6. Układy równań liniowych

Transkrypt

1 6. Ukłdy rówń liiowych 6. Podstwowe określei Defiicj 6.. (ukłd rówń liiowych rozwiązie ukłdu rówń) Ukłde rówń liiowych z iewidoyi gdzie N zywy ukłd rówń postci: (6..) O... gdzie ij R to tzw. współczyiki ukłdu i R to wyrzy wole (lo stłe ukłdu) dl i j. Uwg: współczyiki ukłdu rówń ogą leŝeć teŝ do iego cił p. do cił licz zespoloych Rozwiązie ukłdu rówń liiowych zywy kŝdy ciąg (c c c ) licz rzeczywistych spełijących te ukłd (tz po podstwieiu (c c c ) z ( ) w lewej stroie ukłdu rówń (6..) otrzyujey tkie se wrtości co po prwej stroie). Często zist ówić Ŝe -k licz (c c c ) jest rozwiązie ukłdu rówń piszey c c... c. Ukłd rówń który ie rozwiązń zywy ukłde sprzeczy. oŝliwe są jeszcze dwie ie ogóle sytucje: ukłd dokłdie jedo rozwiązie orz istieje ieskończo licz rozwiązń dego ukłdu rowń. Jeśli istieje co jiej jedo rozwiązie to ukłd zywy iesprzeczy. Uwg. PowyŜszy ukłd rówń liiowych oŝ zpisć z poocą suy: lu w postci cierzowej: ij j j i ( i... ) (6..) gdzie def X B O def X def B. cierz zywy cierzą główą ukłdu rówń liiowych cierz X cierzą (koluą ądź wektore koluowy) iewidoych B cierzą (koluą lu wektore koluowy) wyrzów wolych. RozwŜ się tkŝe ukłdy rówń liiowych w których cierze X orz B są zespoloe. W przypdku łej liczy iewidoych ędziey je ozczć literi y z t u v w. Defiicj.. (ukłd jedorody i iejedorody) Ukłd rówń liiowych postci X

2 gdzie jest cierzą wyiru toist jest cierzą zerową wyiru zywy ukłde jedorody. Ukłd rówń liiowych postci X B w który B jest cierzą iezerową zywy ukłde iejedorody. Uwg. Jedy z rozwiązń kŝdego ukłdu jedorodego X jest cierz zerow X wyiru gdzie ozcz liczę kolu cierzy. 6. Ukłdy Crer Defiicj 6.. (ukłd Crer) Ukłde Crer zywy ukłd rówń liiowych X B w który jest cierzą ieosoliwą. Twierdzeie 6.. (wzór Crer) Ukłd Crer X B dokłdie jedo rozwiązie. Rozwiązie to jest określoe wzore X gdzie ozcz stopień cierzy toist j dl j ozcz cierz w której j tą koluę zstąpioo koluą wyrzów wolych B tz. K K def K K j. O O K K Uwg. Rówość określjącą rozwiązie ukłdu rówń liiowych zywy wzore Crer. Rówość t po rozpisiu przyjuje postć: zwą wzori Crer. Twierdzeie 6.. (etod cierzy odwrotej Rozwiązie ukłdu Crer X B jest określoe wzore: 6.. Ogóle ukłdy rówń liiowych X B. Dy jest ukłd -rówń z -iewidoyi. icz rówń ie usi yć rów liczie iewidoych tz. oŝe zchodzić < lu lu >. Piszey go stępująco:

3 O... Błąd! Nie zdefiiowo zkłdki. (6..) lizę rozwiązlości tkiego ukłdu zczyy od porówi rzędów cierzy główej ukłdu orz cierzy rozszerzoej (uzupełioej) ukłdu postci: [ ] B O któr powstje z cierzy przez forle dopisie koluy wyrzów wolych. Dl zzczei specjlej roli osttiej koluy oddziely ją kreską. cierz rozszerzo w jedozczy sposó określ ukłd rówń. Przykłd: cierz odpowid stępująceu ukłdowi rówń: y y 5y z 5z 5 4. ( 6..) Relcj iędzy cierzą i [ B] cierzą określ kwestię istiei orz ilości rozwiązń dego ukłdu rówń. Precyzyjie określ to stępujące wŝe twierdzeie. Twierdzeie 6.. (Kroecker-Cpelliego) Ukłd rówń liiowych z iewidoyi posid rozwiązie wtedy i tylko wtedy gdy rz rz [ B]. (6..) Dowód: Ukłd rówń (6..) oŝ rówieŝ zpisć stępująco:... B (6..) i gdzie i ozcz i-tą koluę cierzy. i Koieczość: Ze wzoru (6..) wyik Ŝe kolu B jest liiowo zleŝ od kolu... więc rz rz [ B].

