanówm się czm w sensie ekonomicznm jest. Jak się przekonam za chwilę mierz wrażliwość rozwiązania optmalnego z na zmianę bużetu inwestora. Oznaczm oatkowo:. Wówczas ukła 5 możem napisać w postaci równoważnej: = 7 auważm że każe z równań ukłau 7 można przestawić jak poniżej: i = i = 13 8 Rozpatrzm jakobian: J = = 9 Niech ponato J. Wte możem wrazić jako unkcje uwikłane parametru 3 : 1 gzie 11 Wartość z zależ o zachozi więc: z 1 3 ob. H. Kowgier Wkorzstanie analiz statki porównawczej w niektórch problemach otczącch unkcji użteczności rzeglą Statstczn t. 55 z. 4 Dom Wawnicz ELI- SA Warszawa 8 s. 14.

5 HENRYK KOWGIER WYRANE ROLEMY DOTYCĄCE OTYMALIACJI NKCJI ŻYTECNOŚCI 9 Na moc 1 możem potraktować z jako unkcję. atem mam: z { } {1 } { } wobec zależności 11 więc to znacz optmalna wielkość mnożnika Lagrangea może bć interpretowana jako krańcowa wielkość użteczności pieniąza prz maksmalizacji użteczności przez inwestora. Interpretacja wrażenia W astanówm się czm jest wrażenie W ane wzorem 4. W tm celu oznaczm: = Wte różniczka zupełna unkcji użteczności ana jest wzorem: 13 oraz zachozi:

6 3 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Jak nietruno zauważć wprowazona powżej równość nie jest ormą kwaratową wobec wstępującego na końcu skłanika ale a się ją sprowazić o orm kwaratowej 19 która bęzie nam potrzebna w alszch rozważaniach. Wobec einicji unkcji otrzmujem: = oraz =. Na moc ostatnich rozważań możem napisać: 14 rzekształcając równość 14 mam: 1 15 atem uwzglęniając zależność 15 otrzmujem: { } { } { } 16

7 HENRYK KOWGIER WYRANE ROLEMY DOTYCĄCE OTYMALIACJI NKCJI ŻYTECNOŚCI 31 równości 16 uzskujem: 17 wzglęniając własność 17 możem napisać: 18 Wobec równości 18 zależność 16 przjmuje postać: 19 owższe równanie jest ormą kwaratową różniczek i. Ab się przekonać o tm cz jest to orma kwaratowa oatnio ujemnie określona przekształćm tę ormę prz warunku liniowm:. własności wnika: oraz { }.

8 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII 3 orma kwaratowa jest ujemnie określona g wrażenie: } { 1 auważm że 1 a się przestawić jako wartość przeciwna następującego wznacznika: = Wrażenie 1 po uwzglęnieniu równości 18 przjmuje postać: +. W powższego wnika że unkcja posiaa maksimum w pewnm punkcie g wznacznik jest oatni. Wznacznik nazwam obrzeżonm hesjanem. Warunek optmalizacji unkcji użteczności prz anm bużecie inwestora Warunek 6 po przekształceniu możem napisać jak poniżej: 3

9 HENRYK KOWGIER WYRANE ROLEMY DOTYCĄCE OTYMALIACJI NKCJI ŻYTECNOŚCI 33 Krzwa użteczności jak pamiętam opowiaa kombinacji i la którch poziom użteczności jest ustalon. atem zachozi: 4 równości 4 wnika: 5 więc nachlenie krzwej użteczności jest równe liczbie przeciwnej o ilorazu użteczności krańcowch. Wobec tego że otrzmujem. rugiej stron ponieważ wielkość jest liczbą przeciwną o nachlenia krzwej użteczności to reprezentuje krańcową stopę substtucji wu óbr. Rsunek 1. Nachlenie linii bużetu i krzwej użteczności Krzwe użteczności 1 M Linia bużetu 1 Źróło: opracowanie własne.

10 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII 34 Korzstając z równości 1 mam: 6 Stą wiać już że liczba przestawia nachlenie linii bużetu w ukłazie. powższego wnika że w celu zmaksmalizowania użteczności inwestor powinien tak sponować swoim bużetem ab nachlenie linii jego bużetu bło równe nachleniu pewnej krzwej użteczności. Na rsunku 1 jest to spełnione w punkcie M gzie linia bużetu jest stczna o pewnej krzwej użteczności. Wkażem obecnie że jeżeli hesjan obrzeżon: ˆ H > to w punkcie M mam ścisłą wpukłość krzwej obojętności nachlonej ku ołowi. W tm celu należ uowonić że. e wzoru 5 mam: więc 7 na moc wzoru na pochoną ilorazu wóch unkcji.

11 HENRYK KOWGIER WYRANE ROLEMY DOTYCĄCE OTYMALIACJI NKCJI ŻYTECNOŚCI 35 onato wobec tego że pochone cząstkowe są unkcjami również wóch zmiennch mam: 8 wzglęniając to że zachozi również otrzmujem: 9 ostawiając 9 o równania 7 uzskujem: 3 rugiej stron: więc. ostawiając powższe o wzoru 3 otrzmujem:

12 36 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Hˆ. Jeżeli ˆ H to bo oraz. Owrotnie rów- nież zachozi ponieważ z tego że oraz jem iż H ˆ. i otrzmu- osumowanie powższch obliczeń wnika że z optmalizacją unkcji użteczności anego inwestora związana jest również pewna optmalna wartość mnożnika Lagrange a jak również warunek otcząc jego bużetu. W punkcie opowiaającm maksmalnej wartości unkcji użteczności ana krzwa obojętności jest ściśle wpukła ku ołowi. Literatura ichtenholz G.M. Rachunek różniczkow i całkow WN Warszawa Kowgier H. Wkorzstanie analiz statki porównawczej w niektórch problemach otczącch unkcji użteczności rzeglą Statstczn t. 55 z. 4 Dom Wawnicz ELISA Warszawa 8. anek E. Ekonomia matematczna Wawnictwo AE w oznaniu oznań.

13 HENRYK KOWGIER WYRANE ROLEMY DOTYCĄCE OTYMALIACJI NKCJI ŻYTECNOŚCI 37 SELECT ROLEMS RELATING THE OTIMIATION O TILITY NCTON Summar In the paper has been showe essential problems relating the conitional optimization o utilit unction. In peculiarit: Optimum value o multiplier Lagrange a was interprete an one introuce how can investor optimize one's unction o utilit. Translate b Henrk Kowgier Kewors: utilit unction conitional optimization optimum value o multiplier Lagrange a.

14 38 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII