ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.
|
|
- Alojzy Krupa
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 AGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH. MACIERZE Mcierzą o wymirch m (m ) zywmy prostokątą tblicę której elemetmi jest m liczb rzeczywistych mjącą m wierszy i kolum postci A m m kolumy wiersze m Stosujemy zpis A [ ij ] m lub [ ij ] A lub A Pierwszy ideks elemetu mcierzy ij określ w którym wierszu mcierzy jest te elemet. Drugi ideks elemetu mcierzy ij określ w której kolumie mcierzy jest te elemet. Mcierz której wszystkie elemety są rówe zywmy mcierzą zerową. Gdy wymiry tej mcierzy wyikją z kotekstu lub są ieistote to stosujemy wtedy uproszczoy zpis A. Mcierz w której jest tylko jed kolum zywmy mcierzą kolumową lbo wektorem. Jeśli elemet mcierzy r wiersz m to mcierz zywmy mcierzą kwdrtową stopi. i j r kolumy A Elemety mcierz kwdrtow stopi... stowią przekątą tej mcierzy. Śldem mcierzy kwdrtowej A zywmy sumę elemetów jej przekątej co zpisujemy tr A... Mcierz kwdrtow [ ] ij A jest digol jeśli dl i j tz. elemety poz przekątą są rówe. Stosujemy ozczeie A dig... ). ij (
2 A mcierz digol stopi Mcierz digol jest jedostkow jeśli ii dl i... tz. wszystkie elemety przekątej są rówe. A mcierz jedostkow stopi Mcierz jedostkową stopi ozczmy I lub I (moż też spotkć ozczeie lub E ). Elemety mcierzy jedostkowej możemy zpisć z pomocą symbolu Kroecker δ ij gdzie gdy i j δ ij. Wtedy I [ δ ij ]. gdy i j Mcierz kwdrtow [ ] ij A jest (gór) trójkąt jeśli dl i > j tz. elemety pod przekątą są rówe. Alogiczie jeśli dl i < j tz. elemety d przekątą są rówe to mcierz jest (dol) trójkąt. A ij A ij E mcierz trójkąt ( gór) mcierz trójkąt ( dol) Zpis mcierzowy Przykłd (wektor produkcji) Piekri wypiek: chleb stropolski chleb bltoowski bułki pryskie i kjzerki. Pewego di I zmiie wypieczoo: szt. chleb stropolskiego szt. chleb bltoowskiego szt. bułek pryskich szt. kjzerek. Wielkości te możemy zpisć wektorowo.
3 w I i zywć wektorem produkcji (istot jest iformcj jk jest iterpretcj poszczególych skłdowych). W tej smej piekri II zmiie wektor produkcji wyglądł stępująco: w II ( trzeciej skłdowej ozcz że II zmiie ie wypieko bułek pryskich) Ntomist dl III zmiy wektor produkcji był stępujący: w III Zuwżmy że sum tych wektorów w w jest wektorem produkcji cłodobowej. I w II w III Przykłd (mcierz produkcji) I II III oddziły produkcji dej firmy A B C D produkty produkowe przez te oddziły w ciągu jedej zmiy. Niech w I wii wiii - wektory produkcji poszczególych oddziłów Jeśli wektory te zestwimy w jedą mcierz to otrzymmy mcierz produkcji cłej firmy M [ ij ] ilość i - tego produktu wytwrzego przez j - ty oddził ij p.
