Operacje elementarne na macierzach. Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa. Badanie rozwiązalności układów równań

Transkrypt

1 WYKŁAD 3 Opecje elemete mciezch Rozwiązywie ukłdów ówń metodą elimicji Guss Bdie ozwiązlości ukłdów ówń Wcmy tez do ukłdów ówń liiowych lgeiczych A53 (Defiicj) Ukłdem m ówń liiowych z iewidomymi zywmy ukłd ówń postci: ( m ) x x x x x x mx mx mx m gdzie dl i m j i x x x Rozwiąziem ukłdu ówń () zywmy kżdy ciąg ( x x x ) licz zeczywistych spełijących te ukłd Ukłd ówń któy ie m ozwiązń zywmy ukłdem spzeczym x def x Niech [ ] m A X B mx x m m m m Wtedy ukłd () moż zpisć w postci mciezowej: AX=B () tki ukłd zywmy ukłdem iejedoodym Ukłd AX=0 zywmy ukłdem jedoodym; jedym z ozwiązń ukłdu jedoodego jest mciez zeow 0 X [ 0] x 0 Mciez A zywmy mciezą główą ukłdu () mciez X mciezą (kolumą) iewidomych mciez B mciezą (kolumą) wyzów wolych A54 (Defiicj) Ukłdem Cme zywmy ukłd () w któym A jest mciezą ieosoliwą ( A [ ] ) x A+B55 (Twiedzeie) Ukłd Cme m dokłdie jedo ozwiązie X A B (3) ()

2 Dowód: ) m ozwiązie : AX A( A B) ( AA ) B IB B ; ) dokłdie jedo : możymy lewostoie () pzez mciez : A ( AX ) A B ( A A) X A B X A B A56 (Defiicj) Ukłdy ówń liiowych są ówowże jeżeli zioy ich ozwiązń są idetycze A+B57 (Fkt) Pode poiżej opecje wieszch mciezy ozszezoej def A B] m m m [ ukłdu () pzeksztłcją go ukłd ówowży: 57) zmi między soą wieszy ( ); 57) możeie wiesz pzez stłą óżą od ze ( c wi c 0); 573) dodwie do ustloego wiesz iego wiesz ( w i w k 574) skeśleie wiesz złożoego z smych ze ( w i ); w i w k 575) skeśleie jedego z wieszy ówych lu popocjolych ( 576) zmi miejscmi dwóch kolum pzy jedoczesej zmiie iewidomych ( k k ) j e A+B58 (Fkt metod elimicji Guss) Ukłd () ozwiązujemy stępująco: 58) udujemy mciez ozszezoą ukłdu: ); A w [ A B] ; m m m 58) mciezy ozszezoej dokoujemy ówowżych pzeksztłceń ukłdu spowdzjąc ją do postci: x x x x x [ A B] pzy czym ostti wiesz może ie pojwić się wcle lo wystąpi ze współczyikiem 0; wówczs ) jeżeli 0 to ukłd AX=B jest spzeczy; i ~ w k );

3 ) jeżeli ostti wiesz mciezy ie pojwi się i to ukłd AX=B jest ówowży ukłdowi Cme (ukłd ozczoy) i jego jedye ozwiązie m postć x x x c) jeżeli ostti wiesz mciezy ie pojwi się i to ukłd AX=B m ieskończeie wiele ozwiązń (ukłd ieozczoy) pzy czym spośód iewidomych ozczoych symolmi x x zleży [ A B] [ A B] od pozostłych iewidomych x x w stępujący sposó: x x x x (4) x x x x Niewidome są pmetmi i mogą pzyjmowć dowole wtości (jeżeli w (4) jest wyzczo jedozczie ( jest zędem mciezy A) x x 0 to wszystkie iewidome są pmetmi) Licz A+B59 (Wiosek) Metod elimicji Guss dl ukłdów Cme jest metodą pzeksztłci mciezy ozszezoej [ AB ] ukłdu do postci końcowej [ I X ] kozystjąc z opecji elemetych Ostti kolum jest wtedy ozwiąziem ukłdu A+B60 (Wiosek) Metod elimicji Guss dl zjdowi mciezy odwotej A I do A jest metodą polegjącą pzeksztłciu mciezy [ ] postci końcowej [ I X ] Wtedy X A B6 (Uwg) Pktyczą wesją metody elimicji Guss dl ukłdów () jest metod kolum jedostkowych któ poleg ówowżym pzeksztłciu mciezy ukłdu do możliwych jedostkowych kolum z jedykmi w óżych wieszch A+B+C6 (Uwg) W podoy sposó moż zdć ozwiązlość ukłdów () w któych mcieze A X oz B są zespoloe A+B+C63 (Ćwiczeie) Niech mcieze ABCX mją wymi Zpisć ukłd liiowy AX+XB=C w postci () dl 3 3 Wyzczik mciezy Wzoy Cme Kyteium odwclości mciezy Mciez odwot Wektoy i wtości włse A+B64 (Defiicj: wyzczik mciezy) Wyzczikiem mciezy kwdtowej zywmy fukcję któ kżdej mciezy zeczywistej (zespoloej) A pzypisuje liczę zeczywistą (zespoloą) det A = A X

