Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów.

Transkrypt

1

2 Zestw wzoów mtemtyzy zostł pzygotowy dl potze egzmiu mtulego z mtemtyki oowiązująej od oku 00. Zwie wzoy pzydte do ozwiązi zdń z wszystki dziłów mtemtyki, dltego może służyć zdjąym ie tylko podzs egzmiu, le i w zsie pzygotowń do mtuy. Zestw te zostł opowy w etlej Komisji Egzmiyjej we współpy z powikmi wyższy uzeli oz w kosultji z ekspetmi z okęgowy komisji egzmiyjy. Mmy dzieję, że zestw, któy pzygotowliśmy mtuzystom, spełi swoje zdie i pzyzyi się do egzmiyjy sukesów. Pulikj współfisow pzez UE w m Euopejskiego Fuduszu Społezego. Pulikj jest dystyuow ezpłtie. SPIS TREŚI. Wtość ezwzględ lizy.... Potęgi i piewistki Logytmy Sili. Współzyik dwumiowy Wzó dwumiowy Newto Wzoy skóoego możei iągi Fukj kwdtow Geometi lityz Plimeti Steeometi.... Tygoometi Komitoyk Ruek pwdopodoieństw Pmety dy sttystyzy Tli wtośi fukji tygoometyzy... 7

3 . WRTŚĆ EZWZGLĘN LIZY Wtość ezwzględą lizy zezywistej x defiiujemy wzoem: x dl x 0 x x dl x < 0 Liz x jest to odległość osi lizowej puktu x od puktu 0. W szzególośi: x 0 x x l dowoly liz x, y mmy: x + y x + y x y x + y x y x y Podto, jeśli y 0, to x y x y l dowoly liz oz 0 mmy wuki ówowże: x x + x x lu x +. PTĘGI I PIERWISTKI Nie ędzie lizą łkowitą dodtią. l dowolej lizy defiiujemy jej tą potęgę:... zy Piewistkiem ytmetyzym stopi z lizy 0 zywmy lizę 0 tką, że. W szzególośi, dl dowolej lizy zodzi ówość:. Jeżeli < 0 oz liz jest iepzyst, to ozz lizę < 0 tką, że Piewistki stopi pzysty z liz ujemy ie istieją. *. Nie m, ędą lizmi łkowitymi dodtimi. efiiujemy: 0 dl 0 : oz dl 0 : m m m dl > 0 : m Nie, s ędą dowolymi lizmi zezywistymi. Jeśli > 0 i > 0, to zodzą ówośi: s s + ( ) s s s s ( ) Jeżeli wykłdiki, s są lizmi łkowitymi, to powyższe wzoy oowiązują dl wszystki liz 0 i 0.

4 3. LGRYTMY Nie > 0 i. Logytmem log lizy > 0 pzy podstwie zywmy wykłdik potęgi, do któej leży podieść podstwę, y otzymć lizę : log Rówowżie: log l dowoly liz x > 0, y > 0 oz zodzą wzoy: x log( x y) log x+ log y log x log x log log x log y y Wzó zmię podstwy logytmu: jeżeli > 0,, > 0, oz > 0, to log log log log x oz lg x ozz log0 x. 4. SILNI. WSPÓŁZYNNIK WUMINWY Silią lizy łkowitej dodtiej zywmy ilozy kolejy liz łkowity od do włązie:!... Podto pzyjmujemy umowę, że 0!. l dowolej lizy łkowitej 0 zodzi związek: +!! + ( ) ( ) * l liz łkowity, k spełijąy wuki 0 k defiiujemy współzyik dwumiowy (symol Newto): k! k k! ( k)! Zodzą ówośi: ( )( )... ( k+ ) k 3... k k k 0 5. WZÓR WUMINWY NEWTN l dowolej lizy łkowitej dodtiej oz dl dowoly liz, mmy: ( )... k k k