4 M I II III A B C D Produkt Oddz. Uwg. Np. - ozcz że II oddził ie wytworzył i jedej jedostki produktu A. Mcierz produkcji dobowej jest rów sumie mcierzy produkcji dl poszczególych zmi. Przykłd (mcierz jedostkowych kosztów trsportu) Dwie cemetowie I II zoptrują w cemet cztery wytwórie betou. Jedostkowe koszty trsportu (koszt [zł] przewozu toy) do poszczególych odbiorców dl cemetowi I wyoszą odpowiedio dl cemetowi II:. Koszty te możemy zpisć w postci mcierzy kosztów jedostkowych: k Dziłi mcierzch Możeie mcierzy przez liczbę Niech A [ ij ] m wytwórie betou (odbiorcy) c liczb rzeczywist. cemetowie (dostwcy) Wtedy ca [ c ij ] m (możymy przez c wszystkie elemety tej mcierzy). Przykłd Trspoowie mcierzy Niech A [ ij ] m T wtedy [ ji ] m ( ) ( ) A (wiersze mcierzy A zpisujemy jko kolumy mcierzy A T ). Zuwżmy że (A T ) T A. Przykłd T Dodwie (odejmowie) mcierzy Niech A [ ij ] m B [ b ij ] m (rozmiry mcierzy muszą być zgode)
5 wtedy [ ] m ij b ij B A ± ± (dodjemy (odejmujemy) odpowiedie elemety mcierzy). Przykłd 9 Przykłd Mcierze produkcji dl poszczególych trzech zmi firmy są stępujące: M M M Zuwżmy że oddził II ie prcuje trzeciej zmiie oddził III ie prcuje drugiej i trzeciej zmiie Wyzczymy mcierz M produkcji tygodiowej tej firmy (zkłdmy że w ciągu pięciu di roboczych produkcj jest idetycz). ) ( M M M M Możeie mcierzy Niech [ ] mr ik A [ ] r b kj B (liczb kolum pierwszej mcierzy musi być rów liczbie wierszy drugiej mcierzy) wtedy m r k ik b kj B A (możymy wiersze pierwszej mcierzy przez kolumy drugiej mcierzy). Niekiedy wygodie jest zpisywć możeie mcierzy w stępujący sposób (schemt Flk):
6 Przykłd Niech A B Wyzczymy iloczy tych mcierzy (możeie to jest wykole bowiem mcierz A m kolumy mcierz B m wiersze). Stosujemy zpis (schemt Flk): poszczególe elemety mcierzy AB otrzymujemy możąc odpowidjący temu elemetowi wiersz mcierzy A przez zjdującą się d im kolumę mcierzy B. p. (-)(-) 9 Przykłd Firm produkuje wyroby A B stosując trzy rodzje surowców S S S. Normę zużyci surowców moż zpisć w tbeli p. Surowiec (kg) Wyrób A Wyrób B S S S lub w postci mcierzy wyroby N surowce te wymiry muszą być rówe AB A B 9
7 Zjąc wektor plowej produkcji dobowej p. w możemy wyzczyć (możąc mcierz orm zużyci surowców przez wektor produkcji) wektor zużyci surowców. Z N w zużycie poszczególych surowców Ozcz to że by zrelizowć zplową produkcję leży codzieie zpewić kg surowc S kg surowc S i kg surowc S. Potęg mcierzy k Jeśli A jest mcierzą kwdrtową stopi to A A A... A. k Włsości ) możeie mcierzy jest łącze tz. A(BC) (AB)C dltego zpis ABC jest jedozczy b) możeie mcierzy jest rozdziele względem dodwi tz. A ( B C) AB AC ( A B) C AC BC c) możeie mcierzy ie jest przemiee d) AI A IA A o ile wymiry mcierzy umożliwiją możeie e) (AB) T B T A T f) tr(ab) tr(ba) tr(a B) tra trb (A B mcierze kwdrtowe stopi ). Obliczie wyzczik mcierzy Wyzczik obliczmy tylko dl mcierzy kwdrtowych (jest to liczb przyporządkow mcierzy kwdrtowej). Wyzcziki mcierzy iskiego stopi moż liczyć stępująco: Dl mcierzy stopi : det[] b Dl mcierzy stopi : det c d c b d d - cb Dl mcierzy stopi (metod Srrus): det d g b e h c f i det d g b e h c f d i g b e h ei bfg cdh - gec - hf - idb. Dl mcierzy dowolego stopi (>) wyzczik moż rozwijć (twierdzeie plce ) względem wybrego wiersz lub wybrej kolumy (jlepiej wybrć wiersz lub kolumę z jwiększą liczbą zer). Dopełieie lgebricze elemetu ij jest rówe ( i j ) det Aij gdzie A ij jest mcierzą otrzymą z mcierzy A przez skreśleie i tego wiersz orz j tej kolumy.