4 Wyzczik mciezy A zdefiiujemy idukcyjie: 64 Jeżeli mciez A m stopień det A det 64 Jeżeli mciez A m stopień to det A det 643 Jeżeli mciez A m stopień 3 3 det A det Pzypuśćmy że zdefiiowliśmy już wyzczik mciezy o wymize ( ) ( ) Oliczjąc wyzczik mciezy A o wymize wykeślmy z mciezy A i-ty wiesz i j-ą kolumę otzymmy mciez wymiu ( ) ( ) Ozczmy pzez wyzczik (mio) otzymej mciezy i M to 3 to wpowdzmy ozczeie A ( ) i j M lgeiczym elemetu Liczę A zywmy dopełieiem mciezy A Zdefiiujmy wyzczik det A stopi pzez det A det A A A (jest to ozwiięcie Lplce wyzczik względem -ego wiesz) A+B65 (Włsości wyzczik) 65 Wyzczik zmiei zk jeżeli pzestwimy miedzy soą dw (dwie) sąsiedie wiesze (kolumy) 65 Jeżeli pomożymy wszystkie elemety pewego wiesz (pewej kolumy) pzez wspóly czyik to wyzczik zostie też pomożoy pzez te czyik 653 Wyzczik ie zmiei się jeżeli do elemetów dowolego wiesz (kolumy) dodmy odpowidjące im elemety iego wiesz (kolumy) pomożoe pzez dowolą liczę (opecje zywmy opecjmi elemetymi) 654 Wyzczik mjący wiesz (kolumę) złożoą z smych ze jest ówy Wyzczik mjący dw (dwie) jedkowe lu popocjole wiesze (kolumy) jest ówy Wyzczik któego elemety pewego wiesz (pewej kolumy) są summi dwóch skłdików jest ówy sumie wyzczików w któych elemety tego wiesz (tej kolumy) są zstąpioe tymi skłdikmi

5 657 Wyzcziki mciezy i jej tspozycji są ówe:det A det A 658 Niech A B wtedy det( AB) det A det B 659 det A det A 650 Niech A A A kk ędą mciezmi kwdtowymi Wtedy A A A k 0 A A k det det A det A det Akk 0 0 Akk 65 det I 65 Rozwiięcie Lplce wyzczik (względem i-ego wiesz lu j-ej kolumy): det A det iai i Ai i Ai j A j j A j ; gdzie jest dopełieiem lgeiczym elemetu A Ćwiczeie Spwdzić włsości dl dowolego (poziom C) 3 (poziom A) i dl A+B66 (Wiosek) Dl ustloych licz tulych oz s gdzie s pwdziwe są wzoy: det[ ] s sa sa s A 0 s det[ ] s s A s A s A 0 s A+B67 (Wiosek: kyteium odwclości mciezy) Mciez odwcl (istieje A jest ieosoliw) wtedy i A to jest mciez tylko wtedy gdy det A 0 Wtedy A T A jest oliczmy ze wzou Aji gdzie A ji jest dopełieiem lgeiczym elemetu ji det A Dowód: ) tylko wtedy : I A A det I det A det A det A 0; ) wtedy wyik (poziom B) odz z A+B66 A68 (Uwg) Wzó mciez odwotą zwty w A+B66 defiiuje stępującą poceduę odwci mciezy:

6 68) olicz i mciez dopełień lgeiczych dl mciezy A wstwijąc w miejscu () liczę ; det A 0 68) dokoj tspozycji powstłej mciezy; 683) podziel kżdy elemet otzymej mciezy pzez det A; 684) otzym mciez ędzie ów A A A+C69 (Fkt itepetcj geometycz wyzczików -go i 3-go stopi) 69 Niech D ozcz ówoległook ozpięty wektoch ( x y ) ( x y ) Wtedy pole D tego ówoległooku wyż się wzoem: x y D mesd det x y 69 Niech V ozcz ówoległości ozpięty wektoch ( x y z) ( x y z) c ( xc yc zc) Wtedy ojętość V ówoległościu wyż się wzoem: x y z V mesv det x y z x c yc zc tego A+B70 (Odwcie mciezy i wzoy Cme) Niech Ax () (gdzie A jest mciezą jest kolumą wyzów x wolych i x jest kolumą iewidomych) jest ukłdem ówń x liiowych Wtedy ukłd () m jedo ozwiązie wtedy i tylko wtedy gdy det A 0 Rozwiązie wyż się wzoem: det Bi xi dl i= () det A gdzie mciez B i powstje z mciezy A pzez zstąpieie i-ej kolumy wektoem kolumowym (metod Cme) Dowód Z metody elimicji Guss A+B58 wyik że ukłd () m jedo ozwiązie wtedy i tylko wtedy gdy jest o ukłdem Cme Wtedy

7 A A A A x A det A det A A A A A A i A i Ai det Bi xi dl i= det A det A Uwg Wzoy () z A+B70 oszą zwę wzoów Cme Wżą olę w lgeze mciezy odgyw A7 (Defiicj: wielomi chkteystyczy) Niech A ędzie mciezą kwdtową Wtedy jej wielomi chkteystyczy zdefiiowy jest stępująco A( ) det( I A) Z defiicji wyzczik wyik że fukcj zeczywiście jest wielomiem zmieej to jest ( ) det( I A) jeżeli A A A A+C7 (Twiedzeie Cyley -Hmilto) Dl dowolej mciezy A kwdtowej mmy: A A A A A I ( ) 0 gdzie 0 ozcz mciez zeową o tych smych wymich co A i 0 def A I I Uwg Twiedzeie A+C7 możemy użyć do oliczei -tej potęgi mciezy A w zleżości od iższych potęg: A A I A73 (Defiicj) Niech A ędzie mciezą Wekto (kolum) V zywmy wektoem włsym mciezy A jeśli istieje licz (zespolo w ogólym pzypdku) tk że AV V i wekto V jest óży od ze Liczę zywmy wtością włsą mciezy A A74 (Uwg) Jeżeli wekto V jest ozwiąziem ówi AV = V to wekto pomożoy pzez dowolą liczę też jest ozwiąziem tego ówi Stąd wyik że ukłd liiowy jedoody ( I A) V 0 (3) m ieskończeie wiele ozwiązń Wtedy det( I A) 0 A75 (Twiedzeie) Licz jest wtością włs mciezy A wtedy i tylko wtedy gdy jest piewistkiem jej wielomiu chkteystyczego tz gdy

8 det( I A) 0 (4) A+B76 (Uwg) Wielomi chkteystyczy może ie mieć piewistków zeczywistych Ay w pełi wykozystć podą tu teoię leży ozptywć ówież piewistki ędące liczmi zespoloymi A+B+C77 (Pzykłdy i ćwiczei) 77 Reguł Sus oliczi wyzczików stopi 3: 3 def det ( ) ( ) Oliczyć wyzczik 0 0 j z pomocą ) eguły tójkąt 3j 4j j ) eguły Sus 3) ozwiięci Lplce względem -ego wiesz 4) ozwiięci Lplce względem -ej kolumy 5) opecji elemetych 773 Algoytm Guss oliczi wyzczików: 0 det A Oliczyć w te sposó = 3 ( ) 3 ( ( ))( )( ) = Wyzczik Wdemode : V( ) = k l ( ) l k

9 775 Zleźć wektoy włse V V V3 V 4 i wtości włse mciezy A Niech ztem T= [ V V V 3 V 4 ] Oliczyć Spwdzić że mciezą digolą Czy te fkt jest ogóly? T AT T AT jest