5 6. WZRY SKRÓNEG MNŻENI l dowoly liz, : ( ) ( ) ( ) + ( ) l dowolej lizy łkowitej dodtiej oz dowoly liz, zodzi wzó: k k W szzególośi: ( )( ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + + ) 3 ( )( + + ) + ( + )( + ) 3 + ( + )( + ) ( )( ) IĄGI iąg ytmetyzy Wzó ty wyz iągu ytmetyzego ( ) o piewszym wyzie i óżiy : + ( ) Wzó sumę S pozątkowy wyzów iągu ytmetyzego: + ( ) S + Między sąsiedimi wyzmi iągu ytmetyzego zodzi związek: + + dl iąg geometyzy Wzó ty wyz iągu geometyzego ( ) o piewszym wyzie i ilozie q: q dl Wzó sumę S pozątkowy wyzów iągu geometyzego: q dl q S q dl q Między sąsiedimi wyzmi iągu geometyzego zodzi związek: + dl Poet skłdy Jeżeli kpitł pozątkowy K złożymy lt w ku, w któym opoetowie lokt wyosi p % w skli ozej, to kpitł końowy K wyż się wzoem: p K K

6 8. FUNKJ KWRTW Postć ogól fukji kwdtowej: f ( x) x + x+, 0, x R. Wzó kżdej fukji kwdtowej moż dopowdzić do posti koizej: f ( x) ( x p) Δ + q, gdzie p, q, Δ 4 4 Wykesem fukji kwdtowej jest pol o wiezołku w pukie o współzędy p, q. Rmio poli skieowe są do góy, gdy > 0, do dołu, gdy < 0. ( ) Liz miejs zeowy fukji kwdtowej f ( x) x + x+ (liz piewistków tójmiu kwdtowego, liz zezywisty ozwiązń ówi x + x + 0 ), zleży od wyóżik Δ 4: jeżeli Δ< 0, to fukj kwdtow ie m miejs zeowy (tójmi kwdtowy ie m piewistków zezywisty, ówie kwdtowe ie m ozwiązń zezywisty), jeżeli Δ 0, to fukj kwdtow m dokłdie jedo miejse zeowe (tójmi kwdtowy m jede piewistek podwójy, ówie kwdtowe m dokłdie jedo ozwiązie zezywiste): x x jeżeli Δ> 0, to fukj kwdtow m dw miejs zeowe (tójmi kwdtowy m dw óże piewistki zezywiste, ówie kwdtowe m dw ozwiązi zezywiste): Δ + Δ x x Jeśli Δ 0, to wzó fukji kwdtowej moż dopowdzić do posti ilozyowej: f x x x x x ( ) ( )( ) Wzoy Viéte Jeżeli Δ 0 to x+ x x x 9. GEMETRI NLITYZN diek ługość odik o koń w pukt x, y x, y d jest ( ), ( ) wzoem: y (, ) x y ( ) ( ) x x + y y Współzęde śodk odik : x + x y + y, (, ) x y x 4

7 Wektoy Współzęde wekto : x x, y y Jeżeli u [ u, u] v v, v u+ v u + v, u + v [ ], [ ] [ ] Post Rówie ogóle postej: x + y + 0, gdzie są wektomi, zś jest lizą, to u u, u [ ] + 0 (tj. współzyiki, ie są ówoześie ówe 0). Jeżeli 0, to post jest ówoległ do osi x; jeżeli 0, to post jest ówoległ do osi y; jeżeli 0, to post pzeodzi pzez pozątek ukłdu współzędy. Jeżeli post ie jest ówoległ do osi y, to m o ówie kieukowe: y x+ Liz to współzyik kieukowy postej: tg Współzyik wyzz osi y pukt, w któym d post ją pzei. y y x+ x Rówie kieukowe postej o współzyiku kieukowym, któ pzeodzi pzez P x, y : pukt ( 0 0) ( ) y x x + y 0 0 Rówie postej, któ pzeodzi pzez dw de pukty ( x, y), ( x, y) ( y y )( x x ) ( y y )( x x ) 0 Post i pukt dległość puktu P ( x, y ) 5 : 0 0 od postej o ówiu x + y + 0 jest d wzoem: x0 + y0 + + P posty wie poste o ówi kieukowy y x + y x + spełiją jede z stępująy wuków: są ówoległe, gdy są postopdłe, gdy twozą kąt osty ϕ i tgϕ +

8 wie poste o ówi ogóly: x+ y+ x + y są ówoległe, gdy 0 są postopdłe, gdy + 0 twozą kąt osty ϕ i tgϕ + Tójkąt Pole tójkąt o wiezołk ( x, y ), ( x, y ), ( x, y ), jest de wzoem: PΔ ( x x )( y y ) ( y y )( x x ) Śodek iężkośi tójkąt, zyli pukt pzeięi jego śodkowy, m współzęde: x+ x + x y+ y + y, 3 3 Pzeksztłei geometyze pzesuięie o wekto u [, ] pzeksztł pukt ( xy, ) pukt ( x+, y+ ) symeti względem osi x pzeksztł pukt ( xy, ) pukt ( x, y) symeti względem osi y pzeksztł pukt ( x, y) pukt ( x, y) symeti względem puktu (, ) pzeksztł pukt ( x, y) pukt ( x, y) jedokłdość o śodku w pukie ( 0,0 ) i skli s 0 pzeksztł pukt ( x, y) pukt ( sx, sy) Rówie okęgu Rówie okęgu o śodku w pukie S (, ) lu ( ) ( ) x + y x y x y gdy i pomieiu > 0 : + > 0 0. PLNIMETRI ey pzystwi tójkątów F E 6

9 To, że dw tójkąty i EF są pzystjąe ( Δ Δ EF ), możemy stwiedzić podstwie kżdej z stępująy e pzystwi tójkątów: e pzystwi ok ok ok : odpowidjąe soie oki ou tójkątów mją te sme długośi: F, EF E, e pzystwi ok kąt ok : dw oki jedego tójkąt są ówe odpowidjąym im okom dugiego tójkąt oz kąt zwty między tymi okmi jedego tójkąt m tką smą mię jk odpowidjąy mu kąt dugiego tójkąt, p. E, F, EF e pzystwi kąt ok kąt : jede ok jedego tójkąt m tę smą długość, o odpowidjąy mu ok dugiego tójkąt oz miy odpowidjąy soie kątów ou tójkątów, pzyległy do oku, są ówe, p. E, EF, EF ey podoieństw tójkątów F E To, że dw tójkąty i EF są podoe ( Δ ~ Δ EF ), możemy stwiedzić podstwie kżdej z stępująy e podoieństw tójkątów: e podoieństw ok ok ok : długośi oków jedego tójkąt są popojole do odpowiedi długośi oków dugiego tójkąt, p. E F EF e podoieństw ok kąt ok : długośi dwó oków jedego tójkąt są popojole do odpowiedi długośi dwó oków dugiego tójkąt i kąty między tymi pmi oków są pzystjąe, p., EF E F e podoieństw kąt kąt kąt : dw kąty jedego tójkąt są pzystjąe do odpowiedi dwó kątów dugiego tójkąt (wię też i tzeie kąty ou tójkątów są pzystjąe): EF, EF, FE 7

10 Pzyjmujemy ozzei w tójkąie : γ,, długośi oków, leżąy odpowiedio pzeiwko wiezołków,, p + + owód tójkąt, β, γ miy kątów pzy wiezołk,, β,, wysokośi opuszzoe z wiezołków,, R, pomieie okęgów opisego i wpisego Twiedzeie Pitgos (wz z twiedzeiem odwotym do iego) W tójkąie kąt γ jest posty wtedy i tylko wtedy, gdy +. Związki miowe w tójkąie postokątym Złóżmy, że kąt γ jest posty. Wówzs: γ si os β. β tg tgβ + R p Twiedzeie siusów R si si β siγ Wzoy pole tójkąt PΔ PΔ siγ si β siγ PΔ R si siβ siγ si PΔ p p p p p 4R ( )( )( ) Twiedzeie osiusów + os + osβ + osγ Tójkąt ówoozy długość oku wysokość tójkąt 3 3 P Δ 4 8

