EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI WZRY SPIS TREŚI. Wtość ezwzględ liczy.... Potęgi i piewistki.... Logytmy Sili. Współczyik dwumiowy Wzó dwumiowy Newto Wzoy skócoego możei iągi Fukcj kwdtow Geometi litycz Plimeti...7. Steeometi.... Tygoometi...4. Komitoyk Rcuek pwdopodoieństw Pmety dyc sttystyczyc Pzyliżoe wtości piewistków oz pzyliżo wtość liczy π Tlic wtości fukcji tygoometyczyc...8. WRTŚĆ EZWZGLĘN LIZY Wtość ezwzględą liczy zeczywistej defiiujemy wzoem:, dl 0 dl < 0 Licz jest to odległość osi liczowej puktu od puktu 0. W szczególości: 0 l dowolyc licz, y mmy: + y + y y + y y y Podto, jeśli y 0, to y y l dowolyc licz oz 0, mmy wuki ówowże: + lu +. PTĘGI I PIERWISTKI Niec ędzie liczą cłkowitą dodtią. l dowolej liczy defiiujemy jej tą potęgę:... zy Piewistkiem ytmetyczym stopi z liczy 0 zywmy liczę 0 tką, że.

2 W szczególości, dl dowolej liczy zcodzi ówość:. Jeżeli < 0 oz licz jest iepzyst, to ozcz liczę < 0 tką, że Piewistki stopi pzystyc z licz ujemyc ie istieją. *. Niec m, ędą liczmi cłkowitymi dodtimi. efiiujemy: 0 dl 0 : oz dl 0 : m m m dl > 0 : m Niec, s ędą dowolymi liczmi zeczywistymi. Jeśli > 0 i > 0, to zcodzą ówości: s s + ( ) s s s s ( ) Jeżeli wykłdiki, s są liczmi cłkowitymi, to powyższe wzoy oowiązują dl wszystkic licz 0, 0.. LGRYTMY Niec > 0 i. Logytmem log c liczy c > 0 pzy podstwie zywmy wykłdik potęgi, do któej leży podieść podstwę, y otzymć liczę c: log c c Rówowżie: log c c l dowolyc licz > 0, y > 0 oz zcodzą wzoy: log( y) log + log y log log log log log y y Wzó zmię podstwy logytmu: jeżeli > 0,, > 0, oz c > 0, to log c log c log log ozcz log0. 4. SILNI. WSPÓŁZYNNIK WUMINWY Silią liczy cłkowitej dodtiej zywmy iloczy kolejyc licz cłkowityc:!... Podto pzyjmujemy umowę, że 0!. l dowolej liczy cłkowitej 0 zcodzi związek: +!! + ( ) ( ) *

3 l licz cłkowityc, k spełijącyc wuki 0 k defiiujemy współczyik dwumiowy (symol Newto):! k k! ( k)! Zcodzą ówości: ( )( )... ( k+ ) k... k k k 0 5. WZÓR WUMINWY NEWTN l dowolej liczy cłkowitej dodtiej oz dl dowolyc licz, mmy: ( )... k k k 6. WZRY SKRÓNEG MNŻENI Z dwumiu Newto dl oz otzymujemy dl dowolyc licz, : ( ) ( ) ( ) + ( ) + * l dowolej liczy cłkowitej dodtiej oz dowolyc licz, zcodzi wzó: k k ( )( ) ( ) ( )( ) W szczególości: ( )( + ) ( )( + ) ( )( + + ) ( )( + + ) + ( + )( + ) + ( + )( + ) 7. IĄGI iąg ytmetyczy Wzó ty wyz ciągu ytmetyczego o dym piewszym wyzie i óżicy : ( ) + Wzó sumę S początkowyc wyzów ciągu ytmetyczego: + ( ) S +

