Obliczanie pozycji obiektu na podstawie znanych elementów orbity. Rysunek: Elementy orbity: rozmiar wielkiej półosi, mimośród, nachylenie

Transkrypt

1 Obliczanie pozycji obiektu na podstawie znanych elementów orbity Rysunek: Elementy orbity: rozmiar wielkiej półosi, mimośród, nachylenie

2 a - wielka półoś orbity e - mimośród orbity i - nachylenie orbity do wyróżnionej płaszczyzny (dla orbit wokółsłonecznych jest to płaszczyzna ekliptyki) Ω - długość węzła wstępujęcego (dla orbit wokółsłonecznych odległość węzła wstępującego od punktu Barana) ω - odległość perycentrum od węzła wstępującego t 0 - moment przejścia przez perycentrum W przypadku orbity parabolicznej mamy q - odległość w perycentrum, i, Ω, ω, t 0 (e=1). W przypadku orbity hiperbolicznej mamy: a, e, i, Ω, ω, t 0 (a < 0, e > 1)

3 Musimy znać współrzędne heliocentryczne równikowe Ziemi i współrzędne heliocentryczne równikowe obiektu, aby policzyć geocentryczne równikowe współrzędne obiektu. Współrzędne równikowe heliocentryczne Ziemi (ξ Z, η Z, ζ Z ). W przybliżonych rachunkach można je obliczyć znając elementy orbitalne Ziemi. W praktyce obliczone w ten sposób współrzędne będą obliczone zbyt dużym błędem ze względu na obecność Księżyca. Po orbicie eliptycznej (zaburzanej przez perturbacje planetarne) porusza się barycentrum układu Ziemia - Księżyc. Powinniśmy skorzystać z roczników astronomicznych, lub odpowiednich stron internetowych (np. Obliczenie współrzędnych równikowych heliocentrycznych obiektu. (ξ p, η p, ζ p ). Obliczenie równikowych geocentrycznych współrzędnych obiektu x p = ξ p ξ Z, y p = η p η Z, z p = ζ p ζ Z

4 Obliczamy współrzędne równikowe geocentryczne obiektu Odległość geocentryczna p = x p 2 + y p 2 + z p 2 deklinacja rektascensja δ p = asin ( ) zp ρ ( ) x p α p = acos xp 2 + y 2 p ( ) y p α p = asin xp 2 + y 2 p

5 Wyznaczenie heliocentrycznych równonocnych współrzędnych obiektu odbywa się w dwóch niezależnych krokach. określenia jego położenia na orbicie policzenia potrzebnych elementów macierzy przejścia od układu związanego z orbitą ciała (oś x skierowana od Słońca do peryhelium, oś y skierowana od Słońca w kierunku ϑ = 90 o ) do układu równikowego heliocentrycznego (oś ξ skierowana od Słońca do punktu Barana, oś η skierowana od Słońca do punktu Raka).

6 Gdy mamy współrzędne heliocentryczne w płaszczyźnie orbity ciała (z osią x skierowaną od Słońca do peryhelium) x, y (dla interesującego nas obiektu z= 0), to za pomocą kolejnych obrotów możemy przejść do układu heliocentrycznego równikowego. obrót o kąt ω w płaszczyźnie orbity ciała (z = const), oś x skierowana od Słońca do węzła wstępującego obrót o kąt i wokół osi x, osie x = X i Y znajdują się w płaszczyźnie ekliptyki. obrót o kąt Ω wokół osi Z = Z. W układzie heliocentrycznym ekliptycznym oś X skierowana jest od Słońca do punktu Barana, oś Y od od Słońca do punktu Raka a oś Z na północny biegun ekliptyczny. Przejście do układu heliocentrycznego równikowego poprzez obrót o kąt ɛ wokół osi X = ξ. Osie ξ i η znajdują się w płaszczyźnie równikowej, a oś ζ skierowana jest na północny biegun niebieski.

7 Kolejne macierze przejścia pomiędzy układami mają postać: x cos(ω) sin(ω) 0 x y = sin(ω) cos(ω) 0 y z z X Y Z X Y Z ξ η ζ = = = cos(i) sin(i) 0 sin(i) cos(i) cos(ω) sin(ω) 0 sin(ω) cos(ω) cos(ɛ) sin(ɛ) 0 sin(ɛ) cos(ɛ) x y z X Y Z X Y Z

8 Przejście od układu heliocentrycznego w płaszczyźnie orbity obiektu xyz do heliocentrycznego w płaszczyźnie równikowej ξηζ ξ η ξ = P x Q x R x P y Q y R y P z Q z R z x y z

9 P x = cos ω cos Ω sin ω sin Ω cos i Q x = sin ω cos Ω cos ω sin Ω cos i R x = sin Ω sin i P y = (cos ω sin Ω + sin ω cos Ω cos i) cos ɛ sin ω sin i sin ɛ Q y = ( sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos i) cos ɛ cos ω sin i sin ɛ R y = cos Ω sin i cos ɛ cos i sin ɛ P z = (cos ω sin Ω + sin ω cos Ω cos i) sin ɛ + sin ω sin i cos ɛ Q z = ( sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos i) sin ɛ + cos ω sin i cos ɛ R z = cos Ω sin i sin ɛ + cos i cos ɛ

10 Współrzędne x, y ciała w określonym momencie znajdujemy z równań opisujących związki pomiędzy anomalią średnią a anomalią mimośrodową (dla elipsy i hiperboli) bądź czasem i anomalią prawdziwą (dla paraboli). jeżeli jako moment t 0 określimy przejście przez perycentrum to otrzymamy równanie Bakera tg( ϑ 2 ) tg 3 ( ϑ 2 ) = µγ 2q 3/2 (t t 0) Zależność anomalii średniej od anomalii mimośrodowej dla elipsy (równanie Keplera) ( ) γ 1/2 a 3/2 (t t 0 ) = M = E e sin E µ Zależność anomalii średniej od mimośrodowej dla hiperboli ( ) γ 1/2 a 3/2 (t t 0 ) = M = e sinh (f ) f µ

11 Równania te można rozwiązywać metodą kolejnych iteracji np. metodą Newton a- Raphson a x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ) Dla równania Keplera przy niewielkich wartości e ta metoda powinna być bardzo szybko zbieżna. Z wyznaczonych wartości anomalii mimosrodowej możemy obliczyć anomalię prawdziwą, ale nie jest to konieczne, bo np. w przypadku elipsy x = a (cos(e) e) y = a 1 e 2 sin(e)

12 Rysunek: Przykład elementów orbitalnych podawanych dla planetoid w telegramach MPC

13 Rysunek: Przykład efemeryd podawanych dla planetoid w telegramach MPC

14 Rysunek: Geocentryczne równikowe współrzędne Słońca

15 Rysunek: Przybliżone elementy orbitalne planet.