11 Twiedzeie Tles Jeżeli poste ówoległe i pzeiją dwie poste, któe pzeiją się w pukie, to. Twiedzeie odwote do twiedzei Tles Jeżeli poste i pzeiją dwie poste, któe pzeiją się w pukie oz, to poste i są ówoległe. zwookąty E Tpez zwookąt, któy m o jmiej jedą pę oków ówoległy. Wzó pole tpezu: + P ϕ Rówoległook zwookąt, któy m dwie py oków ówoległy. Wzoy pole ówoległooku: P si siϕ Rom zwookąt, któy m dwie py oków ówoległy jedkowej długośi. Wzoy pole omu: P si eltoid zwookąt, któy m oś symetii, zwiejąą jedą z pzekąty. Wzó pole deltoidu: P 9

12 Koło Wzó pole koł o pomieiu : P π wód koł o pomieiu : π Wyiek koł Wzó pole wyik koł o pomieiu i kąie śodkowym wyżoym w stopi: P π 360 ługość łuku wyik koł o pomieiu i kąie śodkowym wyżoym w stopi: l π 360 Kąty w okęgu Mi kąt wpisego w okąg jest ów połowie miy kąt śodkowego, optego tym smym łuku. Miy kątów wpisy w okąg, opty tym smym łuku, są ówe. Twiedzeie o kąie między styzą i ięiwą y jest okąg o śodku w pukie i jego ięiw. Post jest styz do tego okęgu w pukie. Wtedy, pzy zym wyiemy te z kątów śodkowy, któy jest opty łuku zjdująym się wewątz kąt. 0

13 Twiedzeie o odik siezej i styzej e są: post pzeiją okąg w pukt i oz post styz do tego okęgu w pukie. Jeżeli poste te pzeiją się w pukie P, to P P P. P kąg opisy zwookąie γ β N zwookąie moż opisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy mi jego pzeiwległy kątów wewętzy są ówe 80 : δ + γ β + δ 80 kąg wpisy w zwookąt d W zwookąt wypukły moż wpisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długośi jego pzeiwległy oków są ówe: + + d

14 . STEREMETRI Twiedzeie o tze posty postopdły k P m l Post k pzeij płszzyzę w pukie P. Post l jest zutem postokątym postej k tę płszzyzę. Post m leży tej płszzyźie i pzeodzi pzez pukt P. Wówzs post m jest postopdł do postej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest postopdł do postej l. zzei P pole powiezi łkowitej P pole powiezi podstwy p Postopdłośi P pole powiezi ozej V ojętość H G E F P ( + + ) V gdzie,, są długośimi kwędzi postopdłośiu Gistosłup posty F J E I G H P p V Pp gdzie p jest owodem podstwy gistosłup

15 stosłup S E V P 3 p gdzie jest wysokośią ostosłup Wle P π P π + ( ) V π gdzie jest pomieiem podstwy, wysokośią wl Stożek S l P π l P π + l ( ) V π 3 gdzie jest pomieiem podstwy, wysokośią, l długośią twoząej stożk Kul P 4π 4 3 V π 3 gdzie jest pomieiem kuli 3

16 . TRYGNMETRI efiije fukji tygoometyzy y M(x, y) M x Wykesy fukji tygoometyzy y si x os y tg, gdy x 0 x gdzie x + y > 0 jest pomieiem wodząym puktu M y si x y os x y tg x Związki między fukjmi tego smego kąt si + os si tg dl os Niektóe wtośi fukji tygoometyzy π + kπ k łkowite π π π π si 0 os tg ie istieje 4

