[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ

Transkrypt

1 I UKŁAD RÓNAŃ Defiicj Ukłd rówń liiowych z iewidoyi,,., : Defiicj Postć cierzow ukłdu rówń: A, lu krócej A, gdzie: A,,. Mcierz A zywy cierzą ukłdu rówń, wektor zywy wektore wyrzów wolych (koluą wyrzów wolych). Defiicj Mcierzą rozszerzoą ukłdu rówń liiowych zywć ędziey cierz ukłdu z dołączoą koluą wyrzów wolych [ ] A II ROZ. UKŁADU RÓNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODROTNEJ Do rozwiązywi ukłdu rówń z wykorzystie cierzy odwrotej potrze ędzie postć cierzow tego ukłdu. Podto uszą yć spełioe stępujące wruki: ) Mcierz A usi yć kwdrtow. ) Mcierz A usi yć cierzą ieosoliwą, czyli jej wyzczik usi yć róży od zer, deta. Uwg ruek ) jest rówowży wrukowi ): ) Rząd cierzy A usi yć rówy jej wyirowi, tz. rza.

2 Algoryt rozwiązywi ukłdu rówń przy poocy cierzy odwrotej: ) Zpisujey ukłd rówń liiowych w postci cierzowej A, gdzie A,,. ) Sprwdzy czy cierz A jest ieosoliw ) yzczy cierz odwrotą A -. ) Rozwiązie ukłdu rówń jest postci A -. Przykłd: Rozwiąż ukłd rówń Rozwiązie: ) Zpisujey ukłd rówń liiowych w postci cierzowej A, gdzie A,,. ) Sprwdzy czy cierz A jest ieosoliw ) det( A. yzczik cierzy deta, zte cierz A jest ieosoliw. ) yzczy cierz odwrotą A - A. ) Rozwiązie ukłdu rówń jest postci A - A, zte, czyli rozwiązie ukłdu rówń jest trójk, - i. III ROZ. UKŁADU RÓNAŃ PRZY POMOCY ZORÓ CRAMERA Podoie jk w poprzedi prgrfie, w przypdku rozwiązywi ukłdu rówń z wykorzystie wzorów Crer przydt jest postć cierzow tego ukłdu. Podto uszą yć spełioe stępujące wruki:

3 ) Mcierz A usi yć kwdrtow. ) Mcierz A usi yć cierzą ieosoliwą, czyli deta. Algoryt rozwiązywi ukłdu rówń przy poocy wzorów Crer: ) Zpisujey ukłd rówń liiowych w postci cierzowej A. ) Oliczy wyzczik cierzy A, deta (leży piętć, że usi yć spełioy wruek deta ). ) Oliczy wyzcziki cierzy A dl i,,,. Mcierze A i powstją poprzez i zstąpieie i-tej koluy cierzy A, koluą wyrzów wolych. det A,,,. ) Korzysty z twierdzei Crer, ówiącego, że jeżeli deta to ukłd rówń posid jedozcze rozwiązie, które jest de z poocą wzorów:,,,. Przykłd: Rozwiąż ukłd rówń korzystjąc ze wzorów Crer Rozwiązie: ) Zpisujey ukłd rówń liiowych w postci cierzowej A, gdzie A,,. ) Oliczy wyzczik cierzy A ) Oliczy wyzcziki cierzy A i. dl i,, det`a,,. ) Rozwiązie rówi jest trójk

4 ,,. IV ROZ. UKŁADU RÓNAŃ METODĄ ELIMINACJI GAUSSA Dwie wyżej opise etody rozwiązywi ukłdów rówń liiowych ogą yć stosowe jedyie w przypdku, gdy ukłd dokłdie tyle iewidoych ile występuje w i rówń, podto cierz tego ukłdu jest cierzą ieosoliwą. Niżej zostie przedstwio etod rozwiązywi ukłdów rówń, któr oże yć stosow ZASZE, w przypdku dowolego ukłdu, ez czyiei dodtkowych złożeń. A zte etod t jest etodą uiwerslą. Postć zredukow cierzy Mówiy, że cierz A jest w postci zredukowej, jeżeli są spełioe stępujące wruki: ) Począwszy od pewego wiersz wszystkie stępe wiersze cierzy skłdją się z sych zer. Powyżej tego wiersz ie wierszy skłdjących się z sych zer ) kżdy iezerowy wierszu pierwszy od lewej iezerowy wyrz jest rówy. Czsi zyw się go wiodącą jedyką wiersz. przykłdch wiodące jedyki zzczoe są czerwoyi rki. ) Jeżeli dw sąsiedie wiersze ie są złożoe z sych zer, to wiodąc jedyk wyższego wiersz zjduje się lewo od wiodącej jedyki iższego wiersz. Przykłd:,, Opercje eleetre dl eliicji Guss ) Zi iejsci dwóch wierszy cierzy. i j ędzie ozczć zię iejsci wiersz i z wiersze j. ) Poożeie wiersz cierzy przez liczę różą od zer. i c i ędzie ozczć opercję ożei i-tego wiersz przez liczę c różą od zer. ) Dodie do wiersz iego wiersz poożoego przez liczę różą od zer. i i c j ędzie ozczć opercję dodi do i-tego wiersz wiersz j-tego poożoego przez liczę c (różą od zer). Algoryt rozwiązywi ukłdu rówń etodą eliicji Guss ) Zpisujey cierz rozszerzoą ukłdu rówń [ ] A ) Przy poocy przeksztłceń eleetrych wykoywych wyłączie wierszch, sprowdzy cierz rozszerzoą do postci zredukowej (postć zredukową usiy