8 Uwg Jeśli w dowolej mcierzy A wybierzemy dowole k wierszy i k kolum to elemety zjdujące się ich przecięciu tworzą mcierz kwdrtową stopi k. Wyzczik tej mcierzy zywmy miorem stopi k. Ztem det A jest miorem stopi. Twierdzeie plce Wyzczik mcierzy A jest rówy sumie iloczyów elemetów dowolego wiersz (kolumy) tej mcierzy przez ich dopełiei lgebricze tj. i i i det A i ( ) det Ai i ( ) det Ai... i ( ) det Ai dl i tego wiersz j j j det A j ( ) det A j j ( ) det A j... j ( ) det Aj dl j tej kolumy Twierdzeie plce pozwl sprowdzić obliczie wyzczik mcierzy stopi do obliczi wyzczików mcierzy stopi p. rozwiięcie wyzczik czwrtego stopi względem pierwszego wiersz m postć det A ij Przykłd Obliczymy wyzczik mcierzy wiersz. rozwijjąc go względem drugiego det (-) (-) (-) () 9 Dw pierwsze skłdiki rozwiięci zostły pomiięte bo są rówe zero. Uwg Jeśli wyzczik mcierzy jest rówy zero to mcierz zywmy osobliwą. Jeśli wyzczik mcierzy jest róży od zer to mcierz jest ieosobliw. Włsości wyzczik ) deta deta T b) jeśli mcierz A jest stopi to dl dowolej stłej mmy det(a) deta c) detab detadetb
9 d) dl mcierzy ieosobliwej A mmy deta T A > e) jeśli w mcierzy A jest wiersz (kolum) złożoy z smych zer to deta f) jeśli w mcierzy A są jedkowe wiersze (kolumy) to deta g) jeśli wiersz (kolumę) mcierzy A pomożymy przez dowolą liczbę rzeczywistą to wyzczik powstłej mcierzy będzie rówy wyzczikowi mcierzy A pomożoemu przez tę liczbę h) jeśli w mcierzy A zmieimy miejscmi dw wiersze (kolumy) to wyzczik powstłej mcierzy będzie rówy deta i) wyzczik mcierzy ie ulegie zmiie jeśli do pewego wiersz (kolumy) dodmy iy wiersz (kolumę) pomożoy przez liczbę różą od zer. j) wyzczik mcierzy trójkątej (pod przekątą sme zer) jest rówy iloczyowi elemetów przekątej. Uwg ) opercje wierszch (kolumch) o których mow w puktch g) h) i) zywmy opercjmi elemetrymi b) Włsość i) pozwl uprościć liczeie wyzczik mcierzy jeśli wykomy tkie opercje elemetch wiersz (kolumy) które wyzerują pewą liczbę elemetów. Przykłd Obliczymy wyzczik mcierzy kolumie. det det zerując iektóre elemety w trzeciej (-) (-) (-) (-) - -(-) () (strzłki wskzują który wiersz jest dodwy (po ewetulym pom-ożeiu przez liczbę) do wskzego wiersz iy sposób zpisu to p. I w II w - I w III w ). Wyzczie mcierzy odwrotej Niech A będzie mcierzą kwdrtową stopi. Mcierzą odwrotą do mcierzy A jest mcierz A - spełijąc wruki: A - A A A - I Gdzie I jest mcierzą jedostkową stopi. 9
10 Włsość: tylko dl mcierzy ieosobliwych istieje mcierz odwrot. Mcierz odwrotą moż wyzczyć stępująco: Sposób I (metod dopełień lgebriczych): [ ] T A D A A det gdzie A D jest mcierzą dopełień lgebriczych elemetów mcierzy A. Uwg W szczególym przypdku gdy mmy ieosobliwą mcierz stopi : A d c b to c b d cb d A Przykłd Wyzczymy mcierz odwrotą do mcierzy A. Zuwżmy że deta więc A - istieje. A - T T Sposób II (metod przeksztłceń elemetrych) Włsość A mcierz ieosobliw I mcierz jedostkow. Jeśli [I B] otrzymmy z pomocą opercji elemetrych wierszch mcierzy [A I] to B A -. Przykłd Wyzczymy mcierz odwrotą do mcierzy A deta ztem A jest mcierzą ieosobliwą.
11 A I przeksztłceie wi wiii wii wi wii wiii wiii wi wiii wii I A - Ztem A Włsość mcierzą odwrotą do mcierzy jedostkowej jest t sm mcierz tz. I - I ( dig (... )) ( ) ( )...( ) ) dig (A - ) - A (A - ) T (A T ) - (AB) - (B) - (A) - det (A - ) (deta) -. Rząd mcierzy Niech A będzie dowolą mcierzą. Rzędem mcierzy A jest stopień jwiększej podmcierzy kwdrtowej ieosobliwej otrzymej z A przez wykreśleie pewej liczby wierszy i (lub) kolum czyli mksymly stopień ieosobliwego mior tej mcierzy. Rząd mcierzy będziemy ozczć rza lub ra. Uwg ) Rząd mcierzy jest rówy zero tylko dl mcierzy zerowej b) Rząd mcierzy jedostkowej stopi jest rówy c) Rząd mcierzy A T jest rówy rzędowi mcierzy A d) Rząd mcierzy ie może przekrczć żdego z wymirów mcierzy e) Jeśli mcierz kwdrtow jest ieosobliw to jej rząd jest rówy stopiowi tej mcierzy f) Jeśli dowoly wiersz mcierzy pomożymy przez stłą różą od zer i dodmy do iego wiersz to rząd mcierzy ie ulegie zmiie. Jeśli zmieimy dw wiersze między sobą miejscmi to rząd mcierzy ie ulegie zmiie. Podobe opercje moż wykoywć kolumch mcierzy. g) Jeśli wykreślimy wiersz (kolumę) złożoy z smych zer to rząd ie ulegie zmiie.
