Algorytmy metod numerycznych. Monika Chruścicka

Transkrypt

1 Algoryty etod ueryczych Mok Chruścck Ktolck Uwersytet Luelsk J Pwł II Wydzł Nuk Społeczych, Istytut Ekoo Streszczee Artykuł zwer chrkterystykę etod ueryczych orz podstwowych lgorytów etod ueryczych. Przedstwoe są zgde terpolc, cłkow ueryczego orz rozwązyw ukłdów lgerczych rówń lowych. Cele eszego rtykułu est chrkterystyk etod ueryczych orz przedstwee podstwowych rdze powszechych lgorytów etod ueryczych. Wstęp Metody uerycze est to dzł uk zuący sę rozwązywe róŝych zgdeń tetyczych z poocą koputer. Podczs reprezetc koputerowe dochodz do welu uproszczeń, poewŝ e kŝd lcz est reprezetow e stee tut poęce eskończoośc, dowole duŝe dokłdośc, powstą luk w reprezetc lcz rzeczywstych, tp. W okrese osttch klkustu lt stąpł ewoluc sposoów relzc olczeń wykorzystuących te etody od rchuków wspogych klkultore, poprzez sodzele oprcowywe progry koputerowe, Ŝ do osług rdzo ogtych uwerslych progrów rzędzowych o szeroke ge oŝlwośc zdecydowe przyzych dl uŝytkowk. MoŜ tu wyeć tke progry, k MthCAD, Mthetc, MATLAB, Derve td.. Iterpolc Ew Mchrzk, Bohd Mochck Metody uerycze. Podstwy teoretycze, spekty prktycze lgoryty Wydwctwo Poltechk Śląske Glwce 4 r. str. 7.

2 Jedy z podstwowych zgdee etod ueryczych est terpolc. Je zde est utworzee ukc, które wykres przeeg przez zde pukty. Stosue sę tut róŝe klsy ukc do terpolow weloy lgercze, ukce sklee, ukce trygooetrycze, tp. Zde terpolc oŝey sorułowć stępuąco: W przedzle [,] y dych róŝych puktów,,..., węzły terpolc orz wrtośc ukc y = w tych puktch = y, = y,..., = y. Zleźć ukcę F, któr w węzłch terpolc te se wrtośc co przylŝ w pozostłych puktch. N poŝszy rysuku przedstwo est terpolc ukc weloe W... Iterpolc weloow Nrdze z est terpolc weloow. Nech, =,, ędą tk pukt, Ŝe k k. Zde terpolc weloowe poleg wyzczeu welou p spełącego wruk: p leŝy do zoru weloów stop orz p = dl =,,. Okzue sę, Ŝe welo tk stee est edozcze wyzczoy... Welo terpolcyy Lgrge PowyŜszy welo oŝey wyzczyć z poocą welou terpolcyego Lgrge, który przedstw sę stępuąco: = =, k k

3 Z powyŝszego wzoru terpolcyego wyk, Ŝe współczyk welou p zleŝą lowo od rzędych węzłów. Wzór terpolcyy Lgrge est wŝy z puktu wdze teoretyczego, e zdue o edk zstosow w olczech prktyczych. MoŜe yć edye uŝyteczy w sytucch, gdy wele zdń terpolcyych est rozwązywych dl tych sych odcętych węzłów róŝych rzędych węzłów..3. Wzór terpolcyy Newto Brdze przydty rzędze est wzór terpolcyy Newto, w który wykorzystue sę lorzy róŝcowe. Ilorz róŝcowy [,,, ] -tego rzędu z ukc względe dowolych puktów,,, k, k dowolego N deue sę stępuąco: [,,, ]=, gdze w' = k est pochodą welou w' = = w = w pukce =. k =, k Ilorz róŝcowy [,,, ] est współczyke przy wyŝsze potędze welou terpolcyego p zdeowego przez wruk terpolc. Ilorz róŝcowy rzędu wyos [ ]=, tost dl rzędu speł zwązek rekurecyy [,,..., ] = [,..., ] [,..., ]. Dl welou terpolcyego wyzczoego edozcze przez wruk terpolc prwdzwy est wzór Newto: p = [ ] [, ] [,, ]... [,..., ] Iterpolc ukc skley MoŜey zstosowć tkŝe wygłdzoe krzywe terpolcye zwe ukc skley, które ogą dorze przedstwć chrkterystykę oscylcyą weloów wysokego stop. Zlzły oe zstosowe w ueryczych etodch rozwązyw zgdeń rzegowych rówń róŝczkowych zwyczych lu cząstkowych rówń róŝczkowych. Iterpolc ukc skley poleg łączeu puktów ; w kŝdy odcku przylŝy ukcę weloe ustloego skego stop tk, y ukc przylŝąc ył cągł wrz z pochody przedzle terpolc [,]. Nech ={= < <, =} ędze podzłe przedzłu [,]. Fukcą skleą trzecego stop S est ukc S :[,] R o włsoścch: 3

