Minimalizacja kosztów

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Minimalizacja kosztów"

Judyta Lisowska
5 lat temu
Przeglądów:

1 Minimalizacja kosztów 1. (na wkładzie) Firma genealogiczna Korzenie produkuje dobro korzstając z jednego nakładu x użwając funkcji produkcji f(x) = x. (a) Ile jednostek x jest potrzebnch do wprodukowania jednostek produktu. Jeżeli w = 10 ile będzie kosztowało wprodukowanie 10 jednostek produkcji? Ponieważ = x = x = 2, do wprodukowania jedenostek produktu potrzeba x 2 jednostek nakładu. Jeżeli w = 10 to koszt wprodukowania 10 jednostek wniesie c() = w 2 = c(10) = = (b) Ile jednostek x jest potrzebnch do wprodukowania jednostek produktu. Jeżeli w = 10 ile będzie kosztowało wprodukowanie jednostek produkcji? Jeżeli w = 10 to koszt wprodukowania jednostek wniesie c() = (c) Znajdź funkcję kosztów c(). Funkcja kosztu c() = w 2. (d) Znajdź koszt przeciętn AC() = c(). Jakie korzści skali cechują funkcję produkcji f(x)? Koszt przeciętn Korzści skali funkcji f: AC() = c() = w 2 = w. f(tx) = tx = t 1/2 x = t 1/2 f(x) Funkcja produkcji cechuje się malejącmi korzściami skali. 1

2 2. Przedsiębiorca prz wkorzstaniu dwóch cznników produkcji produkuje produkt wkorzstując technologię opisaną następującą funkcją produkcji f(x 1, x 2 ) = x 1/3 1 x 1/3 2. Koszt pierwszego cznika wnosi w 1, a koszt drugiego cznnika produkcji w 2. (a) Przpuśćm, że przedsiębiorca chce wprodukować produkt jak najtaniej. Znajdź formułę na stosunek x1 x 2 w optimum. Problem przedsiębiorc: prz warunku min x 1,x 2 w 1 x 1 + w 2 x 2 = f(x 1, x 2 ). Funkcja Lagrangea dla tego problemu ma postać Warunki pierwszego rzędzu L = w 1 x 1 + w 2 x 2 λ ( ) x 1/3 1 x 1/3 2 L = 0 = w 1 = λ 1 x 1 3 x 2/3 1 x 1/3 2 = λ x 1 L = 0 = w 2 = λ 1 x 2 3 x1/3 1 x 2/3 2 = λ x 2 L = 0 = = x1/31 x 1/3 2 λ Dzieląc pierwsze równianie przez drugie otrzmujem warunek na stosunek x1 x 2 w 2 = x 1. w 1 x 2 w optimum (b) Znajdź zatrudnienie maszn i prac, które pozwolą w najtańsz możliw sposób wprodukować jednostek produktu (warunkowe funkcje poptu na cznniki). Korzstając z powższego warunku optimum w 1 x 1 = w 2 x 2 lub x 2 = w 1 w 2 x 1. Wstawiając to do funkcji produkcji otrzmujem = x 1/3 1 x 1/3 2 = x 1/3 1 ( ) 1/2 x 1 = 3/2 w2 w 1 co jest warunkową funkcją poptu na x 1 Warunkowa funkcja poptu na x 2 to ( w1 w 2 x 1 ) 1/3 = x 2/3 x 1 (, w 1, w 2 ) = 3/2 ( w2 w 1 x 2 (, w 1, w 2 ) = w 1 w 2 x 1 = 3/2 1 ) 1/2 ( w1 w 2 ( ) 1/3 w1 w 2 ) 1/2. 2

3 (c) Znajdź funkcję kosztów c(). Funkcja kosztu: ( ) 1/2 c() = w 1 x 1 + w 2 x 2 = 2 w 1 x 1 = 2 w 1 3/2 w2 = 2 3/2 (w 1 w 2 ) 1/2. w 1 3

4 3. Boguchwał ma szklarnie w której dogląda tulipanów. Jego sekret, któr pozwala mu wprodukować duże ilości tulipanów jest następując. Produkcja t tulipanów wmaga dwa raz więcej światła l niż wod o i dana jest funkcją t = min{l, 2o}. Koszt wod i światła wnosi odpowiednio w o i w l. (a) Znajdź warunkowe funkcje poptu na cznniki produkcji, tj. wodę i światło. Ab wprodukować (jak najtaniej) t tulipanów Boguchwał potrzebuje l jednostek światła i 2o jednostek wod. Warunkow popt na wodę i światło to l(t) = t, o(t) = t 2. (b) Znajdź funkcję kosztów c(t). Koszt wprodukowania jednego tulipana to w l + 2 w o. Koszt wprodukowania t tuplianów c(t) = t (w l + 2w o ) 4

5 Krzwe kosztów 1. Rosława zamierza otworzć kwiaciarnię w nowm centrum handlowm. Ma do wboru trz różne powierzchnie handlowe: m 2, m 2 i 1000m 2. Miesięczn cznsz wnosi 1 PLN za m 2. Rosława szacuje, że jeżeli dsponuje powierzchnią F m 2 i sprzedaje bukietów kwiatów miesięcznie jej koszt zmienn będzie wnosił c v () = 2 /F. (a) Zapisz jej AC i MC jeżeli F =. Jakie minimalizuje AC? Ile wówczas wnosi AC? Dla powierzchni F całkowit koszt sprzedaż bukietów kwiatów wnosi Dla F = c() = F + c v () = F + 2 F Warunek minimalnego AC() to lub MC() = AC(). Rozwiązanie problemu minimalizacji to c() = + 2 AC() = c() MC() = c() = + = 100 min = 0 = 2 = 2 = =. Rozwiązanie AC() = MC() jest dane przez + = 100 = Średni koszt produkcji kwiatów wnosi wted = AC() = + = 2. = =. (b) Zapisz jej AC i MC jeżeli F =. Jakie minimalizuje AC? Ile wnosi AC w tm przpadku? Dla F = c() = + 2 AC() = c() MC() = c() = + = 250 5

6 Warunek minimalnego AC() to lub MC() = AC(). Rozwiązanie problemu minimalizacji to min = 0 = 2 = 2 = =. Rozwiązanie AC() = MC() jest dane przez + = 250 = = = =. Średni koszt produkcji kwiatów wnosi wted AC() = + = 2. (c) Zapisz jej AC i MC dla F = Dla jakiego AC jest najmniejsze? Ile wnosi AC? Dla F = 1000 Warunek minimalnego AC() to lub MC() = AC(). Rozwiązanie problemu minimalizacji to c() = AC() = c() MC() = c() = 1000 = 1000 min = 0 = 2 = = = Rozwiązanie AC() = MC() jest dane przez = = 1000 = 1000 = = Średni koszt produkcji kwiatów wnosi wted AC(1000) = = 2. 6

7 (d) Narsuj wszstkie krzwe AC i M C na jednm rsunku. Na tm samm rsunku narsuj krzwe LRAC i LRMC AC AC AC

8 Podaż firm 1. Mirosława produkuje sakiewki. Jej funkcja kosztów ma postać c() = (a) Znajdź AC, AV C, i MC. Zauważ, że w naszm przpadku c() = c v () + F ma postać Wted, AC() = c() AV C() = c v() c v () = F = 5. = = AF C() = F = 5 MC() = c() = c () = = = (b) Krótki okres. Jeżeli cena napraw samochodu wnosi 14 PLN, to ile sakiewek wprodukuje Mirosława?(Wskazówka: = (3 4)( 4))) Ile, jeżeli cena wnosi 9 PLN? (Wskazówka: = (3 7)( 3)) Warunek maksmalizacji zsku dan jest przez max {p c()}, któr oznacza dla > 0 p = MC() i spełnienie warunku drugiego rzędu MC () > 0. Dodatkowo, dla > 0 musi zachodzić p > AV C(). Dla p = 14 warunek p = MC() możem zapisać jako Zgodnie ze wskazówką, 14 = = = = (3 4)( 4) co oznacza, że równanie ma dwa rozwiązania: = 4/3 i = 4. Warunek drugiego rzędu, MC () > 0, jest spełnion dla MC () = 6 16 > 0 = > 8 3 Oznacza, że zsk jest maksmalizowan dla = 4. Ponieważ AV C(4) = = = p, wielkość produkcji sakiewek w wsokości = 4 maksmalizuje zsk Mirosław (i pokrwa koszt zmienn). Dla p = 9 warunek p = MC() oznacza 9 = = = 0. 8

