Programowanie wypukłe i kwadratowe. Tadeusz Trzaskalik

Transkrypt

1 Proramowanie wpukłe i kwaratowe Taeusz Trzaskalik

2 6.. Wprowazenie Słowa kluczowe Zaanie proramowania nielinioweo Ekstrema lobalne i lokalne Zbior wpukłe Funkcje wklęsłe i wpukłe Zaanie proramowania wpukłeo Funkcja Larane a Warunki Kuhna - Tuckera Zaanie proramowania kwaratoweo Zaanie zastępcze Zmienne sztuczne tpu w i u Alortm Wolfe a Optmaln portfel akcji Zaanie Markowitza T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem

3 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (/5) Ekstrema lobalne i lokalne T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3

4 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (/5) Przkła zbiorów wpukłch i niewpukłch, C λ [,] Zbior wpukłe λ + ( λ) Zbiór niewpukł C T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4

5 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (3/5) Funkcje wpukłe a kształt wpukle funkcja wpukła kształt wklęsł funkcja wklęsła kształt wpukł T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 5

6 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (4/5) Definicje Funkcja wpukła:, W, λ [,] f ( λ + ( λ) ) λf ( ) + ( λ) f ( ) Funkcja wklęsła: Funkcja liniowa: Forma kwaratowa: Funkcja kwaratowa: f wklęsła f wpukła T α( ) p + q T β ( ) C H ( ) p T n n j n T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 6 p i j T C j c ij j i + q j

7 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (5/5) Twierzenia Twierzenie 6.: Funkcja liniowa jest jenocześnie funkcją wpukłą i wklęsłą. Twierzenie 6.: Forma kwaratowa jest funkcja wpukłą (wklęsłą) wte i tlko wte, macierz form C jest nieujemnie (nieoatnio) określona. T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 7

8 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Sformułowanie zaania proramowania wpukłeo (/3) Sformułowanie zaania f () ma ( )... m () f ( ) ma ( ) ( ) ( )... ( ) m Powższe zaanie jest zaaniem proramowania wpukłeo jeżeli f i wszstkie i są funkcjami wklęsłmi. T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 8

9 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Sformułowanie zaania proramowania wpukłeo (/3) Przkła 6. ( ) f ( ) ( ) ( ) A (, ) O P (, ) B (, ) T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 9

10 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Sformułowanie zaania proramowania wpukłeo (3/3) Zaanie proramowania kwaratoweo p T C macierz T C ma A b b nieujemnie określona T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem

11 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Warunki Kuhna-Tuckera (/) Funkcja Larane a L ( f ( ) ma ( ) L (, ) f ( ) + ( ) [,..., m ] m +,..., n,,..., m) f (,..., n) ii (,..., n ) i T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem

12 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Warunki Kuhna-Tuckera (/) Sformułowanie warunków Warunek L(, ) Warunek ( ) Warunek 3 ( ) Warunek 4 Warunek Slatera Twierzenie 6.3: L(, ) L(, ) L(,,..., Problem proramowania wpukłeo i problem Kuhna-Tuckera opisane warunkami - 4 są sobie równoważne. n ) T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem

13 kłe i kwaratowe 3 3 ) (8 ),,,, ( L ) ( ) ( 8 ) ( ) ( 3 + f 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (/5) Przkła 6. (c..) 6. Proramowanie wpuk T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem Warunek : Warunek : L L ) 8 ( Warunek 3: ) ( ) ( 8 ) ( 3 Warunek 4:,, 3

14 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (/5) Poział zbioru rozwiązań opuszczalnch na pozbior Pozbiór > > 3 > Pozbiór 3 3 > > A O A O B B Pozbiór > 3 > Pozbiór 4 3 > > A O A O B B T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4

15 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (3/5) Poział zbioru rozwiązań opuszczalnch na pozbior (c..) Pozbiór 5 A > 3 O B Pozbiór 7 3 > A O B Pozbiór 6 3 > Pozbiór 8 A 3 O B Zbiór pust T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 5

16 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (4/5) Pozbiór Warunek L Pozbiór L Warunek + ( 8 ) Warunek ( ) 4 ( ) ( ) Warunek 4,, 3 3 >, >, 3 > z warunku wnika, żee,, 3 Wstawiam te wartości o warunku + + czli: - sprzeczność T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 6

17 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (5/5) Pozbiór Warunek L L Warunek + ( 8 ) Warunek 3 3 ( ) 4 ( ) ( ) Warunek 4 +,, 3 3 Pozbiór, >, 3 > z warunku wnika, że, 3 Wstawiam te wartości o warunku +,,,5,, 3 +, 8 ( ) ( ) T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 7

18 kłe i kwaratowe, 9 ma 4 5 ), ( f 6.3. Metoa Wolfe a Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (/3) Przkła Proramowanie wpuk T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 8, 5 p, C, 9 b określona nieujemnie macierz C ma b A C p T T

19 6.3. Metoa Wolfe a Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (/3) Przekształcenia warunków oraniczającch f ( ) ma + (, ) + 9 (, ) 9 3 (, ) 4 (, ) [,, ], (,,,,, L ) ) + 9 ) ( ( + + T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 9

20 6.3. Metoa Wolfe a Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (3/3) Sformułowanie warunków K-T Warunek (, ) L 4 L 5 4 Przenosim wraz wolne na prawą stronę 4 4 Mnożm obie stron równań przez (-) T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem

21 6.3. Metoa Wolfe a Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (3/3) Sformułowanie warunków K-T Warunek ( ) ( _ ) + (9 ) + + Bilansowanie oraniczeń Po postawieniu i Warunek ma postać T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem

22 6.3. Metoa Wolfe a Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (3/3) Sformułowanie warunków K-T Warunek 3 ( ) Warunek ten stanowi powtórzenie oraniczeń rozpatrwaneo zaania (, ) (, ) 9 3 (, ) 4 (, ) Uwzlęniając zmienne bilansujące i, mam: - 9 Przenosim wraz wolne na prawa stronę i mnożm przez (-): T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem

23 6.3. Metoa Wolfe a Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (3/3) Sformułowanie warunków K-T Warunek 4,,, Zestawienie warunków w wkorzstwanej alej kolejności: ,,,,,,, T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3

24 6.3. Metoa Wolfe a Sformułowanie zaania zastępczeo (/) Zaanie zastępcze w + w min w w 5,,,,,,,, w, w Pominięt warunek: Par zmiennch komplementarnch: i i i i T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4

25 6.3. Metoa Wolfe a Rozwiązanie zaania zastępczeo (/5) Przebie obliczeń c min Baza c B w w 4 c j -z j w w b 9 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 5

26 6.3. Metoa Wolfe a Rozwiązanie zaania zastępczeo (/5) Przebie obliczeń (c..) c min Baza c B w w b,8 -,5 -,5,5 -,5 9,5,8 -,5 -,5,5 -,5 8,5,,5,5 -,5,5,5 w,,8,8, - -, 3 c j -z j -, -,8 -,8 -,, T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 6

27 6.3. Metoa Wolfe a Rozwiązanie zaania zastępczeo (3/5) Przebie obliczeń (c..) c min Baza c B w c j -z j ,5 -,5,5 -,5 -,5,5,5,5 -,5,5,5,5 -,5 -,5 -,5 - w -,5 -,5,5 -,5,5 w b 5 6,5,5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 7

28 6.3. Metoa Wolfe a Rozwiązanie zaania zastępczeo (4/5) Przebie obliczeń (c..) c min Baza c B w c j -z j -8 -,5 -,5, w - w b T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 8

29 6.3. Metoa Wolfe a Rozwiązanie zaania zastępczeo (5/5) Przebie obliczeń (c..) c min Baza c B c j -z j -6,5,5,5,5,5 -,5,5 -,5 -,5,5 -,5 -,5 Z twierzenia Kuhna-Tuckera:, 5 - rozwiązanie optmalne wjścioweo zaania proramowania kwaratoweo w - w,5,5 b 7, ,5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 9