4 S C [,] tz. est dwukrote róŝczkowl w sposó cągły przedzle [,], S kŝdy z podprzedzłów [, ] =,,,- pokryw sę z weloe trzecego stop. Fukc skle trzecego stop skłd sę zte z weloów trzecego stop połączoych rze w tk sposó, Ŝe ch wrtośc orz wrtośc ch perwszych dwóch pochodych są rówe w węzłch, =,,-. RozwŜy zór lcz rzeczywstych Y={y,y,,y }. Iterpolcy ukc skle S Y; speł wruk S Y; =y, =,,,. Tk ukc e est edozcze wyzczo eszcze dw stope swoody, dltego przyue sę dodtkowo ede z trzech wruków:. S Y;= S Y;=,. S k Y;= S k Y;, k=,,, w przypdku, gdy S Y; est okresow, 3. S Y;=y, S Y;=y.. Dl h = -, =,,,- M = S Y;, =,,, M są zywe oet ukc skleych uzyskuey reprezetcę ukc sklee w zleŝośc od e oetów: S Y;=α β - γ - δ - 3, [, ], y gdze α = y, β = y M M M M h, γ =, δ = h 6 6h M. Cłkowe uerycze JeŜel w progre koputerowy chcelyśy olczyć cłkę ozczoą oŝey to tkŝe zroć uerycze stosuąc p. kwdrtury Newto-Cotes. Wyzczy e z poocą etod dyskretyzc. Aproksyuey cłk su skończoy odpowdący podzłow przedzłu cłkow [,] są to kwdrtury uerycze... Kwdrtury terpolcye N początku leŝy zpozć sę z poęce kwdrtur terpolcyych. ZłóŜy, Ŝe w puktch cągu { }, =,,,, gdze = < <, = są ze wrtośc ukc cągłe C [,]. Wtedy A K, gdze współczyk A węzły są = = ezleŝe od. Nech K ozcz kwdrturę ech l =, =,,, =, ędą welo udetly Lgrge dl węzłów, =,,. Podto 4

5 w przypdku = złóŝy, Ŝe l o =. Kwdrtur K = A ze współczyk zdeowy wzor A = l d, =,,..., zyw sę kwdrturą terpolcyą rzędu. =..Kwdrtury proste Newto-Cotes Kwdrtury proste Newto-Cotes są to kwdrtury terpolcye K z węzł rówoodległy =h, =,,, gdze kwdrtury wyrŝą sę wzor A B, h =. Współczyk = gdze lczy B = B = C =, A = A tke : d, zśc włsośc: h =!! zywy lcz Newto-Cotes. Lczy te ą stępuące B = = B = B, =,,, syetryczość lcz. Nczęśce spotyky sę z stępuący rodz kwdrtur:. Kwdrtur trpezu K = [ ] Ogóly wzór trpezów ozcz, Ŝe wykres ukc podcłkowe zstępuey przez lę łą. Geoetrycz terpretc kwdrtury trpezu przedstw sę stępuąco : Jur Povsteko Wprowdzee do etod ueryczych Akdeck Ocy Wydwcz EXIT Wrszw 5 r. str

6 6. Kwdrtur Spso ] 4 [ 6 K = Geoetrycz terpretc kwdrtury Spso przedstw sę stępuąco: 3. Kwdrtur 3/8 ] [ 8 3 K =