5 stworzyć z cierzy A, wektor wyrzów wolych (z pioową kreską) oże ieć postć dowolą). Ay to zroić, w pierwszej kolejości przestwiy wiersze cierzy rozszerzoej tk, y w pierwszej koluie pierwszego wiersz ył eleet iezerowy, jlepiej. Jeżeli w wyiku przestwiei wierszy ie d się uzyskć w pierwszy wierszu pierwszej koluy (eleet ), to dzieliy pierwszy wiersz przez te eleet ( i (/ ) i ). te sposó uzyskujey w pierwszej koluie pierwszego wiersz. Nstępie wykorzystujey jedykę otrzyą w powyższy sposó do uzyski zer w pierwszej koluie pozostłych wierszy. Podoie jk w kroku pierwszy otrzyujey jedykę w stępej koluie stępego wiersz i zer w pozostłych wierszch tej koluy. itd., ż do uzyski postci zredukowej cierzy A. ) Rozstrzygy istieie rozwiązń ukłdu. Tu ożliwe są trzy sytucje: Ukłd sprzeczy: Jeśli w zredukowej postci cierzy rozszerzoej występuje wiersz postci [,,, k], k Ukłd ieozczoy (ieskończeie wiele rozwiązń): Jeśli w zredukowej postci cierzy rozszerzoej występuje wiersz skłdjący się wyłączie z eleetów zerowych lu <. Jedozcze rozwiązie: pozostłych przypdkch przeksztłcei prowdzą do cierzy postci [I r], gdzie I jest cierzą jedostkową stopi r jest wektore rozwiązń ukłdu. Przykłd: (jedozcze rozwiązie) Rozwiąż ukłd rówń ) Zpisujey cierz rozszerzoą ukłdu rówń: ) Przy poocy opercji eleetrych sprowdzy cierz do postci zredukowej: Zieiy iejsci pierwszy i trzeci wiersz, y uzyskć (wiodąc jedyk w czerwoej rce) w pierwszej koluie pierwszego wiersz ykorzystujey tk uzyską jedykę do uzyski zer w pierwszej koluie pozostłych wierszy. (Do wiersz trzeciego dodjey wiersz pierwszy poożoy przez -. Zwróćy uwgę, że wiersz pierwszy zostje ez zi.) 8

6 drugiej koluie drugiego wiersz jest licz (wiodąc jedyk w czerwoej rce), więc ie usiy wykoywć dodtkowych opercji y ją uzyskć. Ay uprościć oliczei podzieliy trzeci wiersz przez - (poożyy przez -/), stępie przy poocy wiodącej jedyki drugiego wiersz, czyli eleetu, uzysky zer w drugiej koluie pozostłych wierszy cierzy 8 Tworzyy wiodącą jedykę w trzeci wierszu trzeciej koluy i wykorzystujey ją do uzyski zer w pozostłych wierszch tej koluy. (Zczyy od poożei osttiego wiersz przez -/.) ) Jk widć w wyiku przeksztłceń eleetrych sprowdziliśy cierz do postci jedostkowej, zte ukłd jedozcze rozwiązie. Rozwiązie to odczytujey piętjąc, że kolejy koluo cierzy odpowidją koleje ziee, czyli A zte rozwiązie jest trójk, -,. Przykłd: (ukłd ieozczoy) Rozwiąż ukłd rówń Jk widć w ty przypdku licz rówń jest iejsz iż licz iewidoych, zte ukłd te oże yć lo sprzeczy, lo posidć ieskończeie wiele rozwiązń. ) Rozwiązywie ukłdu rozpoczyy od utworzei cierzy rozszerzoej tego ukłdu: ) Przeksztłcy cierz ukłdu do postci zredukowej:

7 ) Odczytujey rozwiązie:, Czyli ) Z tej postci wyzczy, i : idziy, że, i są pretri,, i oż wyrzić z poocą tych pretrów (iyi słowy, z, i ożey podstwić dowole liczy rzeczywiste, y otrzyć poprwe rozwiązie ukłdu). ) Przyjęło się, że w iejsce, i wstwiy p., i c (y podkreślić, że to pretry). Otrzyujey rozwiązie: R,,c c c gdzie

8 8 Przykłd: (rk rozwiązń) Rozwiąż ukłd rówń 8 ) Mcierz rozszerzo: 8 ) Przeksztłcei eleetre 8 ) Ptrząc ostti wiersz cierzy ożey z iego odczytć, że. Jest to oczywiście sprzeczość. Ukłd ie rozwiązń w ziorze licz rzeczywistych.