30 6.3. Metoa Wolfe a Przpaek oóln (/5) Przkła 6.3 Zaanie zastępcze f(, ) ma + 9 v + w + w min v w w 5,,,,,,,, v, w, w T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3

31 6.3. Metoa Wolfe a Przpaek oóln (/5) Iteracja 5 c min Baza c B w,5,5,5 -,5 -,5 -,5,5-6,5,5,5 -,5 -,5 v,5 -,5 - c j -z j -,5,5 v w b 5 7,5 7,5 4 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3

32 6.3. Metoa Wolfe a Przpaek oóln (3/5) Iteracja 6 c min Baza c B w,5, v,5 -,5 - c j -z j -,5,5 v w - - b T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3

33 6.3. Metoa Wolfe a Przpaek oóln (4/5) Iteracja 7 c min Baza c B w - c j -z j Z twierzenia Kuhna-Tuckera: 8, - rozwiązanie optmalne wjścioweo zaania proramowania kwaratoweo - - v 3 66 w - - b T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 33

34 6.3. Metoa Wolfe a Przpaek oóln (5/5) Przkła 6.4 Zaanie zastępcze f(, ) 5 4 ma + 9 v + w min v w ,,,,,,,, v, w T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 34

35 6.3. Metoa Wolfe a Reuł postępowania w metozie Wolfe a (/) Alortm. Zapisanie warunków Kuhna-Tuckera.. Zapisanie zaania zastępczeo: a) zmienne sztuczne tpu w, b) zmienne sztuczne tpu v. 3. Rozwiązanie zaania zastępczeo: a) wbór zmiennej kanującej o baz, b) sprawzenie, cz wbór zmiennej kanującej bł właściw, c) wbór zmiennej usuwanej z baz, ) baanie niesprzeczności zaania. 4. Ocztanie rozwiązania zaania wjścioweo. T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 35

36 6.4. Optmaln portfel akcji Oczekiwana stopa zsku i rzko portfela (/) Postawowe pojęcia Określić taki skła portfela, złożoneo z akcji n spółek, b zminimalizować rzko portfela, prz założonm z ór poziomie oczekiwaneo zsku. Stopa zsku z i-tej akcji w okresie t (t,..., T) z i-tej akcji w okresie t R ( t ) Oczekiwana stopa zsku z i-tej akcji R i i T P i T t ( t) P i ( t ) ( t ) Uział akcji w portfelu, Oczekiwana stopa zsku portfela akcji n i R p i n i R i P i R i i ( t) i T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 36

37 6.4. Optmaln portfel akcji Oczekiwana stopa zsku i rzko portfela (/) Postawowe pojęcia (c..) Rzko (wariancja) portfela Ochlenie stanarowe stop zsku Współcznnik korelacji Zmofikowan wzór na wariancję portfela v S r v p i ij p n n T T t i j n T T i j S i S j r ij ( ( R i ( t ) R i ) t i j ( R ( t) R ) R ( t) i j ( j R j ) cov( R, R ) i i n i j S S cov( R, R i j ) S i i S j j T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 37

38 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (/7) Sformułowanie zaania n n i j n i n i i j R i i v i ij min O T T V ma R R R O T i la i,..., n V macierz wariancji i kowariancji (V [cov(r i, R j )]), R [ R,..., Rn ], : O :,, n : T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 38

39 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (/7) Przkła 6.4 Spółka Spółka Notowania Spółka Spółka Spółka Oczekiwane stop zsku z akcji w okresie t w % Spółka Spółka Spółka 3 Spółka 4 Spółka T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 39

40 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (3/7) Obliczenia pomocnicze Oczekiwane stop zsku z akcji w % Spółka Spółka Spółka 3 Spółka 4 Spółka 5 R i Spółka Spółka Spółka 3 Spółka 4 Spółka 5 Macierz wariancji-kowariancji stóp zsku Spółka Spółka Spółka Spółka Spółka T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4