7 Kwdrtury Newto-Cotes e ogą yć dory przylŝe dl d w przypdku, gdy est łą lczą turlą. W zwązku z ty wprowdz sę kwdrtury złoŝoe..3. Kwdrtury złoŝoe Newto-Cotes Nech, ędą lcz turly tk, Ŝe dl kŝdego, stee p tke, Ŝe =p. Podto ech = <, < = ędą podzłe rówoery przedzłu [,] to zczy =h, =,,, h=-/. Kwdrturą złoŝoą Newto-Cotes zyw sę kwdrturę postc: p, = K ; r, r r = K, gdze K ; r, r = A r est kwdrturą prostą Newto-Cotes dl podprzedzłu [ r, r ] przedzłu [,]. =.4. Kwdrtury Guss W zgdeu rozwŝy powyŝe zkłd sę, Ŝe węzły kwdrtury są z góry de. JeŜel uŝyey puktów terpolc to otrzyy kwdrtury dokłde dl weloów stop -. Czs edk, w zleŝośc od węzłów terpolcyych, oŝey otrzyć kwdrturę, któr est dokłd dl weloów stop wększego Ŝ -. NleŜy wyrć k = wtedy kwdrturę terpolcyą postc ρ d c, któr dl dego k k ędze ł wyŝszy stopeń dokłdośc. Tke kwdrtury steą są zywe kwdrtur wyŝszego stop dokłdośc lgercze lu kwdrtur Guss. ZłóŜy, Ŝe ρ > orz w=- -. Te kwdrtury są dokłde dl kŝdego welou stop =- wtedy tylko wtedy, gdy spełoe są stępuące wruk: Welo w est ortogoly z wgą ρ względe kŝdego welou q stop eszego Ŝ, tz. ρ w q d =. k = Kwdrtur ρ d c est kwdrturą terpolcyą, tz. k k w ck = ρ d dl k=,,,. w' k k 7

8 3. Metody rozwązyw ukłdów lgerczych rówń lowych Metody rozwązyw ukłdów lgerczych rówń lowych oŝ rozć dwe grupy:. Metody ezpośrede, które przy rku zokrągleń dą dokłde rozwąze o skończoe lcze kroków. Przykłde tkch etod est elc Guss.. Metody przylŝoe w szczególośc etody tercye. Metody tercye dą cąg wektorów zeŝych do szukego rozwąz ukłdu rówń. Przykłd tkch etod są: etod terc proste, etod Jcoego orz etod Sedl. 3.. Metod elc Guss Rozptrywć ędzey ukłd rówń lowych zwerących ewdoych. Mcerz głów ukłdu oŝe yć dowol, le eosolw. Ukłd rówń zpszey w postc cerzy C, które perwszych kolu zwer eleety cerzy główe A, tost koluę tworzą wyrzy wole. Eleety te cerzy ozczyy syol c... =... c c... c c,... =... A = c c... c c, C = =... c c... c c, Wrt podstwowy etody elc poleg tk przeksztłceu cerzy C, y otrzyć rówowŝy, prostszy ukłd rówń. W szczególośc perwszych kolu cerzy C powo tworzyć cerz trókątą. Etp drug sprowdz sę wówczs do rozwąz trókątego ukłdu rówń. 3 Zkłdąc, Ŝe c wtedy odeuey perwsze rówe pooŝoe przez c /c od -tego rów =,3,, olczoe współczyk zpsuey escu poprzedch. W te sposó wszystke eleety perwsze koluy cerzy C, oprócz c, są rówe. Podoe dzł powtrzy dl koleych werszy cerzy począwszy od drugego Ŝ do -tego wyrzu, czyl dl c odeuey -ty wersz pooŝoy przez c/c od -tego wersz =,, poowe olczoe współczyk zpsuey w escu poprzedch. Po wykou kroków dochodzy do ukłdu trókątego, który w prosty sposó oŝey rozwązć. Podsuowuąc oŝ stwerdzć, Ŝe lgoryt rozwązyw 3 Ew Mchrzk, Bohd Mochck Metody uerycze. Podstwy teoretycze, spekty prktycze lgoryty Wydwctwo Poltechk Śląske Glwce 4 r. str