4 Między sąsiedimi wyzmi ciągu ytmetyczego zcodzi związek: + + dl iąg geometyczy Wzó ty wyz ciągu geometyczego o dym piewszym wyzie i ilozie q: q dl Wzó sumę S początkowyc wyzów ciągu geometyczego: q dl q S q dl q Między sąsiedimi wyzmi ciągu geometyczego zcodzi związek: dl + Pocet skłdy Jeżeli kpitł początkowy K złożymy lt w ku, w któym opocetowie lokt wyosi p % w skli oczej, to kpitł końcowy K wyż się wzoem: p K K FUNKJ KWRTW Postć ogól fukcji kwdtowej: ( ) f + + c, 0, R. Wzó kżdej fukcji kwdtowej moż dopowdzić do postci koiczej: Δ f ( ) +, gdzie 4 pomocej pzy spoządziu wykesu. Δ Wykesem fukcji kwdtowej jest pol o wiezcołku w pukcie o współzędyc Δ,. Rmio poli skieowe są do góy, gdy > 0, do dołu, gdy 0 4 <. 4c Licz miejsc zeowyc fukcji kwdtowej f ( ) + + c, czyli licz ozwiązń ówi + + c 0 zleży od wyóżik Δ 4c: jeżeli Δ< 0, to fukcj kwdtow ie m miejsc zeowyc (ówie kwdtowe ie m ozwiązń zeczywistyc), jeżeli Δ 0, to fukcj kwdtow m dokłdie jedo miejsce zeowe (ówie kwdtowe m jedo ozwiązie zeczywiste): jeżeli Δ> 0, to fukcj kwdtow m dw miejsc zeowe (ówie kwdtowe m dw ozwiązi zeczywiste): Δ + Δ 4

5 Jeśli Δ 0, to wzó fukcji kwdtowej moż dopowdzić do postci iloczyowej: f ( ) ( )( ) Wzoy Viéte : c + 9. GEMETRI NLITYZN dciek ługość odcik o końcc w puktc, y, y d jest wzoem: ( ), ( ) ( ) ( ) + y y y (, ) y Współzęde śodk odcik : + y+ y, Wektoy Współzęde wekto, któy pzesuw pukt pukt : [, y y] Jeżeli u [ u, u], v [ v, v] są wektomi, zś jest liczą, to u+ v u + v, u + v u u, u Post [ ] Rówie ogóle postej: + y + 0, gdzie [ ] + 0 (tj. współczyiki, ie są ówocześie ówe 0). (, ) y Jeżeli 0, post jest ówoległ do osi ; jeżeli 0, post jest ówoległ do osi y; jeżeli 0, to post pzecodzi pzez początek ukłdu współzędyc. Jeżeli post ie jest ówoległ do osi y, to m o ówie kieukowe: y + Licz to współczyik kieukowy postej: tg Współczyik wyzcz osi y pukt, w któym d post ją pzeci. y y + 5

6 Rówie kieukowe postej o dym współczyiku kieukowym i pzecodzącej pzez P, y : pukt ( 0 0) y ( 0) + y0 Rówie postej, pzecodzącej pzez dw de pukty (, y), (, y) ( y y )( ) ( y y )( ) 0 Post i pukt dległość puktu P (, y ) : 0 0 od postej o ówiu + y + 0 d jest wzoem: 0 + y0 + + P postyc wie poste, o ówic kieukowyc y + y + spełiją jede z stępującyc wuków: są ówoległe, gdy, są postopdłe, gdy, twozą kąt ϕ tki, że: 0 < ϕ < 90 tgϕ + i Jeżeli poste de są ówimi w postci ogólej: + y y + 0 to odpowiedio: są ówoległe, gdy 0, są postopdłe, gdy + 0, twozą kąt ϕ tki, że: 0 < ϕ < 90 Tójkąt i tgϕ + Pole tójkąt o wiezcołkc (, y ), (, y ), (, y ), de jest wzoem: PΔ ( )( y y ) ( y y )( ) Śodek ciężkości tójkąt, czyli pukt pzecięci jego śodkowyc, m współzęde: + + y+ y + y, 6

7 Pzeksztłcei geometycze u, pzesuięcie o wekto [ ] symeti względem osi pzeksztłc pukt (, ) symeti względem osi y pzeksztłc pukt (, ) symeti względem puktu (, ) pzeksztłc pukt (, y ) pukt ( y, ) + + ; y pukt (, y) ; y pukt (, y) ; pzeksztłc pukt (, y ) pukt (, y) ; s pzeksztłc pukt (, y ) jedokłdość o śodku w pukcie ( 0,0 ) i skli 0 pukt ( s, sy ). Rówie okęgu Rówie okęgu o śodku w pukcie (, ) i pomieiu : lu ( ) ( ) + y gdy y y c + > 0 c 0. PLNIMETRI ecy pzystwi tójkątów F E To, że dw tójkąty i EF są pzystjące ( Δ Δ EF ), możemy wywioskowć z kżdej z stępującyc cec pzystwi tójkątów: cec pzystwi ok ok ok : odpowidjące soie oki ou tójkątów mją te sme długości: E, F, EF ; cec pzystwi ok kąt ok : dw oki jedego tójkąt są ówe odpowidjącym im okom dugiego tójkąt oz kąt zwty między tymi okmi jedego tójkąt m tką smą mię jk odpowidjący mu kąt dugiego tójkąt, p. E, F, EF ; cec pzystwi kąt ok kąt : jede ok jedego tójkąt m tę smą długość, co odpowidjący mu ok dugiego tójkąt oz miy odpowidjącyc soie kątów ou tójkątów, pzyległyc do oku, są ówe, p. E, EF, EF. 7

8 ecy podoieństw tójkątów F E To, że dw tójkąty i EF są podoe ( Δ ~ Δ EF ), możemy wywioskowć z kżdej z stępującyc cec podoieństw tójkątów: cec podoieństw ok ok ok : odpowidjące soie oki ou tójkątów są popocjole: ; E F EF cec podoieństw kąt kąt kąt : odpowidjące soie kąty są ówe: EF, EF, FE ; Uwg. Wystczy, y dw kąty jedego tójkąt yły ówe dwóm kątom dugiego tójkąt. cec podoieństw ok kąt ok : dw oki jedego tójkąt są popocjole do odpowidjącyc im oków dugiego tójkąt oz miy kątów zwtyc między tymi okmi w ou tójkątc są ówe, p., EF. E F zczei γ,, c długości oków, leżącyc odpowiedio pzeciwko wiezcołków,, ; p + + c owód tójkąt;, β, γ miy kątów pzy wiezcołkc,, ; c β,, c wysokości, opuszczoe z wiezcołków,, ; R, pomieie okęgów opisego i wpisego. Twiedzeie Pitgos (wz z twiedzeiem odwotym do iego) W tójkącie kąt γ jest posty wtedy i tylko wtedy, gdy + c. 8

9 Związki miowe w tójkącie postokątym Złóżmy, że kąt γ jest posty. Wówczs: c γ c c c c si c cos β. β c tg tgβ R c Twiedzeie siusów c R si si β siγ Twiedzeie cosiusów + c ccos + c ccosβ c + cosγ Wzoy pole tójkąt PΔ c c P siγ Δ, gdy γ jest kątem ozwtym to PΔ si ( 80 γ ) siβ siγ PΔ R si siβ siγ si c PΔ p p p p p c 4R ( )( )( ) Twiedzeie Tles Jeżeli poste ówoległe i pzeciją dwie poste pzecijące się w pukcie, to. Twiedzeie odwote do twiedzei Tles Jeżeli poste i pzeciją dwie poste pzecijące się w pukcie oz, to poste i są ówoległe. 9

10 zwookąty E Tpez zwookąt, któy m co jmiej jedą pę oków ówoległyc. Wzó pole tpezu: + P ϕ Rówoległook zwookąt, któy m dwie py oków ówoległyc. Wzoy pole ówoległooku: P si siϕ Rom zwookąt, któy m dwie py oków ówoległyc jedkowej długości. Wzoy pole omu: P si eltoid zwookąt, któy m oś symetii, zwiejącą jedą z pzekątyc. Wzó pole deltoidu: P Koło Wzó pole koł o pomieiu : P π wód koł o pomieiu : π Wyciek koł Wzó pole wycik koł o pomieiu i kącie śodkowym : P π 60 ługość łuku wycik koł o pomieiu i kącie śodkowym : l π 60 0

11 Kąty w okęgu Mi kąt wpisego w okąg jest ów połowie miy kąt śodkowego, optego tym smym łuku. Miy kątów wpisyc w okąg, optyc tym smym łuku, są ówe. Twiedzeie o kącie między styczą i cięciwą y jest okąg o śodku w pukcie i jego cięciw. Post jest stycz do tego okęgu w pukcie. Wtedy, pzy czym wyiemy te z kątów śodkowyc, któy jest opty łuku zjdującym się wewątz kąt. Twiedzeie o odcikc sieczej i styczej e są: post pzecijąc okąg w puktc i oz post stycz do tego okęgu w pukcie. Jeżeli poste te pzeciją się w pukcie P, to P P P P

12 kąg opisy czwookącie γ β N czwookącie moż opisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy mi jego pzeciwległyc kątów wewętzyc są ówe 80 : δ + γ β + δ 80 kąg wpisy w czwookąt d c W czwookąt wypukły moż wpisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego pzeciwległyc oków są ówe: + c + d. STEREMETRI Twiedzeie o tzec postyc postopdłyc k l P m Post k pzeij płszczyzę w pukcie P. Post l jest zutem postokątym postej k tę płszczyzę. Post m leży tej płszczyźie i pzecodzi pzez pukt P. Wówczs post m jest postopdł do postej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest postopdł do postej l.

13 zczei P pole powiezci cłkowitej P pole powiezci podstwy p P pole powiezci oczej V ojętość Postopdłości H G E F c P ( + c+ c ) V c gdzie,, c są długościmi kwędzi postopdłościu. Gistosłup posty F J E I G H P p V Pp gdzie p jest owodem podstwy gistosłup. stosłup S E V P p gdzie jest wysokością ostosłup.

14 Wlec P π P π + ( ) V π gdzie jest pomieiem podstwy, wysokością wlc. Stożek S l P π l P π + l ( ) V π gdzie jest pomieiem podstwy, wysokością, l długością twozącej stożk. Kul P 4π 4 V π gdzie jest pomieiem kuli. TRYGNMETRI efiicje fukcji tygoometyczyc y M(, y) y y si cos y tg ( 0) gdzie + y M 4

15 Wykesy fukcji tygoometyczyc y si y cos y tg Związki między fukcjmi tego smego kąt si + cos si tg dl cos Niektóe wtości fukcji tygoometyczyc π + kπ k cłkowite si 0 cos tg 0 Fukcje sumy i óżicy kątów π 6 π 4 π π 0 ie istieje l dowolyc kątów, β zcodzą ówości: si ( + β) sicos β + cossi β si ( β) sicos β cossi β cos + β coscos β sisi β cos β coscos β + sisi β ( ) ( ) Podto mmy ówości: tg( ) tg + tgβ tg( ) tg + β β tgβ tg tgβ + tg tgβ któe zcodzą zwsze, gdy są okeśloe i miowik pwej stoy ie jest zeem. Fukcje podwojoego kąt si sicos cos cos si cos si 5

