Przekształcenie całkowe Fouriera

Transkrypt

1 Przekształcenie całkowe Fouriera Postać zespolona szeregu Fouriera Niech ana bęzie funkcja f spełniająca w przeziale [, ] warunki Dirichleta. Wtey szereg Fouriera tej funkcji jest o niej zbieżny, tj. przy czym la n =,,... a + n= a n = b n = a = ( a n cos nπt f(t) t, f(t) cos nπt f(t) sin nπt + b n sin nπt ) Dokonując prostych przekształceń trygonometrycznych możemy szereg () przestawić w postaci zespolonej [ c n exp i nπt ] () n= gzie c n = [ f(t) exp i nπt ] t, n =, ±, ±,... Jeżeli jest okresem funkcji f, to powyższy wzór można przekształcić o postaci Przykła c n = t, t. [ f(t) exp i nπt ] t, n =, ±, ±,... Rozwinąć w szereg zespolony Fouriera funkcję okresową u(t) = la t = t la < t < T T () la t = T u(t) = u(t + T ), t R która przestawia napięcie półkształtne wytwarzane w tzw. generatorach postawy czasu. Napięcie takie może służyć o okresowego ochylania wiązki elektronów paającej na wewnętrzną stronę ekranu telewizora. Mamy tutaj = T, stą π = π = ϖ, gzie ϖ jest pulsacją analizowanego T napiecia okresowego.

2 Korzystając ze wzorów na współczynniki c n mamy kolejno Stą c n = T T T c n = c = T T T t t = t exp [ i nϖt] t =, n = ±, ±,... iϖt n la n = i nπ la n = ±, ±,... Szukane rozwinięcie jest więc następujące u(t) = + n= (n ) i nπ exp [i nϖt] Definicja Ciąg liczb {A n }, n =, ±, ±,..., gzie A n = c n nazywamy wimem amplituowym funkcji okresowej u(t) = c n exp [i nϖt] n= Definicja Ciąg liczb {φ n }, n =, ±, ±,..., gzie arg c n gy Im c n φ n = gy c n π sgn n gy c n < nazywamy wimem fazowym funkcji okresowej u(t) = n= c n exp [i nϖt] Symbol arg c n oznacza argument główny liczby c n, a więc π < arg c n π. Przykła Wyznaczymy wimo amplituowe i fazowe napięcia półkształtnego z poprzeniego przykłau. Z uwagi na rozwinięcie tej funkcji mamy A n = Wzór całkowy Fouriera la n = la n = ±, ±,... π n φ n = π sgn n n =, ±, ±,... Poamy teraz twierzenie Fouriera Twierzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki Dirichleta w każym przeziale skończonym, a ponato całka f(t) t

3 jest bezwzglęnie zbieżna, to π Całkę w powyższym wzorze rozumiemy nastepująco π [ f(τ) cos (t τ) τ t R (3) f(τ) cos (t τ) τ ] Korzystając z wzoru na cosinus różnicy kątów wzór (3) możemy zapisać w postaci gzie funkcje a i b są określone wzorami [ a() cos t + b() t ] (4) a() = π f(τ) cos τ τ (5) b() = f(τ) τ τ (6) π Całkę po prawej stronie równości (4) nazywamy całką Fouriera. Na postawie wzorów (5) i (6) można stwierzić, że funkcja a jest parzysta, a funkcja b - nieparzysta. Jeżeli f jest funkcją parzystą, to b() =, Jeżeli f jest funkcją nieparzystą, to a() =, a() = π b() = π f(τ) cos τ τ a() cos t (7) f(τ) τ τ a() t (8) Wzór (7) nazywamy cosinusowym wzorem całkowym Fouriera, a wzór (8) - sinusowym wzorem całkowym Fouriera. Przykła Przestawimy za pomocą wzoru całkowego Fouriera funkcję la t < la t = la t > Ponieważ poana funkcja jest parzysta, więc b() = a() = π f(τ) cos τ τ = π Postawiając obliczoną wartość a() o wzoru (7), otrzymujemy π 3 cos τ τ = π cos t

4 Równość ta stanowi przestawienie poanej funkcji za pomocą cosinusowego wzoru całkowego Fouriera. waga Porównując otrzymany wzór całkowy z wzorem poanej funkcji możemy zapisać a więc na przykła la t = otrzymamy cos t = = π π la t < π la t = 4 la t > Poobnie jak w zastosowaniach szeregów Fouriera, zachozi niekiey potrzeba przestawienia za pomocą całki Fouriera funkcji, która jest określona jeynie la oatnich wartości argumentu. Często zarza się, że nasze żąania są barziej sprecyzowane: chcemy przestawić funkcję f za pomocą cosinusowego wzoru całkowego Fouriera, wtey przełużamy funkcję w sposób parzysty f( t) la t < f(+) la t = f(t) la t > bąź za pomocą sinusowego wzoru całkowego Fouriera, wtey przełużamy funkcję w sposób nieparzysty f( t) la t < la t = Przykła Przestawimy funkcję f(t) la t > { t la t (, ] la t (, ) za pomocą cosinusowego, a następnie sinusowego wzoru całkowego Fouriera. W pierwszym przypaku przełużamy funkcję w sposób parzysty la t (, ) + t la t [, ) la t = t la t (, ] la t (, ) Mamy b() = a() = π ( τ) cos τ τ = π ską otrzymujemy cosinusowy wzór całkowy Fouriera π cos cos cos t t > 4

5 W rugim przypaku przełużamy funkcję w sposób nieparzysty la t (, ) t la t [, ) la t = t la t (, ] la t (, ) Mamy a() = b() = π ską otrzymujemy sinusowy wzór całkowy Fouriera π ( τ) τ τ = π t t > 3 Postać zespolona wzoru całkowego Fouriera Wzór całkowy Fouriera w postaci zespolonej jest następujący gzie c() = π Zgonie ze wzorem Eulera mamy c() exp [it] (9) f(τ) exp [ iτ] τ exp [ iτ] = cos τ i τ można wyrazić c() przez a() i b() określone wzorami opowienio (5) i (6) Przykła c() = a() i b() Przestawimy za pomocą wzoru całkowego Fouriera w postaci zespolonej funkcję la t < la t = la t > Ponieważ poana funkcja jest parzysta, więc b() = Wobec tego mamy a() = π f(τ) cos τ τ = π π c() = π cos τ τ = π exp [it] 5

6 4 Przekształcenie całkowe Fouriera Rozważmy wzór całkowy Fouriera w postaci zespolonej (9). Jeśli wprowazimy oznaczenie F (i) = exp[ it]f(t) t () to wzór (9) można zapisać w postaci π exp[it]f (i) () Wzór () przyporząkowuje funkcji f zmiennej rzeczywistej t funkcję F zmiennej urojonej i. Przyporząkowanie to nazywa się przekształceniem Fouriera funkci f i oznacza sie symbolem F: F (i) = F [f(t)] () Funkcja f nazywa się transformatą Fouriera funkcji f. Wzór () określa owrotne przekształcenie Fouriera, które funkcji F zmiennej urojonej i przyporząkowuje funkcję f zmiennej rzeczywistej t. Przekształcenie to znaczamy symbolem F, więc F [F (i)] (3) Przykła Obliczyć transformatę Fouriera funkcji t la t < sgn t la t = la t > Mamy F (i) = t e it t = t cos t t i t t t Część rzeczywista obliczanej transformaty jest równa zeru z uwagi na nieparzystość funkcji t cos t, natomiast część urojona jest równa t t t = t t t = cos + stą F (i) = i ( cos ) 4. Własności przekształcenia Fouriera. liniowość przekształcenia F gzie λ, λ R F [λ f (t) + λ f (t)] = λ F [f (t)] + λ F [f (t)] 6

7 . pochona F-transformaty 3. przesunięcie argumentu funkcji k F (i) k = ( i) k F [ t k f(t) ] k =,,..., n F [f(t t )] = e it F [f(t)] t R 4. przesunięcie argumentu transformaty F [ e i t f(t) ] = F (j( )) R 5. F-transformata pochonej jeżeli pochone f (k), k =,,,..., n spełniają warunki to lim f (k) (t) = t lim f (k) (t) = t + F [ f (n) (t) ] = (i) n F [f(t)] 4. Cosinusowe i sinusowe przekształcenie Fouriera Wzór określa cosinusowe, a wzór F c () = F s () = sinusowe przekształcenie Fouriera. Przykła Niech e αt, α >, t (, ). Wtey F c () = F s () = f(t) cos t t (4) f(t) t t (5) e αt cos t t = e αt t t = Można sprawzić, że jeżeli funkcja f jest parzysta, to a jeżeli f jest nieparzysta, to Wzór określa owrotne cosinusowe, a wzór π F (i) = F c () F (i) = if s () α α + α + F c () cos t (6) π owrotne sinusowe przekształcenie Fouriera. F s () t (7) 7