9 ukłdu rówń lowych etodą Guss sprowdz sę do wykoyw cągu przeksztłceń cerzy C. Iy wrt etody elc poleg wykou tkego cągu przeksztłceń cerzy C, y po krokch lgorytu perwszych kolu cerzy przeksztłcoe C tworzyło cerz dgolą; wszystke eleety, które e zduą sę główe przekąte są rówe. Rozwąze ukłdu rówń zdue sę wówczs w kolue cerzy przeksztłcoe C. Oówoe ody etody Guss dotyczyły rozwązyw ozczoego ukłdu rówń lowych. Podto zkłd sę, Ŝe główe przekąte cerzy A e występuą eleety zerowe. Ne est to edk złoŝee ogrczące zstosowe tych etod. W przypdku, gdy główe przekąte cerzy A występuą zer, leŝy odpowedo zeć wersze cerzy rozszerzoe C co est rówowŝe ze zą koleośc rówń w rozwązywy ukłdze w te sposó, y e powły sę zer główe przekąte cerzy A. Operc t est zwsze wykol ze względu eosolwość cerzy A. Podoe oŝey zeć koluy z cerzy główe A, pętąc edk o ty, Ŝe tke ze us towrzyszyć z ewdoych w ukłdze. 4 Ulepszee etody Guss zywe etodą elc z wyore eleetu douącego poleg odpowed wyorze eleetów eluących, tz. eleetów c, przez które dzely kolee rów. Optyly wyór tych eleetów zcze poprw dokłdość otrzyych wyków olczeń. Nlepszy z tego puktu wdze est wyór wększego co do wrtośc ezwzględe eleetu cerzy A tke przestwee werszy orz kolu w te cerzy, y ksyly eleete ył eleete c. Spośród pozostłych eleetów cerzy powtóre wyery ksyly co do wrtośc ezwzględe eleet tk zey wersze orz koluy cerzy, y eleet te zął esce c przy czy e zey eleetu c. Kotyuuąc to postępowe otrzyy główe przekąte ksyle eleety te cerzy Metod terc proste Nech d ędze eosolw cerz kwdrtow A, deta, A k k, = = ech ędze dy wektor T =,...,. Rozptrzy ukłd A =, którego dokłdy 4 Ew Mchrzk, Bohd Mochck Metody uerycze. Podstwy teoretycze, spekty prktycze lgoryty Wydwctwo Poltechk Śląske Glwce 4 r. str TŜe str. 4. 9

10 * * * rozwąze est ezy wektor =,...,. Zpszy ukłd w postc: = B c. Korzystąc z toŝsośc = D A, gdze detd D est cerzą zdą wdzy, Ŝe B=E-DA, c = D, gdze E est cerzą edostkową. Metod terc proste poleg ty, Ŝe początku wyery dowoly wektor początkowe przylŝee, stępe określy cąg wektorów według reguły: k k = B c dl k=,,, Przy duŝych k, k * k *, przy k. Gdy proces tercyy est zeŝy wtedy etod terc est eektyw. Wruke koeczy dostteczy to, y etod terc proste ył zeŝ dl dowolego przylŝe początkowego est erówość ρ B = λ B <, gdze λ B są wrtośc =,..., włsy cerzy B Metod Jcoego Poowe rozptruey ukłd rówń A =, gdze deta. NleŜy zleźć przylŝoe rozwąze *. Będzey zkłdć, Ŝe cerz A strukturę: A=LDR, gdze L est cerzą lewotrókątą, D est cerzą dgolą, R est cerzą prwotrókątą, tz.... =... A L = =... D =... R Ukłd rówń zpszey w postc L D R =. Ukłde rówowŝy teu ukłdow est ukłd: = D L R D, gdze B=-D - LR, c = D. Zstosuey do osttego ukłdu etodę terc proste, któr ędze ł postć: k k = D L R D dl k=,, JeŜel cerz A est dgole douąc tz. etod Jcoego est zeŝ. kk > k = k, k=,,, to 3.4. Metod Sedl

11 Metod Sedl est prosty ulepszee etody terc proste. Istot lgorytu sprowdz sę do wykorzyst olczoych perwszych skłdowych wektor ewdoych k do olcze skłdowe td. Tk odykc etody terc proste zcze przyspesz proces olczeń. W etodze te tkŝe rozptruey ukłd rówń A =, gdze deta. Zkłd sę, Ŝe wszystke eleety dgole kk. Wówczs ukłd rówń oŝey zpsć w postc: =... =......, =... Wtedy ukłd te oŝey rozptrywć ko cerz B = =,..., Do ukłdu zstosuey tercyy proces postc k = k =... k = k k... k 3 k 3... k c..., k k c c który zyw sę procese tercyy Sedl. = B c, gdze rolę cerzy B odgryw PowyŜszy ukłd oŝey zpsć tkŝe w postc cerzowe L k k k D R =. Stąd wyk rówość cerzow k k = L D R L D, którą oŝ rozptrywć ko etodę terc proste. JeŜel LD - R q<, to dl dowolego wektor początkowego etod Sedl est zeŝ. TkŜe w przypdku, gdy cerz A est dgole douąc to etod t est zeŝ.

12 Podsuowuąc oŝ stwerdzć, Ŝe lgoryty etod ueryczych są rdzo przydty rzędze wykorzystywy w progrch koputerowych zuących zgdech czysto tetyczych k rozwąze ukłdu rówń czy teŝ olczee cłk ozczoe.