RZUTOWANIE. rzutnia (ekran) obserwator

Transkrypt

1 WYKŁAD 6 RZUTOWANIE Plan wkładu: Układ współr rędnch, ogólne asad rutowania Rutowanie równolegr wnoległe Rutowanie perspektwicne Ogóln prpadek rutowania 1. Układ współr rędnch, ogólne asad rutowania Lewoskrętn układ współrędnch i rutnia: P rutnia (ekran) oś oś oś obserwator Jeśli patrm dodatniego kierunku osi w stronę środka układu współrędnch, to obrót o 90 w kierunku godnm ruchem wskaówek egara, prekstałci jedną dodatnią oś w drugą. Wartości współrędnej są więkse dla punktów leżącch dalej od obserwatora. 1

2 Zadanie rutowania: Dane: opis obiektu w układie współrędnch. płascna rutowania (rutnia P ). Jak uskać obra obiektu na rutni? Stosuje się wkle jeden dwóch sposobów rutowania. 1. P 2 P rutnia P 1 P 2 P 1 obserwator Rutowanie równoległe Punkt P 1 i P 2 ostał preniesione na rutnię, wdłuż prostch równoległch. Punkt precięcia prostch rutowania rutnią są obraami rutowanch punktów. 2. P 1 P 2 P 2 P rutnia P 1 Rutowanie perspektwicne obserwator (środek projekcji) Punkt P 1 i P 2 ostał preniesione na rutnię, wdłuż prostch precinającch się w jednm punkcie (środku projekcji). Punkt precięcia prostch rutowania rutnią są obraami rutowanch punktów. 2

3 2. Rutowanie równoległe Wróżnia się wkle dwa prpadki : proste rutowania precinają rutnię pod kątem prostm (rut pionow), proste rutowania precinają rutnię pod kątem innm niż kąt prost (rut ukośn) Rut pionow Proste rutowania precinają rutnię pod kątem prostm. Prkład: Obiekt - seścian jednostkow Rutnia P -płascna (-) (1,2,2) (2,2,2) (1,2,1) (2,2,1) (2,1,2) (1,1,1) (2,1,1) Jeśli proste rutowania precinają rutnię pod kątem prostm, to rut obiektu wgląda następująco. Jeśli rutnią P jest płascna (-), to równania opisujące wiąek międ współrędnmi rutowanego punktu (,, ) a współrędnmi jego rutu ( p, p, p ) prjmują postać p p p = = = 0 3

4 Własności obraów wkonanch techniką rutu pionowego: rut odcinków równoległch do rutni mają taką samą długość jak te odcinki, rut odcinków prostopadłch do rutni są punktami. Zastosowanie rutu pionowego - rsunek technicn. Definiując rutnie jako płascn (-), (-), (-), bądź płascn do nich równoległe, można uskać rut produ, boku, gór itd. Dla prkładu: rut boku rut gór 2.2. Rut ukośn Proste rutowania precinają rutnię pod kątem innm niż kąt prost. Jak jednonacnie orientować proste rutowania wględem rutni? P (,, ) α L Φ ( p, p ) (, ) Ab jednonacnie orientować prostą rutowania wględem rutni, próc kąta a treba adać dodatkow parametr np. kąt Φ. 4

5 Z rsunku widać, że p p = + LcosF = + L sinf (,, ) α L Φ P ( p, p ) podstawiając tg = 1 a = L L i dalej L = L 1 1 (, ) uskuje się równania p p = + ( L 1 = + ( L 1 cosf cosf ) = + tga sinf sinf ) = + tga Parametrami definiującmi rut ukośn są wiec kąt Φ i odległość L 1 = 1 / tga lub para kątów Φ i α. Dla prkładu seścianu jednostkowego, można pokaać interpretację parametrów rutowania na utworonm obraie. P L 1 Φ Powżs rsunek wjaśnia także metodę konstrukcji rsunkowej rutu ukośnego seścianu. 5

6 Prkład: Wprowadone wceśniej równania powalają na wkonwanie rutów ukośnch dla dowolnch estawów parametrów L 1 i Φ. W praktce stosuje się jednak najcęściej pewne tpowe estaw parametrów rutowania. Wkonane ostaną cter rut ukośne seścianu jednostkowego. (1,2,2) (2,2,2) (1,2,1) (2,2,1) (2,1,2) (1,1,1) (2,1,1) Seścian, którego rut ostaną narsowane 1. o L 1 = 1 / tga = 1, a = 45 (rut kawalerjski) o F = 30 F = 45 o 2. L1 = 1 / tga = 1 / 2, a 63 (rut gabinetow) o o F = 30 o F = 45 6

7 3.Rutowanie perspektwicne Jak na płascźnie obraować obiekt trójwmiarowe, ab obserwator patrąc na taki obra odniósł wrażenie, że widi świat trójwmiarow? Niektóre cnniki jakie należ uwględnić pr próbie osiągnięcia wrażenia prestrenności na obraie płaskim: Geometria obrau - obiekt, które są w recwistości dalej, wdają się mniejse, - linie, które są w recwistości równoległe, wdają się bieżne. Wpłw oświetlenia scen na to, co widi obserwator - oświetlenie powierchni obiektów scen, - interakcje świetlne pomięd obiektami, cienie. Prkład (miniatura średniowiecna): La Somme le Ro (1290) British Museum, London 7

8 Filip Brunelleschi ( ) - architekt, reźbiar Kopuła katedr we Florencji Baptsterium św. Jana Filip Brunelleschi jest uważan a odkrwcę świadomie stosowanej metod rutu perspektwicnego. Narsował on obra perspektwicn baptsterium św. Jana posługując się sstemem dwóch wierciadeł. Paweł Uccello ( ) - malar P. Uccello Bitwa pod san Romano 8

9 Masaccio ( ) - malar Masaccio Gros cnsow Rafael Santi ( ) - malar Rafael Skoła ateńska 9

10 Urądenie do wkonwania rutów perspektwicnch: Albrecht Dürer ( ) Poucenie o miereniu crklem i linią r. Pr pomoc trech nici możes prenieść na obra każdą rec, którą [tmi nićmi] można dosięgnąć i narsować na desce. Cń ted tak: jeśli jesteś w sali, wbij w ścianę dużą spilę dużm uchem i prjmij, że to jest oko. Pre to [ucho] preciągnij mocną nić i awieś u dołu na niej ołowian ciężarek: Potem postaw stół lub deskę tak daleko jak echces od ucha spili, w której jest nić. Ustaw na tm [stole] prostą [pionową] ramę poprecnie do ucha spili, wżej lub niżej, w jaką echces stronę, a w tej ramie niech będą drwicki, które można b otwierać i amkać. Prbij do nich dwie nici, które b bł tak długie jak pionowa rama jest seroka i długa, u gór i pośrodku ram i ostaw b tak wisiał. Potem rób długi metalow stft, któr na predie, na ostru miałb uch igielne; prewlec preeń długą nić, która preciągnięta jest pre ucho spili w ścianie i prenieś igłę i długą nić pre ramę na ewnątr. Daj ją komuś innemu do ręki i pilnuj dwóch innch nici, które wisą pr ramie. A tera użwaj ich tak: połóż lutnię c cokolwiek ci się podoba tak daleko od ram, jak echces bleb leżała be mian tak długo jak będies jej potrebował. Każ tera pomocnikowi naciągać igłę nicią do najbardiej istotnch punktów lutni. A ile ra atrma się ona na którmś tch punktów i napnie długą nić, naciągnij awse dwie nici pr ramie na krż, w miejscu [gdie prechodi] długa nić, i prlepiaj je w obu miejscach woskiem do ram, a do pomocnika wołaj b popuścił długą nić. Wted amkaj drwicki i wrsowuj na desce ten sam punkt w miejscu gdie nici się krżują. Potem otwieraj nów drwicki i cń tak samo innm punktem - ażwpunktujes całą upełnie lutnię na desce. Potem połąc liniami wsstkie punkt lutni, które najdują się na desce - wówcas obacs, co tego wjdie. Możes w ten sposób odrsować i inne rec. 10

11 drwicki ucho rama długa nić ( p, p ) (,, ) krótkie nici ciężarek Jak wraić wiąek międ współrędnmi punktu (,, ) a współrędnmi jego rutu ( p, p ) pr pomoc równań? (,, ) ( p, p, 0) (,, ) d środek projekcji Zależność pomięd współrędnmi punktu (,, ) a punktu (,, ) opisuje układ równań parametrcnch = u = u 0 u 1 = ( + d )u 11

12 Ab wnacć współrędne punktu rutu ( p, p, 0 ) należ więc oblicć u, dla którego Rowiąaniem równania jest = ( + d )u = 0 u = + d Podstawiając oblicone u do układu równań parametrcnch opisującch współrędne punktu (,, ) otrmuje się równania, d p = + d d p = + d Jak wglądają obra perspektwicne? Prkład: (1,2,2) (2,2,2) (1,2,1) (2,2,1) (2,1,2) (1,1,1) (2,1,1) d = 3 d = 20 Gd d rut perspektwicn staje się rutem pionowm. 12

13 4. Ogóln prpadek rutowania W poprednich roważaniach rutnia leżała na płascźnie (-). Co robić gd rutnia jest ustuowana inacej? Jaki będie w takim prpadku efekt rutowania? Sformułowanie problemu: 1. Dan jest układ prostokątn współrędnch ewnętrnch (world coordinates) i opisan w tm układie obiekt. 2. W układie współrędnch ewnętrnch opisan jest drugi układ współrędnch prostokątnch wan układem obserwatora (viewing coordinates). Model sntetcnej kamer: w w, w, w układ ewnętrn v, v, v układ obserwatora obiekt v v v w Rowiąanie: w 1. Zapisać obiekt w układie współrędnch obserwatora (prelicć współrędne obiektu układu ( w, w, w ) na układ ( v, v, v ). 2. Wkonać rutowanie (np. perspektwicne) na płascnę ( v - v ). 13

14 Ab wkonać krok 1 najlepiej jest określić transformacje łożoną ( transformacji elementarnch). Składanie transformacji elementarnch może odbwać się według następującej procedur: 1. Presunięcie środka układu obserwatora do środka układu współrędnch ewnętrnch. 2. Obrót presuniętego układu obserwatora wokół osi w, tak ab oś v nalała się na płascźnie ( v - v ). 3. Obrót układu obserwatora wokół osi v, tak b oś v pokrła się osią w. 4. Obrót układu obserwatora wokół osi w, ab osie v i v pokrł się osiami w i w. Pewnm problemem pr wkonaniu łożenia transformacji może bć wnacenia kątów obrotu. Zastosowanie dla rutu perspektwicnego: Klasfikacja rutów perspektwicnch Krterium klasfikacji - licba osi układu współrędnch ewnętrnch ( w, w, w ), które precinają rutnię ( v - v ). w w v v obiekt v obiekt v v w w w v w jedna oś ( w ) precina rutnię tr osie precinają rutnię 14

15 Jak wglądają obra perspektwicne dla różnch położeń rutni? 1. Perspektwa jednopunktowa (rutnia ( v - v )leż na płascźnie ( w - w )). v Poorn punkt bieżności Seścian ( poprednich prkładów) w perspektwie jednopunktowej Na obraie perspektwicnm proste, na którch leżą obra niektórch krawędi seścianu biegają się w jednm punkcie (poorn punkt bieżności, vanishing point). v Canaletto ( ) - Plac św. Marka w Wenecji 15

16 2. Perspektwa dwupunktowa. Dwie osie układu współrędnch ewnętrnch ( w, w, w ) precinają rutnię ( v - v ) P 1 P 2 v v Seścian jednostkow w perspektwie dwupunktowej Na obraie perspektwicnm seścianu pojawił się dwa poorne punkt bieżności. E. Hopper (1923) - The Mansard Roof 16

17 3. Perspektwa trójpunktowa. Tr osie układu współrędnch ewnętrnch ( w, w, w ) precinają rutnię ( v - v ) v v Seścian jednostkow w perspektwie trójpunktowej Na obraie perspektwicnm seścianu można anacć tr poorne punkt bieżności. G. O'Keefe (1926) - Cit Night 17

18 Prkład: Pietro Lorenetti (1432) - Birth of Mar Hans Memling (1490) - Flower still-life 18