17 Fukje sumy i óżiy kątów l dowoly kątów, β zodzą ówośi: ( ) ( ) ( ) ( ) si + β sios β + ossi β si β sios β ossi β os + β osos β sisi β os β osos β + sisi β Podto mmy ówośi: tg( ) tg + tgβ tg( ) tg + β β tgβ tg tgβ + tg tgβ któe zodzą zwsze, gdy są okeśloe i miowik pwej stoy ie jest zeem. Fukje podwojoego kąt si sios os os si os si 3. KMINTRYK Wije z powtózeimi Liz sposoów, któe z óży elemetów moż utwozyć iąg, skłdjąy się z k iekoiezie óży wyzów, jest ów k. Wije ez powtózeń Liz sposoów, któe z óży elemetów moż utwozyć iąg, skłdjąy się z k ( k ) óży wyzów, jest ów Pemutje ( )... ( ) k+! ( k) Liz sposoów, któe óży elemetów moż ustwić w iąg, jest ów!. Komije Liz sposoów, któe spośód óży elemetów moż wyć k ( 0 k ) elemetów, jest ów k.! 4. RHUNEK PRWPIEŃSTW Włsośi pwdopodoieństw ( ) P ( Ω ) 0 P dl kżdego zdzei Ω Ω zdzeie pewe P ( ) 0 zdzeie iemożliwe (pusty podzió Ω ) P( ) P( ) gdy Ω P( ) P( ), gdzie ozz zdzeie pzeiwe do zdzei P( ) P( ) + P( ) P( ), dl dowoly zdzeń Ω, P( ) P( ) + P( ), dl dowoly zdzeń Ω, 5

18 Twiedzeie: Klsyz defiij pwdopodoieństw Nie Ω ędzie skońzoym zioem wszystki zdzeń elemety. Jeżeli wszystkie zdzei jedoelemetowe są jedkowo pwdopodoe, to pwdopodoieństwo zdzei Ω jest ówe P( ) Ω gdzie ozz lizę elemetów ziou, zś Ω lizę elemetów ziou Ω. 5. PRMETRY NYH STTYSTYZNYH Śedi ytmetyz Śedi ytmetyz liz,,..., jest ów: Śedi wżo Śedi wżo liz,,...,, któym pzypiso odpowiedio dodtie wgi w, w,..., w jest ów: w + w w w + w w Śedi geometyz Śedi geometyz ieujemy liz,,..., jest ów: Medi... Medią upoządkowego w kolejośi iemlejąej ziou dy lizowy 3... jest: dl iepzysty: + (śodkowy wyz iągu) dl pzysty: + (śedi ytmetyz śodkowy wyzów iągu) + Wij i odyleie stddowe Wiją dy lizowy,,..., o śediej ytmetyzej jest liz: ( ) ( ) ( ) ( ) σ dyleie stddowe σ jest piewistkiem kwdtowym z wiji. 6

19 6. TLI WRTŚI FUNKJI TRYGNMETRYZNYH [] si os β tg β [] [] si os β tg β [] 0 0,0000 0, ,793, ,075 0, ,734, ,0349 0, ,743, ,053 0, ,7547, ,0698 0, ,7660, ,087 0, ,777, ,045 0, ,7880, ,9 0, ,7986, ,39 0, ,8090, ,564 0, ,89, ,736 0, ,890, ,908 0, ,8387, ,079 0, ,8480, ,50 0, ,857, ,49 0, ,8660, ,588 0, ,8746, ,756 0, ,889, ,94 0, ,890, ,3090 0, ,8988, ,356 0, ,9063, ,340 0, ,935, ,3584 0, ,905, ,3746 0, ,97, ,3907 0, ,9336, ,4067 0, ,9397, ,46 0, ,9455, ,4384 0, ,95 3, ,4540 0, ,9563 3, ,4695 0, ,963 3, ,4848 0, ,9659 3, ,5000 0, ,9703 4, ,550 0, ,9744 4, ,599 0, ,978 4, ,5446 0, ,986 5, ,559 0, ,9848 5, ,5736 0, ,9877 6, ,5878 0, ,9903 7, ,608 0, ,995 8, ,657 0, ,9945 9, ,693 0, ,996, ,648 0, ,9976 4, ,656 0, ,9986 9, ,669 0, ,9994 8, ,680 0, , , ,6947 0, , ,707,

20