9 Zgodnie ze wskazówką, = (3 7)( 3) co oznacza, że równanie ma dwa rozwiązania: = 7/3 i = 3. Warunek drugiego rzędu, MC () = 6 16 > 0 = > 8 3 jest spełnion dla = 3. Ponieważ jednak AV C(3) = = = 15 > 9 = p, to prz tej cenie przchód z produkcja sakiewek nie pokrwa kostów zmiennch produkcji i Mirosława nie będzie produkować sakiewek. (c) Długi okres. Jeżeli cena napraw samochodu wnosi 14 PLN, to ile sakiewek wprodukuje Mirosława (Wskazówka: = (3 4)( 4))? Ile, jeżeli cena wnosi 25 PLN? (Wskazówka: = (3 1)( 5)) Warunek długookresowej równowagi wmaga, żeb p AC(). Dla p = 14 wiem, że = 4 maksmalizuje zsk ale generuje stratę, ponieważ AC(4) = = < 14 = p. 4 Dla p = 14 Mirosława nie będzie produkować sakiewek w długim okresie. Dla p = 25 warunek p = MC() oznacza 25 = = = 0. Zgodnie ze wskazówką, = (3 1)( 5) co oznacza, że równanie ma dwa rozwiązania: = 1/3 i = 5. Warunek drugiego rzędu, MC () = 6 16 > 0 = > 8 3 jest spełnion tlko dla = 5. Ponieważ jednak AC(5) = = = 15 < 25 = p, to prz tej cenie produkcja maksmalizująca zsk = 5 prznosi Mirosławie zsk. (d) Przpuśćm, że p = 25. Narsuj na rsunku p, AC, AV C i MC a następnie pokaż zsk Mirosław AC MC p Zsk 9

10 (e) Znajdź i pokaż na rsunku krzwą podaż Mirosław w krótkim okresie. (f) Znajdź i pokaż na rsunku krzwą podaż Mirosław w długim okresie. (Wskazówka: = 0 dla 4, 146.) 10

11 Podaż gałęzi 1. Znajdź rnkowe krzwe podaż w następującch przpadkach: (a) S 1 (p) = p, S 2 (p) = 2p, S 3 (p) = 3p, (b) S 1 (p) = 2p, S 2 (p) = p 1. 3 S(p) = S i (p) = 6p i=1 S(p) = 2 S i (p) = i=1 { 2p dla 0 p < 1, 3p 1 dla p 1, 11

12 Monopol 1. Monopolista napotka na odwróconą funkcję poptu p() = 12, a krzwa kosztów jest dana za pomocą c() = 2. (a) Jaka będzie wielkość produkcji, jeżeli monopolista maksmalizuje zsk? Monopolista maksmalizuje zsk czli Warunek pierwszego rzęd to MR() = MC() max p() c() max = 2 = M = 3. (b) Jaka wielkość produkcji jest efektwna w sensie Pareto? Efektwna w sensie Pareto wielkość produkcji odpowiada warunkowi p() = MC() czli 12 = 2 = P = 4. (c) Policz i pokaż pustą stratę dobrobtu. Pusta strata społeczna to różnica nawżek konsumenta i producenta międz tmi dwoma alokacjami. 12

13 15 10 MC p M 9 p P D p MR 2 4 M P Wielkość pustej strat to pole trójkąta Strata = 1 2 (9 6) (4 3) = 3 2 (d) Przepuśćm, że monopolista może doskonale dskrminować cenowo (sprzedawać każd produkt po jego cenie granicznej). Ile wnosi produkcja i strata pusta? Produkcja wnosi 4 a pusta strata społeczna wniesie 0. 13

Podobne dokumenty

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Podaż firmy

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Podaż firmy 2010 W. W. Norton & Coman, Inc. Podaż firm Podaż Firm Podaż firm zależ od technologii otoczenia rnkowego celów firm zachowania konkurencji 2010 W. W. Norton & Coman, Inc. 2 Podaż Firm Ograniczenie techniczne