12 Przykłd Rząd mcierzy A jest rówy bo wykreśljąc kolumy i otrzymmy podmcierz kwdrtową stopi ieosobliwą. Przykłd Wyzczymy rząd mcierzy A Wykoując elemetre dziłi wierszch (ptrz włsość f) powyższej uwgi) dążymy do uzyski pod przekątą elemetów zerowych. rza rz rz Njpierw dodliśmy I wiersz do III wiersz stępie II wiersz pomożyliśmy przez (-) i dodliśmy do III wiersz. MACIERZE - Zdi Zdie ) Niech A B C Wyzcz mcierz A T B - C T. b) Wyzcz mcierz X wiedząc że ` ( ) T X (odp. ) b) X ) Zdie Przyjmując mcierz produkcji dobowej (ptrz przykłd) M
13 i wiedząc że wektor ce jedostkowych (tys. zł) dl produktów A B C D m postć p wykoując możeie W M T p wyzcz wektor wrtości produkcji. Który oddził m jmiejszą wrtość produkcji? (odp. W jmiejszą wrtość produkcji m oddził trzeci) Zdie ) Dl mcierzy A i B wyzcz iloczyy AB i BA b) Niech A B wyzcz AB BA (AB) T i B T A T c) Wyzcz mcierz X jeśli [ ] [ ] T T X (odp. ) AB BA ; b) AB BA ; (AB) T B T A T ; c) X ) Zuwż że możeie mcierzy ie jest przemiee. Zuwż że spełio jest włsość (AB) T B T A T Zdie Uzsdić że dl mcierzy kwdrtowych zchodzi włsość tr(ab) tr(ba) Zdie Oblicz AB i BA jeśli A
14 ) B b) B b c) B (odp. ) AB BA b) AB b b b BA b b b c) AB BA ) Zdie Oblicz ) b) c) (odp. ) b) ) ( c) ) ( ) Zdie Oblicz ) ( A f jeśli A (odp. 9 ) Zdie Oblicz wyzcziki mcierzy: A B C D (odp. deta detb detc detd )
15 Zdie 9 Oblicz wyzcziki mcierzy: A 9 9 B (odp. deta - detb -99) Zdie Sprwdź że ( ) T A T B BA ) det( dl dowolych ieosobliwych mcierzy stopi. Zdie Rozwiąż rówie: (odp. - ) Zdie Wyzcz (jeżeli istieje) mcierz odwrotą do mcierzy: ) ; b) ; c) ; d) ; e). (odp. ) b) c) d) e) )
16 Zdie Wyzcz (stosując jedą i drugą metodę) mcierz odwrotą do mcierzy: A B I. (odp. A - B - I - I) Zdie Wyzcz mcierz X jeśli ) X b) [ ] X c) X d) X e) X f) X g) T T X (odp. ) X b) [ ] X c) X d) X e) X f) X g) X ) Zdie Zleźć rząd mcierzy: ) ;b) ; c) ; d) e) f) g) ;h) [ ] ; i) [ ] ; j) (odp. ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) )
17 Zdie Wyzcz rząd mcierzy c A c w zleżości od prmetru c. (odp. rza gdy c lub c - rza dl pozostłych c) Zdie Ile powiie wyosić wyzczik mcierzy A spełijącej rówie A A T. (odp. lub ) Zdie Oblicz ) det b) det (odp. ) b)!) UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH Ukłd rówń liiowych postć mcierzow Ukłd rówń liiowych m postć ogólą:... b... b (*)... m m... m bm ij współczyiki; i iewidome; b j wyrzy wole liczb iewidomych; m liczb rówń Jeśli A [ ij ] m mcierz współczyików b X M wektor iewidomych; B M wektor wyrzów wolych b m to powyższy ukłd rówń moż zpisć w postci mcierzowej AX B Jeśli B to ukłd zywmy jedorodym. Mcierzą rozszerzoą ukłdu (*) zywmy mcierz M [A B] (do mcierzy współczyików dopisujemy kolumę wyrzów wolych)
18 Ukłd liczb (... ) spełijących kżde rówie ukłdu (*) zywmy rozwiąziem tego ukłdu. Ukłd rówń liiowych może być: ozczoy (m dokłdie jedo rozwiązie) ieozczoy (m ieskończeie wiele rozwiązń) sprzeczy (ie m żdego rozwiązi). Uwg Ukłd jedorody ie może być sprzeczy (m przyjmiej rozwiązie zerowe). Włsości ukłdu rówń liiowych chrkteryzuje podstwie rzędu mcierzy współczyików A i rzędu mcierzy rozszerzoej M twierdzeie Kroecker - Cpellego: Twierdzeie Jeśli rza rzm to ukłd (*) jest sprzeczy (ie m żdego rozwiązi). Jeśli rza rzm to ukłd (*) jest ozczoy (m dokłdie jedo rozwiązie). Jeśli rza rzm < to ukłd (*) jest ieozczoy (m ieskończeie wiele rozwiązń). W osttim przypdku iewidome dzielimy iewidome bzowe i prmetry. Rozwiązie zleży od - rza prmetrów tomist liczb iewidomych bzowych jest rów rza. Metody rozwiązywi ukłdów rówń liiowych. Metod mcierzow X A - B (moż stosowć gdy m i deta wtedy ukłd jest ozczoy). Przykłd z y z z y Rozwiązie. A deta T A B z y X Ztem rozwiąziem tego ukłdu rówń są liczby y z - fkt te możemy sprwdzić podstwijąc te liczby do rówń ukłdu i porówć stroy.
19 . Metod wyzczikow Twierdzeie Crmer Jeśli m i deta wtedy ukłd jest ozczoy (ukłd Crmer) orz: W W W W... W W gdzie W deta W j deta j j... A j mcierz otrzym z A przez zstąpieie j-tej kolumy przez kolumę wyrzów wolych. Uwg Jeśli W i co jmiej jede wyzczik W j to ukłd jest sprzeczy. Jeśli W W W... W to ukłd jest sprzeczy lub ieozczoy. Przykłd Rozwiązie. y z z y z A deta W W W W ztem y z.. Metod elimicji Guss Przeksztłcei elemetre ukłdu rówń liiowych. ) możeie rówi przez liczbę różą od zer b) zmi kolejości rówń w ukłdzie c) dodie do dowolego rówi iego rówi tego ukłdu pomożoego przez dowolą liczbę. Wykoywie przeksztłceń elemetrych dym ukłdzie rówń ie zmiei zbioru jego rozwiązń (otrzymujemy ukłd rówowży demu). W przypdku zpisu mcierzowego powyższe opercje wykoujemy wierszch mcierzy rozszerzoej. Stosując opercje elemetre wierszch mcierzy rozszerzoej przeksztłcmy mcierz rozszerzoą do postci: 9
20 gdzie ~ ~ ~ ~ ~... ~ ~ ~ ~ ~ r ~ r... ~ b ~ b... r r ~ ~ ~ rr rr... r ~ b~ r b r b ~... r ~ rr ; r rza Jeśli dl pewego i... k b ~ ri to ukłd sprzeczy ~ Jeśli dl i... k b ri i r < to ukłd ieozczoy zmiee r r... przyjmujemy że są prmetrmi (mogą przyjmowć dowole wrtości) i przy wyzcziu iewidomych bzowych przeosimy je prwą stroę trktując jk wyrzy wole iewidome... r przyjmujemy że są bzowe i obliczmy ich wrtość rozpoczyjąc od jiższego rówi różego od zer (obliczoe wrtości podstwimy do kolejych rówń). ~ Jeśli dl i... k b ri i r to ukłd ozczoy wszystkie iewidome są bzowe i obliczmy ich wrtość rozpoczyjąc od jiższego rówi różego od zer. Przykłd Rozwiązie. M Po zstosowiu przeksztłceń elemetrych otrzymmy: ~ M przyjmujemy że są bzowe przyjmujemy że są prmetrmi z rówi II obliczmy z rówi I po podstwieiu obliczmy k
21 Uwg W przypdku ukłdu ieozczoego moż rozptrywć róże ukłdy iewidomych bzowych (wszystkich tkich ukłdów jest jwyżej ). Rozwiązie ukłdu r ieozczoego jest rozwiąziem bzowym jeśli pod prmetry podstwimy wrtość zero. Rozwiązi bzowe są przydte w zgdieich optymlizcji. Rozwiązi bzowe ukłdu ieozczoego Z metody Guss wyik istieie rozwiązi bzowego (pod prmetry podstwimy zer). Rozwiązń bzowych może być wiele. Aby otrzymć ie rozwiązie bzowe leży przyjąć że w owym rozwiąziu bzowym jede z dotychczsowych prmetrów będzie zmieą bzową jed z dotychczsowych zmieych bzowych będzie prmetrem. Nstępie pod owe prmetry podstwimy wrtość i rozwiązujemy otrzymy ukłd rówń liiowych. Możliwe są dwie sytucje: otrzymy ukłd