41 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (4/7) Moel matematczn Cel Znalezienie portfela akcji minimalizująceo rzko o zaanej oczekiwanej stopie zsku. Zmienne eczjne uział w portfelu akcji spółki, uział w portfelu akcji spółki, 3 uział w portfelu akcji spółki 3, 4 uział w portfelu akcji spółki 4, 5 uział w portfelu akcji spółki 5, T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4

42 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (5/7) Moel matematczn (c..) Funkcja celu f(,, 3, 4, 5 ) [,, 3, 4, 5 ] V [,, 3, 4, 5 ] T min V Oraniczenia oczekiwan zsk z portfela ma bć większ o %, czli:,94 +,, 3 +,8 4 +,45 5 uział akcji w portfelu sumują się o jeności: warunki nieujemności:,, 3, 4, 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4

43 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (6/7) Rozwinięta postać zaania f ( [,,,, 3 3,, 4 4,, 5 5 ),43,7,3,669,54,7 7,773,4983,374,756 ],3,4983 5,598,394,637 3,669,374,394,858,84 4,54,756,637,84 4,389 5 prz warunkach oraniczającch:,94, +, 3,8 4, ,, 3, 4, 5 ma T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 43

44 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (7/7) Rozwiązanie i interpretacja Rozwiązanie optmalne,468,539 3,85 4,6 5,797 Interpretacja rozwiązania Optmaln portfel, la któreo stopa oczekiwaneo zsku jest nie mniejsza niż % bęzie się skłaał (w ujęciu wartościowm) w 4,68% z akcji spółki, w 53,9% z akcji spółki, w,85% z akcji spółki 3, w,6% z akcji spółki 4 i w 7,97% akcji spółki 5. Rzko takieo portfela wnosi, 4 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 44

45 6.4. Optmaln portfel akcji Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (/5) Przkła 6.4 Cel Szukam takieo portfela akcji, la któreo rzko jest minimalne, a oczekiwan zsk portfela maksmaln. Zmienne eczjne uział w portfelu akcji spółki, uział w portfelu akcji spółki, 3 uział w portfelu akcji spółki 3, 4 uział w portfelu akcji spółki 4, 5 uział w portfelu akcji spółki 5, T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 45

46 6.4. Optmaln portfel akcji Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (/5) Moel matematczn Funkcje celu Minimalizacja rzka portfela,43,7,3,669,54,7 7,773,4983,374,756 T [,, 3, 4, 5 ],3,4983 5,598,394,637 [,, 3, 4, 5 ] min,669,374,394,858,84,54,756,637,84 4,389 Maksmalizacja oczekiwanej stop zsku portfela: Oraniczenia,94 +,, 3 +,8 4 +,45 5 ma ,, 3, 4, 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 46

47 6.4. Optmaln portfel akcji Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (3/5) Metoa satsfakcjonująceo poziomu krteriów Funkcja celu,43,7,3,669,54,7 7,773,4983,374,756 T,, 3, 4, 5],3,4983 5,598,394,637 [,, 3, 4, ] min,669,374,394,858,84,54,756,637,84 4,389 [ 5 Oraniczenia,94, +, 3,8 4,45 5 R ,, 3, 4, 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 47

48 6.4. Optmaln portfel akcji Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (4/5) Wniki obliczeń Parametr portfeli wznaczonch la założonch wartości R Lp R V p P..79 P P P P P P P P P T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 48

49 6.4. Optmaln portfel akcji Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (5/5) Granica efektwna oczekiwana stopa zsku z portfela w %,4,,8,6,4,,5,5 3 rzko portfela oczekiwana stopa zsku z portfela w %,4,,8,6,4,,5,5 3 rzko portfela 3,5,5 rzko portfela,4,,8,6,4 oczekiwana stopa zsku z portfela w % T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 49

50 Pora na relaks T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 5