4 Dostteczość: iech rz rz [ B] r więc istieje r liiowo iezleŝych kolu iech to ędą koluy... r iędzy kolui {... B} jest teŝ r liiowo iezleŝych kolu. Są ii {... r }. oŝey więc pisć B α α...α r r Biorąc więc α r α r... α otrzyujey rozwiązie ukłdu: {α i } i.... Defiicj 6.. (ukłdy rówowŝe) Dw ukłdy rówń zywy rówowŝyi jeŝeli kŝde rozwiązie jedego ukłdu rówń jest jedocześie rozwiązie drugiego ukłdu i odwrót. Twierdzeie 6.. Niech ukłd rówń (6..) rozwiązie i iech ędzie iore stopi r (r rz ) cierzy. Usuwjąc z ukłdu rówń (6..) te rówi których współczyiki ie wchodzą w skłd ior otrzyujey ukłd rówń rówowŝych ukłdowi (6..). Twierdzeie 6.. Niech cierz ukłdu rówń: r r r O r rząd rówy r. Oczywiście istieje tki róŝy od zer ior który jest stopi r. Wówczs wszystkie rozwiązi ukłdu otrzyujey przyjując dl r iewidoych (tych których współczyiki ie wchodzą w skłd ior dowole stłe. Pozostłe iewidoe oliczy ze wzorów Crer. Wiosek: N to y ukłd -rówń -iewidoych ( ) ił dokłdie jedo rozwiązie potrze i wystrcz y rz rz [ B]. Wiosek: dl dowolego ukłdu rówń liiowych: jeśli rz rz [ B] to rozwiązie jest dokłdie jedo jeśli rz rz [ B] r < to rozwiązń jest ieskończeie wiele zleŝych od (r) pretrów. jeśli rz rz [ B] to ukłd jest sprzeczy y określić rodzj ukłdu oliczy rzędy cierzy i cierzy rozszerzoej [ B] stępie porówujey je ze soą orz z ilością iewidoych. Przykłd. Rozwiązć ukłd rówń y y (6..) y 6 Wypisujey cierze główą orz rozszerzoą [ B] 6 Z cierzy wyiery ior

5 który jest róŝy od. Ozcz to Ŝe rz. Nstępie oliczy [ ] 6 B Ozcz to ze cierz [ B] ie oŝe yć rzędu. Stąd rz rz [ B]. Nstępie skreśly trzecie rówie którego współczyiki ie występują w wyry iorze. Otrzyujey ukłd rówń rówowŝych y y W który licz iewidoych jest rów liczie rówń. Rozwiązujey go etodą Crer. Oliczy orz 5 9 y. Stąd 5 9 y y. Pr ) 5 9 ( jest rówieŝ rozwiązie rówi trzeciego. Przykłd. Rozwiązć ukłd rówń (6..4) ) y: B. Podto rz gdyŝ istieje tki ior stopi drugiego orz rz rz rz rzb gdzie wykoliśy opercję eleetrą w w w któr wygeerowł zer w trzeci wierszu. y więc < rz rz B. Ukłd rówń ieskończeie wiele rozwiązń zleŝych od r pretrów. ) Odrzucy trzecie rówie jko liiowo zleŝe od dwóch pierwszych.

6 c) Wyiery ziee jko ziee wiodące (zowe) tz. tkie których współczyiki wchodzą do ior. Zieą iewiodącą (iezową) tj. przeosiy prwą stroę rówń: Nstępie podstwiy z ziee iewiodące dowole pretry tz. przyjujey w szy przypdku α gdzie α R to dowoly pretr. Rozwiązując etodą Crer ukłd: α α ze względu otrzyujey: 5 5α 4α. Pełe rozwiązie ukłdu rówń (..4) jest postci: 5 5α 4α α. 6.4 etod eliicji Guss Łtwo zuwŝyć Ŝe ziór rozwiązń ukłdu rówń ie ziei się przy stępujących opercjch ty ukłdzie:. Perutowie (zi kolejości) rówń.. PooŜeie jedego rówi przez dowolą liczę.. Dodie wielokrotości jedego rówi do iego rówi. Te opercje zwe opercji eleetryi stowią podstwowe rzędzie jedej z jrdziej zych etod rozwiązywi ukłdów rówń liiowych czyli tzw. etody eliicji Guss. W odiesieiu do cierzy rozszerzoej odpowidją oe perutowiu wierszy tej cierzy oŝeiu wiersz przez dowolą liczę orz dodwiu wielokrotości jedego wiersz do iego wiersz. Wiey rówieŝ Ŝe zi kolejości skldików w rówich (zieijąc p. wyrzy i z wyrzi i w kŝdy z rówń) ie prowdzi do ziy rozwiązń ukłdu. Defiicj 6.4. (rówowŝość ukłdów rówń liiowych opercje eleetre) Pode poiŝej opercje wierszch cierzy rozszerzoej [ B] ukłdu rówń liiowych X B przeksztłcją go ukłd rówowŝy:. zi iędzy soą wierszy (ozczć te opercję ędziey W ij lo w i w j ). oŝeie wiersz przez stłą róŝą od zer (W i (c) lo cw i ). dodwie do i-tego wiersz j-tego wiersz pooŝoego przez liczę c wyrz po wyrzie (W ij (c) lo w i cw j ) 4. skreśleie wiersz złoŝoego z sych zer ( UW i lu w i ) 5. skreśleie jedego z wierszy rówych lu proporcjolych (UW ij lu w i ~ w j ) jko złoŝeie opercji i 4. etod eliicji Guss Niech X B ędzie ukłde rówń liiowych gdzie jest cierzą wyiru. Koleje etpy rozwiązywi ukłdu rówń etodą eliicji Guss są stępujące: ) Tworzyy cierz rozszerzoą ukłdu.

