Analityczne metody kinematyki mechanizmów

Transkrypt

1 J Buśkiewicz Analityczne Metoy Kinematyki w Teorii Mechanizmów Analityczne metoy kinematyki mechanizmów Spis treści Współrzęne opisujące położenia ogniw pary kinematycznej Mechanizm korowo-wozikowy (crank-slier mechanism) zworook przeguowy (four ar linkage) Mechanizm jarzmowy 5 Orót i przesunięcie mechanizmu 6 Współrzęne opisujące położenia ogniw pary kinematycznej Rysunek Para orotowa i para przesuwna Położenie ogniwa orotowego jest opisane kątem położenie suwaka na jarzmie (lu w prowanicy) w parze przesuwnej jest opisane oległością omierzaną o charakterystycznego węzła W celu ujenolicenia zapisu wektorów przyjmujemy że kąt jest oatni jeżeli jest omierzany przeciwnie o ruchu wskazówek zegara o oatniego kierunku osi poziomej o ogniwa Kąt ujemny 0 0 omierzany jest zgonie z ruchem wskazówek zegara np α 90 jest równoważny α 70 Kąt jest wprowazany w tym węźle ogniwa który jest punktem początkowym wektora opisującego to ogniwo w równaniu zamkniętej pętli Rysunek Ilustracja kierunku omierzania oatniego i ujemnego kąta

2 Mechanizm korowo-wozikowy (crank-slier mechanism) J Buśkiewicz Analityczne Metoy Kinematyki w Teorii Mechanizmów Rysunek Mechanizm korowo-wozikowy Analiza geometryczna mechanizmu korowo-wozikowego Dane są wymiary ogniw a e kąt określający położenie kory θ oraz prękość kątowa ω oraz przyspieszenie kątowe ε kory Dla wyznaczenia położenia suwaka wprowazono oległość s ( a la łącznika kąt θ Równaniami wyjściowymi są równania wektorowe O A O B + BA [ a cosθ a] [ s( e] + [ cosθ ] Które zapiszemy w postaci algeraicznej a cosθ cos s θ a e jθ jθ j0 Opowieni zapis zespolony miały postać ae e + ee + se i po rozzieleniu części rzeczywistej oraz urojonej prowaziły o tego samego ukłau równań Rozwiązaniami są j gzie oraz M ± M 4LN s L L ; M acosθ ; N a ae + e acosθ s a e cosθ Możliwe są wie konfiguracje la owolnego położenia kory Analiza kinematyczna Rysunek 4 Dwa rozwiązania położeń ogniw iernych mechanizmu korowo-wozikowego j j θ jθ j0 Prękości: ae ( e + ee + se ) t t Po oliczeniu pochonej równania wektorowego lu równania zapisanego za pomocą licz zespolonych otrzymamy ukła wóch równań algeraicznych z którego wyznaczymy

3 prękość kątową łącznika s prękość suwaka aω + ω t ω J Buśkiewicz Analityczne Metoy Kinematyki w Teorii Mechanizmów a cosθ ω cosθ j j θ jθ j0 Przyspieszenia: ae ( e + ee + se ) t t Po oliczeniu rugiej pochonej równania wektorowego lu równania zapisanego za pomocą licz zespolonych otrzymamy ukła wóch równań algeraicznych z którego wyznaczymy a ε cosθ aω + ω przyspieszenie kątowe łącznika ε cosθ s przyspieszenie suwaka ε + ω cosθ aε aω cosθ t zworook przeguowy (four ar linkage) Rysunek 5 zworook przeguowy Wewnętrzny poział czworooku przeguowy (four ar linkage): - I klasa suma najmniejszego i największego wymiaru jest mniejsza lu równa sumie pozostałych wymiarów - II klasa nie zachozi warunek powyższy Mechanizm I klasy - napęzające ogniwo to ogniwo najkrótsze mechanizm korowo wahaczowy - ogniwo nieruchome jest najkrótsze mechanizm wukorowy - w przeciwnym wypaku mamy mechanizm wuwahaczowy Mechanizm II klasy jest zawsze wuwahaczowy Np a 48 cm; 58cm; c 46cm; 4cm < Mechanizm I klasy najkrótsze ogniwo nieruchome mechanizm wukorowy Analiza geometryczna mechanizmu czworooku przeguowego Dane są ługości ogniw a c kąt określający położenie kory θ oraz prękość kątowa ω oraz przyspieszenie kątowe ε kory Dla wyznaczenia położenia łącznika oraz wahacza wprowazono kąty θ θ Równaniami wyjściowymi są równania wektoroweo A + AB O + B (opowienia postać zespolona jθ jθ j( + θ ) j ae + e + ce + e 0 ) Które w postaci algeraicznej przyjmuje postać [ a cosθ a] + [ cosθ ] [ 0] + [ ccosθ c ]

4 J Buśkiewicz Analityczne Metoy Kinematyki w Teorii Mechanizmów 4 To aje równania algeraiczne a cosθ + cosθ ccosθ + a + c Po przekształceniach otrzymuje się zależności K cosθ K cosθ + K cos( θ θ) K 4 cosθ + K cosθ + K5 cos( θ θ) gzie: K a oraz kąty K c K a + c + ac K 4 K 5 a + c a B ± B 4A E ± E 4DF θ arctg θ arctg A D W których oznaczono A cosθ + K K K cosθ B K + K ( + K) cosθ D cosθ + K5 K + K4 cosθ E F K + K5 + ( K4 ) cosθ Możliwe są wie konfiguracje la owolnego położenia kory Rysunek 6 Dwa rozwiązania położeń ogniw iernych czworooku przeguowego Powtarzając czynności jak la mechanizmu korowo wozikowego olicza się jθ prękości kątowe ( jθ + jθ j ae e + ce + e ) 0 t aω sin( θ θ) aω sin( θ θ) ω ω sin( θ θ ) c sin( θ θ ) jθ jθ oraz przyspieszenia kątowe ( jθ j ae + e + ce + e ) 0 t ' D' A' F' ' E' B' F' ε ε A' E' B' D' A' E' B' D' w których oznaczono A ' c B ' ' aε + aω cosθ + ω cosθ cω cosθ D ' ccosθ E ' cosθ F ' aε cosθ aω ω + cω

5 J Buśkiewicz Analityczne Metoy Kinematyki w Teorii Mechanizmów 5 Mechanizm jarzmowy Rysunek 7 Analizowany mechanizm jarzmowy Analiza geometryczna mechanizmu jarzmowego Dane są ługości ogniw a c kąt AB kąt określający położenie kory θ oraz prękość kątowa ω oraz przyspieszenie kątowe ε kory Dla wyznaczenia położenia jarzma oraz wahacza wprowazono kąty θ θ Położenie suwaka B na jarzmie określa wymiar Wyjściowym równaniem wektorowym jest równanie postaci jθ jθ [ a cosθ a] [ 0] + [ ccosθ c ] + [ ( cosθ ( ] ( ae ( e jθ + ce j0 + e ) Mięzy szukanymi kątami istnieje zależność θ θ + To aje wa równania algeraiczne a cosθ + ccosθ + ( cosθ a c + ( a c z których wyznacza się θ B'' ± arctg A B'' 4A'' '' '' gzie: A' ' c acosθ B '' a ' ' acosθ c Postępując analogicznie jak wóch pierwszych mechanizmów wyznacza się prękości i przyspieszenia ogniw jθ jθ jθ j0 Prękości ae ( ( e + ce + e ) t t aω Prękość suwaka wzglęem jarzma ( cos( θ θ) + csin( θ θ )) t aω Prękość kątowa wahacza i jarzma ω sin( θ θ) jθ jθ jθ j0 Przyspieszenia ae ( ( e + ce + e ) t t E B F Przyspieszenie suwaka wzglęem jarzma t A E B D A F D Przyspieszenie kątowe wahacza i jarzma ε A E B D A B cosθ + c aε + aω cosθ + ω cω cosθ ω cosθ D cosθ E + ccosθ F aε cosθ aω + ω cosθ + cω + ω

6 J Buśkiewicz Analityczne Metoy Kinematyki w Teorii Mechanizmów 6 Orót i przesunięcie mechanizmu Jeżeli mechanizm jest orócony lu przesunięty wzglęem położenia pokazanego na schemacie korzystamy ze wzorów wyprowazonych powyżej Współrzęne punktów mechanizmu wyznacza się ze wzorów transformacyjnych Omówimy to na przykłazie czworooku przeguowego który jest poparty w taki sposó że oś łącząca punkty poparcia A i D tworzy z poziomem kąt γ Wtey kąty opisujące położenia ogniw są omierzane o tej osi o ogniwa i oliczane z wyprowazonych wzorów Punkt łącznika o współrzęnych ( x y) x acosθ + L cos( θ + α ) y a + L sin( θ + α ) zostaje orócony o kąt γ wzglęem początku ukłau współrzęnych Współrzęne punktu prze orotem i po orocie można wyrazić za pomocą współrzęnych iegunowych x r cosθ y r x ' r cos( θ + γ ) r cosθ cosγ r sinγ x cosγ y sinγ y ' r sin( θ + γ ) r cosγ + r cosθ sinγ y cosγ + x sinγ Gy węzeł O ma współrzęne (a) mechanizm należy przesunąć o wektor [ a ] Punkt ęzie miał współrzęne: x '' a + x ' y '' + y ' Rysunek 8 Krzywa łącznikowa po orocie czworooku o kąt γ