Wyk lad 3 Grupy cykliczne
|
|
- Feliks Pietrzyk
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym przypaku (tzn. gy a n e la każego n N) mówimy, że rza elementu a jest równy (nieskończoność). Rza elementu a oznaczamy przez. Przyk la 3.2. Zauważmy, że o( 1) = 2 w grupie R, gyż w tym przypaku e = 1 oraz 1 1 i ( 1) 2 = 1. Natomiast w grupie R + mamy, że o( 1) =, bo wówczas e = 0 oraz la każego n N jest n ( 1) = n 0. Uwaga 3.3. Przyk la 3.2 pokazuje, że należy być barzo ostrożnym przy wyznaczaniu rzeu elementu grupy. Przee wszystkim musimy rozumieć nature zia lania grupowego oraz wiezieć jak wyglaa element neutralny tej grupy. Uwaga 3.4. Ze Stwierzeń 2.16 i 2.17 wynika o razu, że la owolnego elementu a skończonego rz eu grupy G zachozi wzór: = a. W szczególności z Twierzenia 2.9 mamy, że rza owolnego elementu grupy skończonej jest zielnikiem jej rzeu. Stwierzenie 3.5. Niech a b ezie elementem skończonego rz eu grupy (G,, e). Wtey la owolnego ca lkowitego k: a k = e k. Dowó. Jeśli k, to istnieje s Z takie, że k = s. Zatem a k = a s = (a ) s = e s = e. Na owrót, za lóżmy, że a k = e. Wtey istnieja q, r Z takie, że k = q + r i 0 r <. Sta e = a k = a q +r = a q a r = e a r = a r, czyli a r = e. Ale r <, wiec r N, czyli r = 0. Zatem k = q i k. Stwierzenie 3.6. Jeżeli a i b sa elementami skończonych wzglenie pierwszych rzeów grupy G oraz a b = b a, to o(ab) = o(b). Dowó. Oznaczmy: n =, m = o(b). Wtey m, n N, (m, n) = 1 oraz a n = e i b m = e. Z Twierzenia 1.14, (ab) k = a k b k la każego k Z. W szczególności (ab) mn = a mn b mn = e e = e, ska l = o(ab) mn. Ale e = (ab) l = a l b l, wiec e = (a l b l ) n = = a ln b ln = eb ln = b ln, czyli b ln = e. Zatem ze Stwierzenia 3.5, m ln. Ale (m, n) = 1, wiec z zasaniczego twierzenia arytmetyki, m l. Analogicznie pokazujemy, że n l. 1
2 Ponieważ m l i n l oraz (m, n) = 1, wiec mn l, czyli mn l. Ale wcześniej pokazaliśmy, że l mn, wiec ostatecznie l = mn, czyli o(ab) = o(b). Stwierzenie 3.7. Jeżeli a jest elementem nieskończonego rz eu grupy (G,, e), to la owolnych liczb ca lkowitych k i l: a k = a l k = l. W szczególności grupa a jest nieskończona. Ponato grupa a posiaa ok lanie wa generatory: a i a 1. Dowó. Za lóżmy, że istnieja różne liczby ca lkowite k, l takie, że a k = a l. Bez zmniejszania ogólności możemy zak laać, że k > l. Wtey k l N i a k l = e, co przeczy temu, że =. Implikacja owrotna jest oczywista. Ponieważ a = (a 1 ) 1 a 1, wiec a a 1. Ale a 1 a, wiec a 1 = a, czyli a 1 jest generatorem grupy a. Ponato z pierwszej cześci owou a 1 a. Niech teraz b a bezie generatorem grupy a. Wtey istnieje liczba ca lkowita k taka, że b = a k oraz a a k. Zatem istnieje l Z takie, że a = (a k ) l = a kl. Zatem z pierwszej cześci owou kl = 1, ska k = 1 lub k = 1 oraz b = a lub b = a 1. Lemat 3.8. Niech a b ezie elementem skończonego rz eu grupy G. Wówczas la owolnej liczby ca lkowitej k: a k = a (,k). Dowó. Oznaczmy = (, k). Wtey k, wiec k = l la pewnego l Z, ska a k = (a ) l a. Zatem a k a. Ponato z elementarnej teorii liczb wiemy, że istnieja liczby ca lkowite x, y takie, że = x + ky. Sta a = a x+ky = a x a ky = = e a ky = (a k ) y a k. Zatem a a k i ostatecznie a = a k. Twierzenie 3.9. Niech a b