jest ozczoy i otrzymujemy owe rozwiązie bzowe otrzymy ukłd jest ieozczoy lub sprzeczy wtedy leży szukć iego rozwiązi bzowego. Wszystkich rozwiązń bzowych ie może być więcej iż. r Przykłd Rozptrzmy ukłd rówń: Mcierz rozszerzo tego ukłdu jest rów jest to ukłd ieozczoy r rza rzm. Niech zmiee bzowe; prmetry rozwiązując ukłd: otrzymmy rozwiązie bzowe ( ). Rozptrzmy owy ukłd iewidomych zmiee bzowe; prmetry wtedy odpowiedi ukłd: jest sprzeczy ztem ukłd te ie dje rozwiązi bzowego. Rozptrzmy owy ukłd iewidomych zmiee bzowe; prmetry wtedy odpowiedi ukłd: dje rozwiązie bzowe ( ). Przykłd Wyzczyć wszystkie rozwiązi bzowe dl ukłdu rówń:
22 Uwg. Wszystkie możliwości jłtwiej rozptrzyć wypełijąc tbelkę: Zmiee bzowe () () () () () () Zmie e W tym celu rozwiązujemy ukłdy rówń: () () () () () () wyiki wpisujemy do tbelki Zmiee bzowe () () () () () () Zmiee Ztem rozwiązi bzowe są stępujące: (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ). UKŁADY RÓWNAŃ - Zdi Zdie Rozwiąż ukłd rówń metodą mcierzy odwrotej: ) b) c) d) 9 e) f) (odp. ) () b) () c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( )) Zdie Rozwiąż ukłdy rówń z zdi metodą Crmer.
23 Zdie Rozwiąż ukłdy rówń metodą Crmer: ) b) (odp. ) ( ) b) ( )) Zdie Sprwdź czy stępujące ukłdy rówń są sprzecze: ) b) c) Zdie Rozwiąż ukłd rówń metodą elimicji Guss: ) b) c) d) e) 9 (odp. ) ukłd ieozczoy p. prmetr b) ukłd ozczoy c) ukłd ieozczoy p. prmetry d) ukłd sprzeczy e) ukłd ieozczoy p. prmetry ) Zdie Przelizuj rozwiązlość stępujących ukłdów rówń z prmetrem: ) k k b) k k k c) k (odp. ) ukłd ieozczoy dl k dl pozostłych k ukłd ozczoy b) ukłd ieozczoy dl k i k dl pozostłych k ukłd ozczoy c) ukłd ieozczoy dl k dl pozostłych k ukłd ozczoy) Zdie Czy dy ukłd rówń m rozwiązi iezerowe:
24 ) b) c) d) (odp. ) tk b) ie c) tk d) ie) Zdie Rozwiąż ukłdy rówń jedorodych: ) b) (odp. ) ukłd ieozczoy p. prmetr b) ukłd ozczoy ) Zdie 9 Npisz ukłd rówń którego jedyym rozwiąziem są liczby ( ). Zdie Npisz ukłd rówń ieozczoych którego jedym z rozwiązń są liczby ( ). Zdie Wyzczyć wszystkie rozwiązi bzowe dl ukłdu rówń: () (b) (odp. ) ( ) ( 9 ) ( ) ( ) ( 9) ( ) b) (; ) (; ; ; ; ) (; ; ; ; ) (; ; ; ; -) (; ; ; ; ) ( ; -; 9; ) (; ; ; ; ) (; ; ; ; ) (; ; ; ; ))
25 Zdi powtórzeiowe. Zdie. d) Niech A B wyzcz AB BA Odp. ) AB BA. Zdie. Oblicz wyzcziki mcierzy: A B C D Odp. deta detb detc detd -. Zdie. Wyzcz mcierz odwrotą do mcierzy: A B Odp. A - B - Zdie. Wyzcz rząd mcierzy: A B C Odp. ra rb rc. Zdie. Rozwiąż ukłd rówń: ) b)
26 c) d) e) ) ukł. ozczoy - b) ukł. ozczoy c) ukł. ieozczoy p. - prmetr d) ukł. sprzeczy e) ukł. ieozczoy p. - prmetr. Zdie. Wyzcz mcierz X jeśli ) X b) [ ] X Odp. ) X b) [ ] 9 X
Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Bardziej szczegółowoMacierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Bardziej szczegółowo- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab
Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Dziłi liczbch Dodwie i odejmowie + b 3 + = 5 b = + (-b) 3 = 3 + (-) = + 0 = + (-) = 0 Rchuek wektorowo-mcierzowy w
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.
ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6 Ukłd rówń
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)
Bardziej szczegółowoWykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Bardziej szczegółowo[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ
I UKŁAD RÓNAŃ Defiicj Ukłd rówń liiowych z iewidoyi,,., : Defiicj Postć cierzow ukłdu rówń: A, lu krócej A, gdzie: A,,. Mcierz A zywy cierzą ukłdu rówń, wektor zywy wektore wyrzów wolych (koluą wyrzów
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych Macierze rzadkie
5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -
Bardziej szczegółowoMATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Bardziej szczegółowoGENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY
PODSTWY LGEBRY LINIOWEJ LGEBR MCIERZY Mcierzą prostokątą o m ierszch i kolumch zymy tblicę m liczb rzeczyistych ij (i,,...,m; j,,...,) zpisą postci ujętego isy kdrtoe prostokąt liczb M m M m Liczby rzeczyiste
Bardziej szczegółowoMATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.
Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Prowdzący: dr iiż.. Zbiigiiew TARAPATA De kotktowe: e-mil: WWW: Zbigiew.Trpt@wt.edu.pl http://trpt.stref.pl tel. : 83-94-3,
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowo6. Układy równań liniowych
6. Ukłdy rówń liiowych 6. Podstwowe określei Defiicj 6.. (ukłd rówń liiowych rozwiązie ukłdu rówń) Ukłde rówń liiowych z iewidoyi gdzie N zywy ukłd rówń postci:...... (6..) O... gdzie ij R to tzw. współczyiki
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoProgramowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Bardziej szczegółowoDowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01
WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.
KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdei Morsk w Gdyi Ktedr utotyki Okrętowej Teori sterowi lgebr cierzow Mirosłw Toer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W owoczesej teorii sterowi brdzo często istieje potrzeb zstosowi otcji cierzowej uprszczjącej
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowoOperacje elementarne na macierzach. Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa. Badanie rozwiązalności układów równań
WYKŁAD 3 Opecje elemete mciezch Rozwiązywie ukłdów ówń metodą elimicji Guss Bdie ozwiązlości ukłdów ówń Wcmy tez do ukłdów ówń liiowych lgeiczych A53 (Defiicj) Ukłdem m ówń liiowych z iewidomymi zywmy
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0
Bardziej szczegółowoNiech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej
Rozwiązywie ułdów rówń liiowych Metod elimicji Guss 2 Postwieie zgdiei Niech dy będzie ułd rówń postci b x x x b x x x b x x x 2 2 2 2 2 22 2 2 2 Powyższy ułd rówń liiowych z iewidomymi moż zpisć w postci
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoGłówka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.
Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Bardziej szczegółowon 3 dla n = 1,2,3,... Podać oszacowania
Zestw r : Ciągi liczbowe włsości i gric.. Niech dl =.... Sprwdzić cz jest ciągiem mootoiczm rtmetczm... Sprwdzić cz stępując ciąg jest ciągiem geometrczm. Wpisć pierwszch pięć wrzów ciągu stępie dl ciągu
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych (1)
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.
Bardziej szczegółowo1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoMetoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
Bardziej szczegółowo5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
Ciągi i szeregi - Lucj owlski CIĄGI LICZBOWE N,,,... zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej). Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoi interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań
MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
Bardziej szczegółowo7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowo1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania
Kryterium stbilości Stbilość liiowych ukłdów sterowi Ukłd zmkięty liiowy i stcjory opisy rówiem () jest stbily, jeŝeli dl skończoej wrtości zkłócei przy dowolych wrtościch początkowych jego odpowiedź ustlo
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowo2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
Bardziej szczegółowoWykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia
Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n
Bardziej szczegółowo4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.