16 . KMINTRYK Pemutcje Licz sposoów, w jki elemetów moż ustwić w ciąg, jest ów!. Wicje ez powtózeń Licz sposoów, w jki z elemetów moż utwozyć ciąg, skłdjący się z k ( k ) óżyc wyzów, jest ów! ( )... ( k+ ) k! Wicje z powtózeimi ( ) Licz sposoów, w jki z elemetów moż utwozyć ciąg, skłdjący się z k iekoieczie óżyc wyzów, jest ów k. Komicje Licz sposoów, w jki spośód elemetów moż wyć k ( 0 k ) elemetów, jest ów k 4. RHUNEK PRWPIEŃSTW Włsości pwdopodoieństw ( ) P ( Ω ) 0 P dl kżdego zdzei Ω Ω zdzeie pewe P ( ) 0 zdzeie iemożliwe (pusty podzió Ω ) P( ) P( ) gdy Ω P( ) P( ), gdzie ozcz zdzeie pzeciwe do zdzei. P( ) P( ) + P( ) P( ), dl dowolyc zdzeń Ω,, ztem P( ) P( ) + P( ), dl dowolyc zdzeń Ω., Twiedzeie: Klsycz defiicj pwdopodoieństw Niec Ω ędzie skończoym zioem wszystkic zdzeń elemetyc. Jeżeli zjście kżdego zdzei elemetego jest jedkowo pwdopodoe, to pwdopodoieństwo zjści zdzei Ω jest ówe P( ) Ω gdzie ozcz liczę elemetów ziou, zś Ω liczę elemetów ziou Ω. 5. PRMETRY NYH STTYSTYZNYH Śedi ytmetycz Śedi ytmetycz licz,,..., jest ów:

17 Śedi wżo Śedi wżo licz,,..., któym pzypiso odpowiedio dodtie wgi w, w,..., w jest ów: w + w w w + w w Śedi geometycz Śedi geometycz ieujemyc licz,,..., jest ów: Medi... Medią upoządkowego w kolejości iemlejącej ciągu dyc liczowyc... jest: dl iepzystyc: + (śodkowy wyz ciągu), dl pzystyc: + (śedi ytmetycz śodkowyc wyzów ciągu). + Wicj i odcyleie stddowe Wicją dyc liczowyc,,..., o śediej ytmetyczej jest licz: ( ) ( ) ( ) ( ) σ dcyleie stddowe σ jest piewistkiem kwdtowym z wicji. 6. PRZYLIŻNE WRTŚI PIERWISTKÓW RZ PRZYLIŻN WRTŚĆ LIZY π, 44,7,599,44 4 5, 6 6, , , ,6 π,46 4,5874 5,700 6,87 7,99 8 9,080 0,544 7

18 7. TLI WRTŚI FUNKJI TRYGNMETRYZNYH [] si cos β tg β [] [] si cos β tg β [] 0 0,0000 0, ,79, ,075 0, ,74, ,049 0, ,74,06 4 0,05 0, ,7547, ,0698 0, ,7660, ,087 0, ,777, ,045 0, ,7880, ,9 0, ,7986, ,9 0, ,8090, ,564 0, ,89, ,76 0, ,890, ,908 0, ,887,599 0,079 0, ,8480,600 0,50 0, ,857, ,49 0, ,8660, ,588 0, ,8746, ,756 0, ,889, ,94 0, ,890, ,090 0, ,8988, ,56 0, ,906, ,40 0, ,95, ,584 0, ,905,559 0,746 0, ,97,475 0,907 0, ,96, ,4067 0, ,997, ,46 0, ,9455, ,484 0, ,95, ,4540 0, ,956, ,4695 0, ,96, ,4848 0, ,9659, ,5000 0, ,970 4, ,550 0, ,9744 4,5 0,599 0, ,978 4,7046 0,5446 0, ,986 5, ,559 0, ,9848 5, ,576 0, ,9877 6, ,5878 0, ,990 7, ,608 0, ,995 8, ,657 0, ,9945 9, ,69 0, ,996, ,648 0, ,9976 4, ,656 0, ,9986 9,08 4 0,669 0, ,9994 8,66 4 0,680 0, , , ,6947 0, , ,707,