ezie elementem skończonego rz eu grupy (G,, e). Wtey: (i) la owolnego naturalnego zielnika liczby zachozi wzór: o(a ) =, (ii) la owolnej liczby ca lkowitej k zachozi wzór: o(a k ) = (,k). Dowó. (i) Zauważmy, że N i (a ) = a = a = e. Zatem k = o(a ). Ale e = (a ) k = a k, wiec ze Stwierzenia 3.5 mamy, że k. Zatem k, czyli k i ostatecznie k =. (ii) Z Lematu 3.8 mamy, że a k = a (,k). Ale = (, k) jest naturalnym zielnikiem, wiec z (i) oraz z Uwagi 3.4 uzyskujemy, że = o(a (,k) ) = (,k) a (,k) = a k = o(a k ). 2
3 Twierzenie Za lóżmy, że a jest skończona grupa cykliczna rzeu n. Niech bezie zielnikiem naturalnym liczby n. Wtey w grupie a istnieje ok lanie ϕ() elementów rzeu i sa one postaci a n k, gzie k {1,..., } oraz (k, ) = 1. Dowó. Niech k {1,..., } bezie takie, że (k, ) = 1. Wtey ( n k, n) = ( n k, n ) = n (k, ) = n 1 = n. Zatem z Twierzenia 3.9, o(a n k ) = n n =. Niech teraz b a bezie elementem rzeu. Wtey istnieje liczba naturalna m n taka, że b = a m oraz z Twierzenia 3.9, = o(a m ) = n, sk a (m,n) (m, n) = n. Ale (m, n) m, wiec istnieje k N takie, że m = n k. Ponato n = (m, n) = ( n k, n ) = n (k, ), wiec (k, ) = 1. Ale m n, wiec n k n, sk a k. Jeśli k, l {1,..., }, (k, ) = (l, ) = 1 oraz a n k = a n l, to a n (k l) = e, wiec ze Stwierzenia 3.5, n n (k l), sk a k l. Ale k, l {1,..., }, wiec k = l. Wniosek Skończona grupa cykliczna a rzeu n posiaa ok lanie ϕ(n) generatorów i sa one postaci: a k, gzie k {1,..., n} oraz (k, n) = 1. Dowó. Element b a jest generatorem grupy a wtey i tylko wtey, gy o(b) = n. Zatem z Twierzenia 3.10 grupa a posiaa ok lanie ϕ(n) generatorów i sa one postaci: a n n k = a k, gzie k {1,..., n} oraz (k, n) = 1. Twierzenie Każa pogrupa grupy cyklicznej jest grupa cykliczna. Dowó. Niech (G,, e) bezie grupa cykliczna o generatorze a i niech H bezie owolna jej pogrupa. Jeśli H ={e}, to H = e, czyli grupa H jest cykliczna. Za lóżmy wiec alej, że H {e}. Wtey istnieje k Z takie, że e a k H. Sta k 0 i a k = (a k ) 1 H. Zatem k N lub k N i z zasay minimum istnieje najmniejsza liczba naturalna m taka, że a m H. Wtey a m H. Weźmy owolne h H. Istnieje s Z takie, że h = a s. Ale s = qm + r la pewnych q, r Z, 0 r < m, wiec a s = a qm+r = a qm a r = (a m ) q a r, ska a r = a s (a m ) q H, czyli a r H. Ponato 0 r < m, wiec z minimalności m, r N, czyli r = 0. Zatem h = (a m ) q a m, czyli H a m i ostatecznie H = a m. Twierzenie Grupa cykliczna nieskończona a posiaa nieskończenie wiele pogrup i sa one postaci: a n, gzie n = 0, 1,... Dowó. Z Twierzenia 3.12 wynika, że każa pogrupa H grupy a jest postaci H = a k la pewnego k Z. Ale a k = (a k ) 1 a k, wiec a k a k oraz a k a k, bo a k a k, wiec a k = a k, czyli H = a n la pewnego n = 0, 1,... Niech m, n {0, 1,...} be a takie, że a m = a n. Wtey a m a n, wiec istnieje k Z takie, że a m = (a n ) k = a nk. Zatem ze Stwierzenia 3.7, m = nk, czyli n m. Analogicznie pokazujemy, że m n. Sta m n i n m oraz n, m {0, 1,...}, wiec m = n. Przyka Ponieważ Z + = 1 i o(1) =, wiec z Twierzenia 3.13 wynika, że wszystkimi pogrupami grupy Z + sa: n = {n k : k Z} la n = 0, 1,... Zauważmy, 3