4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoTABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM
TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
Bardziej szczegółowoCiąg arytmetyczny i geometryczny
Ciąg rytmetyczy i geometryczy Zd. : Ciąg ( ) jest opisy wzorem = 5 + ( )(k k ), gdzie k jest prmetrem. ) WykŜ, Ŝe ( ) jest ciągiem rytmetyczym. Dl jkich wrtości prmetru k ciąg te jest mlejący? b) Dl k
Bardziej szczegółowoA A A A11 A12 A1. m m mn
DODTEK NR. GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy ajważiejsze defiicje rachuku macierzowego i omówimy iektóre fukcje i trasformacje macierzy ajbardziej przydate w zastosowaiach umeryczych a w szczególości w
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe
Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone i wielomiany
/5 Liczby zespoloe i wielomiy Rówie x ie m rozwiązi w zbiorze liczb rzeczywistych. Tk więc ie kżdy wielomi o współczyikch leżących do posid miejsce zerowe (zwe iczej pierwistkiem) w tym zbiorze. Okzuje
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
pitgors.d.pl I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: licz turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... licz cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wierą oż przedstwić z poocą ułk dziesiętego
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoI. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Bardziej szczegółowoCollegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoPojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy
Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to
Bardziej szczegółowoZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).
ZADANIA NA POCZA TEK Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 4 3 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoa a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n
CIĄGI ciąg jest rosący (iemlejący), jeżeli dl kżdego < ( ) ciąg jest mlejący (ierosący), jeżeli dl kżdego > ( ) ciąg zywmy rytmetyczym, jeżeli dl kżdego r - costs - r > 0 - ciąg rosący - r 0 - ciąg stły
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoZestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy
Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne
Bardziej szczegółowo3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są
Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7
RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z
Bardziej szczegółowoStruna nieograniczona
Rówie sry Rówie okreś rch sry sprężysej kórą ie dziłją siły zewęrze Sł okreśo jes przez włsości izycze sry Zkłdmy że w położei rówowgi sr pokryw się z pewym przedziłem osi OX Fkcj okreś wychyeie z położei
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
Bardziej szczegółowoWyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A
Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn
Bardziej szczegółowoPochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A i III B Liceum Plastycznego 2019/2020
Wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie III A i III B Liceum Plstyczego 019/00 Zkres rozszerzoy Kryteri Zjomość pojęć, defiicji, włsości orz wzorów objętych progrmem uczi. Umiejętość zstosowi wiedzy teoretyczej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM klasa 2F 1. FUNKCJA LINIOWA
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM kls 2F 1. FUNKCJA LINIOWA Uczeń otrzymuje oceę dopuszczjącą, jeśli: rozpozje fukcję liiową podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki w klasie II LO
Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu
Rozdził. Ciągi liczbowe, gric ciągu. Rodzje i włsości ciągów liczbowych W życiu codzieym często moż spotkć się z ciągmi: ciąg smochodów ulicy (pierwszy, drugi, trzeci ), ciąg ludzi w kolejce (zerowy chwilę
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoZadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.
Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1
Algebr WYKŁAD 6 ALGEBRA Ogóln postć ukłdu równń liniowych Rozwżmy ukłd m równń liniowych z n niewidomymi m m n n mn n n n b b b m o współczynnikch ik orz b i. Mcierz ukłdu równń wymiru m n m postć A m
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1
Zdie Zmie losow X m rozkłd N(; Obliczyć: P(, < X
Bardziej szczegółowoWykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.
Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU
MATEMATYA W EONOMII I ZARZĄDZANIU Wykłd - Alger iiow) eszek S Zre Wektore zywy iąg liz ) p 567) 5) itp W ekooii koszyk dór zpisuje się jko wektory Np 567) jko koszyk dór wyspie Hul Gul oŝe ozzć 5 jłek
Bardziej szczegółowoWykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.
Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce
Bardziej szczegółowoZestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Bardziej szczegółowoSKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE
Publikcj współfisow ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE dr iż Ryszrd Krupiński
Bardziej szczegółowoDziałania wewnętrzne i zewnętrzne
Autmtyk i Rtyk Alger -Wykłd - dr Adm Ćmiel miel@gedupl Dziłi wewętrze i zewętrze Nie X ędzie ustlym iepustym zirem Def Dwurgumetwym dziłiem wewętrzym w zirze X zywmy fukję Jeśli X i y X t y X zywmy wyikiem
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych Macierze rzadkie
wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..
Bardziej szczegółowoMatematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4
Mtemty wyre zgdiei List r 4 Zdie Jeżeli ułd wetorów v, v przestrzei liiowej V ie jest liiowo iezleży, to mówimy, że wetory v, v są liiowo zleże Udowodić stępujące twierdzeie: Ułd wetorów v, v ( ) jest
Bardziej szczegółowo