7 [ ] O iewidoe B ) Jeśli to dzieliy pierwszy wiersz przez (wtedy po przeksztłceiu wyrz wiodący wyosi. Nstępie posługując się ty wiersze uzysky zer w pierwszej koluie. iowicie od wiersz drugiego odejujey wiersz pierwszy pooŝoy przez itd. Gdyy wyrz le iy wyrz w pierwszej koluie p. k to przestwiy jpierw wiersz pierwszy z wiersze k-ty i dlej postępujey tk jk poprzedio. ) Jeśli to dzieliy drugi wiersz przez i posługując się ty wiersze uzysky zer w drugiej koluie poiŝej. Jeśli iy eleet w tej koluie p. s to przestwiy wiersz drugi z s-ty i dlej juŝ postępujey tk jk powyŝej. Jeśli wszystkie s dl s... to przechodziy do stępej koluy. 4) Postępowie kotyuujey Ŝ do -tej koluy. Wyikie tego postępowi jest cierz schodkow w której kŝdy eleet wiodący wyosi (gielsk zw dl tej cierzy to row-echelo tri). cierz t pozwl proste zlezieie rozwiązi. Są oŝliwe trzy przypdki: ) JeŜeli w otrzyej cierzy występuje wiersz (... ) to ukłd jest sprzeczy (tki wiersz odpowid rówiu... które oczywiście ie posid rozwiązń). ) Nie wierszy postci (... ) i licz iezerowych wierszy jest rów liczie iewidoych tz. cierz jest postci (trójkątej): O (6.4.) gdzie ij i i to przeksztłcoe eleety cierzy rozszerzoej. Odpowid o ukłdowi (w tzw. postci trójkątej): O (6.4.) Nstępie ukłd te rozwiązujey stępująco: z osttiego rówi y po podstwieiu do przedosttiego rówi otrzyujey

8 itd. Rozwiązujey te ukłd wstecz ( od dołu ). Rozwiązie w ty przypdku jest oczywiście tylko jedo. c) W cierzy ie wierszy postci (... ) le występują koluy iewiodące. Stosujey tk jk powyŝej podstwieie wstecze rozwiązując te ukłd od dołu le z iewidoe które odpowidją koluo iewiodący przyjujey dowole wrtości (tzw. stłe lo pretry rozwiązi) i przeosiy je prwą stroę odpowiedich rówń. Przykłd (do puktu c). Przypuśćy Ŝe po eliicji dostliśy ukłd rówń opisy cierzą 4 [ B] 5. (6.4.) Ziee i 4 to ziee wiodące zś 5 to ziee iewiodące. Przyjujey z ie dowole stłe p. α 5 β i przeosiy je prwe stroy rówń gdzie α i β przyjują dowole wrtości ze zioru R. Wtedy ukłd rówń odpowidjący cierzy (.4.) przyjuje postć: 4 4 α 54 α β (6.4.4) 4 β który rozwiązujey od dołu: 4 β 5( β ) α β czyli 9 α β i 4 α 9 α β ( β ) α 6β. Rozwiązie szego ukłdu rówń jest więc kŝd piątk licz postci: ( α 6β 9 α β α β β ). Rozwiązi szczególe otrzyujey wstwijąc z α i β kokrete liczy p. α i β wtedy lo dl α 5 i β o trzyujey ie rozwiązie szczególe: