Metody obliczeniowe. Semestr II
|
|
|
- Natalia Katarzyna Grzybowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody olczeowe Semestr II Metody umerycze - sposoy rozwąz zd mtemtyczego z pomocą operc lczch. Rozwązywe ułdów rówń lowych. Metody ezpośrede tercye.. Sposoy rozwązyw rówń elowych, zgdee optymlzc.. Aprosymc terpolc, poęce modelu regres. 4. Wzory przylŝoego róŝczow cłow. 5. Metod Mote Crlo. 6. Przyłdy zstosow metod olczeowych w zdch Ŝyersch.
2 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r tertur A. Borc, G. Dhlqust, Metody umerycze, PWN, Wrszw 98. Z. Fortu, B. Mcuow, J. Wąsows, Metody umerycze, WNT, Wrszw 5. J. Stoer, R. Bulrsch, Wstęp do metod umeryczych I-II, PWN 99 A. Broz, Scl, Nom 7 S. Rosłec, Wyre metody umerycze z przyłdm zstosowń w zdch Ŝyersch, Ofcy Wydwcz Poltech Wrszwse,.
3 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Portle teretowe
4 Nr: 4 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe wyłd r metody rozwązyw ułdów rówń lowych
5 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 5 Poęce ułdu rówń lowych Ułd powyŝszy zywmy ułdem m rówń lowych o ewdomych. Slry, zywmy współczym ułdu, slry to wyrzy wole. Rozwązem ułdu zywmy dowolą -ę (r, r,..., r ), tóre po podstweu w mesce do powyŝszych rówń dą rówośc prwdzwe m m m m (sprwdzee poprwośc rozwąz podstwee - (r, r,..., r ) do lewych stro rówń porówe z wyrzm wolym).
6 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 6 przyłd ułdu dwóch rówń z trzem ewdomym: 4 Przyłd ułdu rówń Odpowedo:,,,,,,,,,,, -; wyrzm wolym są lczy -4. Ułd te m esończee wele rozwązń, edym z ch est tró:,,. 4
7 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 7 Postć rów mcerzowego: A m m m m ] [ Zps mcerzowy ułdu rówń lowych m m m m
8 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 8 Postć rów mcerzowego: A m m m m ] [ m m m m rozszerz A. Z dym ułdem rówń zwąze są dwe wŝe mcerze. m m m A mcerz głów ułdu rówń (mcerz współczyów): mcerz rozszerzo (powste z mcerzy główe przez dołączee do e olumy wyrzów wolych: Zps mcerzowy ułdu rówń lowych
9 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 9 Rzędem mcerzy A (r(a), rz(a) ) zywmy węszą lczę lowo ezleŝych wetorów olumowych w mcerzy A. Istee rozwąz ułdu rówń Rząd mcerzy ) ( ) (, B r A r B A Sończoy ułd wetorów {w,...,w } zywmy ułdem lowo ezleŝym, gdy w... w eśl slry,..., e wszyste są rówe zero
10 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Istee rozwąz ułdu rówń Rząd mcerzy Sprwę rozwązlośc ułdu rówń wyś Twerdzee Kroecer-Cpellego: Ułd rówń lowych m rozwąze wtedy tylo wtedy, gdy rząd mcerzy główe est rówy rzędow mcerzy rozszerzoe.
11 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: ułd rówń posdący rozwąze: 4 [ ] [ ] T T 4 * Rząd mcerzy - przyłdy ) ( ) ( 4, rozszerzo rozszerzo A r A r A A
12 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: ułd rówń posdący rozwąze: 4 ) ( ) ( 5 4, 4 rozszerzo rozszerzo A r A r A A [ ] [ ] T T 4 * Rząd mcerzy - przyłdy ułd rówń e posdący rozwąz: 5 4 ) ( ) ( 4, rozszerzo rozszerzo A r A r A A
13 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: Ułd edorody JeŜel wszyste wyrzy wole są rówe, to ułd rówń zywmy edorodym. Ułd edorody m zwsze rozwąze. det, ] [ A A Typy ułdów rówń lowych Ułd wdrtowy JeŜel m ułd rówń zywmy wdrtowym. r(a) < r ([A,]) r rozwąz; r(a) r ([A,]) < esończee wele rozwązń; r(a) r ([A,]) dołde edo rozwąze. (wówczs wyzcz mcerzy A est róŝy od zer)
14 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 4 Metody rozwązyw ułdów rówń lowych,...,,,...,
15 Nr: 5 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody rozwązyw ułdów rówń lowych ezpośrede (dołde) metody tóre przy ru łędów zorągleń dą dołde rozwąze po sończoe lcze przesztłceń ułdu weścowego duŝ efetywość dl ułdów o mcerzch pełych duŝe ocąŝee pmęc moŝlw estlość ze względu łędy zorągleń tercye polegą ostruc esończoego cągu wetorów, zeŝych do szuego rozwąz, () () ()... efetywe dl mcerzy rzdch, duŝych rozmrów stosuowo eduŝe ocąŝee pmęc prolemy ze zeŝoścą
16 Nr: 6 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede sposoy rozwązń Przy uŝycu mcerzy odwrote Wzory Crmer Ułd rówń z mcerzą tróątą Elmc Guss Rozłdy tróąte mcerzy Metod sprzęŝoych grdetów
17 Nr: 7 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Przy uŝycu mcerzy odwrote
18 Nr: 8 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede sposoy rozwązń Przy uŝycu mcerzy odwrote Ułd rówń A, ząc mcerz odwrotą moŝ rozwązć: A A - A A - A - v(a) *
19 Nr: 9 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede wyorzyste mcerzy odwrote Przyłd (wyorzyste rusz lulcyego MS Ecel)
20 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede wyorzyste mcerzy odwrote Przyłd (wyorzyste rusz lulcyego MS Ecel)
21 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede wyorzyste mcerzy odwrote Przyłd (wyorzyste rusz lulcyego MS Ecel)
22 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede sposoy rozwązń Wzory Crmer
23 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Wzory Crmer Gustw Krmer? Grel Crmer Wyre fty z Ŝycorysu 7 uzysue dotort, 74 oemue tedrę mtemty w Geewe, odyw dwuletą podróŝ po Europe
24 Nr: 4 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede sposoy rozwązń Wzory Crmer
25 Nr: 5 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede sposoy rozwązń Wzory Crmer Ułd rówń A o mcerzy eosolwe A m dołde edo rozwąze postc det( A ),..., det( A) mcerz A powste z mcerzy A przez zstąpee -te olumy przez wetor Cechy metody oszczędość pmęc rdzo duŝy łd olczeń (w prtyce e do zstosow dl duŝych ułdów rówń)
26 Nr: 6 ułd rówń z mcerzą tróątą metod rozwąz podstwe wstecz (wprzód) Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede sposoy rozwązń u u... u, u u... u, u... u, u, u
27 Nr: 7 ułd rówń z mcerzą tróątą metod rozwąz podstwe wstecz (wprzód) Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede sposoy rozwązń u u... u, u u... u, u... u, u, u l l l... l, l,... l, l l... l, l
28 Nr: 8 ułd rówń z mcerzą tróątą metod rozwąz podstwe wstecz (wprzód) Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede sposoy rozwązń u u... u, u u... u, u... u, u, u l l l... l, l,... l, l l... l, l u u,,..., u l l,,..., l
29 Nr: 9 ułd rówń z mcerzą tróątą metod rozwąz podstwe wstecz (wprzód) Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede sposoy rozwązń u u... u, u u... u, u... u, u, u () ()/u(,) u u,,..., u
30 Nr: ułd rówń z mcerzą tróątą metod rozwąz podstwe wstecz (wprzód) Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede sposoy rozwązń u u... u, u u... u, u... u, u, u u u,,..., u () ()/u(,) for [-:-:] () () ed
31 Nr: ułd rówń z mcerzą tróątą metod rozwąz podstwe wstecz (wprzód) Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede sposoy rozwązń u u... u, u u... u, u... u, u, u u u,,..., u () ()/u(,) for [-:-:] () () for [:] ()()-u(,)*() ed ed
32 Nr: ułd rówń z mcerzą tróątą metod rozwąz podstwe wstecz (wprzód) Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede sposoy rozwązń u u... u, u u... u, u... u, u, u u u,,..., u () ()/u(,) for [-:-:] () () for [:] ()()-u(,)*() ed ()()/u(,) ed
33 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede sposoy rozwązń Elmc Guss
34 Nr: 4 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Crl Fredrch Guss mtemty, fzy, stroom, geodet edo z perwszych odryć: pode ostruc sedemstoąt foremego przy uŝycu cyrl l
35 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 5 sprowdzee ułdu do rówowŝego ułdu postc tróąte elmc zmeych rozwąze ułdu tróątego postępowe odwrote Metody ezpośrede Elmc Guss ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
36 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: Ułd rówń zpsuemy w postc mcerzy rozszerzoe ułdu Elmc Guss - przyłd
37 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 7 Elmc Guss - przyłd I ro
38 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 8 Elmc Guss - przyłd I ro ( ) ( ) 4,...,,...,4
39 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 9 Elmc Guss - przyłd I ro II ro
40 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 4 Elmc Guss - przyłd I ro II ro III ro Wyouąc postępowe odwrote, zduemy rozwąze [,,, 4]
41 Nr: 4. Elmc zmeych Kro Złdmy, Ŝe Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss z pozostłych - rówń elmuemy zmeą odemuąc od -tego rów (,,...,) rówe perwsze pomoŝoe przez l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
42 Nr: 4. Elmc zmeych Kro Złdmy, Ŝe Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss z pozostłych - rówń elmuemy zmeą odemuąc od -tego rów (,,...,) rówe perwsze pomoŝoe przez Kro -ty Złdmy, Ŝe l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z rówń - elmuemy zmeą odemuąc od -tego rów (,...,) rówe -te pomoŝoe przez ( ) ( ) l ( ) ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
43 Nr: 4. Elmc zmeych (c.d.) Po - roch osttecze otrzymuemy łd rówń postc: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
44 Nr: 44. Elmc zmeych (c.d.) Po - roch osttecze otrzymuemy łd rówń postc: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Postępowe odwrote Rozwąze ułdu rówń o tróąte mcerzy współczyów ( ) złdąc, Ŝe, rozwąze dl,..., otrzymue sę wg wzorów: ( ) ( ) ( )
45 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 45 rozwŝmy ułd rówń mcerz ułdu est eosolw, węc stee edozcze rozwąze, le... Metody ezpośrede Elmc Guss wyór elemetu podstwowego
46 Nr: 46 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss wyór elemetu podstwowego rozwŝmy ułd rówń mcerz ułdu est eosolw, węc stee edozcze rozwąze, le... stosuąc elmcę Guss, olcze zostą przerwe w rou gdyŝ.
47 Nr: 47 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss wyór elemetu podstwowego rozwŝmy ułd rówń mcerz ułdu est eosolw, węc stee edozcze rozwąze, le... stosuąc elmcę Guss, olcze zostą przerwe w rou gdyŝ. zm oleośc werszy e zme rozwąz ułdu
48 Nr: 48 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss wyór elemetu podstwowego rozwŝmy ułd rówń mcerz ułdu est eosolw, węc stee edozcze rozwąze, le... stosuąc elmcę Guss, olcze zostą przerwe w rou gdyŝ. zm oleośc werszy e zme rozwąz ułdu Elmcę moŝ przeprowdzć ez przestw werszy ądź olum gdy mcerz A est mcerzą: z domuącą przeątą główą, tz., lu symetrycz dodto oreśloą tz. A T A T A > dl Ŝdego ezerowego wetor,...,
49 Nr: 49 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss wyór elemetu podstwowego Elemetem podstwowym (główym) zywmy te elemet mcerzy A, z pomocą tórego doouemy elmc zmee z dlszych rówń Strtege wyoru elemetu podstwowego: wyór częścowy wyór peły Strteg z częścowym wyorem elemetu podstwowego (metod Guss- Crout) est metodą ezwodą, tz. złdąc r łędów olczeń, e stąp ztrzyme procesu olczeń z powodu dzele przez zero, w przypdu gdy stee edozcze rozwąze ułdu
50 Nr: 5 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss wyór częścowy elemetu podstwowego wyer sę o meszą lczę cłowtą dl tóre m,,..., przestw sę wersze -ty orz -ty m,,...,
51 Nr: 5 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss wyór peły elemetu podstwowego m l wyer sę l o mesze lczy cłowte dl tórych l m. m, m,..., m przestw sę wersze -ty m-ty orz olumy l-tą m-tą, l m. m, m,...,
52 Nr: 5 w -tym rou, dl,,..., (wersze) mmy Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),..., ( ),...,
53 Nr: 5 w -tym rou, dl,,..., (wersze) mmy Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),..., ( ),..., for :- ed
54 Nr: 54 w -tym rou, dl,,..., (wersze) mmy Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),..., ( ),..., for :- for : ed ed
55 Nr: 55 w -tym rou, dl,,..., (wersze) mmy Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),..., ( ),..., for :- for : ed ed () ()- (,)*()/ (,)
56 Nr: 56 w -tym rou, dl,,..., (wersze) mmy Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) for :- for : for : (,) (,)-(,)*(,)/(,) ed () ()- (,)*()/ (,) ed ed,..., ( ),..., Zde: uzupeł od progrmu o wyór częścowy elemetu podstwowego
57 Nr: 57 Odm elmc Guss Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Elmc Guss-Jord Wersze są ormlzowe poprzez dzelee przez elemet główy Kole zme est elmow z wszystch rówń, e tylo z stępych Po roch elmc otrzymue sę mcerz edostową, czego efetem est uzyse rozwąz w wetorze prwych stro ()... () () () () () () () ()... K K K () () () () () () () ()... () () () () ( ) ( ) ( ) Zde: zpsz od progrmu (wyorzystuąc strucę for) relzuący metodę
58 Nr: 58 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Rozłd tróąty rozwąze ułdu rówń A : eśl stee rozłd tróąty A U to: U, U y, y. Twerdzee: Nech A ędze mcerzą. Nech A ozcz mcerz utworzoą z elemetów początowych werszy olum mcerzy A. Jeśl det(a ) dl,...,- to stee edyy rozłd AU t, Ŝe mcerz est mcerzą tróątą dolą z elemetm główe przeąte rówym, mcerz U est mcerzą tróątą górą.
59 Nr: 59 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Rozłd tróąty zpmętuąc rozłd U moŝemy szyo rozwązć wele ułdów róŝących sę wetorem Ie zstosow rozłdu tróątego mcerzy: olcze wyzcz mcerzy A det(a)det(u)det()det(u)det(u) wyzcze mcerzy odwrote do A A - (U) - U - - (odwrotośc mcerzy tróątych olcz sę łtwo)
60 Nr: 6 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody ezpośrede Rozłd tróąty A U metod Dooltle K K M M O M K l M l l M O K u u K u u K u O M u,..., u l l l u u,,,..., / u,,,...,
61 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 6 metod Crout mcerz U posd edy przeąte główe l u l u u l l,...,,, /,...,,,,..., M O K K K O M M K M O M M K K u u u l l l l l l Metody ezpośrede Rozłd tróąty A U Zde: zpsz od progrmu (fucę Sc) relzuący metodę Crout WE: mcerz A, WY: mcerze, U
62 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 6 Przyłd zstosow metody Dooltle? []???????? [] u u l l u l u,...,,, /,...,,,,..., [] [] Metody ezpośrede Rozłd tróąty A U,,?? u l u l u u u l l u l u l u u l u l u
63 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 6 Przyłd zstosow metody Dooltle? []???????? [] u u l l u l u,...,,, /,...,,,,...,,,?? u l u l u u u l l u l u l u u l u l u [] [] Metody ezpośrede Rozłd tróąty A U
64 Nr: 64 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Ułdy rówń z mcerzm speclym A mcerz symetrycz, dodto oreślo rozłd Cholesy ego A T A mcerz symetrycz edozczy rozłd A D T D mcerz dgol l l l (,,...,,,..., l l, l ), Zde: zpsz od progrmu (fucę Sc, przy uŝycu struc for) relzuący rozłd Cholesy ego, WE: mcerz A, WY: mcerz
65 Nr: 65 A ułd rówń Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Ułdy rówń lz rozwązń przylŝoych otrzyme przylŝoe rozwąze eśl rozwąze est rozwązem dołdym to A [] eśl e est rozwązem dołdym to olczmy wetor resduum r A [] J dorym przylŝeem rozwąz dołdego est wetor?
66 Nr: 66 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Norm merzee odległośc, y lczy rzeczywste odległość d y (, ), y (y,y ), puty w przestrze D odległość d ( y ) ( y )
67 Nr: 67 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Norm merzee odległośc, y lczy rzeczywste odległość d y (, ), y (y,y ), puty w przestrze D odległość d ( y ) ( y ) Norm euem fuc rzeczywstą. : X R, spełącą stępuące wru :. wtedy tylo wtedy gdy. * dl Ŝde lczy rzeczywste R. y y (tzw. erówość tróąt). (odległość elemetu przestrze lowe od putu ) Odległość dwóch elemetów przestrze lowe, y d -y
68 Nr: 68 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Norm przyłdy w przestrze R, (,,..., ) R : m,...,, p ( p ) / p przestrze cągów ( ) sup,,...,
69 Nr: 69 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Norm przyłdy mcerzowe ( A m -mcerz wdrtow m) A A A m,..., m,...,,...,, A
70 Nr: 7 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Norm przyłdy w przestrze fuc C[,] f, g C[,] f f sup [, ] [, ] f ( ) f ( ), d.5.5 fuc f fuc g f g < ε
71 Nr: 7 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Norm merzee odległośc [y]orm( [,flg]) orm mcerzow : wetor lu mcerz (rzeczywste lu zespoloe) flg : rodz ormy (domyśle ) Ops (mcerze) orm(): orm(,) : węsz wrtość ezwzględ elemetu mcerzy orm(,): węsz sum olumy orm(,'f'),orm(,%f): węsz sum wersz wetory orm(v,p):. p orm(v):. orm(v,'f'): orm supreml
72 Nr: 7 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Norm przestrzeń uormow Przestrzeń low w tóre zdefowo ormę przestrzeń uormow Stef Bch Hugo Stehus Włdysłw Orlcz
73 Nr: 7 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Ułdy rówń lz rozwązń przylŝoych A ułd rówń otrzyme przylŝoe rozwąze eśl rozwąze est rozwązem dołdym to A [] eśl e est rozwązem dołdym to olczmy wetor resduum r A [] J dorym przylŝeem rozwąz dołdego est wetor? Oszcowe przy uŝycu ormy (dl rozwązń, ) : r A r A Jeśl r < r dołde Ŝ to rozwąze est rdze
74 Nr: 74 A mcerz symetrycz metod sprzęŝoych grdetów ustlmy wetor początowy ewdomych olczmy wetor r A, przymuemy P r dl,,,..., - olczmy Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Ułdy rówń z mcerzm speclym Metod sprzęŝoych grdetów α podczs olczeń e stępue przesztłcee mcerzy A (wygode dl mcerzy rzdch) zdwlącym przylŝeem est wetor dl pewego < β r P T r r AP α P,,, P r r r α AP β P
75 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 75 wetor początowy ewdomych [,,, ] T uzyswe olee przylŝe [ ] [ ] [ ] [ ] T P r P r r AP r r P AP P r β β α α α,,, Zde: zpsz od progrmu (fucę Sc) relzuący metodę, WE: mcerz A, wetor, WY: wetor Ułdy rówń z mcerzm speclym Metod sprzęŝoych grdetów - przyłd
76 Nr: 76 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Sposoy zpsu mcerzy Profl mcerzy rzde A A( sprse ) { { { { { } } } } }
77 Nr: 77 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Sposoy zpsu mcerzy Postć loow mcerzy
78 Nr: 78 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody tercye - przyłd Olczee perwst wdrtowego c c
79 Nr: 79 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody tercye - przyłd Olczee perwst wdrtowego c c c ( )
80 Nr: 8 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody tercye - przyłd Olczee perwst wdrtowego c ( c ) c ( c )
81 Nr: 8 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody tercye - przyłd Olczee perwst wdrtowego c ( c ) c c ( ),, ( c ), c for : ed, c eps. (c/ )/ whle s(c-*) > eps ed (c/ )/
82 Nr: 8 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody tercye rozwązyw ułdów rówń lowych strtuą z przylŝe początowego () polegą ostruc esończoego cągu wetorów, zeŝych do szuego rozwąz, () () ()... lcz operc wyoywych w Ŝdym rou tercyym est porówywl z moŝeem mcerzy przez wetor stosowe w przypdch gdy mcerz A est duŝych rozmrów mcerzą rzdą prolem dooru początowego przylŝe (często wetor zerowy) przerw procesu tercyego
83 Nr: 8 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody tercye rozwązyw ułdów rówń lowych Przerwe procesu tercyego oszcowe () - () < ε dore wy gdy proces est szyo zeŝy des terc oszcowe r () A () < ε
84 Nr: 84 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Ulepsze tercye rozwąz (metod terc powtóre) dl rów A dy est rozłd A U wrtość olczo resduum r A proces tercyy leŝy przyąć stępe olczyć wg formuł () : ( ) s, s,,... r ( s) A ( s), ( U ( s) ) r ( s), ( s) U r ( s) ( s ) ( s) ( s) Zde: zpsz od progrmu relzuący metodę
85 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 85 metod Jcoego Metody tercye rozwązyw ułdów rówń lowych / ) ( ze: () ( (),..., () ) szue: () ( (),..., () ), ) / ( () () dl :,,,...,,,
86 Nr: 86 metod Jcoego Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody tercye rozwązyw ułdów rówń lowych,,,...,,, // (:,) rozw. pocz. for m :m_m m ty ro : ( m ) ( m) ( ) /,,,...,, ze: (m) ( (m),..., (m) ) szue: (m) ( (m),..., (m) ) ed
87 Nr: 87 metod Jcoego Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody tercye rozwązyw ułdów rówń lowych,,,...,,, m ty ro : // (:,) rozw. pocz. for m :m_m for : s () ( m ) ( m) ( ) /,,,...,, ze: (m) ( (m),..., (m) ) szue: (m) ( (m),..., (m) ) ed ed
88 Nr: 88 metod Jcoego Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody tercye rozwązyw ułdów rówń lowych,,,...,,, m ty ro : ( m ) ( m) ( ) /,,,...,, // (:,) rozw. pocz. for m :m_m for : s () for : s s (,)*(,m) ze: (m) ( (m),..., (m) ) szue: (m) ( (m),..., (m) ) ed ed ed
89 Nr: 89 metod Jcoego Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody tercye rozwązyw ułdów rówń lowych,,,...,,, m ty ro : ( m ) ( m) ( ) /,,,...,, ze: (m) ( (m),..., (m) ) szue: (m) ( (m),..., (m) ) // (:,) rozw. pocz. for m :m_m ed for : ed s () for : ed f! the s s (,)*(,m) ed
90 Nr: 9 metod Jcoego Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody tercye rozwązyw ułdów rówń lowych,,,...,,, m ty ro : ( m ) ( m) ( ) /,,,...,, ze: (m) ( (m),..., (m) ) szue: (m) ( (m),..., (m) ) // (:,) rozw. pocz. for m :m_m ed for : ed s () for : ed f! the s s (,)*(,m) ed (,m ) s/(,)
91 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 9 Metody tercye rozwązyw ułdów rówń lowych Metod Jcoego - przyłd 4,, () 4 OK ,..., , (6) () ()
92 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 9 Metody tercye rozwązyw ułdów rówń lowych Metod Jcoego - przyłd 4,, () 4 OK, , () () E
93 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 9 Metody tercye rozwązyw ułdów rówń lowych metod Guss-Sedel ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,,...,,,...,,,,,...,,
94 Nr: 94 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody tercye rozwązyw ułdów rówń lowych metod Guss-Sedel est z reguły szyce zeŝ Ŝ metod Jcoego steą ułdy dl tórych metod Guss-Sedel est rozeŝ, metod Jcoego zeŝ Metod Jcoego metod Guss-Sedel są zeŝe eśl mcerz A est mcerzą ze ścśle domuącą przeątą główą, tz. >,,...,
95 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Nr: 95 metod drelsc przyśpeszee zeŝośc metody Guss- Sedel modyfuąc wzór metody Guss-Sedel otrzymuemy prmetr relsc ω dory est t, y zeŝość metody ył szysz (eśl ω to metod reduue sę do metody Guss-Sedel ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, r r r ϖ ( ),,...,,,...,, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Metody tercye rozwązyw ułdów rówń lowych Zde: zpsz od progrmu relzuący metodę Guss-Sedel
96 Nr: 96 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Alz łędów w ułdch rówń lowych Złe uwruowe ułdu rówń ułd rówń postc A wrtość olczo resduum wose : eśl oszcowe r est młe to est dorym rozwązem? Przyłd A r A,969,8648,,6,44 [,99 r,487] [ ] 8 8 T T,864,44 rozw. [ ] T
97 Nr: 97 WE: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Przyłd złego uwruow zd 6y 6.y 6y y y WY:,y y A 6 A.E 8 wsź uwruow mcerzy A ( A) A A κ eśl est o duŝy, to młe zurze względe mcerzy A wetor mogą powodowć duŝe zurze względe wetor, zde est źle uwruowe
98 Nr: 98 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Zde umerycze Mtemtyczy ops powązń pomędzy dym weścowym wyścowym (sposó wyzcze wyów podstwe dych weścowych). Zde est dorze oreśloe eśl wy są edozcze oreśloe dl przyętych dych weścowych Uwruowe zd umeryczego rdzo wy f(d D) róŝ sę od f() Jeśl de weścowe f- zde umerycze yf( ) wy, Dy f(d D) - f() y y to zde est źle uwruowe
99 Nr: 99 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Przyłd Ŝyers zde rtowcy (metod rówowŝe węzłów) y : R : R y N N I III N III cosα sα y : N : N V I N P II Zde: przygotu rusz MS Ecel rozwązuący zde rtowcy (przyąć długośc d d d 4, P N)
100 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Poęce ułdu rówń lowych Fuce Sc v() olczee mcerzy odwrote lsolve() rozwąze ułdu rówń lowych dowole postc lu() rozłd U elmc Guss chol() rozłd Cholesy'ego sprse() formowe mcerzy rzdch full() sformowe pełe mcerzy w oprcu o profl mcerzy rzde lusolve() rozwąze ułdu rówń lowych z mcerzą rzdą chfct() rozłd Cholesy'ego dl mcerzy rzdch chsolve() rozwąze ułdu rówń lowych z mcerzą rzdą z pomocą metody Cholesy'ego spchol() rozłd Cholesy'ego dl mcerzy rzdch
101 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Poęce ułdu rówń lowych Procedury w ęzyu FORTRAN APACK (er Alger PACKge), INPACK lote procedur słuŝących do rozwązyw ułdów rówń lowych metody meszych wdrtów ( A P A C K) ( -A P -A C -K) ( A P A -C -K) ( -A P -A -C K) ( A -P -A C K) ( -A -P A C -K)
102 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Podsumowe Metody rozwązyw ułdów rówń lowych. Sformułowe zgde, podstwowe poęc mcerz głów ułdu, mcerz rozszerzo, twerdzee Kroecer-Cpellego, poece rzędu mcerzy. Podzł metod rozwązyw ułdów rówń lowych: ezpośrede tercye Sposoy rozwązń przy uŝycu metod ezpośredch z zstosowem mcerzy odwrote, z pomocą wzorów Crmer, ułd rówń z mcerzą tróątą. Elmc Guss elmc zmeych, postępowe odwrote, wyór elemetu podstwowego, metod elmc Guss-Jord,
103 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Podsumowe c.d. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych. Rozłd tróąty mcerzy sposó postepow, metod Dooltle, metod Crout, rozłd Cholesy ego, Metod sprzęŝoych grdetów. Metod welo-frotl (metody loowe) Alz łędów złe uwruowe ułdu rówń wsź uwruow mcerzy A ulepsze tercye rozwąz (metod terc powtóre) Metody tercye metod Jcoego, metod Guss-Sedel, metod drelsc
Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1. Metody obliczeniowe
Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe Metody umerycze - sposoy rozwąz zd mtemtyczego z pomocą operc lczch t, y zde mogło yć rozwąze przez omputer. Rozwązywe ułdów rówń lowych.
Metody numeryczne procedury
Metod umercze procedur podstwe [Mrc et. l. 997] orz [Broszte et. l. 004] dr ż. Pweł Zlews Adem Mors w Szczece Iterpolc welomow: Zde terpolc poleg zlezeu pewe uc tór przlż dą ucę. Dl uc ze są prz tm wrtośc
Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 6 ( ) Plan wykładu nr 6. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny
Podstwy formty Wyłd r / Podstwy formty Pl wyłdu r etody tercyje rozwązyw ułdów rówń lowych: metod tercj prostej (Jcobego) metod Guss-Sedel Poltech Błostoc - Wydzł Eletryczy Eletrotech, semestr II, stud
Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Nr: 1. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. różniczkowanie przybliżone całkowanie numeryczne
r: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe wyłd r różczowe przylżoe cłowe umerycze r: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Perwsz pocod uc Perwsz pocod uc dec: ' lm Ozcze:
Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej
Isttt Atomt Iformt Stosowe Poltech Wrszwse Algortm predce w wers ltcze z efetwm mechzmem względ ogrczeń wść Potr Mrs Pl prezetc. Wstęp. Algortm reglc predce 3. Uwzględe ogrczeń łoŝoch sgł sterąc 4. Uwzględe
Metody numeryczne w przykładach
Metody umerycze w przyłdch Podręcz Poltech Lubels Poltech Lubels Wydzł Eletrotech Iformty ul. Ndbystrzyc 38A -68 Lubl Bet Pńczy Edyt Łus J Sor Teres Guz Metody umerycze w przyłdch Poltech Lubels Lubl Recezet:
METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Plan Rozwiązywanie układów równań liniowych
-4-4 METODY NUMERYCZNE Wykłd 6. Rozwązywe ukłdów rówń lowych dr h. ż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH Met.Numer. wykłd 6 Pl Metody dokłde Metod elmcj Guss Metod Guss-Sedl Rozkłd LU Metod Kryłow Metod LR QR Zdefowe
Algebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka
lgebr mcerzow e te (rót prowzorycz powtór (uwg: tutj jest ezupełe osewet otcj tj. mcerze czsem są pogruboe czsem ursywe (tlcs) proszę sę e przejmowć t po prostu wyszło) PEWNE WZNE OPERCJE MCIERZOWE ozcz
Niech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej
Rozwiązywie ułdów rówń liiowych Metod elimicji Guss 2 Postwieie zgdiei Niech dy będzie ułd rówń postci b x x x b x x x b x x x 2 2 2 2 2 22 2 2 2 Powyższy ułd rówń liiowych z iewidomymi moż zpisć w postci
WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. róŝniczkowanie przybliŝone całkowanie numeryczne
Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Metody olczeowe wykłd r 4 róŝczkowe przylŝoe cłkowe umerycze Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Perwsz pochod ukc Ozcze: - ukc określo
Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
Układy równań liniowych Macierze rzadkie
5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -
PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 27 dr Adam Ćmiel
Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p Szereg Fourer Przypomee. Rozwżmy przestrzeń eudesową VR, tórej eemetm (putm, wetorm )są eemetowe cąg cz rzeczywstych p.,..., ) y y,..., y ). W przestrze
Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,
utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl Równn lnowe Nech V W będą przestrzenm lnowym nd tym smym cłem K T: V W przeksztłcenem lnowym Rozwżmy równne lnowe T(v)w Powyższe równne nzywmy równnem
MACIERZE I DZIAŁANIA NA MACIERZACH. Niech ustalone będzie ciało i dwie liczby naturalne,.
CIERZE I ZIŁNI N CIERZCH Nech usloe będze cło dwe lczby urle, cerzą o wyrzch z cł wymrch zywmy kżdą fukcję cerz ką zpsujemy w posc belk ) cerz zpsujemy róweż wele ych sposobów, w zleżośc od ego jką jej
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Ocena wpływu niepewności estymacji parametrów modeli czujników pomiarowych na wartości maksymalnych błędów dynamicznych
Polech rows Wydzł Iżyer Elerycze operowe edr oy ech Iforcyych Oce wpływ epewośc esyc prerów odel czów porowych wrośc sylych łędów dyczych Dr ż. rzyszof oczy rów 5.3.5 Pl wysąpe. Błędy w porch welośc słych
Technika optymalizacji
Nelowe zde optymlzj sttyzej ez ogrzeń - PN ez ogrzeń dr Ŝ. Ew Szlh Wydzł Eletro Ker.: Eletro III r. EZI Sformułowe owe zd optymlzj elowej ez ogrzeń: Fuj elu f( : Zde optymlzj poleg zlezeu wetor zmeyh deyzyjyh,
1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA
.4. STAN ODKSZTAŁCENA STRONA GEOMETRYCZNA.4.. Wetor przemeszcze Rozwżmy bryłę (cło mterle) o dowolym sztłce meszczoą w prostoątym łdze odese O (rys. ) Rys. gdze ozcz położee (mesce) pt mterlego w tym łdze,,,
VIII. RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE
VIII. RÓŻICZKOWAIE UMERYCZE Z defcj pocodej wey, że f ( x+ ) f ( x) f ( x) = ( ), >. (8.) Fucję f(x + ) ożey rozwąć przez zstosowe wzoru ylor: + f x f x f x f x + ( + ) = ( ) + ( ) + ( ) + K + f ( x) +
i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3
35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(
PROGRAMOWANIE LINIOWE.
Wykłd 6 Progrowe lowe. Zstosow ekoocze. PROGRAMOWANIE LINIOWE. ZASTOSOWANIA EKONOMICZNE. CENY DUALNE. ANALIZA WRAŻLIWOŚCI.. RACHUNEK EKONOMICZNY. ZASADY RACJONALNEGO GOSPODAROWANIA. Rchuek ekooczy - porówe
Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4
Mtemty wyre zgdiei List r 4 Zdie Jeżeli ułd wetorów v, v przestrzei liiowej V ie jest liiowo iezleży, to mówimy, że wetory v, v są liiowo zleże Udowodić stępujące twierdzeie: Ułd wetorów v, v ( ) jest
PRZEPŁYWY MIĘDZYGAŁĘZIOWE. tablica przepływów międzygałęziowych
PRZEPŁYWY IĘDZYGŁĘZIOWE. [] Jeą z meto lzy zleŝośc wystęuących w rocesch tworze ozłu roukc mterle są metoy rzeływów męzygłezowych (lzy kłów wyków, lzy utoutut). zł Elemetrym osem ukłu est tut tzw. tlc
- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Indukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak
Metody numeryzne Wyłd nr 7 dr. Potr Fronz Cłowne numeryzne Cłowne numeryzne to przylżone olzne łe oznzony. Metody łown numeryznego polegją n przylżenu ł z pomoą odpowednej sumy wżonej wrtoś łownej unj
Algorytmy metod numerycznych. Monika Chruścicka
Algoryty etod ueryczych Mok Chruścck Ktolck Uwersytet Luelsk J Pwł II Wydzł Nuk Społeczych, Istytut Ekoo Streszczee Artykuł zwer chrkterystykę etod ueryczych orz podstwowych lgorytów etod ueryczych. Przedstwoe
4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.
4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj
Metody numeryczne i programowanie
Meoy Numerycze Progrmowe Sro z 53 Wył. Meoy umerycze progrmowe Mrusz B. Bogc Zł Iżyer Procesowej Wyzł Techolog Chemczej Polech Pozńs e-ml: Mrusz.Bogc@pu.poz.pl www.fc.pu.poz.pl/cv3.hm Pozń 009 Mrusz B.
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Metody Numeryczne II rok Informatyka Stosowana Inżynieria Obliczeniowa
etody umeryczne II ro Informty Stosown Inżyner Olczenow etody numeryczne Błędy w olczench numerycznych Rozwązywne ułdów równń lnowych metod elmncj Guss Jordn Guss metody deompozycj (LU) Interpolcj Lgrnge,
Aproksymacja funkcji
Aprosymcj fcj. Ogóle sformłowe zgde prosymcj jedowymrowej Sformłowe zgde prosymcj D - prosymcj cągł: zleźć fcję p( x ) prosymjącą (zstępjącą, przylżjącą) dą fcję cągłą ( ) f x w przedzle [ ] p( x ) powy
460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n
6 Szeregi Fourier Defiij Dwie fuje ψ :< > C zywmy fujmi ortogolymi przedzile < > gdy ψ Defiij Ciąg fuji ) :< > C zywmy ułdem ortogolym przedzile < > gdy fuje są prmi ortogole przedzile < > tz gdy j j λ
Typ może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }
Idea: Wyzaczamy ameszy elemet w cągu tablcy zameamy go mescam z elemetem perwszym, astępe z pozostałego cągu wyberamy elemet ameszy ustawamy go a druge mesce tablcy zmeamy, td. Realzaca w C++ vod seleca
Macierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P
Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
data utworzenia: styczeń 2006, data modyfikacji: styczeń 2011 WSTĘP DO METOD NUMERYCZNYCH
Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń WSTĘP DO METOD NUMERYCZNYCH Metodą umeryczą zyw sę kżdą metodę oblczeową sprowdzlą do opercj rytmetyczych dodw, odejmow,
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Regresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)
Regresj low (metod jmejszch kwdrtów, metod wrówwcz, metod Guss) stot metod postult Guss współczk prostej kostrukcj prostej teoretczej trsformcj fukcj elowch przkłd Regresj low czm poleg? Jeśl merzoe dwe
Rozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19
Rozwąze ektóryh zdń tregowyh do I kolokwum sem. zmowy, 8/9 Zd.. V = ost, = 98 K W wrukh dtyzyh Q = ΔU =. Końową temperturę zjdzemy rozwązują rówe ΔU =. Zm eerg wewętrzej zhodz wskutek rekj hemzej jlepej
Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Matematyka Finansowa
Egzm dl Akturuszy z 5 mrc 0 r. Mtmtyk Fsow Zd Krok : Ay koc roku yło co jmj ml K mus spłć rówość: 000000 50 000 K 50 000 000000 K Krok : Lczymy st kot koc roku zkłdjąc, Ŝ koc roku mmy ml 000000 50 5000
Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
METODY KOMPUTEROWE 11
METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Mchł PŁOTKOWIAK Adm ŁOYGOWSKI Konsultcje nukowe dr nż. Wtold Kąkol Poznń / METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Metod wżonych rezduów jest slnym nrzędzem znjdown
1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Poltechnk Gdńsk Wydzł Elektrotechnk Automtyk Ktedr Inżyner Systemów Sterown Teor sterown Podstwy lgebry mcerzy Mterły pomocncze do ćwczeń lbortoryjnych 1 Część 3 Oprcowne: Kzmerz Duznkewcz, dr hb. nż.
Nadokreślony Układ Równań
Mchł Pzos Istytut echolog Iforcyych Iżyer Ląoe Wyzł Iżyer Ląoe Poltech Kros Noreśloy Uł Róń Z oreśloy ułe loych róń lgebrczych y o czye sytuc, gy lczb loo ezleżych róń est ęsz ż yr przestrze (lczb zeych).
Równania rekurencyjne
Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,
Rozpraszania twardych kul
Wyłd XVIII Rozprszn twrdych u Rozwżmy oddzływne twrdych u opsywne potencjłem V r r Ponewż potencjł jest seryczne symetryczny uncję ową możn zpsć w postc ( r Cm R Ym( m gdze Ym( to hrmon seryczne Rozprszne
a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n
CIĄGI ciąg jest rosący (iemlejący), jeżeli dl kżdego < ( ) ciąg jest mlejący (ierosący), jeżeli dl kżdego > ( ) ciąg zywmy rytmetyczym, jeżeli dl kżdego r - costs - r > 0 - ciąg rosący - r 0 - ciąg stły
Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Ramowy program laboratorium z metod numerycznych. Skrócone instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych.
Rmowy progrm lbortorum z meto umeryczyc. Srócoe strucje o ćwczeń lbortoryjyc. erm Nr emty Wprowzee, zsy zlcze, regulm, BHP tp. Ćw. Błęy. czby zmeoprzecowe IEEE 754. Epslo mszyowy Ćw. Rozwązywe ułu rówń
( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
Ad. poszczegolne metody obliczeniowe
A. poszczegole etoy olczeowe. Oów włsośc uerycze reprezetc lcz rzeczywstych rytety zeoprzecowe orz przestw powy yć uwzglęe w oprcowywu lgorytów ueryczych. F-zór lcz zeoprzecowych -postw t-ołość L,U-zres
Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu.
Elementy rchunku prwdopodoeństw f 0 f() - gęstość rozkłdu prwdopodoeństw X f d P< < = f( d ) F = f( tdt ) - dystryunt rozkłdu E( X) = tf( t) dt - wrtość średn D ( X) = E( X ) E( X) - wrncj = f () F ()
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.
Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska.
chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows Iterpolc Iterpolc oże być trtow o szczególy przypde prosyc polegący ty że fuc prosyow fuc prosyuąc przyuą te se wrtośc w
SZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZA ITELIGECJA WYKŁAD. SYSTEMY EUROOWO-ROZMYTE Częstocow 4 Dr b. ż. Grzegorz Dude Wdzł Eletrcz Poltec Częstocows SIECI EUROOWO-ROZMYTE Sec euroowo-rozmte pozwlją utomtcze tworzee reguł podstwe przłdów
Ilość pożywki w gramach 0,
Anlz wrnc: dwuczynnow (dwuerunow) z powtórzenm Krót urs osług omputer Z pomocą nlzy wrnc dwuczynnowe możn nlzowć wyn esperymentów, w tórych stosue sę nezleżne dw różne czynn. Rozptrywny ędze nstępuący
LABORATORIUM DYNAMIKI MASZYN
LABORATORIUM DYNAMII MASZYN Ćwcz 5 IDENTYFIACJA OBIETU DYNAMICZNEO NA PODSTAWIE JEO LOARYTMICZNYCH CHARATERYSTY CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH. Cl ćwcz Orśl rów ruchu obtu dyczgo podtw go logrytczych chrtryty czętotlwoścowych,
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 2 Ha i 2 Lb 2011 str 1
Zres teriłu oowiązująy do egziu poprwowego z tetyi s H i 0 str Dził progrowy Fuj wdrtow Wieoiy iągi Wieoąty Trygooetri Przyłdowe zdi: Fuj wdrtow:. D jest fuj: y 0 Zres reizji Włsośi fuji (p. ootoizośd,
Rys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna.
terpolcj.doc Iterpolcj fukcj. Sformułowe problemu: Rs.. Iterpolcj fukcj low, b kwdrtow, c kubcz. De są rgumet,,,. orz odpowdjące m wrtośc fukcj = f, = f,, = f. Postć fukcj = f jest e z lub z. Poszukw jest
6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""
Memy fow 09..000 r. 6. *!" ( orz ( 4 % rezerwy memycze $ :;!" "+!"!4 orz "" % & "!4! " $!"!4!4 $$$ " ' "" V w dowole chwl d e wzorem V 0 0. &! "! "" 4 < ; ;!" 4 $%: ; $% ; = > %4( $;% 7 4'8 A..85 B..90
Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
SYSTEMY ROZMYTO-NEURONOWE REALIZUJĄCE RÓŻNE SPOSOBY ROZMYTEGO WNIOSKOWANIA
POLIECHIK CZĘSOCHOWSK KEDR IŻYIERII KOMPUEROWEJ PRC DOKORSK SYSEMY ROZMYO-EUROOWE RELIZUJĄCE RÓŻE SPOSOY ROZMYEGO WIOSKOWI Roert owc Promotor: dr h. ż. Dut Rutows rof. dzw. P.Cz. Częstochow 999 eszm chcłm
Całkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n
lkowe_um- łkowe umercze Zde: olczć przlżee cłk ( ) d () użwjąc wrtośc ukcj () w puktc rówoodległc. Przjmujem (), gdze,,, () () tąd / (5) Metod prostokątów d / (6) gdze / / (7) -- :9: /6 lkowe_um- td. td.
ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.
AGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH. MACIERZE Mcierzą o wymirch m (m ) zywmy prostokątą tblicę której elemetmi jest m liczb rzeczywistych mjącą m wierszy i kolum postci A m m kolumy wiersze m Stosujemy
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja
UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ.
L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow UWAI O ROZKŁADZIE UNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ. - d zm losow cągł o gęstośc. Y g g - borlows tz. g - B BR dl B BR Wzczć gęstość g zm losow Y. Jśl g - ścśl mootocz różczowl
Przypomnijmy tu znany wzór Taylora ze względu na jego wykorzystanie w zagadnieniach interpolacji, róŝniczkowania i całkowania numerycznego.
3. Wzór Tlor. Przpomm tu z wzór Tlor ze względu ego worzste w zgdec terpolc róŝczow cłow umerczego. Jeśl uc e perwszc pocodc est cągłc w przedzle domętm [] to dl dowolc putów z przedzłu [] zcodz!! ξ gdze
MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
![MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic](/thumbs/26/7422983.jpg "MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic")
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
ZASTOSOWANIE TEORII GRAFÓW DO ANALIZY STABILNOŒCI STANÓW STACJONARNYCH W SIECIACH REAKCJI ENZYMATYCZNYCH
ZASTOSOWAIE TEORII GRAFÓW DO AALIZY STABILOŒCI STAÓW STACJOARYCH W SIECIACH REAKCJI EZYMATYCZYCH Zbgew Os L do och publc uowych populrouowych e-booów orz udyc telewzyych rdowych są dostępe w bze ORCID
dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
Układ Liniowych Równań Algebraicznych
chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk Ukł owch Rówń gebrczch Z owm ukłem rówń gebrczch mm o cze w stuc, g wszstke zmee wstępuące w rówch ukłu wstępuą ee w perwsze
Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska.
chł Pzdos Istytut Techolog Iforcyych Iżyer ądoe Wydzł Iżyer ądoe Poltech Kros Aprosyc Aprosycą zyy procedurę zstępo ede fuc (fuc prosyo) ą fucą (fuc prosyuąc) t sposób, by fuce te eele sę różły sese oreśloe
Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 23 dr Adam Ćmiel
Automty i ooty Aliz Wyłd dr Adm Ćmil mil@gh.du.pl SZEEGI POTĘGOWE iąg liz zspoloyh z z - szrg potęgowy, gdzi - iąg współzyiów szrgu, z C - środ, trum ustlo, z C - zmi. Dl dowolgo ustlogo z C szrg potęgowy
METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.
ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6 Ukłd rówń
METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku?
METODY NUMERYCZNE Wkłd. dr h.ż. Ktrz Zkrzewsk, prof.agh Met.Numer. wkłd Pl Aproksmc Iterpolc welomow Przkłd Met.Numer. wkłd Aproksmc Metod umercze zmuą sę rozwązwem zdń mtemtczch z pomocą dzłń rtmetczch.
są dyspersjami wartości mierzonych parametrów A
Dopsoe ucj oej eou Dopsoe ucj oej eou Dopsoe ucj oej Ze Y jest oą ucją X Y A A X W poró Y ją rozłd or o dspersj Y tór ogó przpdu róeż zeż od X. Wrtośc X e są orczoe łęd u jgorsz pdu oż je poąć poróu z
11/22/2014. Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej.
/22/24 Dwuosobowe gry o sume zero DO NAUCZENIA I ZAPAMIĘTANIA: Defnca zaps ger o sume zero, adaptaca ogólnych defnc. Punkt sodłowy Twerdzena o zwązkach punktu sodłowego z koncepcam rozwązań PRZYPOMNIENIE:
Obliczenia naukowe Wykład nr 14
Obliczeni nuowe Wyłd nr 14 Pweł Zielińsi Ktedr Informtyi, Wydził Podstwowych Problemów Technii, Politechni Wrocłws Litertur Litertur podstwow [1] D. Kincid, W. Cheney, Anliz numeryczn, WNT, 2005. [2] A.
Lista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015
Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy
Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej. Algorytm DMC z funkcjami bazowymi. Piotr Marusak
Isttt Atomt Iformt Stosowej Poltech Wrszwsej Algortm DMC z fcjm bzowm Potr Mrs Pl rezetcj. Wstę. Strow lgortm DMC.. Algortm w wersj merczej.. Algortm w wersj ltczej 3. Algortm DMCBF (z fcjm bzowm) 3..
[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ
![[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ](/thumbs/96/127543761.jpg "[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ")
I UKŁAD RÓNAŃ Defiicj Ukłd rówń liiowych z iewidoyi,,., : Defiicj Postć cierzow ukłdu rówń: A, lu krócej A, gdzie: A,,. Mcierz A zywy cierzą ukłdu rówń, wektor zywy wektore wyrzów wolych (koluą wyrzów
Zasada wariacyjna mechaniki kwantowej
Zsd wry meh wtwe uł eerg: K ( [ ] Hˆ ( K de rmwe (łwe z wdrtem fu przyprz dw est wrt zew eerg w ste psym t fu. Jest t p e gze d p fu. u przyprz dwue wrt zbwe zb wrt fu. Argumetm s zby. D fułu rgumetm s
Ciąg arytmetyczny i geometryczny
Ciąg rytmetyczy i geometryczy Zd. : Ciąg ( ) jest opisy wzorem = 5 + ( )(k k ), gdzie k jest prmetrem. ) WykŜ, Ŝe ( ) jest ciągiem rytmetyczym. Dl jkich wrtości prmetru k ciąg te jest mlejący? b) Dl k