4 że pogrupa n jest nam obrze znana już o szko ly postawowej, gyż jej elementami sa wszystkie ca lkowite wielokrotności liczby n. Ponato ze Stwierzenia 3.7 wynika, że grupa Z + posiaa ok lanie wa generatory: 1 i 1. Twierzenie Wszystkimi pogrupami skończonej grupy cyklicznej a sa pogrupy postaci a, gzie przebiega wszystkie zielniki naturalne liczby. W szczególności liczba wszystkich pogrup grupy a jest równa liczbie wszystkich zielników naturalnych liczby. Dowó. Jeśli a 1 = a 2 la pewnych zielników naturalnych 1, 2 liczby, n to z Twierzenia 3.9 i z Uwagi 3.4: 1 = o(a 1 ) = a 1 = a 2 = o(a 2 ) = n 2, czyli 1 = 2. Niech H bezie owolna pogrupa grupy a. Wtey z Twierzenia 3 istnieje k Z takie, że H = a k. Ale z Lematu 3.8, a k = a (,k) i (, k) jest zielnikiem naturalnym liczby, wiec twierzenie zosta lo uowonione. Uwaga Z Twierzenia 3.15 wynika, że istnieje wzajemnie jenoznaczna opowieniość pomiezy zbiorem wszystkich pogrup skończonej grupy cyklicznej a i zbiorem wszystkich zielników naturalnych liczby. W szczególności wynika sta, że la każej liczby naturalnej zielacej rza skończonej grupy cyklicznej a istnieje ok lanie jena pogrupa rzeu grupy a. Stwierzenie Jeżeli liczba naturalna n posiaa co najmniej wa różne, nieparzyste zielniki pierwsze, to grupa Z n nie jest cykliczna. Dowó. Z za lożenia istnieja różne, nieparzyste liczby pierwsze p, q oraz liczby naturalne α, β, m takie, że n = p α q β m oraz m nie jest pozielne ani przez p ani przez q. Z chińskiego twierzenia o resztach wynika zatem, że istnieja a, b Z n takie, że a 1 (mo p α ), a 1 (mo q β m) oraz b 1 (mo p α m) i b 1 (mo q β ). Ponieważ liczby p i q sa nieparzyste, wiec a 1 i b 1. Gyby a = b, to 1 1 (mo p α ), ska p α 2 i mamy sprzeczność. Zatem a b i wobec tego {1, a} = {1, b}. Ponato a 2 1 (mo p α ) i a 2 1 (mo q β m), wiec a 2 1 (mo n), ska a n a = 1, czyli = 2 w grupie Z n, ska a = {1, a}. Poobnie pokazujemy, że b = {1, b}. Zatem grupa Z n posiaa wie różne pogrupy rzeu 2, wic z Uwagi 3.16 ta grupa nie jest cykliczna. Uwaga Z elementarnej teorii liczb wiaomo, że jeśli n = p α p αs s, gzie p 1,..., p s sa różnymi liczbami pierwszymi oraz α 1,..., α s sa nieujemnymi liczbami ca lkowitymi, to liczba wszystkich zielników naturalnych liczby n jest równa Θ(n) = (α 1 + 1)... (α s + 1). Ponato ϕ(n) = ϕ(p α 1 1 )... ϕ(p αs s ) i la liczb pierwszych p oraz α N, ϕ(p α ) = p α p α 1. Przyk la Niech n N, n > 1. Wtey Z + n = 1 oraz o(1) = n. Zatem z Wniosku 3.11 grupa Z + n posiaa ok lanie ϕ(n) generatorów i sa nimi liczby naturalne 4
5 k n wzglenie pierwsze z n. Ponato pogrupy grupy Z + n sa postaci: {0} oraz = {0,, 2,..., ( n 1) }, gzie < n jest zielnikiem naturalnym liczby n. Zatem grupa Z + n posiaa ok lanie Θ(n) wszystkich pogrup. Lemat Niech a bezie elementem maksymalnego rzeu w skończonej grupie abelowej A. Wówczas o(b) la każego b A. Dowó. Za lóżmy, że istnieje b A takie, że o(b) nie zieli. Wtey istnieje liczba pierwsza p oraz liczby naturalne m, n niepozielne przez p i nieujemne liczby ca lkowite α, β takie, że α < β oraz = p α m i o(b) = p β n. Niech x = a pα i y = b n. Wtey z Twierzenia 3.9, o(x) = m oraz o(y) = p β. Ale (m, p β ) = 1, gyż p nie zieli m, wiec ze Stwierzenia 3.6, o(xy) = p β m > p α m = i mamy sprzeczność. Twierzenie Jeżeli A jest skończona grupa abelowa i la każej liczby naturalnej zielacej A istnieje ok lanie jena pogrupa rzeu grupy A, to grupa A jest cykliczna. Dowó. Za lóżmy, że przy tych za lożeniach grupa A nie jest cykliczna. Niech a bezie elementem maksymalnego rzeu w grupie A. Wtey a = A, wiec istnieje b A takie, że b a. Z Lematu 3.20, o(b). Zatem z Twierzenia 3.15 istnieje w grupie a pogrupa H rzeu o(b). Ale b = o(b), wiec na mocy za lożenia b = H, ska b H a, czyli b a i mamy sprzeczność. Zatem grupa A jest cykliczna. Wniosek Dla każej liczby pierwszej p grupa Z p jest cykliczna. Dowó. Ponieważ p jest liczba pierwsza, wiec Z p = {1, 2,..., p 1}, czyli Z p = p 1. Ponato grupa Z p jest abelowa. Niech a Z p bezie elementem maksymalnego rzeu r. Wtey z Uwagi 3.4, r p 1, wiec r p 1. Ponato z Lematu 3.20 mamy, że o(b) r la każego b Z p. Zatem b r = 1 la każego r Z p. Wobec tego kongruencja x r 1 0(mo p) ma co najmniej p 1 rozwiazań. Ale z twierzenia Lagrange a o liczbie pierwiastków kongruencji moulo liczba pierwsza wynika, że liczba rozwiazań tej kongruencji jest r. Zatem p 1 r i ostatecznie r = p 1. Wobec tego a = Z p, czyli a jest generatorem grupy Z p i ta grupa jest cykliczna. Zagaka 1. Dla jakich liczb naturalnych k jest cykliczna grupa Z 2 k? Zagaka 2. skończona? Zagaka 3. rza? Czy każa grupa posiaajaca jeynie skończona liczbe pogrup jest Czy istnieje grupa nieskończona, której każy element ma skończony Zagaka 4. Uowonij, że jeśli liczba naturalna n jest pozielna przez 4 i zieli sie przez pewna nieparzysta liczbe pierwsza, to grupa Z n nie jest cykliczna. Zagaka 5. Uowonij, że jeżeli skończona grupa G ma rza parzysty, to w G istnieje 5
6 element rz eu 2. Zagaka 6. Niech (A, +, 0) bezie grupa abelowa i a 1, a 2,..., a n A. Uowonij, że a 1, a 2,..., a n = {k 1 a 1 + k 2 a k n a n k 1, k 2,..., k n Z}. Zagaka 7. Uowonij, że każa skończenie generowana pogrupa grupy Q + jest cykliczna. Uzasanij też, że grupa Q + nie jest skończenie generowana. 6
Wyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoWPPT 2r., sem. letni KOLOKWIUM 1 Wroc law, 19 kwietnia 2011
A N A L I Z A F U N K C J O N A L N A WPPT r, sem letni KOLOKWIUM Wroc law, 9 kwietnia 0 ZADANIE ab W pewnej przestrzeni mamy wie metryki i przy czym czyni nasz a przestrzeń zwart a a jest s labsza o (tzn
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie całkowe Fouriera
Przekształcenie całkowe Fouriera Postać zespolona szeregu Fouriera Niech ana bęzie funkcja f spełniająca w przeziale [, ] warunki Dirichleta. Wtey szereg Fouriera tej funkcji jest o niej zbieżny, tj. przy
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoRzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15
Materiały Dydaktyczne 2015 Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e i niech a G. Załóżmy, że istnieje co najmniej jedna
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoWYKŁAD nr Ekstrema funkcji jednej zmiennej o ciągłych pochodnych. xˆ ( ) 0
WYKŁAD nr 4. Zaanie programowania nieliniowego ZP. Ekstrema unkcji jenej zmiennej o ciągłych pochonych Przypuśćmy ze punkt jest punktem stacjonarnym unkcji gzie punktem stacjonarnym nazywamy punkt la którego
Bardziej szczegółowoProstota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.
Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWielomiany Hermite a i ich własności
3.10.2004 Do. mat. B. Wielomiany Hermite a i ich własności 4 Doatek B Wielomiany Hermite a i ich własności B.1 Definicje Jako postawową efinicję wielomianów Hermite a przyjmiemy wzór Roriguesa n H n (x)
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
ELEMENTY TEORII GRAFÓW Literatura: N.Deo Teoria grafów i e zastosowania... PWN (1980) Ross, Wright Matematyka yskretna PWN (199) R.Wilson Wprowazenie o teorii grafów PWN (1999) J.Kulikowski Zarys teorii
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Przyk lady homomorfizmów
Wyk lad 6 Przyk lady hooorfizów Przyk lad 6.1. Dla dowolnych grup (G 1, 1, e 1 ), (G 2, 2, e 2 ) przekszta lcenie f: G 1 G 2 dane wzore f(x) = e 2 dla x G 1 jest hooorfize grup, bo f(a) 2 f(b) = e 2 2
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 5. Renty życiowe
ROZDZIAŁ 5 Renty życiowe Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy czy osoba której przyszły czas
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowoKONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.
KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.
Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowoRelacje Kramersa Kroniga
Relacje Kramersa Kroniga Relacje Kramersa-Kroniga wiążą ze sobą część rzeczywistą i urojoną każej funkcji, która jest analityczna w górnej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej. Pozwalają na otrzymanie części
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa II wykład dziesiąty
Geometria Różniczkowa II wykła ziesiąty Wykła ziesiąty rozpoczyna serię wykłaów poświęconych geometrii symplektycznej. Zajmować się bęziemy głównie zastosowaniami geometrii symplektycznej w mechanice,
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowo1. Zadania z Algebry I
1 Zadania z Algebry I Z 11 Znaleźć podgrupy grup Z 12, Z 8, D 6 i D 12 i narysować graf zawierań mie dzy nimi Z 12 Niech Q 8 := j, k GL(2, C), gdzie j, k sa macierzami: j = ( ) i 0 0 i k = ( 0 ) 1 1 0
Bardziej szczegółowoOdwrotne twierdzenie Fermata. Odwrotne twierdzenie Fermata
Przypomnijmy... a p, a p 1 1 (mod p). Zachodzi naturalne pytanie...... czy z faktu a m 1 1 (mod m) wynika, że m = p? Niekoniecznie. Wprawdzie, jeszcze przed 25 wiekami chińscy matematycy uważali, że podzielność
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowo1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Bardziej szczegółowo25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1. P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Logika Hoare a
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Logika Hoare a Rozważamy najprostszy model imperatywnego jezyka programowania z jednym typem danych. Wartości tego
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowoSumy kolejnych bikwadratów
Sumy kolejnych bikwadratów Znane są następujące dwie równości Andrzej Nowicki 18 maja 2015, wersja bi-12 3 2 + 4 2 = 5 2 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3. Czy istnieją podobnego typu równości dla czwartych potęg?
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna
Grzegorz Bobiński Matematyka Dyskretna Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2016 Spis treści 1 Elementy teorii liczb 1 1.1 Twierdzenie o dzieleniu z resztą.................
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II
1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność
Bardziej szczegółowo1 Znaleźć wszystkie możliwe tabelki dzia lań grupowych na zbiorze 4-elementowym.
Algebra I Bardzo dobrym źród lem zadań (ze wskazówkami do rozwia zań) jest M Bryński, J Jurkiewicz - Zbiór zadań z algebry, doste pny w bibliotece Moje zadania dla studentów z *: https://wwwmimuwedupl/%7eaweber/zadania/algebra2014/grupyzadpdf
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowoWykład 1. Wprowadzenie do teorii grafów
Wykła 1. Wprowazenie o teorii grafów 1 / 111 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka la programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowazenie o algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B. Wright;
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o
Bardziej szczegółowoHarmoniki sferyczne. Dodatek C. C.1 Wprowadzenie. Całka normalizacyjna I p (n)
3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 1 Doatek C Harmoniki sferyczne C.1 Wprowazenie Harmoniki sferyczne są funkcjami specjalnymi pojawiającymi się w wielu zaganieniach fizyki. W poręcznikach fizyki matematycznej
Bardziej szczegółowoZastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA
Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA Grzegorz Bobiński Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń, 22.05.2010 Kodowanie a szyfrowanie kodowanie sposoby przesyłania danych tak, aby
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna
Grzegorz Bobiński Matematyka Dyskretna Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2013 Spis treści 1 Elementy teorii liczb 1 1.1 Twierdzenie o dzieleniu z resztą.................
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 10: Algorytmy teorii liczb Gniewomir Sarbicki Literatura A. Chrzęszczyk Algorytmy teorii liczb i kryptografii w przykładach Wydawnictwo BTC 2010 N. Koblitz Wykład z teorii liczb
Bardziej szczegółowoPRZYGOTOWAWCZYCH KLASY DRUGIE
ROZWIAZANIA ZADAŃ PRZYGOTOWAWCZYCH - 005 KLASY DRUGIE Zadanie 1. Czy liczba m = 1 } 00...00 {{} 5 00...00 }{{} 1 może być: a) kwadratem liczby naturalnej, b) sześcianem liczby naturalnej?. a) Zauważmy,
Bardziej szczegółowoOSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowoPierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne
Kongruencje wykład 7 Definicja Jeżeli rząd elementu a modulo n (dla n będącego liczba naturalną i całkowitego a, a n) wynosi φ(n) to a nazywamy pierwiastkiem pierwotnym modulo n. Przykład Czy 7 jest pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoKongruencje twierdzenie Wilsona
Kongruencje Wykład 5 Twierdzenie Wilsona... pojawia się po raz pierwszy bez dowodu w Meditationes Algebraicae Edwarda Waringa (1770), profesora (Lucasian Professor) matematyki w Cambridge, znanego głównie
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowoObroty w zadaniach geometrycznych
Obroty w zadaniach geometrycznych Piotr Grzeszczuk piotrgr@pb.bialystok.pl Wydzia l Informatyki Politechnika Bia lostocka Spotkania z matematyka SIGNUM, Centrum Popularyzacji Matematyki Bia lystok, 15
Bardziej szczegółowoLiczby pierwsze. Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku.
Liczby pierwsze Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku. Liczbą pierwszą nazywany każdą taką liczbę naturalną, która posiada dokładnie dwa dzielniki naturalne, czyli jest podzielna
Bardziej szczegółowoStatystyka A. Arkadiusz Kasprzyk. 18 listopada jednowymiarowej zmiennej losowej
Statystyka A Arkaiusz Kasprzyk 18 listopaa 2010 1 Zmienne losowe 1.1 Dystrybuanta i gestość jenowymiarowej zmiennej losowej Niech B oznacza σ-cia lo zbiorów borelowskich na prostej R, natomiast przez F
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 10: Algorytmy teorii liczb Gniewomir Sarbicki Literatura A. Chrzęszczyk Algorytmy teorii liczb i kryptografii w przykładach Wydawnictwo BTC 2010 N. Koblitz Wykład z teorii liczb
Bardziej szczegółowoLiczby naturalne i ca lkowite
Chapter 1 Liczby naturalne i ca lkowite Koncepcja liczb naturalnych i proste operacje arytmetyczne by ly znane już od oko lo 50000 tysiȩcy lat temu. To wiemy na podstawie archeologicznych i historycznych
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowo